CC BY
6
Челябинский физико-математический журнал. 2023. Т. 8, вып. 2. С. 212-227.
УДК 517.977 DOI: 10.47475/2500-0101-2023-18205
ФОРМАЛЬНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
БИНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Е. А. Черепанова
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия [email protected]
Рассматриваются неявные дифференциальные уравнения (бинарные дифференциальные уравнения) вида ар2 + 2Ьр + с = 0, где а = а(х, у), Ь = Ь(х, у), с = с(х, у), р = , причём а(0,0) = Ь(0,0) = с(0,0) = 0. Показано, что типичное уравнение такого типа формальными заменами координат (х, у) I—> (X, У) приводится к формальной нормальной форме (аХ + вУ + 7(Х ))Р2 + X + У = 0, Р = ^, где а, в е С\{0}, 7 -формальный ряд по переменной X, 7(0) = 0, 7'(0) = 0.
Ключевые слова: бинарное дифференциальное уравнение, неявное дифференциальное уравнение, формальная нормальная форма.
Введение
Бинарное дифференциальное уравнение (BDE — binary differential equation [1]) — это неявное дифференциальное уравнение вида
ap2 + 2 bp + c = 0, (1)
где a = a(x,y), b = b(x,y), c = c(x,y), p = • Бинарные дифференциальные уравнения возникают естественным образом во многих прикладных задачах. Так, BDE задают характеристики уравнений в частных производных второго порядка; о других приложениях см. [1-3].
В случаях малой коразмерности BDE достаточно полно изучены [3-6]. Однако в ситуации, когда все три коэффициента уравнения (1) одновременно обращаются в нуль
a(0, 0) = b(0, 0) = c(0, 0) = 0, (2)
при исследовании уравнения (1) возникают значительные проблемы.
Одним из основных методов качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является метод нормальных форм. Суть метода состоит в том, чтобы подходящими заменами координат привести исследуемое уравнение к простейшему виду (нормальной форме). Уравнения, получаемые одно из другого заменами координат, называют эквивалентными. Гладкая классификация типичных уравнений (1) получена в [5; 7]. Топологическая классификация (типичных) уравнений (1) при условиях (2) (далее для краткости просто (1), (2)) исследовалась в [1; 8]. Однако гладкая и аналитическая (и даже формальная, см. замечания ниже) классификации таких уравнений к настоящему моменту не изучены.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 21-51-54003).
Топологическая классификация уравнений (1), (2) в работе [1] строилась в два шага. На первом шаге линейной заменой приводилась к нормальной форме линейная часть уравнения (1); затем подходящими гомеоморфизмами аннулировались нелинейные члены.
Попутно авторы получают следующие результаты:
а) формальными заменами типичное уравнение (1), (2) можно привести к «prenormal» форме, для которой коэффициенты a и c совпадают (или отличаются знаком) и не содержат нелинейных членов [1, §3.1, предложение 3.4];
б) более того, формальными заменами можно дополнительно существенно упростить и коэффициент b — привести его к виду, такому, что его нелинейная часть есть функция только от одной переменной [1, замечание 3.5].
При этом, как пишут авторы в замечании 3.6, «We have been unable to make any progress on the question of convergence»; однако для целей их работы это не являлось существенным.
Таким образом, фактически утверждение б) из [1] даёт формальную классификацию типичных BDE (1), (2). Здесь, однако, следует отметить один существенный пробел в обосновании этого утверждения. Доказательство предложения 3.4 в [1] проводилось классическим методом последовательных приближений. При этом на k-м шаге надо было решать линейную систему уравнений с некоторой матрицей Mk, полиномиально зависящей от коэффициентов линейной части уравнения (1). Условия типичности, налагаемые на BDE (1) в работе [1], и состояли в том, что det Mk = 0. И эти условия, конечно, будут выполняться для типичных BDE — если показать, что все многочлены det Mk отличны от тождественного нуля. Но вот это как раз в работе [1] и не проверено. Те же замечания, но в ещё большей степени (соответствующая матрица существенно сложнее) относятся и к утверждению б).
