Формальное представление событийных моделей дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.514.2

ФОРМАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОБЫТИЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

© 2012 Е. А. Бабкин1, В. В. Разиньков2

1канд. техн. наук, доцент, профессор каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: eababkin@gmail.com 2аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных

систем e-mail: razinkov86@gmail.com

Курский государственный университет

Вводятся понятия и символьные обозначения отношений следования и отмены событий, потоков событий и операций соединения и разделения потоков. Рассматривается формальное символьное представление событийного поведения дискретных систем на уровне элементарных событий и макрособытий.

Ключевые слова: событие, событийный граф, событийное моделирование, отношение следования событий, отношение отмены событий, поток событий.

Введение

Практическими источниками развития теории имитационного событийного моделирования дискретных систем являются событийные языки моделирования, такие как SIMSCRIPT [Kiviat и др. 1969], SMPL [Макдугал М. 1979] и СЛАМ [Прицкер 1987]. Первыми теоретическими работами в рассматриваемой области стали работы M.R. Lackner [1964; 1962], в которых он представил теорию дискретных событийных систем. В этих работах изменение, а не время стало первоначальным. Предложенная M.R. Lackner теория исчисления изменений требует, чтобы время определялось в терминах изменений. L. Schruben [1983] предложил графическое представление событийной модели в виде событийного графа (event graphs), отображающего не состояния системы, а ее изменения. В дальнейшем предлагались некоторые изменения в событийных графах, однако, работа L. Schruben осталась наиболее заметной. В работах Е.А. Бабкина [1988; 2005] было предложено другое представление событийного графа, отличающееся способом графического представления причинноследственных зависимостей и методологией выделения событий и построения событийного графа.

Одной из проблем событийного моделирования является то, что одно и то же событийное поведение дискретной системы может быть представлено различными событийными графами, которые могут быть программно реализованы с различной эффективностью. E. Yucesan [1989] показал, что используемые подходы могут приводить к ошибочным результатам, так как событийный граф неустойчив к влиянию мировоззрений исследователя. Для одной и той же системы разные исследователи могут построить различные событийные графы. В связи с этим возникает задача формализации эквивалентных преобразований, анализа и синтеза событийных графов. Для этого удобно использовать символьное представление событийной модели дискретной системы.

Отношения следования и отмены событий

Можно выделить два вида зависимостей между событиями: причинно-

следственную и информационную.

В работе Кгап21ши11ег и др. [1996] событийный граф определяется как ориентированный граф G = (Е, ^), где E - непустое множество событий e графа G, а ^ - отношение, соединяющее события, так что x ^ у означает, что есть ребро из события x до события у в G с началом в событии x и концом в событии у. В этой работе вводится обозначение отношения следования между событиями в событийном графе в виде символа ^. Однако нет отображения важных параметров отношения следования, и прежде всего параметра времени. Кроме того, не рассматриваются условия следования и символьное представление отношения отмены событий.

В работах Бабкина, Бобрышева [2007; 2007а] вводится отношение следования

(планирования) событий, отображаемое стрелкой —— . Это бинарное отношение

описывает логические ситуации «предыдущий-следующий» и отображается как

а е,

здесь а - высказывание о происхождении события или некоторая логическая функция высказываний об инициирующих событиях и состоянии

системы; е - планируемое событие;

At - время задержки следования (планирования), то есть время, через которое

должно наступить событие е, после того как функция а примет истинное значение.

Функция а является событийной логической функцией, то есть функцией, принимающей значение «истинно», только в момент совершения событий [Бабкин 2010].

Если после события е1 через время А/ следует событие ^2 при условии

истинности с, то это в символьной форме можно представить следующим образом:

е1 Л С е2 .

Событие ^2 обязательно произойдет только при условии, если произошло событие еI и в этот момент логическое выражение с было истинно. Говорят также в этом случае, что событие еI планирует событие е2 через время А/ при условии с или, что то же самое, событие ^ следует за событием е^ при условии с через время А

Л/

е2 ^ ех Л с .

Событие ех в этом случае будем называть событием-предшественником, а событие ^2 - событием-последователем.

Следует заметить, что событие может планироваться несколькими

событиями или же планироваться при условии, что произошли или не произошли

некоторые события. В этом случае в событийной логической функции а допустимы

отношения дизъюнкции, конъюнкции или отрицания, включающие события. Например, если событие в3 следует через время А/ после события или после события е*2 при выполнении условия с в момент времени, когда происходят события или е*2 , то

это в символьной форме можно представить следующим образом:

Л( / \

е3 ^ (ег V е2) л с,

или, что то же самое, в эквивалентной форме:

/ \ At

(ег V е2) л с ^ e3 .

