ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПУТЕМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИСТОРИЧЕСКИХ СВЕДЕНИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 373

Б01: 10.24412/2079-9152-2021-54-104-112

ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПУТЕМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИСТОРИЧЕСКИХ СВЕДЕНИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

Аннотация. В статье сформулированы методические требования к формированию математической культуры обучающихся через использование исторических сведений при изучении математики. Предложены специальные средства для формирования математической культуры учащихся, в число которых входят электронные средства, такие как слайды-визуализации к историческим фактам и мультимедийные игры на историческую тематику. Описаны способы реализации выделенных требований к содержанию обучения математике с помощью предложенных средств. Отмечено, что для большей эффективности в решении проблемы формирования математической культуры учащихся рекомендуется системно подходить к этому вопросу, т.е. не оставить без внимания внеклассную работу. Предложены конкретные формы внеклассной работы, на которых можно целенаправленно формировать математическую культуру у обучаемых через внедрение сведений из истории математики.

Ключевые слова: математическая культура, обучение математике учащихся, исторические факты по математике, исторические сведения при изучении математики, история математики.

Для цитирования: Гончарова И.В. Формирование математической культуры обучающихся путем использование исторических сведений при изучении математики / И.В. Гончарова // Дидактика математики: проблемы и исследования: международный сборник научных работ. - 2021. -

Гончарова Ирина Владимировна,

кандидат педагогических наук, доцент, e-mail: i.goncharova@donnu.ru ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», г. Донецк, ДНР

№ 54. - С. 104-112.

DOI: 10.24412/2079-9152-2021-54-104-112

Постановка проблемы. Современные тенденции обновления содержания образования предусматривают его куль-туросоответствие, гуманизацию, интеграцию и личностную ориентацию. Поэтому эффективным средством обновления содержания математического образования в указанных направлениях по мнению В.Г. Бевз [3] должна стать история математики.

История науки вводит нас в творческую лабораторию ученых, учит видеть в математике не сумму неизменных правил и догм, а результат длинных и настойчивых поисков многих поколений, показывает, что за каждым математическим фактом, за каждой научной теорией скрытые усилия конкретных исследователей. Математические понятия, отношения и теории благодаря исторической динамике становятся ближе и понятнее.

История математики представляет богатый материал о деятельности ученых как ярком свидетельстве величия их труда и наглядном подтверждении большой ценности научного знания. Такая реальная жизнь науки, включенная в содержание учебной дисциплины, создает существенное влияние специальных математических знаний на психологическую структуру личности, а в целом - на формирование математической культуры личности [14].

Проблемы формирования математической культуры обучающегося вызывают большую заинтересованность у современных исследователей. Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Культура - высокий уровень чего-нибудь, степень развития, достигнутая в какой-либо отрасли знания или деятельности. Поэтому «изучение математики совершенствует общую культуру мышления, дисциплинирует ее, приучает человека логически рассуждать, воспитывает у него точность и обстоятельность аргументации» [13].

Математика - это предмет общего образования, ведущей целью которого является интеллектуальное воспитание, развитие мышления подрастающего человека, необходимое для свободной и безболезненной адаптации его к условиям жизни в современном обществе. Однако зачастую учащиеся не проявляют интерес к предмету, выказывают негативное отношение, объясняя это тем, что не понимают математику в целом либо некоторые темы.

Одним из признаков математической культуры, по словам И.В. Бернатовича [5], является овладение понятиями как элементами системы знаний, умение оперировать с логическими элементами, использование рациональных приемов и способов умственной деятельности как компонентов информационной культуры, развитое логическое мышление, которое необходимо воспитывать и совершен-

ствовать, а это возможно только изучая математику.

Перед учителем стоит задача заинтересовать учащихся математикой и повысить их математическую культуру.

Понимание изученного материала, расширение кругозора, развития интереса к предмету, повышение математической культуры, на наш взгляд, можно добиться путем внедрения в процесс обучения исторических фактов.

Следовательно, актуальность данной работы обусловлена: снижением уровня развития математического мышления обучающихся; их незаинтересованностью в изучении математических методов; отсутствием навыков самостоятельной работы по математике; слабым знанием школьного курса математики.

