Формирование оптимального инвестиционного портфеля предприятия многокритериальным «Стайным» алгоритмом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Результаты расчета ударного взаимодействия стального стержня с экранной защитой второго типа со скоростью г0 = 1 км/с (материал ударника - сталь т = 12,4 г)

Номер экрана Угол встречи 30° Угол встречи 45° Угол встречи 90°

v/v0 l/l0 m/m0 v/v0 l/l<> m/m0 v/v0 l/lc m/m0

1 0,91 0,80 0,95 0,92 0,89 0,97 0,93 0,88 0,98

2 0,63 0,49 0,79 0,71 0,60 0,83 0,80 0,70 0,85

Второй экран, трехслойный, состоит из 5-миллиметрового дюралюминиевого листа, за которым находится свинцовый слой толщиной 5 мм, подложка выполнена из 8-миллиметрового листа ПММА. Ударник представляет собой цилиндрическое тело с конической головной частью. Диаметр стального стержня do = 4,5 мм, длина /0 = 105 мм, высота головной части h = 9 мм.

Картины пробития экранов приведены на рисунке. Параметры стального стержня во время пробития приведены в таблице (у/у0, ///0, т/т0 - отношение скорости, длины и массы ударника после пробития экрана к начальным параметрам).

Библиографические ссылки

1. Компьютерное моделирование динамики высокоскоростного удара и сопутствующих физиче-

ских явлений / Н. Н. Белов, В. Н. Демидов, Л. В. Ефремова и др. // Изв. вузов. Физика. 1992. Т. 35, № 8. С. 5-48.

2. Динамика высокоскоростного удара и сопутствующие физические явления / Н. Н. Белов, Н. Т. Югов, Д. Г. Копаница и др. Northampton ; Томск : STT, 2005.

3. Жуков А. В. Интерполяционное широкодиапазонное уравнение состояния металлов в переменных: давление, плотность, энергия // Механика деформируемого твердого тела : сб. ст. Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 1987. С. 70-79.

4. Расчетно-экспериментальный метод анализа динамической прочности элементов железобетонных конструкций / Н. Н. Белов, О. В. Кабанцев, Д. Г. Копаница и др. Томск : STT, 2008.

I. N. Arkhipov

Institute of computational modeling SB RAS, Russia, Krasnoyarsk

COMPUTER SIMULATION OF SHOCK INTERACTION STEEL ROD WITH MULTI-LAYER SHIELDING

By the computer simulation method the shock interaction of a steel rod with a multilayer shielding at a speed of 1 km/s at angles of approach from 30 to 90 degrees was studied.

© Архипов И. Н., 2012

УДК 519.68

Ш. А. Ахмедова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ ПРЕДПРИЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫМ «СТАЙНЫМ» АЛГОРИТМОМ

Исследовалась эффективность «стайного» алгоритма (Particle Swarm Optimization, PSO) на многокритериальных задачах условной и безусловной оптимизации. Проводилось сравнение результатов, полученных вещественным и бинарным PSO, после чего была решена практическая задача, заключавшаяся в формировании оптимального инвестиционного портфеля предприятия.

В общем виде многокритериальная задача оптимизации (МКО-задача) включает набор из N переменных, множество К целевых функций от этих переменных и множество М ограничений. При решении МКО-задачи необходимо найти оптимум по совокупности К критериев. В работе был применен «стайный» алгоритм [1] для приближенного построения множества и

фронта Парето. Для этого был создан архив, в котором сохранялись недоминируемые по Парето решения, обновляемый на каждой итерации. При использовании алгоритма Р$0 для решения МКО-задачи основной проблемой было то, какую позицию считать глобально лучшей позицией для частицы. В данной работе был применен с-алгоритм, для которого опре-

Решетневскце чтения

деляется с-параметр i-й частицы с координатами x . являющийся K-мерным вектором ст = (ctj ,..., sK):

((fi' (x')- ß(x))(Ii (x')-.H (J))... ...(fi (x')-ff (X)))Г

CT, =s

(f ('

fi (x) + fi (x) + ... + fi: (x)

