CC BY
43
О.В. Ефременкова
Формирование готовности студентов технических вузов к решению нестандартных математических задач
Принцип «обучение через решение оадыч» является
очевидным следствием из самой природы математики.
А..С. Крыговская
Интенсивное изменение социально-экономических условий современной России предъявляет повышенные требования к качеству фундаментальной профессиональной подготовки специалистов. В реформировании отечественного профессионального образования определились следующие основные идеи: первая, вытекающая из общей концепции гуманизации образования, — гуманизация профессионального образования; вторая, вытекающая из потребностей общества, — демократизация профессионального образования; третья, вытекающая из потребностей развивающегося производства, - опережающее образование; четвертая, вытекающая из рефлексии категории образования, — непрерывное образование. Эти идеи становятся целями профессионального образования и требуют переосмысления многих позиций во всем образовательном процессе - в содержании, формах, методах и средствах профессионального обучения и воспитания студентов, в частности, обучения общеобразовательным дисциплинам. Новым этапом в реализации современного подхода к инженерному образованию явилось введение государственных образовательных стандартов, в которых сформулированы требования государства и общества к подготовке инженера, значительно увеличена экономическая и гуманитарная составляющие образования, организованы новые направления инженерного дела, введена многоуровневая система образования, резко расширена подготовка в области информационных технологий.
Фундаментальной составляющей инженерного образования всегда была математическая подготовка, качество которой постоянно являлось предметом пристального внимания. Проблема несовершенства математической подготовки инженеров существует и обсуждается довольно давно, каждый раз при возвращении к ней рассматривается лишь часть противоречий и недостатков, кажущаяся актуаль-
ной в этот период. Скорее всего, это связано с попытками решить проблемы математического образования на интуитивном уровне, меняя методы и содержания обучения, но не изменяя подходы, т.е. находясь внутри системы. Анализ литературы и традиционного опыта обучения математике в техническом вузе позволил нам выявить следующие основные недостатки в математической подготовке инженера: 1) отсутствует четкое формулирование целей обучения, соответствующих имеющимся требованиям к инженеру и допускающих проверку достижения результата; 2) отсутствует система оценивания, адекватная формулируемым целям. Проблема повышения качества образования предполагает прочные системные знания выпускников вузов, владение ими технологиями, умение ориентироваться в различных сферах науки, культуры, преодолевать косность стереотипов, быть готовыми к интеллектуальной преобразовательной деятельности. Успех этой деятельности зависит от многих факторов. Особое значение среди таких факторов принадлежит готовности человека к действиям в различных ситуациях, причем изучение и формирование готовности, в частности студентов технических вузов, к деятельности в различных ситуациях является актуальной задачей на сегодняшний день. Рассмотрим прежде всего понятие готовности, его структуру, методы и пути формирования.
Свою интенсивную разработку проблема готовности получила с начала 70-х гг. в работах И.Н. Гаджиевой, Н.К. Шеляховской, Д Б. Эльконина, Б.М. Яковца. Существуют два основных подхода к трактовке сущности психологической готовности: функциональный и личностный. Первый предполагает трактовку готовности как определенного состояния психики, которое обеспечивает высокий уровень достижений; второй исследует готовность как результат подготовки (подготовленности) к определенной деятельности. Исследователи по-разному определяют это понятие. Так, A.A. Ухтомский называет состояние готовности «оперативным» покоем, который опирается на подвижность «нервных приборов», обеспечивающих переход от «оперативного покоя» к «срочному действию» [1]. В.Н. Пушкин и
Л.С. Нерсесян, исследуя готовность к экстренным действиям, называют готовность бдительностью [2, с. 31]. М.А. Котик включает в это понятие наряду с устойчивыми качествами индивида и ситуативные факторы трудовой задачи [3]. Н.Д. Левитов различает длительную готовность и временное состояние готовности («предстартовое состояние»).