Анализ актуальных исследований. На сегодняшний день вопрос о формировании математической культуры является открытым для изучения. Впервые проблема формирования математической культуры школьников рассматривалась Н.Я. Виленкиным и И.М. Ягломом в 1957 году. Интерес к ее изучению нашел свое отражение в многочисленных исследованиях ученых, в частности в работах В.Г. Бевз [2], Л.В. Ворониной [6], В.А. Гусева [10], Дж. Икрамова [12], В.А. Насыпаной [15], Н.С.Черняковой [18] и др.

Большинство исследователей рассматривают математическую культуру школьников как личностное образование. Математическая культура в определениях ученых неразрывно связана с математическими знаниями, умениями и навыками, а также, что особенно важно, с практической деятельностью школьников, с умением переносить полученные математические знания в различные жизненные повседневные ситуации, с творческой и исследовательской деятельностью.

С целью формирования математической культуры В.А. Насыпаная предлагает предметное содержание курса математики выстраивать согласно уровням ма-

<Ш5)

тематической культуры, а учителей математики научить использовать его в процессе обучения школьников с тем, чтобы выпускники школ успешно продолжили обучение в вузах и заняли достойное место после его окончания в экономике России [15]. Одним из средств формирования математической культуры школьников В.А. Насыпаная считает теоремы с доказательствами, работа с которыми предполагает выполнение логико-математического анализа.

Использование исторических сведений при изучении математики предлагали многие педагоги-математики: В.Г. Бевз, ЕВ. Безенкова, Б.В. Болгарский, Н.Я. Виленкин, Г.И. Глейзер, Б.В. Гнеденко и др.

Эффективным способом повышения математической культуры В.Г. Бевз считает дополнение содержания обучения математических дисциплин историческим материалом. По ее словам история науки вводит нас в творческую лабораторию ученых, учит видеть в математике не сумму неизменных правил и догм, а результат долгих и упорных поисков многих поколений, показывает, что за каждым математическим фактом, за каждой научной теорией скрытые усилия конкретных исследователей. История математики представляет богатый материал о деятельности ученых, как яркое свидетельство величия их труда и наглядный показатель большой ценности научного знания [2].

Использованию элементов истории математики в курсе средней школы в частности посвящены работы Е.В. Безен-ковой [4], С.Н. Дорофеева [11], О.К. Пе-репелкиной [16], Д.В. Смоляковой [17].

Вопрос внедрения исторических сведений в обучение математики остается открытым для современных теоретиков и практиков и является объектом пристального внимания. В работах многих исследователей подчеркивается необходимость рассмотрения происхождения математических идей, предлагаются разнообразные варианты решения отдельных аспек-

тов решения данной проблемы, как на уроках математики, так и во внеклассной работе.

Цель статьи - описание методики формирования математической культуры обучающихся через использование исторических сведений при изучении математики.

Изложение основного материала. Несмотря на широкую распространённость понятия «математическая культура», оно не имеет однозначной трактовки. Достаточно развернутое определение приводит Л.В. Воронина: математическая культура личности - личностное интегра-тивное качество, представляющее собой результат взаимодействия ценностно-оценочного, когнитивного, рефлексивно-оценочного и действенно-практического компонентов, которые характеризуются сформированным ценностным отношением к получаемым математическим знаниям (ценностно-оценочный компонент), высоким уровнем овладения математическими знаниями и умениями (когнитивный компонент), умением использовать полученные математические знания и умения в практической деятельности (действенно-практический компонент) и развитой способностью к рефлексии процесса и результата математической деятельности (рефлексивно-оценочный компонент) [6]. Под формированием математической культуры тот же автор понимает систематический и целенаправленный процесс присвоения личностью математической культуры, необходимой ему для успешной социальной адаптации к процессам информатизации и логизации общества [6].

Нами видится решение проблемы формирования математической культуры обучающихся через использования исторических аспектов во всех формах организации учебного процесса по математике: на уроках, факультативах, формах внеклассной работы. Результат будет лишь в том случае, если этим заниматься целенаправленно, систематически и в комплексе.

