CC BY
35Формирование математической креативности старшеклассников на базе многоуровневой системы нестандартных математических задач
Ростовцев Андрей Сергеевич
аспирант кафедры теории и методики обучения математике и информатике Института математики и информатики, МПГУ, as.rostovtsev@mail.ru
В статье рассмотрены вопросы формирования и развития математической креативности старшеклассников на базе использования в образовательном процессе многоуровневой системы нестандартных математических задач. Проанализированы различные подходы к определению креативности. Уточнено понятие математической креативности обучающихся 10-11 классов общеобразовательных организаций. Проблема формирования креативной личности освещена с точки зрения нормативно-правовых документов, отвечающих за развитие образования в Российской Федерации. Приведено содержание дополнительной общеобразовательной общеразвивающей программы «Специальные числа». Приведен пример контрольной работы из тематического модуля «Числа Эйлера» дополнительной общеобразовательной общеразвивающей программы «Специальные числа». Рассмотрены критерии оценивания результатов обучения по дополнительной общеобразовательной обще-развивающей программе «Специальные числа». Раскрыта роль многоуровневой системы нестандартных математических задач в формировании и развитии математической креативности учащихся 10-11 классов.
Ключевые слова: образование, развитие, креативность, математическая креативность, специальные числа.
В современных реалиях динамично развивающегося мира ключевой задачей образования является создание личности, которая обладает способностями, позволяющими поступать необычным, нестандартным способом. Выполнение работы при помощи творческого подхода, возможность оперативно осуществлять ориентацию в постоянно меняющихся условиях представляют собой базовые требования к обучающимся, в том числе (и прежде всего) к старшеклассникам. Важно формировать такие условия обучения, при которых будет происходить формирование и развитие творческого, креативного мышления, старшеклассники будут получать навыки приобретения и реформирования знаний, способности к осуществлению учебно-исследовательской и проектной деятельности в различных областях и сферах.
Огромным потенциалом для развития творческих способностей обучающихся и формирования креативности мышления обладает математика. Большинство креативных качеств можно сформировать именно в ходе творческой деятельности, направленной на решение математических задач. На основе анализа философской, психолого-педагогической, научно-методической литературы, посвященной феномену креативности, нами была выделена и исследована одна из разновидностей креативности - креативность, проявленная в математике (математическая креативность). Под математической креативностью мы понимаем креативность в математике, в частности, креативность, проявленную при решении математических задач. Более конкретно, под математической креативностью школьников мы понимаем способность и готовность воспринимать новые математические идеи и методы, порождать новые, оригинальные, полезные (при этом верные и точные) решения той или иной задачи, соединяя или применяя по-новому, в том числе в другой области, существующие модели и алгоритмы решения математических задач [1].
Консервативная система обучения не способствует результативному формированию математической креативности старшеклассников, развитию интеллектуальных способностей, созданию необходимых качеств личности. Чтобы старшеклассник соответствовал требованиям федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования, необходимо подходить к обучению, применяя системное и наглядное освоение сущности сложных математических абстракций на базе интеграции определенных разновидностей творческой креативной деятельности.
Анализ нормативно-правовых документов Российской Федерации - Федерального закона № 273
о о и и т 2 т
О т э т й А
X £ т О
х О т
0
01 и А ы О и А X X т
0
сч
в)
01 г
«Об образовании в Российской Федерации» [2], федеральных государственных образовательных стандартов различных уровней образования [3], [4], [5], Национальной доктрины образования в Российской Федерации [6] - позволяет с уверенностью утверждать, что в современном обществе мобильность, универсальность, конкурентоспособность, гибкость выступают флагманскими факторами успеха человека. Креативность, в том числе математическая - одно из важнейших качеств, обеспечивающих индивиду готовность отказываться от стереотипов, возможность адаптироваться к быстро меняющемуся миру и условиям жизни. Так, в Распоряжении Правительства Российской Федерации от 8 декабря 2011 г. № 2227-р «О стратегии инновационного развития Российской Федерации на период до 2020 г.» (с изменениями и дополнениями) указано то, что государству необходимы творчески активные и креативные личности, способные и готовые к разумному риску, умеющие работать самостоятельно, готовые работать в команде и в высококонкурентной среде [7]. Отмечается, что одной из основных задач инновационного развития является создание условий для формирования у граждан таких компетенций инновационной деятельности, как «... способность и готовность к разумному риску, креативность и предприимчивость, умение работать самостоятельно, готовность к работе в команде и в высококонкурентной среде.». Подчеркивается, что «.в целях обеспечения раннего раскрытия способностей детей к творчеству, развития навыков по критическому восприятию информации, способности к нестандартным решениям, креативности, изобретательности, способности работать в команде и их подготовки к школьному обучению будет расширена государственная поддержка дошкольного образования, включая развитие автономных, частных, корпоративных, общественных и семейных детских садов, а также услуг дополнительного образования...» [7], «...важной задачей системы образования станет ориентация образовательных программ на обучение навыкам, необходимым для инновационной деятельности, включая аналитическое и критическое мышление, стремление к новому, способность к постоянному самообучению...» [7], «...будет поощряться развитие креативности и приобщение к творчеству в любой сфере деятельности...» [7].
