CC BY
123
УДК 336.49
ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПРИ ЗАДАННОМ УРОВНЕ ДОХОДНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
Н. А. КЛИТИНА, старший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mail: klitinanina@yandex.ru Ростовский государственный университет «РИНХ»
В статье систематизированы основные теоретические предпосылки формирования инвестиционного портфеля при заданном уровне доходности с помощью функции Лагранжа, представлен анализ этапов выбора объектов инвестиций с точки зрения портфельного инвестора, рассмотрена методика формирования и управления портфелем ценных бумаг в случае фиксированного дохода. В результате проведенного анализа определены инвестиционные портфели ценных бумаг российских эмитентов при заданном уровне доходности, а также проведено сравнение построенных портфелей с оптимальным портфелем ценных бумаг.
Ключевые слова: инвестиции, инвестиционные портфели, формирование, управление, оптимизация, функция Лагранжа.
Рынок ценных бумаг формирует механизм для привлечения в экономику инвестиций, выстраивая взаимоотношения между теми, кто испытывает потребность в дополнительных финансовых ресурсах, и теми, кто хочет инвестировать избыточный доход. Портфельное инвестирование позволяет планировать, оценивать, осуществлять контроль за конечными результатами всей инвестиционной деятельности в различных секторах фондового рынка.
Основная задача портфельного инвестирования заключается в улучшении условий вложений, придав совокупности ценных бумаг такие инвестиционные характеристики, которые недостижимы с позиции отдельно взятой ценной бумаги и возможны только при их комбинации. Теория оптимального портфеля помогает составить инвестиционный пакет финансовых активов, риск которого минимален по сравнению со всеми другими возможными портфелями из
активов этих компаний. Структурой оптимального портфеля является построение моделей математической оптимизации и их решение.
Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образуют эффективную границу. Эффективный портфель - это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной доходности и максимальную отдачу при заданном уровне риска.
Цель любого инвестора - составить такой портфель ценных бумаг, который бы давал максимально возможную доходность с минимально допустимым риском. Задача инвестора сводится к определению оптимальной пропорции долей распределения вкладываемой суммы между доступным набором фондовых активов. Формирование инвестором оптимального портфеля приводит к нахождению портфеля с минимальным показателем риска при некотором уровне доходности.
Если инвестора не устраивает доходность, расположенная в оптимальном портфеле, то можно зафиксировать на эффективном множестве ту доходность, которая ему требуется. Сформируем инвестиционный портфель при заданном уровне доходности и минимизируем его показатель риска. Пусть фиксированный ожидаемый доход
E > Eopt.
R TC—7
Здесь Eopt = RX0 = ^C7- ,
op 7 гс
где RT (Xх) - транспонированные матрицы по отношению к матрицам R, X;
Х° - матрица весов портфеля соответствующего минимального риска;
С-1 - обратная матрица к ковариационной матрице (С = (covj) - ковариационная матрица (covj. -ковариация между 7-м и]-м активами); Iт - единичная вектор-строка размерности 1 х п (I - единичный вектор столбец размерности п х 1; R - матрица доходностей (вектор-столбец); В свою очередь
х0= С . (1)
1С- • /
Далее будем предполагать, что среди п-акти-вов есть хотя бы два с различными ожидаемыми доходностями, т. е. координаты вектора Я не имеют линейной зависимости. Ожидаемый доход и показатель риска инвестиционного портфеля при фиксированной доходности имеют следующий вид:
E p = Rт X = YJXiEi = E, = 1;
(2)
Ex, -1 = 0;
i=i
СР = X lCX = + 2 E cov j xtXj ^ min, (3)
i=1 1<i<j<n
где X (t) - множество эффективных портфелей в случае разрешимости коротких продаж в координатах весов:
X (t) = X0 +1-V0, t > 0, (4)
где V0 - множество допустимых портфелей, V0 =-(IT- C-1 - R)X0 + C-1 - R). Поставленную задачу (3) можно рассматривать как задачу нелинейного программирования при ограничениях (2), т. е. как классическую задачу оптимизации в курсе математического анализа. Чтобы найти решение этой задачи, необходимо ввести набор переменных X i = 1, 2, называемых множителями Лагранжа, и построить функцию Лагранжа: L( xi, X1, X 2) = a2p +Х1ф1 +Х2ф2 =
= X lCX + Х1ф1 + X 2ф2, (5)
Фl=Ex, -1 = Iт X -1 = 0, (6)
n i=1
ф2 = Ex,E, - E = RlX - E = 0. (7)
где
Так как X является решением задачи (2) и (3), значит, выполняется необходимое условие безусловного экстремума для функции Лагранжа (5) с условиями (6) и (7):
дЬ дЬ дЬ
dxi дХ1 дХ2
= 0.