Формированию математической культуры, а так же развитию у обучающихся прочного и устойчивого интереса к предмету, более глубокому и сознательному усвоению математики, способствует систематическое использование в школьном курсе математики элементов истории науки.

Использование исторических сведений в обучении математике способствует достижению основных целей школьного математического образования, в частности: развитие устойчивого интереса к математике и ее приложениям; воспитание культуры математического мышления; формирование представления об основных периодах развития математической науки как части общечеловеческой культуры; формированию научного мировоззрения.

Среди целей введения элементов истории в обучение математике и средств, которыми она обладает для формирования общей культуры, выделяют следующие.

Во-первых, история развивает научное мировоззрение. Показав учащимся, как возникали и разрешались кризисные ситуации в науке, осознавалась их значимость в будущем, как менялась буквенная символика и терминология, мы доказываем, что математические понятия, факты и методы развиваются и изменяются под воздействием и влиянием общества. Сведения о научных поисках, открытиях помогают увидеть по-новому то, что кажется привычным и обыденным. Исторический материал должен демонстрировать учащимся, каким может быть трудным и длительным путь ученого к истине, которая сегодня формулируется в виде короткого утверждения.

Во-вторых, использование исторических сведений является одним из критериев интересности содержания учебного материала, служит для развития познавательного интереса учащихся к математике.

В-третьих, элементы истории служат средством нравственного воспитания учащихся, воспитания чувства гордости за достижения отечественной математики. Богатое гуманитарное и культурное содержание поддерживается материалами о жизни и деятельности известных ученых, внесших вклад в сокровищницу научных знаний, о том времени и общественных законах, в котором они жили. Эстетика поддерживается красотой решения задач и строгими логическими рассуждениями при доказательстве теорем. История науки обладает множеством впечатляющих фактов о благородных социальных и гражданских мотивах деятельности ученых. Пренебрежение этим материалом или умалчивание о нем обедняет познавательный и нравственный опыт учащихся. Лишенные конкретных доказательств о единстве науки и нравственности школьники могут считать, что существует чистая наука, далекая от реальной жизни, несвязанная с судьбами людей и общества.

В работе мы опираемся на такие требования к содержанию учебного материала:

1) оно должно соответствовать существующей программе;

2) содержание должно быть внешне привлекательным, любопытным, захватывающим;

3) осуществляя отбор содержания учебного материала исторического характера, необходимо учитывать принцип развивающей функции обучения, который требует реализации деятельностного подхода и способствует интенсификации учебного процесса.

С целью дополнить традиционное содержание курса математики 5-11 классов историческими сведениями под нашим руководством в рамках курсовых и дипломных проектов, индивидуальных заданий по дисциплинам «История математики и «История математики и информатики» [9] студентами Донецкого национального университета осуществляется

<шт)

подбор исторических фактов ко всем темам курса математики. В частности такие проекты реализованы по математике 5 класса [1] и геометрии 7-9 классов [7].

Для формирования математической культуры обучающихся при изучении математики нами разработаны специальные средства:

- исторические факты к вводным урокам математики 5-11 классов;

- высказывания известных ученых к урокам математики;

- слайды-визуализации к историческим фактам;

- мультимедийные игры на историческую тематику;

- исторические задачи к темам курса математики 5-11 классов.

Далее покажем, как с помощью указанных средств в нашем исследовании реализуются требования к содержанию обучения математике.

В табл. 1 показана реализация первого требования на фрагменте календарного планирования по математике для 5 класса на примере одной темы.

Таблица 1 - Календарное планирование по теме «Сложение и вычитание обыкновенных дробей»

№ Тема урока К. ч. № исторического факта № исторической задачи

1 Вводный урок 1 61

2-4 Сложение дробей 3 62 12-13

5-6 Законы сложения 2

7-9 Вычитание дробей 3 63 14

10 Решение задач. Подготовка к к.р. 1

11 Тематическая к.р. 1

12 Анализ к.р. 1

13 Итоговый урок 1

Например.

Исторический факт 3. Нуль изобрели индийцы и дали ему название «суниа», что в переводе на русский язык означает «пустое». Арабы, перевели это слово на свой язык словом «ас-сифр» (ничто). Очень долго цифрой называли только «0». Даже в русской арифметике Магницкого (1703) цифрой называется только «0». Позднее «ничто» называли по латыни «нуль», а цифрами стали называть все десять знаков.