Цель настоящей работы — восполнить указанные выше пробелы в задаче о формальной классификации типичных BDE вида (1), (2). При этом, имея в виду дальнейшее построение аналитической классификации таких BDE и учитывая предварительные результаты, полученные в этом направлении [9], мы будем использовать формальную нормальную форму, отличную от формальной нормальной формы, предложенной в [1, замечание 3.5]. Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема 1. Типичное BDE (1) при условии (2) формальной заменой координат, (x,y) ^ (X, Y) приводится к виду
dY
(aX + eY + y(X))P2 + X + Y = 0, P = — (3)
dX
где a, в E C \ {0}, y _ формальный ряд по переменной X, y(0) = 0, y'(0) = 0.
Замечание 1. Условия типичности в теореме 1 налагаются на коэффициенты линейной части уравнения (1) и состоят в выполнении счётного числа полиномиальных ограничений типа неравенств. Следуя определению 3.3 из [1], эти ограничения можно называть условиями нерезонансности линейной части уравнения (1) в случае (2). Эти условия — в более или менее явном виде — выписаны в замечаниях 5 и 6.
Замечание 2. Формальная нормальная форма (3), как уже было отмечено выше, представляется более удобной по сравнению с формальной нормальной формой б) из [1]. Однако у неё имеются и определённые недостатки, см. замечание 7.
Замечание 3. В отличие от авторов работы [1] (смотри выше пессимистическую цитату из их работы), мы (с учётом [10]) полны оптимизма в отношении сходимости нормализующих рядов.
Опишем структуру работы. В разделе 1 выписаны условия, обеспечивающие гладкость поверхности уравнения. В разделе 2 приводятся явные формулы, показывающие, как меняется БВЕ при замене координат. Здесь же проводится нормализация линейной части БВЕ (1) в случае (2). Основная часть доказательства теоремы 1 содержится в разделе 3. Именно там доказана теорема 2 о нормализации в классах БВЕ с фиксированной линейной частью. Теорема 1 следует из результатов разделов 2 и 3 (см. раздел 4).
1. Уравнения с гладкой поверхностью
Пусть ^(х,у,р) = ар2 + 2bp + с — левая часть уравнения (1). Поверхность Ы = (х,у,р) = 0} с С3 будем называть поверхностью уравнения (1). Отметим, что для уравнения (1) из условий (2) следует, что для всех р е С точка (0, 0,р) принадлежит поверхности уравнения: если Ь = ((0, 0,р) : р е С}, то Ь С Ы. Нас будет интересовать поведение системы (1) в окрестности кривой Ь. По теореме о неявной функции Ы будет гладкой поверхностью в окрестности Ь, если выполняется условие
у^(0,0,р) = 0 ур е С. (4)
Пусть f (р) = (0, 0,р), д(р) = (0, 0,р). Тогда f и д многочлены второй степени, так что f (р) = а\р2 + 2Ь\р + в\ = 0, д(р) = а2р2 + 2Ь2р + с2 = 0 для некоторых аг,Ьг,вг е С, % = 1, 2. Условие (4) не выполняется, когда система
f (p) = aip2 + 2bip + ci = 0, g(p) = a2p2 + 2b2p + C2 = 0
(5)
имеет решения. Это равносильно тому, что результант R = R(f, g) системы (5)
R = (aiC2 - a2Ci)2 - 4(b2Ci - biC2)(a2bi - a^) (6)
равен нулю. Таким образом, если
R = 0, (7)
то M гладкая поверхность.
В настоящей работе мы будем рассматривать лишь уравнения вида (1) при условии (2) с гладкой поверхностью (т. е. те для которых выполняется условие (7)).
