CC BY
9
УДК 621.3.05, 519.65
Е.А. Альтман, Д.А. Елизаров
Омский государственный университет путей сообщения, г. Омск
ФОРМИРОВАНИЕ ЭТАЛОННОЙ ФУНКЦИИ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ СПЕКТРОМ ДЛЯ ОЦЕНКИ СПЕКТРА СИГНАЛА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ
Согласно ГОСТ 13109-97 для контроля качества работы электрических сетей необходимо измерять амплитуду, частоту и фазу гармоник сигнала в сети [1].
Одним из наиболее точных методов оценки этих параметров является метод корреляционных функций [2, 3]. Базовым параметром метода корреляционных функций является коэффициент корреляции между набором исследуемых и эталонных сигналов. Для точного определения фазы сигналов необходимым условием при формировании наборов эталонов является использование оконной функции с действительным спектром. В работе [2] такой алгоритм формирования оконной функции представлен не был. В связи с этим, для оценки спектра сигнала в электрической сети, необходимо разработать алгоритм получения эталонов с действительным спектром.
Необходимость применения дополнительных методов для определения параметров сигнала обусловлено неспособностью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) точно определить частоту сигнала, когда максимум ДПФ не совпадает со спектром сигнала, что наглядно отражено на рисунке 1.
Рис. 1. Случай несовпадения максимума ДПФ и непрерывного спектра сигнала На рисунке 1 номера отсчетов максимума ДПФ и его двух соседних вершин обозначе-
ны как к, к + 1 и к -1
соответственно. Номер максимальной гармоники спектра сигнала °б°значен как к реак . Разность между креак
и к как 8.
В методе корреляционных функций для исследуемой функции сигнала формируется набор эталонов. Для этого необходимо определить базовую точку, вокруг которой будут создаваться эталоны (обозначим ее через К). Далее производится анализ на наличие связи в точках между параметрами взвешенного сигнала и эталона, т.е. производится определение коэффициента корреляции. Наибольшее значение коэффициента корреляции показывает на эталон, параметр которого необходимо выбрать.
В качестве исследуемого сигнала рассмотрим периодический сигнал дом Ts:
s(t)
с перио-
v= N
( 2 -ж Л
s(t) = Z Av • sin| T
■ v • t + Pv I , (1)
v=0 ^ s )
где
Av - амплитуда v-й гармоники; p v - фаза v-й гармоники.
Наложим на сигнал
s(t)
весовую функцию
w(t) , имеющее отличное от нуля значение
Г T T 1
I w w I
на временном отрезке 2
2
, со спектром W (а)
для ограничения длительности этого
сигнала. Процесс наложения окна представляет собой домножение неограниченного во времени сигнала s(t) на ограниченную во времени функцию w(t) .
Таким образом, в результате наложения окна на сигнал получается новый, ограниченный во времени, сигнал
y(t) :
v= N 2-ж
j- v
y(t) = s(t) • w(t) = Z A e rp w(t) • e Ts . (2)
v=0
Эталонные сигналы формируются из синусоид с помощью наложения на них оконных функций. Как известно из свойств дискретного преобразования Фурье, для того, чтобы спектр заданного N отсчетами сигнала был действительным, сигнал должен быть симметричен относительно точки N/2 [4]. Оконные функции не трудно сформировать симметричными. Для получения симметричного эталона необходимо сделать симметричной синусоиду.
Как показано на рисунке 2, для того, чтобы синусоида была симметрична относительно точки N/2, необходимо подобрать ее фазу таким образом, чтобы значения в точках (N/2-1) и (N/2+1) были равны по модулю, но противоположны по значению.
Запишем выражения для определения фазы p :
Г 2ж
( n + 1Л 1
2ж ( n 1Л sin| f\
I + Р|
= - ^Г f \
1
I + P . (3)
L N ^ 2 ) j
L N ^ 2 ) j
Т.к. функция синус - нечетная, то формула (3) преобразуется к виду:
Г 2ж
( n + 1Л 1
|
2ж ( n 1Л sin| f\
I + P|
|
. Г
= Sin -
f |
(4)
[ N V 2 ) ]
[_ N V 2 ) ]
Аргументы синусов в формуле (4) равны с точностью до периода:
Г
2Ж II N+
Г|
2ж
I + ф =
N -
IГ Л
I - ф + 2жк . (5)
N V 2 )
N V 2 )
Запишем выражение (5) относительно фазы:
2ф =
2п
2 N
N
I
(____-1 N +
I
V 2 2
I + 2‘лк .
Г|
(6)
83
После сокращения получаем следующую формулу для нахождения фазы:
ф = ж[ + 2лк .
(7)
Рис. 2.
(
Сравним работу метода корреляционных функций с учетом предложенных модификаций [3] и метода Квина [5] при определении амплитуды и фазы. Также сравним полученные результаты с нижней границей Крамера-Рао, которая показывает нижнюю границу дисперсии ошибки оценивания неизвестного параметра при использовании различных методов. Если оценка неизвестного параметра достигает этой границы, тогда данную оценку можно считать эффективной.
Для амплитуды и фазы неравенство Крамера-Рао выглядит следующим образом [6]:
_____ 2 с 2
П(Л) > ,
N
^) >
2 с 2
(lO)
л • A2 • N(N-1)
На рисунке 3 представлены графики зависимостей дисперсий смещения оценки амплитуды и фазы гармоники сигнала от уровня шума (SNR). Также на графиках отражена граница Крамера-Рао. Параметр SNR берется с шагом 5 дБ. Для каждого значения SNR вычисляется дисперсия оценки. Дисперсия оценки вычисляется из 10000 величин параметров сигнала.
б)
Рис. 3. Анализ точности результатов работы: а) определение амплитуды гармоники; б) определение фазы гармоники
84
Разработанный алгоритм формирования симметричных окон может применяться для метода корреляционных функций, уменьшения растекания спектра и других задач анализа спектра сигналов.
Метод корреляционных функций при использовании предложенного алгоритма позволяет оценивать параметры гармоник сигнала близко к границе Крамера-Рао и превосходит по точности другие известные методы.
Библиографический список
1. ГОСТ 13109-97. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. - М. : Изд-во стандартов, 1997. - 44 с.
2. Грицутенко, С. С. Повышение достоверности измерения показателей качества электрической энергии в системе тягового электроснабжения : дис. ... канд. техн. наук : 05.22.07 / Грицутенко С. С. - Омск, 2007. - 154 с.
3. Альтман, Е. А. Повышение точности оценки параметров сигналов в электри-ческой сети в системе тягового электроснабжения / Альтман Е. А, Елизаров Д. А. // Известия Транссиба. - 2012.
4. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко. - СПб. : ПИТЕР, 2002. - 608 с.
5. Quinn, B. G. Estimation of frequency, amplitude and phase from the DFT of a time series / B. G. Quinn // IEEE Trans. Signal Processing. - 1997. - Vol. 45, no. 3. - Р. 814-817.
6. Kay, S. M. Fundamentals of Statistical Signal Processing : Estimation Theory / S. M. Kay.
- Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1993.