Исторический факт 27. Многие названия геометрических фигур показывают, что геометрия возникла для решения практических задач и с самого начала была тесно связана с человеческим трудом. Например, термин «линия» происходит от латинского ¡¡пит, что означает «лён», «льняная верёвка». Слово «параллельный» происходит от греческого «па-

раллелос» - идти рядом. Слово «перпендикуляр» происходит от латинского «пендула» - маятник, отвес.

Для реализации второго требования под нашим руководством разработаны мультимедийные слайды-визуализации к историческим фактам в программе MS Power Point (рис. 1).

Мы убеждены, что в распоряжении учителя математики, особенно начинающего, должен быть исторический материал по изучаемым темам школьного курса математики, которым он сможет распорядиться по собственному усмотрению, в соответствии со своим опытом, вкусом, а также уровнем развития обучаемых и профилем класса.

Разработанные дидактические материалы апробированы студентами во время прохождения педагогических практик в школах Донецкой Народной Республики.

Для реализации третьего требования мы предлагаем использовать мультимедийные игры по истории математики [8]. Такие электронные игры с большим интересом разрабатываю наши студенты в

программе MS Power Point, в частности на рис. 2 показан слайд мультимедийной исторической игры-викторины «Поле чудес» с заданием первого отборочного тура.

Шипа £. ч^ж ш%шнш а д елени е на т д р сишшх чи сел

№ 1

2

Тема урока

Понятие

Факт

Вводный урок

^lar.16 jpa.tm.17 jPtLiin-rS

Умножение, законы умножения

Произведение. Множитель. Переместительпый закон умножения.

&а!гт-19 TPa.lun.20 &акт.21

Распределительны

Распределительный закон.

и закон

Сложение и вычитание чисел столбиком

Умножение чисел столбиком

Степень с

натуральным

показателем

Степень. Основание степени. Показатель степени. Натуральный показатель степени.

^a.hn.25

Деление нацело

/(<'■ и цое. /(■".'.unit-'г. Частное.

Тематическая к.р

9

10

Анализ т.к.р.

Итоговый урок

©

Рисунок 1 - Слайд презентации с календарным планированием, с которого можно перейти к соответствующим историческим фактам

1 вопрос

Этот человек - известный математик и физик. Все знают его известную фразу «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая, сделать его немного занимательным». Кто этотученый?

1 отборочный тур

Его именем назван один из наиболее известных

ЯЗЫКОВ n par pjM r.ui роаания.

ПОДСКАЗКА

Рисунок 3 - Задание первого отборочного тура исторической игры-викторины

Лучшие педагоги прошлого подчеркивают, что при планомерном введении

элементов истории математики как составной части программного материала

повышается общий культурный уровень учащихся, при этом, не требуя дополнительного учебного времени.

Опытный учитель никогда не начнет изложение новой темы, не говоря уже о новом разделе математики, без надлежащей вводной части, возбуждающей интерес и внимание учащихся.

Формирование положительной мотивации при изучении математики - это

Таблица 2 - Фрагменты таблицы с математики 5 класса

залог успеха в его познании. Одним из элементов мотивации является использование эпиграфов и афоризмов на уроках. Это помогает активизировать продуктивную мыслительную деятельность. Для этого были подобраны высказывания известных ученых ко всем урокам математики 5 класса. Для примера приведем некоторые из них (см. табл. 2).

называниями известных ученых к урокам

№ п/п № урока по к. пл. Высказывание Автор цитаты

1. 2.2. Математика - это язык, на котором говорят все точные науки Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)-российский математик

2. 2.4 Математика существует не для того, чтобы навязывать кому-либо тяжелую работу. Наоборот, она существует только для удовольствия. Для удовольствия тех, кто любит анализировать то, что он делает, или может сделать, или то, что уже сделал в надежде сделать это еще лучше Роберт Брингхёрст (1946) -канадский поэт, типограф, литератор

3. 5.3 В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии Николай Егорович Жуковский (1847-1921) - русский механик

Примечание: в столбце с номером урока по ка темы, вторая - номер урока по теме.