Мы будем использовать понятие готовности, данное в работе М.И. Дьяченко. Готовность -«активнодейственное состояние личности, отражающее содержание стоящей задачи и условия предстоящего ее выполнения... Готовность представляет собой психологическую предпосылку эффективности деятельности» [2, с. 31]. Возникновение состояния готовности к деятельности начинается с постановки целей на основе потребностей и мотивов, осознания человеком поставленной перед ним задачи, после чего идет разработка плана, установок, моделей, схем предстоящих действий, а уж затем человек приступает к воплощению готовности в предметных действиях. Анализ ситуации, развитие замысла, эмоций, проявление и изменение готовности определяются доминирующим мотивом, который обеспечивает необходимую длительность и направленность активности. Состояние готовности личности к деятельности следует понимать как сложное образование с динамической структурой, между компонентами которой существуют функциональные зависимости.
В качестве компонент М.И. Дьяченко выделяет такие: мотивационный - ответственность за выполнение задач, чувство долга; ориентационный - знания и представления об особенностях и условиях деятельности, ее требования к личности; операционный - владение способами и приемами деятельности, необходимыми знаниями, навыками, умениями; волевой — самоконтроль, самомобилизация; оценочный - самооценка своей подготовленности и соответствия процесса решения профессиональных задач оптимальным образцам [2, с. 37].
В педагогический аспект готовности студента к непрерывному образованию можно включить следующие компоненты: положительную мотивацию учения; систему общеучебных умений и навыков, лежащих в основе самообразовательной деятельности: систему базовых знаний, умений и навыков по учебным предметам.
Исследователями отмечается, что состояние готовности преимущественно обусловливается устойчивыми особенностями, свойственными данному человеку, «но оно не представляет собой
переноса качеств и состояний в новую ситуацию, простую актуализацию их; оказывают влияние и те конкретные условия, в которых осуществляется деятельность» [2, с. 35].
Условия, влияющие на готовность к деятельности, можно разделить на внешние и внутренние. К внешним могут быть отнесены характер и содержание деятельности; обстановка деятельности; пример поведения окружающих; особенности стимулирования действий и результатов. Внутренние условия включают в себя мотивацию, оценку вероятности достижения результата, самооценку собственной подготовленности, предшествующее нервнопсихическое состояние, состояние здоровья и физическое самочувствие, личный опыт мобилизации сил на решение задач.
Для выявления детерминант готовности студентов к решению математической задачи необходимо остановиться на особенностях деятельности студентов по решению таких задач. Предварительно рассмотрим следующие понятия: «задача», «математическая задача», «нестандартная математическая задача».
«Задача - объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска усилий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными ее элементами» [4].
Довольно полно охвачена характеристика процесса решения задач в работах Г.А. Балла, Л.Л. Гуровой, Е.Н. Кабановой-Меллер, З.И. Калмыковой, Ю.Н. Кулюткина, А.Н. Леонтьева, H.A. Менчинской, В.Н. Пушкина, Л.М. Фридмана, А.Ф. Эсаулова, И.С. Якиманской. В процессе решения задачи весьма условно выделяют его внешнюю и внутреннюю структуры. Под внешней структурой процесса решения задачи понимают совокупность операционных факторов, т.е. различные преобразования задачной системы, последовательность в осуществлении решения задачи. В состав внутренней структуры включают мыслительные операции, определенное состояние мышления. Внутренняя структура «выражается в скрытой умственной деятельности решающего и составляет внутреннее содержание мышления» [5, с. 108-126].
Особая роль в процессе деятельности человека принадлежит нестандартным задачам. Она может быть охарактеризована как задача, требующая творческих поисков путей решения, изобретательности, оригинальности суждений, т.е. нестандартная задача — «это вопрос, ответ на который не является непосред-
ственным и не может быть получен путем применения известных схем» [6, с. 19]. А Н. Леонтьев выделяет в процессе решения человеком нестандартной для него задачи два основных этапа: нахождение принципа решения и его применение [7]. Существует несколько подходов к понятию нестандартной задачи. Сторонники первого подхода (Ю.М. Колягин, С.И. Сельдюкова, A.B. Соколова) называют нестандартной (поисковой, эвристической) задачу, «при предъявлении которой учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение» [8, с. 5]. В отличие от поисковых, мы считаем задачу стандартной, если ее решение требует от учащихся применить тот или иной известный им алгоритм или воспользоваться тем выводом по аналогии, который в практике обучения называется решением по образцу. Такое определение полностью согласуется с трактовкой задачи как системы. При втором подходе (Е.Н. Турецкий, Л.М. Фридман) нестандартная задача трактуется как задача, для которой в курсе математики «не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения» [9, с. 48]. Однако следует отметить, что процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном (может быть, и многократном) применении двух основных операций: 1) сведение путем преобразований или переформулирования нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче; 2) разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач [9, с. 51]. Нет точных правил использования указанных операций для решения некоторой конкретной задачи, но существует ряд рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении таких задач.