2. Нормализация линейной части BDE. Классы Ba,ß 2.1. Преобразование BDE при замене координат
Лемма 1. При замене координат (x,y) -—> (X = X(x,y), Y = Y(x,y)) уравнение (1) переходит в уравнение
AP2 + 2BP + C = 0, (8)
где P = dY и коэффициенты уравнения (8) связаны с коэффициентами уравнения (1) следующим образом:
a = ~aY2 + 2bXy Yy + cXy2, (9)
b = aYxYy + b(Xy Yx + Xx Yy) + cXxXy, (10)
с = аУ2 + 2ЬХ,Уу + ХХ2, (11)
где
а = А(Х(х,у),У(х,у)), Ь = В(Х(х,у),У(х,у)), с = С(Х(х, у), У(х, у)). (12)
Доказательство. Пусть указанная замена координат переводит ББЕ (1) в ББЕ (8). Заметим, что при этом Р = ^Х = X* +Хр. Подставляя это соотношение в уравнение (8), после домножения на знаменатель получим требуемое. □
2.2. Нормализация линейных членов
Лемма 2. Бинарное уравнение с типичной линеинои частью линеинои заменой переменных (х,у) I—> (X, У) приводится к уравнению с линейной частью
(аХ + вУ )Р2 + X + У, (13)
где Р = ^, а, в е С, а = 0, в = 0.
Доказательство. В уравнении (1) сделаем линейную подстановку
Х = Х (х, у) = А1х + А2у, У = У (х, у) = Вхх + В2у.
Условие её невырожденности состоит в том, что
:14)
А1 А2 В1 В2
= 0. (15)
В соответствии с леммой 1 уравнение (1) переходит при этом в уравнение (8), коэффициенты которых связаны формулами (9)-(12). Пусть коэффициенты уравнения (8) имеют вид А = а1Х + а2У +..., В = Ь1Х + Ь2У +..., С = с1Х + с2У + .... Будем искать такую замену, чтобы в уравнении (1) линейная часть коэффициента Ь была равна нулю. Подставляя (12) в (10), получим
Ь = В^^Х + «2У) + (А2В1 + А1В2)(Ь1Х + Ь2У) + А1А2(С1Х + С2У) + .... (16)
Подставив (14) в (16) и приравнивая в полученном выражении коэффициенты при х и у к нулю, получим систему
а^В^ + (Ь1А1 + Ь2 В1)(А2 В1 + А1В2) + С1А2А2 + а2В?В2 + С2А1А2 Вх = 0,
а^В^ + (Ь1А2 + Ь2 В2)(А2 В1 + А1В2) + С1А1А2 + а2В1В22 + С2А1А2 В2 = 0.
Заметим, что эта система однородна относительно переменных А1, А2, В1, В2, поэтому удобно перейти к переменным = ^, д2 = В2. Получим
а2 + а1?1 + (Ь2 + Ь^Хя! + 52) + (с1?1 + 02)^2 = 0, (17)
а2 + а1^2 + (Ь2 + Ь1Я2)(Я1 + 92) + (с^ + С2)9192 = 0. (18)
Вычитая (16) из (17) и поделив результат на (д1 — д2) (д1 = д2 в силу (15)), получим
а1 + Ь1(я1 + 92) + С1 ^1^2 = 0. (19)
Переходя к вспомогательным переменным и = 51 + 52, V = 5^2, представим уравнение (19) в виде а1 + Ь1и + = 0, откуда находим
V = - < + &1и (20)
С1
(в предположении, что с1 = 0). Складывая уравнения (17) и (18), получим уравнение, которое в переменных (и,^) примет вид
2а2 + а1и + 262и + Ь1и2 + 2с2^ + с1и^ = 0. (21)
Подставляя (20) в (21), получим
и = а1 С2 - <22^1 (22)
62С1 - 61С2
(при условии, что 62с1 = 61с2). Тогда из (20) и (22) следует, что
^ = - а2&1 - а^ (23)
62С1 - 61С2 .
