CC BY
68УДК: 330.322:336.76(045)
ФОРМИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ ПО МОДЕЛИ
МАРКОВИЦА
Коршунова Т.С., студент
Финансовый Университет при Правительстве Российской Федерации, Москва
e-mail: 194855@edu.fa.ru Невежин В.П., к.т.н., профессор - научный руководитель Финансовый Университет при Правительстве Российской Федерации, Москва
e-mail: vpnevezhin@fa.ru
Аннотация. Статья посвящена вопросу формирования инвестиционного портфеля по модели Марковица. Целью статьи является расчёт инвестиционного портфеля и осуществление оптимизации структуры портфеля по критериям минимизации уровня риска и максимизации уровня доходности. Работа содержит в себе несколько частей: введение, модель Марковица (теоретические понятие модели), практическое применение модели Марковица (произведены необходимые расчёты), обсуждение (итоги расчётов), вывод. В ходе исследования данной темы, были отмечены основные моменты: рассмотрены теоретические основы понятия инвестиционного портфеля, отражены математические формулы, описаны этапы формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица. Приведён пример построения инвестиционного портфеля, используя ценные бумаги банков-эмитентов (Сбербанк, банк ВТБ, Газпромбанк, Росбанк и Московский кредитный банк (МКБ)), а также других отраслей производстваь (ПАО «Роснефть» и ПАО «АЛРОСА»). Все расчёты были произведены в приложении Microsoft Office Excel. Статья будет полезна начинающим инвесторам, которые только начали интересоваться инвестиционной деятельностью. Для более простого восприятия в статье приведены таблицы с расчётами и диаграммы распределения долей акций в инвестиционном портфеле. В заключении были сделаны выводы о том, что не всегда стоит придерживаться решению, предложенному MS Excel.
Ключевые слова: инвестиционный портфель, ценные бумаги, акции, банки, модель Марковица, доходность, риск.
FORMATION OF THE INVESTMENT PORTFOLIO ACCORDING TO THE
MARKOWITZ MODEL
Korshunova T.S., student
Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow
e-mail: 194855@edu.fa.ru Nevezhin V.P., Candidate of technical sciences, professor - scientific adviser Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow
e-mail: vpnevezhin@fa.ru
Abstract. The article is devoted to the formation of an investment portfolio according to the Markowitz model. The purpose of the article is to calculate the investment portfolio and optimize the portfolio structure according to the criteria for minimizing the level of risk and maximizing the level of profitability. The work contains several parts: an introduction, the Markowitz model (theoretical concept of the model), the practical application of the Markowitz model (the necessary calculations have been made), a discussion (the results of the calculations), and a conclusion. During the study of this topic, the main points were noted: the theoretical foundations of the concept of an investment portfolio were considered, mathematical formulas were reflected, the stages of formation of an investment portfolio according to the model of G. Markowitz were described. An example of building an investment portfolio using securities of issuing banks (Sberbank, VTB Bank, Gazprombank, Rosbank and Moscow Credit Bank (MKB)), as well as other industries (public company Rosneft and public company ALROSA) is given. All calculations were made in Microsoft Office Excel. The article will be useful for novice investors who have just begun to take an interest in investment activities. For a simpler perception, the article contains tables with calculations and diagrams of the distribution of shares in an investment portfolio. In conclusion, it was concluded that it is not always worth adhering to the solution proposed by MS Excel.
Key words: investment portfolio, securities, stocks, banks, Markowitz model, profitability, risk.
1. ВВЕДЕНИЕ
На современном этапе развития рыночной экономики существуют различные способы вложения активов с их последующим
приумножением. Одним из вариантов является конвертация денежных средств в ценные бумаги на фондовом рынке. Этот способ является достаточно эффективным в плане доходности, но
несёт за собой большой финансовый риск. Приобретая несколько ценных бумаг и внося их в сферу инвестиций, их владелец может формировать, так называемый, инвестиционный портфель. Инвестиционный портфель - это совокупность разных финансовых инструментов, соответствующих целям инвестора. В нём присутствует баланс между доходностью и рискованностью.
Инвестиционная деятельность - это инвестирование и осуществление практической деятельности с целью получения прибыли или достижение другого полезного эффекта связано с формированием инвестиционного портфеля. Она является одной из основных в жизнедеятельности компании или прибыльной деятельностью физических и юридических лиц. Инвестиции способствуют привлечению в страну иностранных средств, что положительно сказывается на экономике страны, в целом. Существует множество методов формирования инвестиционных портфелей, например метод ценообразования на капитальные активы (CAPM), модель Шарпа. В данной статье рассмотрена одна из возможных его реализаций с применением модели Марковица. По его мнению, инвестор должен принимать решение по выбору портфеля исходя исключительно из показателей ожидаемой доходности и её стандартного отклонения. Тем самым инвестор выбирает лучший портфель, основываясь на соотношении обоих параметров: доходность - стандартное отклонение.