Обобщая исследования авторов [8], [9], [10], можно утверждать, что для формирования математической креативности необходимо выявлять и развивать у школьников такие креативные качества, как беглость мышления (возможность продуцировать большое число идей); гибкость мышления (возможность использовать различные стратегии при решении определенных проблем); оригинальность мышления (возможность формулировать нестандартные, оригинальные идеи); интуиция (бессознательные компоненты различных творческих процессов), возможность формулировать гипотезы, прогнозировать конкретные результаты; способность к определению
неожиданных взаимосвязей между процессами и объектами и др..
Для формирования и развития математической креативности старшеклассников нами были составлены многоуровневые системы задач, реализованные в рамках дополнительной общеобразовательной общеразвивающей программы «Специальные числа», с возможностью деления на самостоятельные тематические модули (табл. 1). В основу программы легли фундаментальные исследования Деза Е.И. [11], [12].
Таблица 1
Содержание программы_
Предварительные сведения. Комбинаторные конфигурации. Метод включений и исключений._
Основные комбинаторные тождества.
Асимптотические формулы.
Треугольник Паскаля. История вопроса.
Определение треугольника Паскаля.
Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты_
Явная формула для элементов треугольника Паскаля_
Производящая функция последовательности элементов треугольника Паскаля_
Теоретико-числовые свойства треугольника Паскаля Треугольник Паскаля и другие специальные числа
Числа Стирлинга. История вопроса
Свойства, связывающие числа Стирлинга первого и второго рода
Теоретико-числовые свойства чисел Стирлинга
Числа Белла. История вопроса
Определение чисел Белла
Комбинаторные задачи, связанные с числами Белла Явная формула для чисел Белла
Бином Ньютона и полиномиальная теорема.
Рекуррентные соотношения.
Производящие функции.
Простейшие свойства треугольника Паскаля
Числа Стирлинга второго рода
Числа Стирлинга первого рода
Числа Стирлинга и другие специальные числа
Производящая функция последовательности чисел Белла
Простейшие свойства чисел Белла
Теоретико-числовые свойства чисел Белла
Числа Белла и другие специальные числа
Числа Каталана. История вопроса
Определение чисел Каталана
Комбинаторные задачи, приводящие к числам Каталана
Явная формула для чисел Каталана
Производящая функция последовательности чисел Каталана Простейшие свойства чисел Каталана
Теоретико-числовые свойства чисел Каталана
Числа Каталана и другие специальные числа
Числа Бернулли. История вопроса
Суммы к-ых степеней и определение чисел Бернулли_
Формула Бернулли: выражение суммы к-ых степеней с помощью чисел Бернулли
Явная формула для чисел Бернулли
Производящая функция последовательности чисел Бернулли Простейшие свойства чисел Бернулли
Теоретико-числовые свойства чисел Бернулли
Аналитические свойства чисел Бернулли
Числа Бернулли и другие специальные числа
Числа Эйлера. История вопроса
Определение чисел Эйлера
Комбинаторные задачи, приводящие к числам Эйлера
Производящая функция последовательности чисел Эйлера Свойства чисел Эйлера_
Числа Эйлера и другие специальные числа
Другие специальные комбинаторные числа. Числа Далан-ноя. Числа Шредера
Числа Моцкина. Числа Ла
Числа Нараяны. Числа Ганоччи
На основе данной программы и с учетом структуры математической креативности (системы креативных качеств), нами были разработаны контрольные работы, которые направлены на проверку эффективности предлагаемой модели формирования и развития математической креативности старшеклассников при обучении элементам теории специальных чисел [1], [13]. Рассмотрим конкретный пример.