Возвращаясь к переменным 51, 52, видим, что по теореме Виета в качестве 51 и 52 можно взять
„ _ «1С2— «2С1
51 2(Ь2С1-Ь1С2) , 5 = &1С2 —а2С1—л/Д
52 = 2(Ь2С1—6102)
(дискриминант соответствующего квадратного уравнения, как легко видеть, в точности равен Я из (6)).
Заметим, что 51 = 52 (в силу (7)). Таким образом, для любых ненулевых В1 и В2, при А1 = 51В1, А2 = 52В2 получим замену (14), которая обнуляет линейную часть коэффициента 6. При этой замене, для линейной части коэффициента с (равной с1ж + с2у) полученного уравнения в соответствии с (11) имеем
С1 = «1^1 В2 + 261^1 + С1 А? + «2^3 + 262А1В2 + 02^2^1. (24)
Покажем, что при некоторых условиях на коэффициенты а^б^с^ оба коэффициента с1 и с2 не равны нулю. Действительно, пусть с1 = 0. В переменных (51,52) выражение (24) примет вид
<2 + 51<1 + 251(62 + 5161) + 52 (с2 + 51С1) = 0. (25)
Вычитая (17) из (25), получим
62 + 6151 + 51(02 + 0151 ) = 0. (26)
Подстановка (26) в (17) влечёт равенство
<<2 + <<151 + 51(62 + 6151) = 0. (27)
Из (26) и (27) имеем
62 + 61 51 < 2 + < 1 51
-51 = —,-= 1Г7Т—,
02 + 0151 62 + 6151
откуда следует, что 51 корень квадратного уравнения
(62 + 6151)2 = (а2 + а151)(02 + 0151). (28)
Но — также корень квадратного уравнения ^ — + V = 0. С учётом (22), (23) это даёт равенство
?2(Ь2С1 — Ь1С2) — Я1(а1С2 — а2С1) + а2Ь1 — а1Ь2 = 0. (29)
Получаем, что — одновременно корень квадратных уравнений (28) и (29); это возможно лишь в случае, когда результант системы (28), (29) равен нулю. Прямые выкладки дают формулу для этого результанта:
Я = (а1Ь2с1 — а1а2Ь1с1 — а1а2с1с2 — а1Ь2^Ь2 — а1Ь1Ь2с2 + 2а1с1Ь2 + а2с2+
+а2Ь^ + 2а2Ь2С2 — 3а2Ь1 Ь2С1 + а2Ь1 с2 — а2^С1С2 — Ь1Ь2С2 + Ь^)^^^ —
—а1с2 — а1а2Ь1 с1 + а1а2с1с2 — а1 Ь1Ь2 + 3а1Ь1Ь2с2 — 2а1с1Ь2 + а2Ь1—
— 2а2Ь2С2 + а2Ь1Ь2С1 + а2Ь1С2 — а2Ь2С1С2 — Ь^с2 + Ь^ С1).
Таким образом, для типичных коэффициентов а^Ь^с результант Я системы (28), (29) не равен нулю:
Яа = 0, (30)
так что в этих случаях также и с1 = 0.
Аналогичные выкладки показывают, что с2 = 0 (при том же ограничении (30)). То же (и с тем же результантом) верно и для линейной части коэффициента а: если а = а1х + а2, то можно показать, что а1 = 0, а2 = 0 при том же условии (30).
Наконец, дополнительными растяжениями (х,у) ——> (Л1 х, Л2у) коэффициенты с1, с2 можно сделать равными единице (при этом коэффициенты линейной части а также изменятся, но по-прежнему будут ненулевыми). Таким образом, уравнение (8) приведено к уравнению с линейной частью (13), для которой выполняются условия а = 0, в = 0. □
Замечание 4. Условия (7), с1 = 0, Ь1с2 = Ь2с1 и (30) являются условиями типичности в лемме 2.
2.3. Классы Ва,в
Таким образом, в пункте 3.2 мы показали, что БВЕ с типичной линейной частью приводится к уравнению с линейной частью (13), где а = 0, в = 0.