Выделим следующие виды отношений следования событий: безусловное, условное, без задержки во времени (мгновенное), с задержкой, с неизвестной задержкой и с необязательной задержкой.

Мгновенное безусловное следование события 6*2 после события будем в символьном виде представлять как

е2 ,

безусловное следование события 6*2 после события через время At -

e, ^A'e2,

условное следование после события , при выполнении в этот момент условия с, через время At события 6*2 -

e1 Л c ^At e2.

Необходимо отметить, что это случай следования событий с предусловием.

Следование с постусловием требует ввода фиктивного (пустого) события е0,

то есть события, которому в системе не сопоставлено никакого изменения. Это событие может означать, например, факт наступления запланированного момента времени. Следование с постусловием с можно представить следующим образом:

£\ в0 Л С в2 .

Это означает, что после события e, происходящего в момент времени , через время At происходит событие , если в этот момент ti + At выполняется условие с .

Безусловное следование события после события через неизвестное время, которое необходимо в дальнейшем определить, будем обозначать как

е2 .

Такое обозначение может быть удобно на начальных этапах формализации модели.

Безусловное следование события после события , когда нас не интересует время следования, будем обозначать как

^ е2 .

Введем отношение отмены событий, отображаемое стрелкой —Cancel , где

cancel - признак отношения отмены, знак At - время задержки отмены события. Это отношение описывает класс пар логических ситуаций «предыдущий-следующий» и отображается как

а _____At

а cancel e .

Если событие через время At отменяет событие &2 при условии истинности с , то это в символьной форме можно представить следующим образом:

e1 ^ С ^ cancel e2 .

Совершение события 6*2 обязательно будет отменено только при условии, если это событие было ранее запланировано, произошло событие e1 и в этот момент логическое выражение с было истинно. Говорят также в этом случае, что событие &2 отменяется событием ei:

At

e2 , — вЛ Л с

2 cancel 1

Виды отношений отмены событий такие же, как и виды отношений следования. Мгновенную безусловную отмену события 6*2 после события будем представлять как

е ^ , е

1 cancel 2

безусловную отмену события ^2 после события через время АХ как

____ At

e\ cancel e2

условную отмену события 6*2 после события через время АХ, если

выполняется условие с, как

At

е1 Л С ^cancel e2

безусловную отмену события 6*2 после события через неизвестное время, которое необходимо в дальнейшем определить, как

?

el cancel e2 ,

безусловную отмену события ^2 после события , когда нас не интересует время задержки отмены, как

e1 ^cancel e2 .

Таким образом, событие причинно-следственно зависит от события ех, если ^2 связано с e отношением следования или отмены. Два события причинноследственно независимы, если между ними нет отношений следования и отмены.

Основываясь на классификациях переменных состояния и конфликтов действий в модели, данных в работе [Page 1999], определим информационную зависимость событий. Два события ех и е2 информационно зависимы, если

(О, ПОг)U(I, nO2)U(12 nО,) *0,

где O\ - подмножество переменных состояния, изменяемых при наступлении события ,

о2 - подмножество переменных состояния, изменяемых при наступлении события е*2 ,

1\ - подмножество переменных состояния, влияющих на наступление события ,

12 - подмножество переменных состояния, влияющих на наступление события е2 .

Подмножество I\ - это подмножество переменных, входящих во множество выражений условий следования С = {с1} события после всех событий-предшественников и во множество выражений функций изменения F = {fi} состояний переменных, то есть

А = АС1 U If\ .

Аналогично для подмножества 12 12 = !с 2 ^ 1р 2 .

Два события ех и ^2 информационно независимы, если

(О, ПO2)и(I, ПO2)и(12 nО,) = 0 .

Два события е1 и независимы., если они независимы причинно-следственно и

информационно одновременно. Независимые события могут происходить как последовательно, так и одновременно. Зависимые причинно-следственно события могут происходить только последовательно. Ограничения на одновременность наступления информационно зависимых событий определяются только информационными зависимостями в момент совершения событий. В этом случае необходимо рассматривать предусловия и постусловия событий, истинность которых вычисляется в момент совершения событий. Допустимость одновременного выполнения экземпляров одного события зависит от характера (природы) моделируемых процессов.

Два независимых события е и , происходящие в моменты времени и ?2

соответственно, являются одновременными, если = ?2 .