Инвесторы, формируя инвестиционный портфель, стремятся максимизировать ожидаемую доходность своих инвестиций при определенном или приемлемом для них уровне
риска, или наоборот, минимизировать риск при ожидаемом уровне доходности. Инвестиционный портфель, удовлетворяющий этим требованиям, называют эффективным портфелем. Наиболее предпочтительным для инвестора эффективный портфель является оптимальным. Модель Марковица построена на принципе диверсификации, т.е. сознательном
комбинировании инвестиционных объектов, при котором достигается не только их разнообразие, но и взаимосвязь между доходностью и риском. Данная цель часто достигается финансовыми брокерами, поскольку при применении отрицательных математических вычислений можно определить способы вложения денежных средств.
2. МОДЕЛЬ МАРКОВИЦА
Портфель Марковица для минимального риска определяется следующей системой уравнений:
2?=! №1*Г1>Гр = 1 ж, > О
¡*ку*01*0^тт
(1)
где: где о - общий риск портфеля; Ощ, О] -стандартное отклонение доходностей >го и j-ого активов; к - коэффициент корреляции между ум активом; wi, - доля >го и j-ого актива в портфеле; г - доходность; Гр - заданный уровень доходности; п - количество активов инвестиционного портфеля.
А портфель Марковица для максимального дохода определяется следующей системой уравнений:
2?=1 ^ * ^ ^ тах
Е?=1* * + 2 * Е?=1 * М} * кц * а1 * а} < ар
где: значения те же, что и в формуле 1, а Ор - заданное значение риска. Формула общего риска портфеля рассчитается по формуле:
(2)
а = ущТы^ТСощ. = (Е^!1 Е7=£+1 * * Рц *а1*
(3)
Тогда общая доходность портфеля будет определяться как: Гр =1Г=1^;*Г;
(4)
V
С использованием этих формул далее будет рассчитан инвестиционный портфель.
3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ МАРКОВИЦА
В соответствии с изложенным выше надо
рассмотреть две задачи:
1) с учётом минимального риска;
2) с учётом максимального дохода. Для формирования инвестиционного
портфеля по модели Марковица были использованы ценные бумаги крупных банков-Таблица 1. Исходные данные цен
эмитентов: ПАО «Сбербанк», ПАО Банк ВТБ, АО Банк ГПБ, ПАО «Московский кредитный банк», ПАО Росбанк. Представленные банки входят в топ-15 по объёму активов на 1 ноября 2021 года, причём первые три банками являются лидерами по объёму активов. Другие два были взяты для того, чтобы разнообразить инвестиционный портфель, т.е. не брать только «самые крупные» банки-эмитенты. Для исследования взяты данные о среднемесячных ценах акций названных банков за период 01.11.2020 - 01.11.2021, см. табл. 1. акций выбранных банков-эмитентов
Дата Цена акции
Сбербанк ВТБ Газпром Росбанк МКБ
01.11.2020 249,63 0,03721 181,89 76,6 5,975
01.12.2020 271,65 0,037895 212,98 77,8 6,152
01.01.2021 258,11 0,036635 212,83 78,8 6,155
01.02.2021 270,17 0,037075 217,56 78,4 6,694
01.03.2021 291,02 0,042715 227,24 79,8 7,117
01.04.2021 297,73 0,0516 231,38 78,8 6,799
01.05.2021 310,79 0,04875 261,03 79 6,63
01.06.2021 306,45 0,048475 281,8 78,6 6,513
01.07.2021 305,59 0,04846 287,35 78,4 6,572
01.08.2021 327,94 0,05269 305,65 79,2 6,936
01.09.2021 340,99 0,05167 360,8 79,2 7,175
01.10.2021 356,14 0,05273 350,18 79 7,159
01.11.2021 370,13 0,052885 353,02 79,8 7,3
Найдя значения таких параметров модели, как применив функцию «Ковариация» пакета доходность, используя функцию СРЗНАЧ для всех «Анализ данных» определили уровни доходности среднемесячных доходностей банков, и рисков с акций, см. табл. 2. применением функции СТАНДОТКЛОН,
Таблица 2. Взаимосвязь между доходностью акций компаний
Сбербанк ВТБ ао ГАЗПРОМ ао Росбанк ао МКБ ао
Сбербанк 0,00141 0 0 0 0
ВТБ ао 0,00091 0,00485 0 0 0
ГАЗПРОМ ао 0,00085 -0,00105 0,00367 0 0
Росбанк ао 0,00011 -0,00004 0,00011 0,00008 0
МКБ ао 0,00068 0,00009 0,00018 0,00015 0,00132
Подставив все полученные значения в формулы (3) и (4), в итоге получили следующие показатели: общий риск = 2,31%, общая доходность = 2,75%.