Обозначим Ва,в класс БВЕ с линейной частью (13). Формальная нормализация БВЕ из класса Ва,в будет рассматриваться в следующем пункте.
3. Нормализация в классах Baß
В этом разделе мы докажем следующую теорему
Теорема 2. Для почти всех (a,ß) g c каждое уравнение (1) из Ba,ß формальной заменой координат вида (x, y) 1—> (X = x + ..., Y = y + ...) приводится к виду
dY
(aX + ßY + y(X))P2 + X + Y = 0, P = — (31)
dX
где y(0) = 0, V(0) = 0.
Доказательство. Доказательство теоремы будет произведено по следующей схеме с помощью стандартного способа (индукция). На первом шаге (база индукции)
мы проведём нормализацию квадратичных членов. Затем (шаг индукции), предполагая, что (n — 1)-струя BDE (1) при условии (2) уже нормализована (совпадает с (n — 1)-струёй своей формальной нормальной формы (31)), обнуляем лишние мономы n-струи. Бесконечная суперпозиция построенных замен и даст искомую формальную нормализующую замену.
1. База индукции. BDE (8) класса Ba,ß имеет линейную часть (13). Распишем (8) до квадратичных членов
(aX + + «20X2 + «nXY + 2 + ... )P2 + 2(ba,X2 + bnXY + 602 Y2 + ... )P+
+X + Y + C20X2 + C11XY + C02Y2 + ■ ■ ■ = 0. (32)
Попробуем привести уравнение (32) к линейной нормальной форме (13) (хотя бы на уровне 2-струй). Для этого нормализуем квадратичные члены, сделав замену следующего вида:
Г X = X(x,y) = x + А20Ж2 + Anxy + A02y2, \ Y = Y(x,y) = y + B20X2 + Biixy + В02У2,
и будем использовать домножение на функцию
k = 1 + k1x + k2y. (33)
При этом, в соответствии с леммой 1, уравнение (8) перейдёт в уравнение (1), коэффициенты этих уравнений связаны соотношениями (9)-(12) (надо дополнительно домножить (12) на коэффициент (33)). В результате получим
« = ax + ey + a(k1x2 + k2xy + A20x2 + A11xy + A20y2) +
+в(k1 xy + k2y2 + B20x2 + ßnxy + B02y2) + Ö20x2 + änxy + «02y2 + . . . , (34)
b = b20x2 + bnxy + 602y2 + ..., (35)
с = x + y + k1x2 + k1xy + k2xy + k2y2 + A20x2 + Anxy + A02y2,
+B20x2 + Bnxy + B02y2 + C20x2 + cnxy + C02y2 + .... (36)
Подставляя (34)-(36) в (9)-(11) соответственно, получим
a = ax + ey + a(k1x2 + k2xy + A20x2 + A11xy + A02y2 + 2B11 x2+
+4B02xy) + в (k1xy + k2y2 + bMx2 + Bnxy + B02y2+
+2ßnxy + 4B02y2) + Ö20x2 + änxy + ä02y2 + ... (37)
b = 2aB20x2 + aB11xy + 2eB20xy + eB11y2 + A11x2 + A11xy+
+2A02xy + 2A02y2 + 2b20x2 + 2bnxy + 2602 y2 + ... (38)
c = x + y + k1x2 + k1xy + k2xy + k2y2 + ^x2 + Anxy + A02y2+
+B20x2 + ßnxy + B02y2 + 4A20x2 + 4A20xy + 2Anxy + 2Any2+
+C20x2 + cnxy + C02y2 +--------(39)
Сравнивая в уравнениях (37)-(39) коэффициенты при членах второй степени (т. е. приравнивая их к нулю, ведь мы хотим избавиться от нелинейных членов в коэффициентах a, b, c), получим систему из девяти уравнений относительно восьми неизвестных (коэффициентов замены и функции k). Ясно, что, вообще говоря,
такая система не разрешима. Поэтому из этих девяти уравнений мы оставим только
восемь последних, т. е. не будем нормализовать коэффициент при х2 в уравнении
(37): выполнение отброшенного первого уравнения обеспечим за счёт выбора коте
эффициента 72 в разложении функции 7(X) = ^ 7тхт из формальной нормаль-
т=2
ной формы (31). В результате получим систему из восьми линейных неоднородных уравнений относительно восьми переменных с матрицей М2 вида
Л20 Л11 Л02 Б20 Б11 Б02 к1 к2
ац 0 а 0 0 3в 4а в а
а02 0 0 а 0 0 5в 0 в
Ь20 0 1 0 2а 0 0 0 0
Ьц 0 1 2 2в а 0 0 0
Ь02 0 0 2 0 в 0 0 0
С20 5 0 0 1 0 1 1 0
С11 4 3 0 0 1 0 1 1
С02 0 2 1 0 0 1 0 1
где ау, Ьу, Су — строки, занумерованные буквами в соответствии с тем, при каких степенях приравнивались коэффициенты в уравнениях (37)-(39); Лу, Бу, кг — переменные.