Не стоит забывать и об исторических задачах. Они могут стать источником создания проблемных ситуаций. Чем больше будет ученик решать такие задачи, тем богаче у него появится возможности для творчества, развития глубокого и устойчивого интереса к предмету.

В ходе формирования математической культуры учащихся очень важно решать задачи. Решение разнообразных старинных задач не только обогащает опыт мыслительной деятельности, но и позволяет осваивать важный культурно-исторический пласт истории человечества, связанный с поиском решения задач. Как можно заметить по табл. 1 отбор таких задач для учащихся 5 класса был осуществлен, номера подходящих исторических задач указаны в календарном планировании.

юму планированию первая цифра указывает номер

Из работы Е.В. Безенковой [4] выделим следующие формы использования исторического материала: историческая справка; исторический экскурс; историческая задача. Среди форм проведения выделим: создание соответствующей проблемной ситуации; короткое сообщение ученика; беседа или рассказ учителя.

Знакомство учеников с развитием математики означает продуманное, планомерное ознакомление на уроках с наиболее важными событиями из истории науки в органической связи с систематическим изучением программного материала.

Конечно, хорошо бы системно подойти к формированию математической культуры учащихся. Для этого нельзя не оставить без внимания внеклассную работу. Она является неотъемлемой частью

учебно-воспитательной работы в школе, имеет большое воспитательное значение, ибо цель ее не только в том, чтобы осветить какой-либо узкий вопрос, но и в том, чтобы заинтересовать учащихся предметом.

Хорошо бы спланировать на весь учебный год внеклассную работу с внедрением исторических материалов, это могут быть такие, например, формы реализации: математический кружок для учащихся 5-6 классов; олимпиада по истории математики; исторические викторины; школьные газеты по истории математики; математические вечера на историческую тематику; внеклассное чтение по истории математики; факультатив по истории математики для учащихся 10-11 классов.

Выводы. Таким образом, учет вышеперечисленных методических требований к формированию математической культуры обучающихся при изучении математики будет способствовать, на наш взгляд, качественному усвоению математических знаний. Описанное дидактическое обеспечение может быть использовано в качестве средства для формирования у школьников математической культуры при обучении математике, как на уроках, так и во внеклассной работе.

1. Аркатова О.М. О формировании математической культуры учащихся 5 классов при изучении математики / О.М. Аркатова // Эвристика и дидактика математики: X Международная научно-методическая дистанционная конференция-конкурс молодых ученых, аспирантов и студентов. - Донецк : Изд-во ДонНУ, 2021. - С. 1-3.

2. Бевз В.Г. Використання ¡сторично-го матерiалу у навчанны предметiв мате-матичного циклу / В.Г. Бевз // Дидактика математики : проблемы и исследования : Междунар. сб. научных работ. - 2007. -Вып. 28. - С.43-47.

3. Бевз В.Г. Реал1зац1я акаолог1чного тдходу у навчант майбуттх учител1в математики / В.Г. Бевз /// Дидактика математики: проблемы и исследования : Меж-дунар. сб. научных работ. - 2013. - Вып.

39. - С. 7-Ю.

4. Безенкова Е.В. Использование исторического компонента на уроках математики / Е.В. Безенкова // Санкт-Петербургский образовательный вестник, 2017. -С. 32-35.

5. Бернатович И.В. Математическая культура : [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://aneks.spb.ru/metodicheskie-razrabotki-i-posobiia-po-matematike/matema-ticheskaia-kultura.html. - Заглавие с экрана.

- Дата обращения 04.09.2021.

6. Воронина Л.В. Математическая культура личности / Л.В.Воронина, Л.В.Моисеева //Педагогическое образование в России. - 2012

- №3 - С. 37-44.

7. Гончарова И.В. Активизация познавательной деятельности учащихся основной школы с помощью исторических фактов по математике / И.В.Гончарова // Дидактика математики: проблемы и исследования : Междунар. сб. научных работ. -2020. - Вып. 51. - С. 70-76.

