CC BY
29
А.М. Бабанов
ФОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТЕОРИИ СЕМАНТИЧЕСКИ ЗНАЧИМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Статья представляет собой очередную публикацию автора, посвященную развитию подхода к моделированию данных, основанного на понятии семантически значимого отображения. В ней представлены основы формальной системы для этого подхода.
Классики баз данных справедливо критикуют существующие семантические модели за их нестрогость, отсутствие однозначных определений основных понятий и тем более формальных систем [1]. Предлагаемая автором семантическая модель «Объект-Отображение» (в дальнейшем кратко - OM-модель от англоязычного ее написания - Object-Mapping Model) [2, 3] лишена этих недостатков. В настоящей статье закладываются основы формальной системы теории семантически значимых отображений (ТСЗО). Дальнейшее развитие этой системы (в основном за счет расширения системы аксиом и теорем) будет происходить параллельно с развитием ТСЗО и OM-модели.
Формальная система традиционно определяется как неинтерпретированное исчисление, класс выражений (формул) которого задается посредством задания исходных («элементарных», или «атомарных») формул и правил образования (построения) формул, а подкласс доказуемых формул (теорем) - посредством задания системы аксиом и правил вывода (преобразования) теорем из аксиом и уже доказанных теорем.
Предлагаемая для теории семантически значимых отображений формальная система строится на базе исчисления предикатов первого порядка.
Атомами формальной системы теории семантически значимых отображений являются:
- предикат вида х = у (истинен тогда и только тогда, когда предметные переменные х и у указывают на один и тот же объект);
- предикат вида у = ф(х) (истинен тогда и только тогда, когда объект у является образом объекта х при отображении ф);
- предикат вида R(xj,...,xn), где R - отображение
R : Xj x ...x Xn ^ {0,1} (истинен тогда и только тогда, когда кортеж объектов x1,...,xn принадлежит OM-отношению R).
Для построения формул используются традиционные для исчисления предикатов первого порядка синтаксические правила, традиционны также правила вывода, основным из которых является правило «модус поненс»: из формул ф и ф^-у выводится формула у.
Для доказательства теорем ТСЗО и ее взаимосвязей с теорией реляционных БД используется метод резолюций, поэтому аксиомы теории представляются в стандартной предикатной форме в виде множества дизъюнктов. Первые выводы теории получены из рассмотрения тернарного случая (рис. 1), при котором имеется три класса объектов (X, Y, Z), четыре отношения (одно тернарное - R(X,Y,Z) и три бинарных -Rxy(X,Y), Ryz(Y,Z), Rxz(X,Z)) и двадцать отображений (восемь из них определяет отношение R и по четыре -каждое из бинарных):
у1 : X -> Y x Z, у-1: Y x Z -> X, у2: Y -> X x Z, у-1: X x Z -> Y,
у3: Z -> X x Y, у-1: X x Y -> Z,
R : X x Y x Z ^ {0,1} , R- :{0,1} ^ X x Y x Z ,
ф1 : X -> Y, ф1-1 : Y -> X,
RXY : X x Y ^ {0,1}, Rxy- :{0,1} ^ X x Y ,
ф2: Y -> Z, ф-1: Z -> Y, RYZ : Y x Z ^ {0,1} , Ryz- :{0,1} ^ Y x Z ,
ф3: Z -> X, ф-1: X -> Z, RXZ : X x Z ^ {0,1}, RXZ- : {0,1} ^ X x Z .
Ф21 Ф2
Рис. 1. Тернарный случай
Первую часть аксиом ТСЗО составляют общезначимые формулы, связанные с операциями над отображениями.
Для инверсии отображений формула
УхУу(у = ф(х) ^ х = ф-1 (у)) порождает дизъюнкты
-У = ф( х) V х = ф-1( у), у = ф( х) V х = ф-1( у).
Для композиции отображений формула УхУ2 (2 = у(ф(х)) ^ Зу(у = ф(х) Л 2 = у(у))) порождает дизъюнкты
-2 = у (ф(х)) V/(х, 2) = ф(х) ,
-2 = у (ф(х)) V 2 = у (/(х, 2)) ,
где /х, 2) - функция Скулема,
2 = у (ф(х) V -у = ф(х) V -2 = у (у) .