Для разрешимости этой системы достаточно, чтобы определитель матрицы (40) был отличен от нуля. Этот определитель — многочлен, зависящий от переменных
а и в: ¿е! М2 = 2а2в - 30а2в2 + 86ав3 - 58в4.
В этом случае полностью посчитать определитель и показать, что он не тождественный нуль, не составляет никакого труда, но в общем случае данная задача усложняется. Поэтому продемонстрируем более наглядно все действия, которые буду выполняться в общем случае для вычисления хотя бы одного коэффициента данного монома.
Заметим, что а присутствует в 4 строках, так что этот многочлен имеет степень по а не выше 4. Однако его производная по а порядка 4 равна нулю. Действительно, эта производная равна определителю матрицы, в которой все эти 4 строки продифференцированы по а, умноженному на 4!. Но матрица, полученная при этом дифференцировании, имеет линейно зависимые строки Ьо2,Ьц и ао2. Таким образом, степень этого многочлена по а не превосходит 3. Найдём коэффициент этого многочлена при а3в. Для этого вначале выполним следующие элементарные преобразования: 1) из столбца Б02 вычтем столбец к0, домноженный на 4; 2) из столбца к2 вычтем столбец Ли; 3) из столбца к2 вычтем столбец Б02. Получим матрицу
Л20 Л11 Л02 Б20 Б11 Б02 к1 к2
а11 0 а 0 0 3в 0 в 0
а02 0 0 а 0 0 в 0 0
Ь20 0 1 0 2а 0 0 0 -1
Ь11 0 1 2 2в а 0 0 -1
Ь02 0 0 2 0 в 0 0 0
С20 5 0 0 1 0 1 1 -1
С11 4 3 0 0 1 -4 1 2
С02 0 2 1 0 0 -3 0 2
Разложим определитель матрицы (41) по строке Ь02 (она содержит только два ненулевых элемента): ¿е! М2 = 2 ¿е! М^ + в ¿е! М|, где и М| — алгебраические
дополнения элементов 2 и в строки 6о2. Заметим, что в каждом из этих миноров а присутствует только в трёх строках. Поэтому для вычисления коэффициента при а3в в определителе матрицы М2 надо произвести следующие операции.
1. В матрице М^ перемножим коэффициенты при а в строках а11, 620, 611 (соответствующее произведение будет равно 2!) и вычеркнем все строки и столбцы, соответствующие этим элементам. Получим матрицу, в которой в присутствует ровно в одной строке а02. Значит, ¿е! М^ = а3в ¿е! М^2! +... , где многоточием обозначим члены, имеющие степень по а, меньшую третьей; М^ — числовая матрица, полученная из М^ вычеркиванием всех строк а^ и 6^:
M1 = |41 2
5 1 —Г 4 1 2 0 0 2
0 00 —1
5 11 —1
4 —4 1 2
0 —3 0 2
Но её определитель равен 2, таким образом, ¿е! М^ = а3в ■ 2 ■ 2! + ■ ■ ■ = 4а3в + ...