Причем, как показано в исследованиях
H.H. Обозова, повышение мотивации решения задачи зависит от отношения к задаче, ситуации как нужным лично, или для дела, или для других [10]. Е.В. Бондаревская и С.В. Куль-невич отмечают, что именно эмоционально окрашенные мыслительные процессы являются движущей силой творческого поиска [11]. Мотивирующими приемами, связывающими задачу с системой личностных ценностей субъекта, можно считать: включение задачи в широкий жизненный или производственный контекст; показ недостаточного жизненного опыта студента для решения поставленной задачи; учет индивидуальных стилей мышления при анализе способа решения; фасилитацион-ное общение, вызывающее позитивную змо-
циональную реакцию обучаемых. На наш взгляд, задача будет иметь личностно-развивающую функцию если она позволяет студенту в процессе своего решения проявляться как личности. При модульном подходе предусматривается развитие сферы личностных функций (избирательности, рефлексии, социальной ответственности, осмысленности действий). Ориентация на личность, по Н.Б. Лаврентьевой, предполагает, во-первых, целостную ориентировку в материале как в определенной сфере жизнедеятельности (знание как часть целостного жизненного опыта), во-вторых, означает, что проектируются не только знания умения и навыки как конечный результат, но и процедура их усвоения на фоне мировоззренческих идей (этическая, эстетическая, познавательная интерпретация учебного материала) [12].
Предложенная нами систематизация задач естественно-научных дисциплин [13] позволяет реализовать личностно-развивающий потенциал задачи через конкретное приложение изучаемого материала к различным сферам науки и жизни человека.
Приведем несколько конкретных примеров по каждому виду проблемных задач. В качестве задачи в контексте практико-преобра-зователъной деятельности человека можно выбрать следующую:
Задача 1. Имеется с0 граммов молекул активного вещества. Предполагая, что в единицу времени вступает в реакцию р % этого вещества, узнать, какое количество граммов молекул не вступит в реакцию по истечении времени
Решение. Через единицу времени вступают в реакцию 0,01р с(| граммов молекул; остают-
. _____
ся со11 Через 2 единицы времени не
вступило в реакцию е01 — ТОО^ ’ а через ( единиц времени количество граммов молекул
С°(1_Тоо] ’ ^ЛЯ лУчшего приближения к действительности единицу времени разобьем на п более мелких частей. Тогда вещества, не
/ р у,»
вступившего в реакцию, будет с°М ] ’
или, полагая т^- = к, 0 — к)*1 * I — кг, = I ——,с0Г 1——1 .
100 п п)
Истинное количество остающегося вещества
с = Ит
П-МО
■нг
- е-к| г
— С С0.
Задачи, имитирующие научно-познавательную деятельность человека, можно проиллюстрировать следующим примером.
Задача 2. Определить среднее время жизни радиоактивного элемента как функцию по-лупериода, I = КТ), если в начальный момент его было N0-
Решение. По закону вероятность распада -(£Л/ = Время жизни атомов данной груп-
пы примерно одинаково и равно 1 Среди взятых в начальный момент атомов имеются группы с самыми различными временами жизни. Чтобы найти среднее время жизни, надо умножить время жизни каждой группы на число атомов в этой группе, сложить эти величины для всех групп и разделить на общее число атомов во всех группах. Получим: 00 00
* - Подставляя Н=1Ч0е'ч,1 полу-
чим: 1 = 1/ОиЫ = Ы0е I = —— = 1.45Т.
1п2
К задачам с элементами ценностно-ориентационной деятельности может быть отнесена следующая.
Задача 3. Фермер после уборки урожая продает на рынке яблоки с недельными перерывами. Как изменять цену товара, чтобы между спросом и предложением сохранялось равновесие?