Два независимых события е и , происходящие в моменты времени и ?2

соответственно, являются неодновременными, если ф ?2 , причем событие происходит после события , если ?2 > .

Два зависимых события е и , связанные отношением следования е1 Л с е2 , являются неодновременными, даже если АХ = 0. Формально в модели

они происходят в один момент времени, но после е. Если два зависимых события и связаны отношением отмены е1 Л С ——сстсе! е2 и АХ = 0, то отмена события ^2 происходит после наступления е при истинности условия с .

Потоки событий

Поток событий - это детерминированная или стохастическая последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени [Советов, Яковлев 2005]. Таким образом, потоком событий будем называть

упорядоченное множество событий Тг = ^е{ 1 = 1, п^, здесь I - номер события в потоке.

Признаками упорядочения потоков событий являются время наступления этих событий и наличие информационной или причинно-следственной зависимости между событиями.

Рассмотрим потоки событий, упорядоченные по времени поступления этих событий.

Однородный поток событий Тг = ( е= 1,п) характеризуется только

множеством моментов времени наступления этих событий ТТг = (Х1

I = 1, п

причем

. Время события может задаваться интервалом Х^ от некоторого одного

момента времени - начального момента времени - или интервалом АХг- между двумя следующими друг за другом событиями. То есть однородный поток событий может быть также задан в виде последовательности интервалов времени АХг- между 1-м и (/-1)-м событиями Тг.

Неоднородный поток событий характеризуется не только моментами наступления событий, но и параметрами событий, то есть событие может быть представлено как в; = (Х;, Рцр, где Х( - момент времени совершения события,

Ри, • ••, Ры - набор признаков события е. Потоки событий, для которых известно время наступления, - это наблюдаемые реализации событийного поведения систем. Например, для неоднородного потока событий может быть задано время выполнения события Х, объект О, в котором происходит событие, приоритет события Рг и функция изменения£ [Бабкин 2010].

Нотации событийного поведения могут быть представлены в виде совокупности потоков событий, связанных отношениями следования или отмены, для которых время не является непосредственной характеристикой, то есть событие е характеризуется только признаками событиярц, ..., р^.

Потоком зависимых событий будем называть такое упорядоченное множество

событий Тг = ^ег г = 1, , что

0Тг 1{ех)Зе]- 0Тгл С]- ^ е{) © (е]- л С]- е1

где с ^ и у - соответственно условие и время задержки следования или отмены

события е1 после события еу , причем У = I — 1 .

Поток событий, состоящий из двух событий, связанных отношением следования

или отмены, будем называть элементарным.

В случае описания зависимых потоков событий используется последовательная

нотация их следования, например поток с условным следованием четырех событий:

А Г АГ„ АГ,

£ Л С~[ ^ 1 е2 Л С2 ^ 63 Л С3 ^ £4 .

Для уменьшения размера символьного событийного описания введем сокращенные нотации.

Последовательное безусловное следование п событий без задержки во времени

е, ^ ... V ^

будем обозначать как

(ег;е2;...;еп),

а одновременное следование п независимых событий е, , ..., еп -

I е2 I ••• I ) •

Например, одновременное безусловное следование п событий без задержки во времени после события в0

ео ^0 е1,

0

е0 ^ е2 ,

будем обозначать как

е0 ^° (е1 \ е2\ ... I ) ;

одновременное условное следование п событий с задержкой во времени № после события е0 с общим условием С

Аг

е0 Л с ^ е1, е0 л с ^Аг є2

Є0 Л С обозначим

е0 Л ^ ^ (Є1 І Є2 II ) .

Два потока Тгх = 11 = 1,«у и Тг2 = ^е2 | ] = 1, ку, где верхний индекс

определяет принадлежность потоку событий, назовем непересекающимися, если ЕТг1Ув2 ЕТг2(в] * е2 ) , пересекающимися, если Зв- ЕТ^Зв2 ЕТг2(е■ = в2). Потоки могут быть связаны отношением следования или отмены, так же как и события. Например, если после потока Ттх е1 11 = 1, безусловно следует поток

Тг2 = (е) I ] = 1, ^ и потоки не имеют общих событий, то это будет представлено как

Тг ^ Тг2 , что означает: после выполнения последнего события е\ Е Тг1 выполняется первое событие е2 Е Тт2, то есть в1п ^ е1 .