Пример контрольной работы из модуля «Числа Эйлера».
Задача 1. Как ведут себя числа Эйлера при отрицательных показателях индексов?
Задача 2. Докажите, что при разложении в ряд
функции f (x, y, t) = —log-^-коэффициент
xyt
x-y
при хп~1ук~1(-ь)п+к~1(п +к)\ соответствует числу Эйлера первого рода E (п^).
Задача 3. Проверьте и докажите, что числа Эйлера и числа Бернулли связаны соотношением, которое можно записать в символьной форме:
„ _ (4В-1)2п+1 Ап 2п+1
Задача 4. Используя то, что все частичные суммы ряда F(2k+1) положительны, проверьте и докажите, что последовательность чисел Эйлера с четными индексами являются знакопеременной.
Задача 5. Определите, что числа Бернулли и числа Эйлера связаны «символьным» соотношением Вп„ — —1—^-.
4п(4п—1)
Задача 6. Применяя результаты предыдущей задачи, убедитесь, что тангенциальные числа являются целыми числами.
На основании исследования предложенных задач, которые связаны с числами Эйлера, можно утверждать, что при их использовании в учебном процессе осуществляется возможность решать математические задачи несколькими способами, предлагать собственные варианты подхода к проблематике, придумывать собственные вопросы о сути изучаемых объектов, находить скрытые связи и зависимости. Это способствует повышению уровня сформированности математической креативности обучающихся и помогает осуществлять его диагностику при использовании данных задач на основании трех базовых компонентов математической креативности - оригинальности, беглости и гибкости.
Для проверки уровня сформированности математической креативности старшеклассников в рамках изучения курса «Специальные числа» мы используем как предложенные выше комплекты контрольных заданий, так и специально составленные блоки многоуровневых нестандартных математических задач. Результаты их решения оцениваются по трем основным факторам креативного мышления: математическая беглость, математическая гибкость, математическая оригинальность. Именно, за математическую беглость обучающемуся выставляется 1 балл за каждое правильное решение в единицу времени; за математическую гибкость обучающемуся выставляется 2 балла за способность переключаться с одной идеи
решения задачи на другую; за математическую оригинальность обучающемуся выставляется 3 балла за каждую предложенную идею решения задачи, отличающуюся от общепринятой, стандартной.
За выполненную работу обучающимся начисляются баллы креативности. Для упрощения ранжирования уровней развитости математической креативности мы предлагаем следующую вспомогательную таблицу критериев (табл. 2).
Таблица 2
Критерии оценивания результатов обучения по программе «(Специальные числа»_
Продвинутый (повышенный) уровень
Критерий 1. Знает и понимает термины, определения, основные закономерности, может самостоятельно их интерпретировать и использовать; дает полный развернутый ответ.
Критерий 1. Знает и понимает термины, определения, основные закономерности, может самостоятельно их интерпретировать и использовать; дает достаточно полный ответ, в котором не отражены некоторые аспекты.
Критерий 2. Самостоятельно анализирует теоретический материал, умеет применять теоретическую базу при выполнении практических заданий; выполняет задания повышенной сложности, предлагает собственный метод решения, грамотно обосновывает его ход; самостоятельно анализирует решение и делает выводы.
Критерий 3. Владеет методикой решения стандартных задач и заданий, использует полученные навыки при решении нестандартных задач._
Базовый уровень
Пороговый уровень
Критерий 1. Знает термины и определения, но допускает неточности; знает основные закономерно-сти,способен их интерпретировать, но не способен использовать; дает часть ответа на вопрос.
Критерий 2. Правильно применяет полученные знания при анализе теоретического материала, при выполнении заданий, при обосновании решения; умеет выполнять типовые практические задания, предусмотренные программой; допускает отдельные ошибки при выполнении заданий, не нарушающие логику решения; делает основные выводы по результатам решения.
Критерий 3. Владеет методикой решения стандартных задач и заданий, решение нестандартных задач вызывает затруднения.