Проведя соответствующие расчеты, были получены все необходимые данные для оценки доли акций банков-эмитентов в инвестиционном портфеле. Для оценки уровня риска инвестиционного портфеля была использована функция «Поиск решения» табличного процессора Excel, в которой заданы необходимые
ограничения для каждой из задач, см. табл. 3. Для определения ограничения по доходности было задано 2%, а общая сумма долей активов в портфеле не должна была превышать единицы. В итоге были получены следующие значения: общий риск = 2,05%, общая доходность = 2%. При этом доли в портфеле распределились так, как и приведено на рис. 1. Из него следует, что самыми безрисковыми ценными бумагами являются бумаги Росбанка, Московского кредитного банка и ВТБ.
Таблица 3. Результаты применения функции «Поиск решений»
Сбербанк ВТБ ао ГАЗПРОМ ао Росбанк ао МКБ ао
7,84% Сбербанк 0,00141 0 0 0 0
21,61% ВТБ ао 0,00091 0,00485 0 0 0
9,75% ГАЗПРОМ ао 0,00085 -0,00105 0,00367 0 0
33,43% Росбанк ао 0,00011 -0,00005 0,00011 0,00008 0
27,37% МКБ ао 0,00068 0,00009 0,00018 0,00015 0,00132
Доли акции в портфеле Ожидаемая доходность Общий риск портфеля Общая доходность инвест портфеля Ограничение на сумму долей 0,07835 3,28%% 2,05%% 2,00%% 1 0,21611 2,93% 0,09752 5,53% 0,33434 0,34% 0,27368 1,67%
Рисунок 1. Доли инвестиционного портфеля по модели Марковица для минимального риска
Перенастроив ограничения под условие (3) и (4) задачи Марковица для заданного уровня рискованности в 5% (табл. 4), находим возможный уровень доходности портфеля. В результате были получены следующие значения:
общий риск = 2,63%, общая доходность = 5,53%. Программа предлагает оставить для рассмотрения только акции Газпрома. Они принесут портфелю наибольшую доходность. Результаты приведены на рис. 2.
Таблица 4. Полученные результаты с применением функции «Поиск решений»
Сбербанк ВТБ ао ГАЗПРОМ ао Росбанк ао МКБ ао
Сбербанк 0,00141 0 0 0 0
ВТБ ао 0,00091 0,00485 0 0 0
ГАЗПРОМ ао 0,00085 -0,00105 0,00367 0 0
Росбанк ао 0,00011 -0,00005 0,00011 0,00008 0
МКБ ао 0,00068 0,00009 0,00018 0,00015 0,00132
Доли акции в портфеле 0
Ожидаемая доходность 3,28%
Общий риск портфеля 2,63%
Общая доходность инвест портфеля 5,53%
Ограничение на сумму долей 1
0
2,93%
1
5,53%%
0
0,34%%
0
1,67%%
Сбербанк ■ ВТБ ао ■ ГАЗПРОМ ао ■ Росбанк ао ■ МКБ ао
Рисунок 2. Доли инвестиционного портфеля по модели Марковица для максимальной доходности
Для последующего анализа модели Марковица было принято решение изменить состав эмитентов в инвестиционном портфеле. Были исключены 2 банка, акции которых приносили наибольшую доходность: Сбербанк и Газпром. Вместо них в портфель включены акции АЛРОСА (столбец 1) и Роснефть (столбец 3), деятельность которых не связана с банковской.
Результаты исследования данного набора эмитентов показало, что в инвестиционном портфеле выделились акции ПАО «АЛРОСА»,
Таблица 5. Полученные результаты с применением расчётов автора
которые имели наивысшую ожидаемую доходность, см. табл. 5. Проведя расчёты для выявления оптимального инвестиционного портфеля с учётом максимальной доходности портфеля, с применением функции «Поиск решения» было получено похожее распределение -содержание в нём только акции ПАО «АЛРОСА» и убрать ценные бумаги других эмитентов, поскольку у них низкая доходность (табл. 6).