Два наблюдаемых потока событий Тг1 = ^е1 11 = 1,^ и Тг2 = ^е1 | j = 1, являются последовательными, если интервалы времени, в течение которых они происходят, не пересекаются, то есть [1, X1 ]п [2,]= 0 . Причем если X]2 > 1Хп, то после потока Тгх следует поток Тт2 , а если ^ ^ , то после потока Тт2 следует поток

Тгх. _ _

Два наблюдаемых потока событий Тг1 = ^е1 11 = 1,^ и Тг2 = ^е1 | j = 1, являются параллельными (одновременными), если интервалы времени, в течение

которых они происходят, совпадают ^п ]=[^12, ^ ], то есть ^ = ^2 и 11п = ^, и

частично параллельными, если инте

происходят, пересекаются к1, Х1 |П к2, ^

рвалы времени, в течение которых они

^ 0 , то есть ^ tj2 или t^ ^ tk .

Сокращенную нотацию последовательного безусловного следования n потоков без задержки во времени

Trx Tr2 ... Trn

будем обозначать как

(Trx;Tr2;...;Trn).

Параллельное следование n потоков обозначим

(Trx\Tr2\...\Trn).

Два потока Trx = (Tr1 ^ Tr2) и Tr2 = (Tr1 ^ Tr2) сходятся, если они являются пересекающимися и Tr1 ^ Tr^, Tr2 = Tr2 , и расходятся, если они являются пересекающимися и Tr\ = Trx , Tr2 * Tr% .

Поток Tr2 = ^e1 | j = 1, kj является продолжением потока Trx = ^ex | i = 1, kj,

если eX = ej2, то есть первое событие потока Tr2 совпадает с последним событием потока Trx.

Для выполнения эквивалентных преобразований символьных нотаций потоков необходимо ввести операции соединения (Join) и разделения (Part) потоков. Возможны две разновидности этих операций: по общему событию и по отношению следования.

Операция соединения потоков по общему событию:

Trx Join (ex = e2) Tr2 = Tr,

1 2 1 где e Е Jti С Tr, бу Е7^2 С Tr. Если ег- является последним событием потока Ттх, а

62 - первым событием потока Tr2 , то это последовательное соединение потоков Trx и

1 2

Tr2 . При этом события ei и б у в потоке Tr совмещаются в одно событие.

Операция разделения потоков по общему событию eg :

Tr Part(eg) = (Tr\ ,Tr^j,

где eg = eg = el, eg E Tr , elg E Trx, ef E Tr2 . Событие является последним

событием потока 7Vj, а ej2 - первым событием потока Tr2 , то есть поток Tr2 является продолжением потока Trx .

Символьное представление событийных моделей

Событийное поведение дискретной системы можно представить в виде

совокупности зависимых потоков событий. Причем символьную нотацию возможно

использовать для описания поведения системы на уровне как элементарных, так и

составных событий и макрособытий.

Рассмотрим пример системы массового обслуживания с конечным накопителем

и ограничением по времени ожидания в накопителе [Бабкин, Бобрышев 2008].

Поведение такой системы может быть описано следующим набором зависимых

потоков событий:

Tr - e 0 e

lr\ -V нПм ^ енП ,

Tr _ e ^ТпЗ e lr2 _V нП ^ енП ,

Tr3 = енП Л (К = Св) (езК I ена ) ,

Tr4 = енП Л (К = Зан) Л (Н = НпЛН) езН ^ТН eoJH

Tr5 = енП Л (К = Зан) Л (Н = Плн) ^0 екПМ3 :

Tr6 = (eoJH ; екПМ3 ) ,

Tr7 = ена ^ТЯ (ека еоК ) ,

Tr9 = еоК Л (Н = Нпст) ^ ео1Н ^Г10 = е01Я ^ (езЯ I ена ) ,

^11 ео1Н * cancel eoJH

Потоки Tr2, Tr3, 7)4 и Tr5 являются расходящимися, поскольку имеют общее начало: событие енП . Кроме того, эти потоки являются продолжением потока 7?! , поскольку Trx заканчивается событием енП, с которого они начинаются. В связи с этим можно соединить, например, потоки Trx и Tr3 :

7>u = Trx Join (е1нп = е\п) Тгъ =

У потока Тг2 начальное и конечное события совпадают, следовательно, это

циклический поток. Сходящимися потоками являются потоки Тт3 и Тги, Тг5 и Тг6.

Возможно символьное описание поведения системы на уровне макрособытий [Бабкин 2005]. Например, макрособытийное описание для рассматриваемого примера:

Ех л (К = Св) ^1а Е

Та ^

——н

Ех л (К = Зан) л (Н = Нплн) ^ н Е3,

Е2 л (Н = Нпст) ^Та Е2 ,

Е2 л (I = N) Е4 ,

Е2 л (Н = Нпст) ^°сапсе1 Е3 .