Недостижение порогового уровня
Критерий 1. Не знает термины и определения, основные закономерности, не способен их интерпретировать и использовать; не дает ответа на вопрос.
Критерий 2. Умеет выполнять практические задания, но не всех типов; способен решать задачи по заданному алгоритму; испытывает затруднения при анализе теоретического материала, в применении теории при решении задач и обосновании решения; допускает ошибки при выполнении заданий, нарушение логики решения; испытывает затруднения с выводами.
Критерий 3. Владеет методикой решения стандартных задач по заданному алгоритму, испытывает трудности при выполнении стандартных задач.
Критерий 2. Не умеет выполнять поставленные практические задания, выбирать типовый алгоритм решения; не может установить взаимосвязь теории с практикой, не способен ответить на простые вопросы по выполнению заданий, не может проанализировать теоретический материал и обосновать выбор метода решения задач; не делает выводы.
Критерий 3. Не обладает навыками выполнения поставленных задач.
Результаты проведенного эксперимента в ГБОУ г. Москвы «Школа № 281» и МАОУ СОШ № 3 МГО Свердловской области позволили нам утверждать о том, что применение дополнительной общеобразовательной общеразвивающей программы «Специальные числа» в образовательном процессе формирует и развивает математическую креативность старшеклассников.
Для выявления уровня сформированности математической креативности школьникам предлагалось пройти специальным образом составленный нами тест. В тест входят задания двух типов -числовые ряды и математические задачи. Первый тип заданий предполагает отыскание числовых закономерностей и выбор нужного числа, расположенного в определенном месте ряда. Второй тип заданий - текстовые задачи, не требующие сложных вычислений. Прохождение теста занимает примерно 40 минут. Данный тест и сейчас доступен для всех по ОР-коду (Рис. 1).
0
сч
в)
01 Z
Рисунок 1. Ссылка «Тест на определение уровня сформированности математической креативности и оценки математических способностей»
Одновременно с этим были проведены контрольные работы, аналогичные примеру, указанному выше. Так же были организованы итоговые собеседования. Анализ полученных результатов позволяет нам утверждать о стабильном формировании и развитии у школьников как общей креативности, так и математической креативности.
Литература
1. Деза Е.И., Ростовцев А.С. Модель формирования и развития математической креативности старшеклассников при обучении элементам теории специальных чисел // Modern Humanities Success / Успехи гуманитарных наук. - № 4. - 2019. с. 144-149.
2. Федеральный закон от 29 декабря 2012 г. Ыо273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации». [Электронный ресурс]. URL: http://www.consultant.ru
3. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 17 декабря 2010 г. № 1897). [Электронный ресурс]. URL: http://www.consultant.ru
4. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки
РФ от 6 октября 2009 г. № 373). [Электронный ресурс]. URL: http://www.consultant.ru
5. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 17 мая 2012 г. № 413). [Электронный ресурс]. URL: http://www.consultant.ru
6. Национальная доктрина образования в Российской Федерации до 2025 года» от 04 октября 2000 года № 751 [Электронный ресурс] // URL: http://www.rg.ru/2000/10/11/doktrina-dok.html
7. Распоряжение Правительства РФ от 8 декабря 2011 г. № 2227-р «О стратегии инновационного развития Российской Федерации на период до 2020 г.» [Электронный ресурс]. URL: https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/7000612 4/
8. Guilford G.P. Aptitude for creative thinking: one or tapy? // Ibil., 1976. Vol.10. №3. P. 165-169.
9. Guilford G.P. Creative Talents: Their nature, uses and development. Buffalo, N.Y. BearlyLimited, 1986.
10.Ervynck G. Mathematical creativity // Advanced mathematical thinking. Dordrecht, Netherlands :Kluwer, 1991. Р. 42-53.
11.Деза Е. И. Специальные комбинаторные числа. От чисел Стирлинга до чисел Моцкина: все о двенадцати известных числовых множествах комбинаторной природы (история, классические свойства, примеры и задачи). - М.: ЛЕНАНД, 2018.
12. Деза Е. И. Специальные числа натурального ряда. М.: 2-е изд. М.: Ленанд/USSR, 2017.
13. Ростовцев А.С. Обучение специальным числам как средство формирования математической креативности старшеклассников // Современное педагогическое образование. - № 3. - 2018. с. 37-39.