Для объединения отображений формула УхУу(у = (фи у)(х) о у = ф(х) V у = у(х)) порождает дизъюнкты
-у = (фиу)(х) Vу = ф(х) Vу = у(х),
у = (фи у)(х) V -у = ф(х), у = (фи у)(х) V -у = у(х).
Для пересечения отображений формула УхУу(у = (фП у)(х) о у = ф(х) Л у = у (х)) порождает дизъюнкты
-у = (ф П у)(х) V у = ф(х),
-у = (ф П у)( х) V у = у (х), у = (фП у)(х) V -у = ф(х) V -у = у(х).
Для разности отображений формула УхУу(у = (ф - у)(х) о у = ф(х) Л -у = у (х)) порождает дизъюнкты
-у = (ф-у)(х) V у = ф( х),
-у = (ф - у)(х) V -у = у (х), у = (ф - у)(х) V -у = ф(х) V у = у (х).
Для проекции отображения формула
УхУу(у = ф[7](х) о 32(< у, 2 >= ф(х))) порождает дизъюнкты
-у = ф[^](х^ < у, /(х, у) >= ф(х), где /(х, у) - функция Скулема,
у = ф[^](х) V -< у, 2 >= ф(х).
Вторую группу аксиом составляют общезначимые формулы, представляющие тот факт, что одно отношение степени п определяет 2п отображений. В рассматриваемом нами тернарном случае общезначимыми будут следующие утверждения и порождаемые ими дизъюнкты.
УхУуУ2(Я(х, у, 2) ^< у, 2 >= у1 (х)
Лх = у-1 (у, 2)л < х, 2 >= у 2 (у) Л у = у-Чх, 2)Л< х, у >=у з(2) Л 2 = у-1(х, у))
-Я(х, у, 2^ < у, 2 >= у1 (х)
-Я(х, у, 2) V х = у-1 (у, 2)
- Я (х, у, 2 ) V < х, 2 >= у 2 (у)
-Я(х, у, 2) V у = у-1(х, 2)
-Я(х, у, 2^ < х, у >= у3 (2)
-Я(х, у, 2) V 2 = у-1 (х, у)
УхУуУ2(<у,2 >=у1 (х^х = у-1 (у,2^<х,2>=у2 (у) V у=у21(х,2К<х,у>=уз(2^2=у-1(х,у)^Я(х,у,2)):
Я(х, у, 2) V —1< у, 2 >= у1 (х)
Я( х, у, 2) V-х = у1-1 (у, 2)
Я (х, у, 2) V —1< х, 2 >= у 2 (у)
Я( х, у, 2) V-у = у-1 (х, 2)
Я(х, у, 2) V —1< х, у >= у3 (2)
Я( х, у, 2) V-2 = у-1 (х, у)
УхУу(Яху (х, у) ^ у = ф1(х) л х = ф11 (у)):
-Яхт (х, у) V у = ф1( х)
-Яхт (х, у) V х = ф1-1(у)
УхУу(у = ф1(х) V х = ф-1 (у) ^ Яхт (х, у)):
Яхт (х,у) V-у = ф1(х)
Яхт (х,у) V-х = ф-Чу)
УуУ2(Ят2 (у, 2) ^ 2 = ф2(у) Л у = ф-1 (2)):
-Ятх (у, 2) V 2 = ф2 (у)
-Ятъ (у, 2) V у = ф-1( 2)
УуУ2 (2 = ф2(у) V у = ф-1 (2) ^ Ятг (у, 2)):
Ятъ (у, 2) V-2 = ф2 (у)
Ятъ (у, 2) V-у = ф-Ч 2)
УхУ2(Яхг (х, 2) ^ х = ф3(2) Л 2 = ф-1 (х)):
-Яхъ (х, 2) V х = фз( 2)
-Яхх (х, 2) V 2 = ф-1( х)
УхУ2(х = ф3(2) V 2 = ф-1 (х) ^ Яхг (х, 2)):
Яхх (х, 2) V-х = ф3 (2)
Яхг(х,2)V-2 = ф-Чх).
