Формирование инвестиционного портфеля на основе нечетких лингвистических оценок Текст научной статьи по специальности «Математика»

Управление рисками

ФОРМИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК

В. Г. ЧЕРНОВ,

кандидат технических наук, профессор Владимирский государственный университет

Диверсификация инвестиционного портфеля может рассматриваться как один из способов управления инвестиционными рисками. Одним из вариантов решения этой задачи является подход Марковица [1]. Хотя он и получил широкое распространение в практике управления портфелями, тем не менее использует ряд предположений, плохо согласуемых с реальностями инвестиционных процессов.

Условие статистической однородности не может быть обеспечено в реальных условиях, так ка объект, анализируемый в прошлом, и тот же самый объект в настоящее время — это, вообще говоря, два различных объекта наблюдения. Изменилось рыночное окружение проекта, соответственно изменится и его рыночная позиция. Риск убытков по конкретному бизнес-направлению будет падать или расти, но причина этих колебаний будет находиться во внешней среде. Все это не позволяет говорить о статистической однородности изучаемого процесса.

Обращение к субъективным вероятностям практически не улучшает ситуацию. Когда вероятностная субъективная оценка производится единичным экспертом риск субъективности и ошибочного прогноза существенно возрастает [2]. Фактически, применяя субъективные вероятности, эксперт отказывается от частотного подхода и вкладывает в понятие вероятности свои субъективные ожидания, которые во многом базируются на предыстории, на прошлом опыте. Из-за невоспро-

изводимости рыночных условий эта предыстория перестает быть показательной.

Использование коэффициентов корреляции предполагает неизменность характера причинно-следственных связей, что в реальной практике не имеет места, во-первых, из-за того, что как характер, так и сами связи на момент исследования могут быть до конца не установлены, во-вторых, из-за того, что возможны изменения по действием внешних сил и факторов. Известны исследования [3, 4] по применению аппарата нечетких множеств для построения инвестиционных портфелей.

Далее предлагается новый вариант решения этой задачи, который отличается от известных тем, что в нем используются только лингвистические оценки как вероятностей, так и значений ожидаемых доходностей, а также предлагается учитывать кратности одинаковых оценок доходностей конкретных компонентов портфеля.

Будем предполагать, что существует некоторое множество проектов (инвестиционные проекты, продуктовые программы, ценные бумаги и т. д.), из которых необходимо построить инвестиционный портфель и распределить соответствующим образом вложения в эти проекты. Сведения о проектах имеют расплывчатый (неопределенный) характер, и на данном этапе их уточнение связано с временными и материальными затратами, причем не может быть гарантировано достижение желаемого (необходимого) уровня определенности. Получаемые оценки могут быть отнесены к классу

экспертных и не всегда возможно их представление в количественной форме.

Пусть имеется несколько проектов, из которых предполагается сформировать инвестиционный портфель

Известны оценки возможных доходов при реализации этих проектов

э

г

рис. 1. Функции принадлежности лингвистических оценок вероятности

0.5

1

рис. 2. Функции принадлежности лингвистических оценок доходности

С =

С

(1)

построено некоторое множество возможных комбинаций этих доходностей, и определены экспертные оценки вероятностей реализации этих комбинаций р, i = (1,М) , М — число рассматриваемых комбинаций доходностей компонентов портфеля, образующих множество

Р =

{р^ = 1Л}. (2)

Р / 5 ^

р (С С11 Сп

Р2 С21 С2П

Рз С31 Сзп

р

.А

Л

СС

(3)

Множествам (1) и (2) поставлены в соответствие множества лингвистических оценок их возможных значений.

^ = (КгЛ = Ир), Мр = {,а)А},

соответственно для доходности С

Ьс = {,;: ] = йС} и Мс = {1с/у)/у:} = Ц^}.

Для простоты предположим, что £е[0,1] и у е[0,1]. Для переменной г это условие вполне естественно, так как речь идет о вероятностях. Для переменной у ее принадлежность к интервалу [0,1] указывает на необходимость перехода от абсолютной шкалы к относительной. Для упрощения изложения допустим, что множество Lp состоит из трех элементов

Lp=<малая, средняя, большая>=<£, М, В> (рис. 1),

L состоит из 5 элементов: L =<малая, ниже

с с '

средней, средняя, выше средней, большая> = <S, LM, М, ММ, B> (рис. 2).

Треугольные функции принадлежности (рис. 1, 2) выбраны только из соображений простоты графического представления.

Оценки, представленные на рис. 1, 2, могут быть построены различными способами. Рассмотрим некоторые из них на примере оценок доходности. Первый вариант состоит в том, что эксперты инвестора указывают границы возможной доходности [ у тт, у тах ], затем внутри этого интервала определяются подынтервалы, которые, по мнению экспертов, могут соответствовать выбранным лингвистическим оценкам, например тем, которые указаны на рис. 2. Если для решения задачи разработана программная система, то в диалоговом режиме на соответствующих подынтервалах с учетом установленных правил [5] могут быть построены функции принадлежности либо самим экспертом, либо выбраны из некоторого множества, предлагаемого программной системой. После этого выполняется перевод в относительную шкалу. Другой вариант может быть проиллюстрирован следующим рисунком (рис. 3).

В общем случае функция пересчета может быть и нелинейной.

у(з4)Утах

У (5. ) — числовая оценка доходности 1-го компонента инвестиционного портфеля, ¡=1,2,3,4;

7(5!) = 5, 7(52)=м, Г(53)=м, 7(54) = 5 -лингвистические оценки компонентов портфеля рис. 3. Графический способ перехода от числовых оценок доходности компонентов инвестиционного портфеля к лингвистическим

Таблица 1

А В I с D I Е I F I G

53 Вероятность Оценки выгодности компонент портфеля

54 P/S S1 S2 S3 S4

55 ........... ........... .............