Определив частные производные от функции Лаг-ранжа по переменным х7, Х1, X2,7 = 1, п, получим систему из (п + 2) уравнений для (п + 2) неизвестных: 2СХ + Х1/ + X 2 R = 0; /т X = 1; . Rl X = Е
Данная система имеет решение, причем единственное. Предположим, что (х^..., хп, Х1 ,Х2) и (х1,..., хп, Х1, Х2) - это два различных решения, тогда (Х1 -Х1)п1+(Х2 -Х2 ) я = о .
Векторы I и Я линейно независимые, следовательно, Х1 = Х1 и X 2 = Х2.
Из указанного ранее можно сформулировать некоторое предложение.
Предложение: пусть X - эффективный портфель, отвечающий уровню доходности Е, тогда система из (п + 2) уравнений относительно
х1, х2,. • •, хп, Х1 , Х2
2СХ + Х1/ + Х2 R = 0;
iтx=1 I Ex, = 1
RтX = E [ExEi = E
Е > Ео0 (8)
имеет единственное решение.
Замечание 1. Условия (8) являются необходимыми и достаточными условиями эффективности портфеля X, отвечающего уровню доходности Е.
Замечание 2. Систему уравнений (8) можно записать в виде матричного уравнения: (2С / R^f X Л ( 0 Л
X,
VX2 J
1
v E J
(9)
Iт 0 0 Rт 0 0
\
Замечание 3. Для того чтобы система (8) имела решение, необходимо, чтобы определитель матрицы, состоящей из коэффициентов, стоящих перед неизвестными, был отличен от нуля, т. е.
(2С / R Л
det
Iт Яг
Ф 0.
Перейдем к рассмотрению уравнения (9). Обозначим
12C I R > I x ^ I0 ^
A = Iт 0 0 , XХ = Х1 , в = 1
V r 0 0 J VX2 J V E J
1=1
i=1
i=1
i=1
i=1
тогда решение системы сводится к решению матричного уравнения ЛХ%= В, т. е. Х% = А'1 В (где А~1 - обратная матрица по отношению к матрице А. Координаты вектора X - это доля средств, вложенных в активы портфеля ценных бумаг при заданном уровне доходности). При подстановке его значения в формулу (3) и извлечении корня из полученного числа будет найден показатель риска инвестиционного портфеля при заданном уровне доходности.
Применим изложенную теорию к формированию инвестиционного портфеля, состоящего из трех активов российских эмитентов. В качестве объектов исследования используем котировки цен обыкновенных акций компаний «Калина», «НОВАТЭК» и «Полюс Золото» за период времени с 13.12.2010 по 13.10.2011 [2].
В зависимости от колебаний цен на акции рассчитаем средние нормы доходности, дисперсии и показатели рисков для каждой из рассматриваемых компаний (см. таблицу).
Найдем оптимальный портфель, сформированный из рассмотренных акций, аналитическим способом, с учетом того, что значение минимального риска достигается только при ^ = 0 в уравнении (4) [1]. Следовательно, координаты вектора X совпадают с координатами вектора X0. Это означает, что для нахождения доходности и риска оптимального портфеля необходимо и достаточно воспользоваться следующими формулами:
Е„ = R ТХ0
' (10)
с
=4Х
0т С • X0.