Решение. Если обозначить через р цену на фрукты в наступающей неделе, а через р' -так называемую тенденцию формирования цены (производную цены по времени), то как спрос, так и предложение будут функциями указанных величин. При этом, как показывает практика, в зависимости от разных факторов спрос и предложение могут быть различными функциями цены и тенденции формирования цены. В частности, одна из таких функций задается линейной зависимостью, математически описываемой соотношением у = ар’ + Ьр + с, где а, Ь, с — некоторые вещественные постоянные. А тогда, если, например, в рассматриваемой задаче цена на фрукты вначале составляла 1 руб. за 1 кг, через г недель он была уже р(Ч) руб. за 1 кг, а спрос д и предложение 5 определялись соответственно соотношениями
я = 4р' - 2р + 39, Б = 44р' + 2р - 1.
Для того чтобы спрос соответствовал предложению, необходимо выполнение равенства 4р' - 2р + 39 = 44р’ + 2р - 1.
Отсюда приходим к дифференциальному уравнению
ар
= -10сИ.
р —10
Интегрируя, находим, что р = Се'10' + 10. Если же учесть начальные условия р = 1 при 1=0, то окончательно получаем р = -9е'ш’ + 10.
Таким образом, если требовать, чтобы между спросом и предложением все время сохранялось равновесие, необходимо, чтобы цена изменялась в соответствии с последней формулой.
Задачи, связанные с коммуникационными потребностями человека, могут быть представлены таким примером.
Задача 4. В романе Александра Беляева «Прыжок в ничто» (1933 г.) происходит такой диалог:
«~А правда ли, - воскликнула Мадлен, -что, когда падает звезда, кто-нибудь умирает?
_ Правда, - с улыбкой ответил Фингер. -Вот расчет: на Земле каждую секунду умирает не менее двух человек. Падение же звезды длится примерно полсекунды».
Согласны ли Вы с таким утверждением?
Решение. Население Земли — 6 млрд чел. Средняя продолжительность жизни около 60 лет (= 2 млрд с). Следовательно, за каждую секунду в среднем умирает 3 чел. Метеор, как правило, наблюдается около секунды. Поэтому расчет Фингера совершенно точен.
Для задач, связанных с художественной деятельностью человека, может быть предложена следующая.
Задача 5. В одном из музеев установлены старинные часы, которые ходят без подзавод-ки уже два столетия. Как это удалось?
Решение. Обращенная задача. Как изготовить часы, не требующие подзаводки?
Рассуждения. Нужен энергетический ресурс, причем постоянно действующий в течение неограниченного времени. Возможные ресурсы: тепло, ветер, посетители, атмосферное давление. Тепло и ветер исключаются, так как часы расположены в закрытой комнате. Посетители могут открывать двери, давить своим весом на какие-то рычаги в полу.
Ответ. Использовались перепады атмосферного давления. Изменение высоты столба ртути большого ртутного барометра заводило часы [15-18].
Возникает вопрос: где целесообразно использовать нестандартные задачи? В методике преподавания математики представлены различные мнения по этому вопросу. От факультативных занятий и кружков, необязательных домашних заданий, типовых расчетов до систематического решения на занятиях со всеми студентами. Мы придерживаемся именно последней точки зрения, так как такие задачи способствуют целенаправленному развитию творческих способностей студентов, их математическому развитию, формированию у них познавательного интереса и самостоятельности. В качестве важного личностного образования студента рассматривается его профессиональная готовность, являющаяся существенной предпосылкой эффективной деятельности после окончания вуза. Исследователи К.Т. Кузне-чикова, А.К. Маркова, Г.И. Щукина отмечают, что в познавательных интересах первокурсников наблюдаются большие различия. У одной группы студентов интересы носят аморфный характер, характеризуются изменчивостью и ситуативностью. У другой - интересы захватывают широкий круг учебных предметов и учебную деятельность в целом. У третьей группы ярко проявляются стержневые, доминирующие интересы. Причем интересы студентов различаются по их направленности. У одних проявляется склонность к репродуктивной деятельности, у других - к творческой, исследовательской деятельности.