56 S В ММ В Ё

57 S В В мм мм

58 W= М м ММ мм м

59 М м S м S

БО В S S м м

61 в S м м S

62

рис. 4. результирующие функции принадлежности

Таким образом, матрица (3) будет содержать только лингвистические оценки и для четырех-компонентного портфеля может иметь, например, соответствующий вид (табл. 1).

Решение задачи, состоящее в определении коэффициентов пропорциональности компонентов инвестиционного портфеля, может быть осуществлено следующим образом.

Для каждого столбца S. } = вычисляется

i = 1,2,..., m , ie[l,m]. Затем находится

га0 = У rajJ = max [гаjJ ] (см. рис. 3). (4)

Для каждого из Sj оценка га j — это нечеткое множество с соответствующей функцией принадлежности (рис. 4). В дальнейшем нужно сравнить эти множества и решить, как распределить средства между проектами S. Одно из решений состоит в применении к функциям принадлежности нечетких множеств (4) операции Effpeak (рис. 5) [5] и последующим определением координаты центра тяжести CGj полученного эквивалентного нечеткого множества га j .

Значение CGj — координату центра тяжести можно использовать в двух вариантах. В первом случае, используя процедуру, обратную той, которая использовалась при переводе аргумента y из абсолютной шкалы в относительную, определим ожидаемый доход (убыток) (рис. 6). Функция пересчета ф в общем случае может быть и нелинейной.

Второй вариант заключается в следующем. Определяются все значения CGj — координат центра тяжести по всему множеству Sj. Определяют вес каждой альтернативы.

CGJ

W =-J—.

J ^CGj

(5)

CD;

= Pi Л Cj = mm(pj,Cj) ,

CG:

--нечеткое множество, соответствующее оценке со .;

_ .. _ .. _ эквивалентное нечеткое множество, полученное с помощью операции Е^[Реак;

* _ координата центра тяжести СО^ нечеткого множества ю j

рис. 5. Построение эквивалентной нечеткой оценки с помощью операции EffPeak

у — значение ожидаемой доходности в относительной шкале [0,1]; V — значение ожидаемой доходности в абсолютной шкале; У та — максимально возможное значение доходности; ю _ эквивалентное нечеткое множество, полученное в результате применения операции Е^[Реак;

CG _ координата центра тяжести нечеткого множества ю . рис 6. определение ожидаемого дохода по лингвистической оценке

Очевидно, ^ Щ = 1. Тогда имеющийся капитал разделяется между альтернативами в соответствии со значениями V..

1

Рассмотренный метод не учитывает кратности одинаковых оценок. Очевидно, что альтернатива с большим количеством одинаковых высоких оценок (если, конечно, это не потери) предпочтительнее альтернативы с меньшим количеством этих оценок или большим количеством низших. Учесть эту кратность можно следующим образом.

После вычисления значений CGj определяется кратность одинаковых оценок, находящихся слева и справа от средней оценки. Затем вычисляется коэффициент кратности:

к»— кт

K = 1 + -

kL + kR

(6)

где kL — кратность одинаковых оценок слева от средней;

kR—кратность одинаковых оценок справа от средней. С учетом коэффициента кратности вычисляется модернизированное значение СО}

щ = К.со,.

Очевидно, что если преобладают оценки справа, то значение СО^: сдвигается в эту сторону К > 1, для преобладания оценок слева К< 1, что определяет соответствующий сдвиг СО.

В табл. 2 приведены ре-

зультаты расчетов для матрицы лингвистических оценок, представленной табл. 1.

Расчеты проводились как без учета коэффициента кратности оценок, так и с ее учетом. Результаты вполне согласуются с характером исходных данных и оценками, полученными по соотношению (4) (табл. 1, рис. 3). Отметим влияние кратности одноименных оценок, приведшее к увеличению коэффициента пропорциональности третьего компонента инвестиционного портфеля, что также вполне согласуется с исходными данными. Исследования влияния вида функции принадлежности на конечные результаты показали, что это влияние имеет место, но в обоих случаях как при отсутствии учета кратности оценок, так и при ее учете изменения в долях участия в портфеле не носят кардинального характера.

Таблица 2

А | В С D Е I F G | H

87 EffPeak ' !

88 0.5 0.743443 0.635654 6.23989

89 ! Коэффициенты пропорциональности компонент портфеля

90 j 0.229464 0.341188 0.319256 0.110092

91 Kljsi j= 3 Kl(s2]= 1 6 Kl(s4)= 2

92 Kr(si)= 2 Kr(s2)= 3 Kr[s3)= 3 Kr[s4]= 2

93 М- 0.8 1.5 2 1

94 EffPeak'KK 0.4 1.11517 1.39131 0.23989

95 Коэффициент пропорциональности компонент портфеля с учетом кратности оценок

9G | 0.127131! 0.35443 0.442196 0.0762436

97 6.11 0.35 0.47 0.08

98

99

100

101

102

Литература.

1. Markowitz H. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. New York, Wiley, 1959.

2. Кравец А. С. Природа вероятности. — М. : Мысль, 1976. — 245с.

3. Новицкий Е.Г. Проблемы стратегического управления диверсифицированными корпорациями. — М. : 2001.

4. Недосекин А. О. Применение теории нечетких множеств к задачам управления финансами // Аудит и финансовый анализ. 2000. № 2. — Также на сайте www. cfin. ru .

5. Чернов В.Г. Решение бизнес-задач средствами нечеткой алгебры. Кн. 2. Электронная таблица Fuzzy Calc / В. Г. Чернов [и др.]. - М.: Тора-Центр, 1998. - 70 с.