8. Гончарова И.В. Мультимедийные дидактические игры как средство формирования познавательной активности студентов / И.В. Гончарова // Актуализация практической подготовки студентов в условиях внедрения государственных образовательных стандартов 3++: материалы республик. научно-практ. конф. (Донецк, ДонНУ, 17 декабря). - Донецк: ДонНУ, 2020. - С. 29-32.

9. Гончарова И.В. Психолого-педагогические предпосылки формирования познавательной активности студентов при изучении истории математики / И.В. Гончарова // Донецкие чтения 2018: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности: Материалы III Междунар. научной конф. (Донецк, 25 октября 2018 г.).

- Т. 6: Педагогические науки / под общей ред. проф. С.В. Беспаловой. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2018. - С. 217-220.

10.Гусев В.А. Теория и методика обучения математике: психолого-педагогические основы / В.А. Гусев. - 3-е изд. -Москва : Изд-во «Лаборатория знаний», 2017. - 458 с.

11.Дорофеев С.Н. Подготовка будущих бакалавров педагогического образования к проектированию уроков геометрии с использованием историко-научного потенциала / С.Н. Дорофеев, О.Н. Журавлева, Е.Н. Есетов // Дидактика математики: проблемы и исследования : Междунар. сб. научных работ. -

©

2020. - Вып. 52. - С.50-56.

12. Икрамов Дж. Теория и практика развития математической культуры школьников / Дж. Икрамов. - Ташкент : Укитувчи, 1983. -123 с.

13.Костоло Л.И. Формирование математической культуры школьника / Л.И. Костоло // Успехи современного естествознания..- 2008. - №2 - С.41-43.

14.Мациевский С.В. Математическая культура. Игры: учебное пособие.- Калининград : Изд-во КГУ, 2003.- 120 с.

15.Насыпаная В.А. Современное состояние формирования математической культуры и пути её совершенствования / В.А. Насыпаная // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Психолого-педагогические науки. -2017. - Т. 11, № 1. - С. 78-83.

16.Перепелкина О.К. Теория и методика обучения математике в 5 классе средней школы на историческом компоненте /

О.К. Перепелкина // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. - Чебоксары, 2018. - №4 (100). - С. 239-246.

17. Смолякова Д. В. Теория и методика обучения математике : конструирование учебных заданий с элементами истории математики : учебно-методическое пособие / ФГБОУ ВПО «Томский государственный педагогический университет»; Д.В. Смолякова. - Томск: Изд-во ТГПУ, 2012. - 50 с.

18.Чернякова Н.С. Формирование математической культуры младших школьников в рамках компетентностной модели образования / Н.С. Чернякова // Вестник Государственного образовательного учреждения дополнительного профессионального образования Тульской области «Институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования Тульской области». - 2016. -№ 1. - С. 107-111.

FORMATION OF THE MATHEMATICAL CULTURE OF PUPILS THROUGH THE USE OF HISTORICAL INFORMATION IN THE STUDY OF MATHEMATICS

Goncharova Irina,

Сandidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor Donetsk National University, Donetsk

Abstract. The article formulates methodological requirements for the formation of the mathematical culture of pupils through the use of historical information in the study of mathematics. Special means of education are proposed for the formation of the mathematical culture of pupils, which include electronic means, such as visualization slides to historical facts and multimedia games on historical topics. Methods for implementing the selected requirements for the content of teaching mathematics using the proposed means are described. It is noted that for greater efficiency in solving the problem of the formation of students' mathematical culture, it is recommended to take a systematic approach to this issue, i.e. do not disregard extracurricular activities. Specific forms of extracurricular work are proposed, on which it is possible to purposefully form mathematical culture among students through information from the history of mathematics.

Keywords: mathematical culture, teaching mathematics to pupils, historical facts оп mathematics, historical information in the study of mathematics, history of mathematics.

For citation: Goncharova I. (2021). Formation of the mathematical culture of pupils through the use of historical information in the study of mathematics. Didactics of Mathematics: Problems and Investigations. No. 54, pp. 104-112. (In Russ., abstract in Eng.)

DOI: 10.24412/2079-9152-2021-54-104-112

Статья представлена профессором Е.И. Скафой.

Поступила в редакцию 15.06.2021 г.