Технология обучения в математике на основе решения задач (Р. Хазанкин) основана на следующих концептуальных положениях: 1) личностный подход, педагогика успеха, педагогика сотрудничества; 2) обучать математике = обучать решению задач; 3) обучать решению задач = обучать умениям типизации + умение решать типовые задачи; 4) индивидуализация обучения «средних» и «одаренных»; 5) органическая связь индивидуальной и коллективной деятельности; 6) управление общением старшекурсников и студентов младших курсов; 7) сочетание аудиторной и самостоятельной работы. Студент может получить задачу в готовом, сформулированном виде. Он должен понять ее и принять. Понять задачу — это значит осознать как бы скрытую от внешнего взора ее проблемность, т.е. такую расстановку ее отдельных элементов, которая порождает процесс мышления и направляет его на снятие «преград» - несовместимо построенных компонентов задачи. Показателем принятия является стремление изменить формулировку отдельных условий, одни слова и
выражения заменить другими и т.д., т.е. переформулировать, перекодировать задачу по-своему. На продвинутом этапе обучения студенты должны научиться анализировать ситуацию и формулировать задачу. Деятельность при решении задачи можно разделить на четыре вида: репродуктивная, алгоритмическая, трансформирующая и творческо-поисковая. В первом виде деятельности проблемность близка к нулю, а каждый последующий вид должен обладать большим уровнем про-блемности. Основой решения творческо-поисковых задач является сочетание логического анализа и интуиции. Одним из условий растущего интереса к учебной деятельности является понимание значимости знаний. Чтобы проверка гипотезы стала возможной, уровень сформированности операционной и мотивационной сфер субъектов учебной деятельности должен подлежать измерению. Простейший вариант предусматривает распределение студентов, участвующих в эксперименте, по трем уровням развития учебных умений.
Низкий - восприятие задачи осуществляется студентом поверхностно; вычленяя несущественные элементы условия задачи, студент не может и не пытается предвидеть ход решения, которое, чаще всего, оказывается беспорядочным манипулированием числовыми данными (интуитивно-репродуктивный уровень).
Средний - студент способен дифференцировать данные и искомое, но при этом устанавливает между ними лишь отдельные связи, что затрудняет предвидение последующего хода решения задачи (творческо-репродуктивный уровень).
Высокий - всесторонне анализируя условие задачи, студент выделяет комплекс взаимосвязей между данными и искомым, владеет способами перевода заданной ситуации на язык математических отношений и зависимостей, что позволяет осуществлять целостный акт процесса решения задачи: его планирование, реализацию, проверку правильности (продуктивный уровень).
Формированию готовности студентов к действиям в напряженных ситуациях, к решению нестандартных математических задач способствуют не только применение определенной совокупности психолого-педагогических воздействий и обучение студентов приемам саморегуляции своего психологического состояния, но и обучение студентов приемам поиска решения таких задач. Формирование приемов поиска решения нестандартных задач способству-
ет раскрытию сущности и содержания таких важных стадий мыслительного процесса, как обобщение рассматриваемых случаев, использование аналогии, применение индукции и др. Приобщение студентов к методам научного познания в математике позволяет приобщить их к человеческой культуре в целом, что служит важным средством реализации гуманитаризации математического образования. Наблюдения и экспериментальное исследование тем не менее показали, что студенты не всегда могут достаточно глубоко разобрать структуру того или иного определения, доказательства, метода решения задач, увидеть сходство и различие в существенных элементах внешне различных систем, перенести одни и те же действия с одного объекта на другой, т.е. осуществить те действия, которые составляют более широкое умение - умение использовать аналогию. Оказалось, что у студентов практически отсутствуют навыки самоконтроля, плохо развиты приемы логического мышления, эмпирического и теоретического обобщения.
Анализ профессиональной направленности курса математики в техническом вузе был проведен на электротехническом и аграрно-технологическом факультетах РИИ АлтГТУ, где проводился основной констатирующий и формирующий эксперименты. Обобщение ответов студентов и преподавателей на предложенные им вопросы об использовании математики позволило сделать следующие выводы:
- студенты 3-4 курсов осознают место и роль математики в своей подготовке;
- основным недостатком в математической подготовке практически все студенты считают ее оторванность от реальных задач специальности;
- основное затруднение студентов - неумение использовать изученное в конкретных задачах и заданиях;
- математический аппарат преподавателями используется достаточно интенсивно.
Основные пожелания преподавателей по совершенствованию курса математики сводятся к следующему: учитывать требования специальности, детально согласовывать программы, расширять рассмотрение специальных вопросов за счет части доказательств; изменить метод преподавания математики, ее прикладной характер, проведя идею математичес-
кого моделирования, используя задачи из спецкурсов.