2. В матрице М| перемножим коэффициенты при а в строках а11, а02, 620 (соответствующее произведение будет равно 2!) и вычеркнем все строки и столбцы, соответствующие этим элементам. Значит, ¿е! М| = -а3 ¿е! М|2! + ... , где М| — числовая матрица, полученная из М| вычёркиванием всех строк а^ и 620, 602,
M22 =
Так как определитель этой матрицы равен 3, то det Mf = —а3 ■ 3■ 2! + ■ ■ ■ = —6а3 + ... В итоге получаем det M2 = 2 ■ 4а3в + в ' (—6а3) + ■ ■ ■ = 2а3в + ..., что согласуется с полученной выше формулой.
Таким образом, det M2 — ненулевой многочлен. Поэтому для почти всех (а, в) определитель матрицы (41) не равен нулю и соответствующая система уравнений будет разрешима. Это значит, что уже найдена замена координат, нормализующая квадратичные члены исходного BDE. При этом также найден и коэффициент y2 формальной нормальной формы (31).
2. Шаг индукции. Предположим, что в исходном BDE (1) из класса Ba,ß уже нормализована его (n — 1)-струя, n ^ 3:
(aX + вY + Y2X2 + ■ ■ ■ + Yn-1Xn-1 + a„Xn + a„_1 Xn-1Y + ■ ■ ■ + «0Yn + ... )P2+
+2(b„Xn+bn_1Xn-1 Y+... 60Yn)P +(X+Y+CnXn+Cn_1Xn-1Y+■ ■ -+^Yn) = 0. (42)
Аналогично первому шагу доказательства (база индукции) приведём уравнение (42) к нормальной форме (31) (на уровне n-струй). Для этого нормализуем члены n-й степени, сделав замену
X = X (x, y) = x + Anxn + An_1xn-1y + ■ ■ ■ + A0yn,
xn n_ 1
nx
43)
сп + А„—1Жга—1 У = У (х, у) = у + ВпХп + Вп—1Хп—1у + ■ ■ ■ + В у
и используем домножение на функцию
к = к(х, у) = 1 + кп—1Хп—1 + кп—2Хп—2у + ■ ■ ■ + к0Уп (44)
Действуя аналогично первому пункту доказательства (база индукции), получим 3п + 3 уравнений на 3п + 2 коэффициентов замены (43), (44). Конечно, такая система, вообще говоря, не разрешима. Поэтому, как и в первом пункте, из этих 3п + 3
уравнений оставим только 3п + 2 «последних» уравнения (т. е. не будем нормализовать коэффициент при хп ■ Р2; выполнение отброшенного первого уравнения обеспечим за счёт выбора коэффициента 7п в разложении функции 7(Х) из формальной нормальной формы (31)). В результате получим систему из 3п + 2 линейных неоднородных уравнений относительно 3п + 2 переменных с матрицей Мп = Мп(а,в) вида
Мп
Ап ... Ао Вп ... Во кп— 1 ... к0
ап—1 аА аВ ак
а1
«0
Ьп Ьп—1 ЬА ЬВ Ьк
Ь1 Ь0
сп
сп— 1 сА сВ ск
С1
Со
где
аЛ :=
Лп Лп—1 Л1 Л0
ап—1 0 а 0 0 0
0 0 0 0
а1 0 0 0 а 0
а0 0 0 0 0 а
аБ :=
Бп Бп—1 Б1 Б0
ап— 1 0 3в 4а 0 0