с-алгоритм использует архив недоминируемых решений (обозначим этот архив 5). В с-алгоритме для у-й частицы на каждой итерации глобально лучшая позиция в 5 определяется по следующему правилу:

1) определяем с-параметр у-й частицы, т. е. вы-

-(f (''));

числяем величину ст у =ст |

2) находим в архиве частицу, у которой с-параметр наиболее близок к величине сту:

min ст,- - ст,- =

где si - с-параметр /-и час-

тицы из S,

символ евклидовои нормы;

3) в качестве глобальной лучшей позиции для у-й частицы принимаем вектор координат 1-й частицы.

Исследование эффективности «стайного» алгоритма проводилось на тестовых задачах безусловной и условной оптимизации. Для работы алгоритма было установлено максимальное число частиц, которое может храниться в архиве недоминируемых решений (для каждой задачи был установлен свой размер архива). Для задач условной оптимизации был применен метод динамических штрафов. При решении задач заполнялась лишь некоторая часть архива. Результаты показали, что с ростом числа критериев эффективность алгоритмов возрастала. Так, например, при решении задач условной оптимизации и вещественным, и бинарным «стайными» алгоритмами архив недоминируемых решений заполнялся в среднем на 20... 30 %. Преимущество вещественного Р80 заключалось лишь во времени, потраченном на один прогон. Результаты алгоритмов существенно не отличались. Решение задачи условной оптимизации, для которой в допустимой области нет ни одной точки из множества Парето безусловной задачи, потребовало заметного увеличения размера популяции, и в конечном счете были получены точки, находящиеся на той части границы допустимой области, которая была ближе всего к множеству Парето. Кроме того, результаты, полу-

ченные вещественным и бинарным Р80 почти не отличались.

Далее была решена практическая задача формирования оптимального инвестиционного портфеля предприятия, т. е. наиболее прибыльного портфеля инвестиционных проектов при ограничениях по выделяемым средствам, норме прибыли и общей рискованности портфеля. Исходные данные (25 инвестиционных проектов) были взяты из практики работы реального предприятия «Химзавод - филиал ОАО «Красмаш» [2]. Формальная постановка задачи приведена в [3]. Для задачи изначально методом полного перебора были получены множество и фронт Парето, а затем уже осуществлялся их поиск бинарным «стайным» алгоритмом с помощью метода динамических штрафов. Нужно отметить, что в зависимости от количества частиц и поколений, а также параметров штрафных функций, были достигнуты различные результаты. Например, для 10 частиц и 2 000 поколений были получены следующие точки (на рисунке кривая получена аппроксимацией фронта Парето, найденного методом полного перебора):

Таким образом, задача формирования оптимального инвестиционного портфеля предприятия была решена успешно и с высокой надежностью.

Библиографические ссылки

1. Kennedy J., Eberhart R. Particle Swarm Optimization // Proc. of IEEE Intern. Conf. on Neural Networks. 1995. IV. P. 1942-1948.

2. Российское предприятие ВПК: выжить и развиваться / С. В. Хайниш и др. М. : Рохос, 2003.

3. Клешков В. М., Семенкин Е. С. Модели и алгоритмы распределения общих ресурсов при управлении инновациями реструктурированного машиностроительного предприятия // Пробл. машиностроения и автоматизации. 2006. № 3. С. 24-31.

Sh. A. Akhmedova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

FORMATION OF OPTIMAL INVESTMENT PORTFOLIO OF THE ENTERPRISE BY USING MULTIOBJECTIVE PARTICLE SWARM OPTIMIZATION ALGORITHM

The investigation of the effectiveness of developed Particle Swarm Optimization algorithm (PSO) for solving constrained and unconstrained multi-criterion problems is dealt with. Obtained by standard and binary PSO solutions were compared between themselves after that the problem of the enterprise optimal investment portfolio design has been solved.

© Ахмедова Ш. А., 2012

*