Предлагаемая формальная система прошла проверку доказательством теорем. Методом резолюций во введенной формальной системе доказаны следующие теоремы.
В теории проектирования реляционных БД устранение аномалий, связанных с избыточным дублированием данных, осуществляется в процессе декомпозиции исходного «аномального» отношения. В нашей методологии проектирования эта же задача решается за счет исключения избыточных отношений, поскольку изначально строятся и тернарное, и все «семантически близкие ему» бинарные отношения.
Право осуществления подобных действий нам дает истинность следующих формул:
УхУуУ2(Я(х, у, 2) -о Яхт (х, у) Л Ях2 (х, 2))
- условие многозначной зависимости х -> т | 2 и УхУуУ2(Я(х, у, 2) о Яхт (х, у) Л Ят2 (у, 2) Л Ях2 (х, 2))
- условие зависимости соединения *(хт, т2, х2).
Теоремы 1 и 2 вводят эквивалентные аналоги этих выражений в ТСЗО.
Теорема 1. Следующие формулы являются логическими следствиями друг друга:
УхУуУ2(Я(х, у, 2) о Яхт (х, у) Л Ях2 (х, 2)) и УхУуУ2(< у, 2 >= у1 (х) о у = ф1 (х) Л 2 = ф-1 (х)) .
Теорема 2. Следующие формулы являются логическими следствиями друг друга:
УхУуУ2 (Я( х, у, 2) о Яхт (х, у) Л Ятг (у, 2) л Яхг (х, 2)) и
УхУуУ2 (< у, 2 >=у1 (х) о у = ф1 (х)л 2 = ф2 (у) Л х = ф3 (2 )) .
Следующие две теоремы служат основанием для декомпозиции без потерь функциональных зависимостей.
Теорема 3. Отображение у1 функционально тогда и только тогда, когда функциональны обе ее проекции
у1 [т ] и у^г ].
Теорема 4. Если отображения ф1 и ф-1 функциональны и являются следствиями проекций у1[т] и у1[г ] соответственно, то функциональны и проекции у1 [т ] и у№ ].
Следствие теорем 3 и 4 гарантирует функциональность отображения у1 при декомпозиции отношения Я(х, у, 2) на отношения Яхт (х, у) и Ях2 (х, 2), в которых отображения ф1 и ф-1 функциональны.
Следствие теорем 3 и 4. Если отображения ф1 и ф-1 функциональны и являются следствиями проекций у1[т] и у1[г] соответственно, то функционально отображение у1 .
Теорема 5 обеспечивает условия декомпозиции отношения Я(х, у, 2) на отношения Яхт (х, у) и
Ях2 (х, 2) без потерь информации при наличии функциональных отображений.
Теорема 5. Если одна из проекций отображения у1 функциональна, и обе проекции эквивалентны соответствующим бинарным отображениям, то выполняется условие эквивалентности схемы отношения Я(х, у, 2) схеме с отношениями Яхт (х,у) и
Яхг(2).
Теорема 6 обеспечивает условия декомпозиции отношения Я(х, у, 2) на отношения Яхт (х, у) и Ях2 (х, 2) без потерь информации.
Теорема 6. Условие эквивалентности схемы отношения Я( х, у, 2) схеме с отношениями Яхт (х, у) и Ях2 (х, 2) выполняется тогда и только тогда, когда отображения ф1 и ф-1 являются следствиями проекций у1[т] и у1[г] соответственно, и истинно следующее высказывание:
УхУуУ2(у = ф1(х) Л 2 = ф-1 (х) ^< у, 2 >= у1 (х)) .
ЛИТЕРАТУРА
1. Дейт К. Введение в системы баз данных. 7-е изд.: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2001. 1072 с.
2. Бабанов А.М. Теория семантически значимых отображений // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 239 - 248.
3. Бабанов А.М. Применение теории семантически значимых отображений для проектирования реляционных баз данных // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 249 - 257.
Статья представлена кафедрой теоретических основ информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Информатика» 25 мая 2005 г.