Перечисленные ниже методики формирования приемов поиска нестандартных задач можно рекомендовать для реализации:
- обучать специально и систематически студентов приемам поиска решения нестандартных математических задач;
- поставить студентов в условия, соответствующие уровню развития их житейских представлений, с тем, чтобы они присутствовали, так сказать, при самом «изобретении» приема, участвовали в его применении и рассмотрении состава приема;
- предоставлять студентам необходимую информацию о содержании и требованиях к деятельности по решению задач, поскольку предварительная ориентировка активизирует студентов, способствуя повышению готовности, процесс решения задачи становится более продуктивным;
- стремиться к тому, чтобы студенты овладевали «планирующим контролем» [18], при этом пооперационный контроль может относиться не только к уже выполненным действиям, но и к планируемым, что обеспечивает возможность анализировать работу над заданием еще до его фактического выполнения: сопоставлять и оценивать известные способы решения, возможные препятствия, т.е. осуществлять мысленный эксперимент;
- проводить работу по выявлению тех приемов поиска решения, которыми фактически пользуются студенты, что поможет лучше разобраться в причинах затруднений;
- поощрять самостоятельность студентов;
- воспитывать студентов в духе уважения к истинному знанию, бескорыстному стремлению приобрести, применить и сохранить его, принимая во внимание различные типы интересов студентов, учитывая разные способы усвоения того или иного учебного материала;
- привлекать и использовать воображение, фантазию и живое представление студентов в ходе решения задач.
Возможность и целесообразность специальной ориентации задачного материала на полноценное формирование методов научного познания в соответствии с учетом структуры личности студента влечет за собой корректировку всей методической системы обучения математике в техническом вузе.
Литература
1. Ухтомский A.A. Физиологический покой и лабильность как биологический фактор // Собр. соч.: В 2-х т. Л., 1951. Т. 2.
2. Дьяченко М.И. Готовность к деятельности в напряженных ситуациях: Психологический аспект / М.И. Дьяченко, Л.А Кандобович, В.А. Пономаренко. Минск, 1985.
3. Котик М.А. Психология и безопасность. Таллин, 1981.
4. Белей М.Д. Задачный подход к формированию психологической готовности учащихся пед. классов к профессии учителя: Дис.... канд. псих. наук. Киев, 1991.
5. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. Воронеж, 1976.
6. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач: Дис. ... докт. пед. наук. М., 1992.
7. Крыговская A.C. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии // Математика в школе. 1966. №6.
8. Леонтьев АН. Избранные психологические произведения: В 2-х т. / Под ред. В.В. Давыдова. М., 1983. Т. 2.
9. Поисковые задачи по математике (4—5-е классы): Пособие для учителей / А.Я. Крысин, В.М. Руденко, В.И. Сазчилова; Под ред. Ю. Колягина М., 1979.
10. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред, шк. 3-е изд., дораб. М., 1989.
11. Обозов H.H. Психология субъекта познания. СПб., 1997.
12. Бондаревская Е.В., Кульневич С.В. Педагогика: личность в гуманистических теориях и системах воспитания. М.; Ростов-на-Дону, 1999.
13. Лаврентьева Н.Б. Педагогические основы разработки и внедрения модульной технологии обучения в высшей школе: Дис.... докт. пед. наук. Барнаул, 1999.
14. Лаврентьев Г.В., Бфременкова О.В. Классификация математических учебных задач с личностноразвивающей функцией для построения операционного модуля // Педагог. 2001. №2.
15. Ноздрин И.Н., Степаненко И.М., Костюк Л.К., Прикладные задачи по высшей математике. Киев, 1976.
16. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М., 1987.
17. Сурдин В.Г. Астрономические задачи с решениями. М., 2002.
18. Злотин Б.Л., Зусман A.B. Решение исследовательских задач. Кишинев, 1991.
19. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. М., 1980.
20. Буслаева И.П. Методика формирования готовности учащихся старших классов к решению нестандартных математических задач: Дис.... канд. пед. наук. М., 1996.
21. Марина Е.В. Гуманизация направленности курса «Практикум по решению математических задач» для студентов педагогических вузов: Дис.... канд. пед. наук. Пенза, 2000.