The formation of mathematical creativity of high school students on the basis of a multi-level system of nonstandard mathematical problems Rostovtsev A.S.
MSPU
The article considers the issues of formation and development of mathematical creativity of high school students based on the use of a multi-level system of non-standard mathematical problems in the educational process. Various approaches to the definition of creativity are analyzed. The concept of mathematical creativity of students in grades 10th and 11th of educational institutions has been clarified. The problem of the formation of a creative personality is highlighted from the point of view of regulatory documents responsible for the development of education in the Russian Federation. The content of the additional general educational general developmental program «Special Numbers» is given. An example of test work from the thematic module «Euler's Numbers» of the additional general educational general developmental program "Special Numbers" is given. Criteria for assessing learning outcomes under the additional general educational developmental program «Special Numbers» are considered. The role of a multi-level system of non-standard mathematical problems in the formation and development of mathematical creativity of students in grades 10th and 11th is disclosed.
Keywords: education, development, creativity, mathematical creativity, special numbers.
References
1. Deza E.I., Rostovtsev A.S. Model' formirovaniya i razvitiya matematicheskoj kreativnosti starsheklassnikov pri obuchenii elementam teorii special'nyh chisel //
ModernHumanitiesSuccess / Uspekhi gumanitarnyh nauk. - № 4. - 2019. s. 144-149.
2. Federal'nyj zakon ot 29 dekabrya 2012 g. No273-FZ «Ob obrazovanii v Rossijskoj Federacii». [Elektronnyj resurs]. URL: http://www.consu ltant.ru
3. Federal'nyj gosudarstvennyj obrazovatel'nyj standart osnovnogo obshchego obrazovaniya (utv. prikazom Ministerstva obrazovaniya i nauki RF ot 17 dekabrya 2010 g. № 1897). [Elektronnyj resurs]. URL: http://www.consultant.ru
4. Federal'nyj gosudarstvennyj obrazovatel'nyj standart nachal'nogo obshchego obrazovaniya (utv. prikazom Ministerstva obrazovaniya i nauki RF ot 6 oktyabrya 2009 g. № 373). [Elektronnyj resurs]. URL: http://www.consultant.ru
5. Federal'nyj gosudarstvennyj obrazovatel'nyj standart srednego obshchego obrazovaniya (utv. prikazom Ministerstva obrazovaniya i nauki RF ot 17 maya 2012 g. № 413). [Elektronnyj resurs]. URL: http://www.consultant.ru
6. Nacional'naya doktrina obrazovaniya v Rossijskoj Federacii do 2025 goda» ot 04 oktyabrya 2000 goda № 751 [Elektronnyj resurs] // URL: http://www.rg.ru/2000/10/11/doktrina-dok.html
7. Rasporyazhenie Pravitel'stva RF ot 8 dekabrya 2011 g. № 2227-r «O strategii innovacionnogo razvitiya Rossijskoj Federacii na period do 2020 g.» [Elektronnyj resurs]. URL: https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/70o06124/
8. Guilford G.P. Aptitude for creative thinking: one or tapy? // Ibil., 1976. Vol.10. №3. P. 165-169.
9. Guilford G.P. Creative Talents: Their nature, uses and development. Buffalo, N.Y. BearlyLimited, 1986.
10. Ervynck G. Mathematical creativity // Advanced mathematical thinking. Dordrecht, Netherlands :Kluwer, 1991. R. 42-53.
11. Deza E. I. Special'nye kombinatornye chisla. Ot chisel Stirlinga do chisel Mockina: vse o dvenadcati izvestnyh chislovyh mnozhestvah kombinatornoj prirody (istoriya, klassicheskie svojstva, primery i zadachi). - M.: LENAND, 2018.
12. Deza E. I. Special'nye chisla natural'nogo ryada. M.: 2-e izd. M.: Lenand/USSR, 2017.
13. Rostovtsev A.S. Obuchenie special'nym chislam kak sredstvo formirovaniya matematicheskoj kreativnosti starsheklassnikov // Sovremennoe pedagogicheskoe obrazovanie. - № 3. - 2018. s. 37-39.
0
0
00
■0
m
S
m
X
X
0
m
n
m
b
A
-1
O
-1
S
£
m
0
X
0
m
O
D1
■0
A
u
O
m
A
X
s
m
117