АЛРОСА ВТБ Роснефть Росбанк МКБ
0,2 Столбец 1 0,00436 0 0 0 0
0,2 Столбец 2 0,00074 0,00485 0 0 0
0,2 Столбец 3 -0,00136 -0,00171 0,00446 0 0
0,2 Столбец 4 0,00021 -0,00005 0,00008 0,00008 0
0,2 Столбец 5 -0,00008 0,00009 0,00107 0,00015 0,00132
Доли акции в портфеле 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
Ожидаемая доходность 3,33% 2,93% 2,82% 0,34% 1,67%
Общий риск портфеля 2,38%
Общая доходность инвест портфеля 2,22%%
Ограничение на сумму долей 1
Таблица 6. Полученные результаты с применением функции «Поиск решений»
АЛРОСА ВТБ Роснефть Росбанк МКБ
0,2 Столбец 1 0,00436 0 0 0 0
0,2 Столбец 2 0,00074 0,00485 0 0 0
0,2 Столбец 3 -0,00136 -0,00171 0,00446 0 0
0,2 Столбец 4 0,00021 -0,00005 0,00008 0,00008 0
0,2 Столбец 5 -0,00008 0,00009 0,00107 0,00015 0,00132
Доли акции в портфеле 1 0 0 0 0
Ожидаемая доходность 3,33% 2,93% 2,82% 0,34% 1,67%
Общий риск портфеля 2,95%
Общая доходность инвест портфеля 3,33%
Ограничение на сумму долей 1
4. ОБСУЖДЕНИЕ
С использованием функций программы Excel были получены следующие показатели:
• общий риск = 2,31%, общая доходность = 2,75% - результаты изначального портфеля
ценных бумаг банков эмитентов без корректировок на доходность и риск;
• общий риск = 2,05%, общая доходность : 2% - результаты после функции,
соответствующей минимальному риску и доходности в 2%;
• общий риск = 2,63%, общая доходность = 5,53% - результаты после функции, соответствующей максимальной доходности и риску в 5%;
• общий риск = 2,95%, общая доходность = 3,33% - результаты после изменения структуры инвестиционного портфеля и применения функции, соответствующей максимальной доходности и риску в 5%.
5. ВЫВОД
Полученные результаты показали различные варианты решения, которые не всегда стоит придерживаться. В инвестиционном портфеле могут быть акции компаний из разных сфер деятельности, поскольку их цены сильно зависят от внешней ситуации в мире: одни могут даже в краткосрочном периоде упасть в цене, а другие в это же время вырасти. Возможно, если рассмотреть другие сферы и другие акции их эмитентов, то ситуация может быть отличной от рассмотренной.
Таким образом, в работе была осуществлена оптимизация структуры портфеля по критериям минимизации уровня риска и максимизации уровня доходности. А также рассмотрены варианты с расширением инвестиционного портфеля за счёт эмитентов разных сфер деятельности. Представленные материалы, примеры и их результаты могут быть использованы при аналогичных расчётах и принятии решений в инвестиционной сфере.
Список использованных источников
[1] Симоненкова Е.В. Формирование инвестиционного портфеля по модели Марковица // Хроноэкономика. 2017. №6 (8). С. 86-90 URL: https://cyberleninka.ru/article/n/formirovanie-investitsionnogo-portfelya-po-modeli-markovitsa (дата обращения: 19.11.2021)
[2] МФД-ИнфоЦентр. [Электронный ресурс]. URL: https://mfd.ru/export/ (дата обращения: 19.11.2021)
[3] Чиненов, М. И. Инвестиции / М. И. Чиненов. - Москва: Кнорус, 2021. 365 с.
[4] РИА Рейтинг: рейтинг крупнейших банков России по объему активов на 1 ноября 2021 года. URL: http://vid1 .rian.ru/ig/ratings/banki_05_11_21 .pdf (дата обращения: 03.12.2021)
[5] Пожитков Д., Раздерищенко И.Н. Инвестиционная деятельность современной России // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. 2021. №5-2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/investitsionnaya-deyatelnost-sovremennoy-rossii (дата обращения: 19.11.2021).
[6] Manas Pandey. Application of Markowitz model in analyzing risk and return. A case study of BSE stock. // Risk governance & control: financial markets & institutions / Vol. 2, Issue 1, 2012. p. 7-15.
[7] Markowitz, H. (1952) 'Portfolio Selection' // The Journal of Finance. 1952. 7 (1) - pp. 77-91.
[8] Колясникова Е.Р. Формирование портфеля с учетом различных мер риска и индивидуального отношения инвестора к риску // Экономический анализ: теория и практика. 2017. № 8. С. 1583 - 1596.
[9] Скрипниченко М.В. Портфельные инвестиции: Учебное пособие. - СПб: Университет ИТМО, 2016 - 40с.
[10] Кох И. Современные возможности диверсификации на рынке акций / Рынок ценных бумаг. — 2016. — №7. — С. 42-47.
V V