(11)
Для этого составим ковариационную матрицу и найдем обратную к ней:
(0,000933585 0,000070500 0,0000004831
С=
0,000070500 0,000560590 0,000022767 0,000000483 0,000022767 0,000225537
тогда
Средняя норма прибыли, дисперсия и показатель риска трехакций
Компания Средняя норма доходности Дисперсия Показатель риска
Калина 0,00564285 0,000933585 0,03055463
НОВАТЭК 0,00139890 0,00056059 0,023676773
Полюс Золото 0,00017695 0,000225537 0,015017877
( 1081,43877 -136,4677048 11,4590274 1 С-1 = -136,4677048 1808,400284 -182,2559517 11,4590274 -182,2559517 4452,24283
Используя формулу (1), найдем координаты весов оптимального портфеля:
(0,1421661261 X = X0 = 0,221429205 0,63640467
V 7 /
Для минимизации риска инвестору необходимо находиться в длинной позиции по всем акциям, входящим в инвестиционный портфель. Инвестор должен распределить собственные средства для достижения оптимального результата следующим образом: 14 % вложить в акции компании «Калина», 22 % - в акции компании «НОВАТЭК» и 64 % - в акции компании «Полюс Золото». Тогда, используя формулы (10) и (11), ожидаемый доход и показатель риска оптимального портфеля будут примерно равны следующим значениям: 0,123 и 1,22 % соответственно, т. е.
Ер = 0,001224596 , с р = 0,012191902 .
Предположим, что полученная доходность оптимального портфеля не устраивает инвестора, и он готов идти на некоторый риск для получения большей прибыли. Зафиксируем ожидаемый доход, к которому стремится инвестор при создании портфеля. Предположим, что Е = 0,2 %, тогда функция Лагранжа примет вид:
L( х, , X, Х2) = X lСX + \ (Iт X -1) + Х2 (Rx X - 0,002),
при условиях: IтX -1 = 0 и RxX - 0,002 = 0, т. е. Iт X = 1, Rт X = 0,002.
Найдя частные производные от функции Лаг-ранжа по переменным х1, х2, х3, А,1,X2, получим матричное уравнение AXX = В:
(0,00186717 0,00014100 0,00000097
0,00014100 0,00000097 1
0,00564285
0,00112118 0,00004553 1
0,00139890
0,00004553 0,00045107 1
0,00017695
1 1 1
0 0
0,00564285л (х' ( 0 1
0,00139890 х2 0
0,00017695 х3 = 0
0 л1 1
0 , Iх 2 у ч 0,002 у
которое имеет единственное решение по ранее доказанному предложению, так как X (эффективный
портфель с фиксированной доходностью Е, определитель матрицы, состоящей из коэффициентов, стоящих перед неизвестными) отличен от нуля, т. е.
1
0,00045107 1
0,00017695
1 1
0 0
(0,00186717 0,00014100 0,00000097
0,00014100 0,00112118 0,00004553
det 0,00000097 0,00004553 1 1
0,00564285 0,00139890
ч 7 7
0,00564285Л 0,00139890
0,00017695 = 0,00000004 * 0. 00 7695 0 0
Далее определим координаты вектора, состоящего из неизвестных переменных:
( х Л
X х =
= А'1 В =
Х1
V Х2
(36,938652 -165,23007 128,291416
-165,2301 739,089649 -573,8596
128,29142 -573,85958 445,56816
-0,082904 0,22602288 0,8568809
183,79119 -3,7511742 -180,04
-0,082904 183,79119 Л
0, 2260229 0,8568809
-3,751174 -180,040
-0,000414 0,0949205 0,0949205 -77,51173
(
\
0 0 0 1
V 0,002,
( 0, 284678589 Л 0,218520528 0,496800883 -0,000223683 ч-0,060102917 ,
т. е.
X =
( 0,284678589^ 0,218520528 0,496800883
при X, = -0,000223683, X2 = -0,060102917.
В данной задаче инвестор также находится в длинной позиции, как и при формировании оптимального портфеля, однако распределить собственные средства необходимо в другом процентном соотношении: в акции компании «Калина» необходимо вложить 28 %, в акции компании «НОВАТЭК» - 22 % и в акции компании «Полюс Золото» - 50 %. Заметим, что процент средств, вкладываемых в акции компании «НОВАТЭК», не изменился, поменялся процент вложений между компаниями «Калина» и «Полюс Золото». Акций компании «Калина» необходимо приобрести на 14 % больше, чем для формирования оптимального портфеля, а акций компании «Полюс Золото» - на 14 % меньше. За счет осуществленных «перевложений» ожидаемый доход портфеля увеличился до требуемого инвестором.