Каждое макрособытие при этом может быть также специфицировано в символьной форме:

Ео : макрособытие начала моделирования

^нПм ;

Ех : макрособытие поступления транзакта и начала обслуживания транзакта в СМО

Е2 : макрособытие окончания обслуживания транзакта в СМО

(ека; ЄоК ) ,

0

екПЫ 2 ,

0

еоК Л (Н = Нпст) ^ (ео1Н ; (езК І Єна )) ;

Е3 : макрособытие отказа в обслуживании транзакта в СМО в связи с превышением времени ожидания в накопителе Н

(воШ ;екПЫ3);

Е4 : макрособытие окончания моделирования

Єк.Пм

Заключение

Рассмотренные формальные символьные представления причинноследственных отношений событий, потоков зависимых событий и операций над потоками событий в совокупности составляют алгебру зависимых событий, позволяющую в формальном виде представить поведение дискретной системы как на уровне элементарных событий, так и на уровне макрособытий. Предложенный формализм позволяет рассмотреть вопросы анализа, преобразования и синтеза событийных моделей.

Библиографический список

Бабкин Е. А. Методические указания по моделированию вычислительных систем на событийно-ориентированном языке. Курск: КПИ, 1988.

Бабкин Е. А. Событийные модели дискретных систем / Курск. гос. ун-т. Курск, 2005. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 14.01.05, № 30-В2005.

Бабкин Е. А., Бобрышев Е. А. Иерархическое событийно-автоматное моделирование // Информационные технологии моделирования и управления. Научнотехнический журнал. Воронеж: Научная книга, 2007. № 1 (35).

Бабкин Е. А., Бобрышев Е. А. О формализме событийно-автоматного моделирования // Третья всероссийская научно-практическая конференция по имитационному моделированию и его применению в науке и промышленности «Имитационное моделирование. Теория и практика» ИММ0Д-2007: сб. докладов. Т. 1. СПб.: ФГУП ЦНИИТС, 2007а. С. 82-86.

Бабкин Е. А., Бобрышев Е. А. О методах декомпозиции событийных графов // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. Курск, 2008. № 2(6). 17 с. URL: http://scientifical-notes.ru/pdf/006-02.pdf (дата обращения: 11.02.2012). № гос. регистрации №0420800068\0024.

Бабкин Е. А. О понятии события в дискретно-событийном моделировании // Информационные системы: Теория и практика: сб. науч. работ / редкол.: Е.А. Бабкин, В.А. Кудинов, И.В. Селиванова; отв. ред. Е.А. Бабкин; фак. информатики и вычислит. техники Курск. гос. ун-та. Курск, 2010. С. 46-51.

Макдугал М. Моделирование на уровне систем // Автоматизация проектирования вычислительных систем. Языки, моделирование и базы данных / под ред. М. Брейера. М.: Мир, 1979. С. 11-133.

Прицкер А. Введение в имитационное моделирование и язык СЛАМ II: пер. с англ. М., 1987. 646 с.

Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: учеб. пособие для вузов. 4 изд., стер. М.: Высшая школа, 2005. 343 с.

Kiviat P.J., Villanueva R., Markovitz H. The SIMSCRIPT II Programming Language. Prentica-Hall, 1969.

Kranzlmuller D, Grabner S., Volkert J. Program Analysis Through Visualization // Software Visualization / Eades, P., Zhang, K., (Eds.) / Series on Software Engineering and Knowledge Engineering. 1996. Vol. 7. World Scientific Publishing, Singapore. P. 183-202.

Lackner M.R. Toward a General Simulation Capability / Proceedings of the AFIPS Spring Joint Computer Conference. San Francisco, CA, May 1-3, 1962. P. 1-14.

Lackner M.R. Digital Simulation and System Theory. System Development Corporation, Santa Monica, CA, 1964.

Page E., Nance R.. Incorporating Support for Model Execution within the Condition Specification // Transactions of the Society for Computer Simulation. 1999. 16(1). P. 47-62.

Schruben L.W. Simulation Modeling with Event Graphs // Communications of the ACM. 1983. Vol. 26. №. 11. P. 957-963.

Yucesan E. SimulationGraphs for the Design and Analysis of Discrete EventSimulation Models: PhD Dissertation. Cornell University, Ithaca, NY,1989.