Необходимо отметить, что наиболее высокий доход из рассматриваемых акций был у компании «Калина» (см. таблицу), поэтому, чем больше средств будет вкладываться в акции этой компании, тем выше будет и доходность сформированного портфеля. Однако и показатель риска у этой компании самый высокий, значит, при повышении дохода повысится и риск портфеля ценных бумаг.
0229 Далее определим показатель риска при фиксированном доходе Е = 0,002. Подставляя координаты вектора X в формулу (3),получим, что с р = 0,013112761 .
По сравнению с риском оптимального портфеля риск данного портфеля увеличился, но немного -на 0,09 %. Сформированный портфель с фиксированным доходом 0,2 % и риском 1,3 % можно считать более выгодным для вложения средств, чем оптимальный портфель с доходом 0,123 % и риском 1,22 %, так как доход вырос в 1,63 раза, а риск - в 1,066, т. е. доход растет быстрее показателя риска. Можно увеличивать доход инвестиционного портфеля и дальше в зависимости от отношения инвестора к риску.
Обстоятельства, в которых находятся инвесторы, различны, поэтому портфели ценных бумаг должны составляться с учетом таких различий. При этом определяющими факторами являются допустимый уровень риска и период инвестирования, которые зависят от предпочтений конкретного инвестора. Занимаясь инвестициями на рынке ценных бумаг, необходимо выработать определенную политику своих действий и определить основные цели
х
2
х
3
инвестирования, состав инвестиционного портфеля, приемлемые виды ценных бумаг, диверсификацию портфеля и т. д. Состояние рынка и возможности инвестора определяют выбор его инвестиционной стратегии.
Список литературы
1. Клитина Н. А. Оптимизация инвестиционного портфеля в случае разрешимости и запрета на короткие продажи // Финансы и кредит. 2013. № 8 (536) .
2. URL: http://www. stocks. investfunds. ru.
/ РХШЯConferences \
агентство маркетинговых коммуникаций
5 декабря 2013 г. в Москве CNews Conferences и CNews Analytics проведут конференцию
«Электронный бизнес: потребности и возможности»
Информационная поддержка - Издательский дом «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ».
Интернет постепенно переходит из разряда модных сервисов, доступных лишь избранным, в категорию привычных и доступных любому средств коммуникации. Предоставление множества услуг при помощи всемирной паутины является закономерным итогом роста проникновения Интернета, как среди жителей больших городов, так и среди тех, кто находится далеко от крупных населенных пунктов.
Уже сегодня при помощи Интернета можно приобрести множество необходимых товаров, забронировать авиа- и железнодорожные билеты или номер в гостинице, заказать столик в ресторане, записаться на прием к специалисту, а также оплатить целый ряд продуктов и услуг, не выходя из дома. При этом услуги, предоставляемые через Интернет, поистине не имеют границ и доступны жителям любой страны мира.
По сути, на сегодняшний день любая компания, которая хочет оставаться конкурентоспособной в постоянно меняющихся условиях, стремится ко все более широкому развитию онлайн-сервисов как для корпоративных, так и для частных клиентов. Это открывает широкие перспективы для разработчиков подобных решений, но и накладывает на них целый ряд дополнительных обязательств, связанных с необходимостью обеспечения безопасности данных и бесперебойности работы в условиях все возрастающей нагрузки.
Основные вопросы конференции:
• какие услуги в интернете наиболее востребованы сегодня;
• какие онлайн-решения могут понадобиться в будущем;
• насколько безопасны онлайн-сервисы;
• готовы ли российские компании к конкуренции со стороны западных игроков;
• какие проблемы возникают у провайдеров и потребителей онлайн-услуг.
За дополнительной информацией, а также по вопросам участия обращаться по телефонам: +7 (495) 363-11-11 (доб. 3477) либо e-mail: events@cnews.ru, Елена Забродина.
Более подробно о конференции -
\ http://events.cnews.ru/events/elektronnyi_biznes_potrebnosti_i_vozmoj nosti.shtml /