0 0 0
а1 0 0 0 (2п - 1)в 2па
а0 0 0 0 0 (2п + 1)в
ак :=
кп— 1 кп—2 к0
ап— 1 в а 0 0
0 0,
а1 0 0 в а
а0 0 0 0 в
ЬЛ :=
Лп Лп—1 Л1 Л0
Ьп 0 1 0 0 0
Ьп—1 0 1 2 0 0
0 0 0
Ь1 0 0 0 п — 1 п
Ь0 0 0 0 0 п
ЬБ :=
Бп Бп—1 .. Б1 Бо кп—1 кп—2 ко
Ьп па 0 00 0 Ьп 0 0 0 0
Ьп— 1 пв (п — 1)а 00 0, Ьк : Ьп— 1 0 0 0 0
0 (п — 1)в .. 0 0, 0 0 0 0
Ь1 0 0 .. а 0 Ь1 0 0 0 0
Ь0 0 0 0в 0 Ьо 0 0 0 0
Лп Лп— 1 Л1 Ло
сп 2п + 1 0 0 0 0
сЛ := ^1 2п 2п — 1 0 0 0, 0,
0 2п — 2 0
С1 0 0 3 0
со 0 0 0 2 1
сВ :=
Вп Вп-1 ... В1 В0 кп-1 кп-2 ... к0
сп 1 0 00 0 сп 1 0 00
Сп-1 0 1 00 0 ск := Сп-1 1 1 00
и 0 ... 0 0 0 .. 0
с1 0 0 01 0 с1 0 0 11
с0 0 0 00 1 с0 0 0 01
Для разрешимости этой системы достаточно показать, что определитель матрицы Мп, являющийся многочленом от переменных а и в, ненулевой.
Заметим, что в матрице Мп а присутствует в п + п = 2п строках, так что этот многочлен имеет степень по а не выше 2п. Однако его производная по а порядка 2п равна нулю. Действительно, эта производная равна определителю матрицы, в которой все эти 2п строк продифференцированы по а, умноженному на (2п)!. Но матрица, полученная при этом дифференцировании, имеет линейно зависимые строки Ъ0, Ъ1 и а0. Таким образом, степень этого многочлена по а не превосходит 2п — 1. Найдем коэффициент этого многочлена при а2п—1 в. Для этого в начале выполним следующие элементарные преобразования: 1) из столбца В0 вычтем столбец ко, домноженный на 2п; 2) из столбца кп—3 вычтем столбец Ап—3+1, в = 2, 3,... , п; 3) из столбца к0 вычтем столбец В0. Получим матрицу
Ап ... А Вп ... В0 кп— 1 ... к0
ап—1 аА аВ ак
а1
Й0
Ъп Ъп— 1 ЬА ЬВ Ьк
Ъ1 Ъ0
Сп
Сп—1 сА сВ ск
С1
С0
где
аА :=
аВ :=
Ап Ап—1 А А1 А0
ап—1 0 а 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
= 0 0 0 0 0 0 ,
«2 0 0 0 0 а 0 0
а1 0 0 0 0 0 а 0
«0 0 0 0 0 0 0 а
Вп Вп— 1 Вп— 2 В1 В0
п— 1 0 3в 4а 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Й2 0 0 0 0 2па 0
а1 0 0 0 0 0 (2п — 1)в 0
«0 0 0 0 0 0 0 в
ак
ЬА :=
кп— 1 кп—2 к1 ко
ап —1 в 0 0 0 0 0
0 в 0 0 0 0
0 0 0 0 0
а2 0 0 0 0 0
а1 0 0 0 0 в 0
ао 0 0 0 0 0 0
А А 1 ••• А2 А1 Ао
Ьп 0 1 0 0 0 0 0
Ьп— 1 0 1 2 0 0 0 0
Ьп— 2 0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 п — 1 0
Ь1 0 0 0 0 0 п — 1 п
Ьо 0 0 0 0 0 0 п
ЬВ
Вп Вп—1 Вп—2 В1 Во
Ьп па 0 0 0 0 0 0
Ьп—1 пв (п — 1)а 0 0 0 0 0
Ьп—2 0 (п — 1)в (п — 2)а 0 0 0 0
0 0 (п — 2)в 0 0 0
0 0 0 0 0
Ь1 0 0 0 0 а 0
Ьо 0 0 0 0 0 в 0
Ьк :=
сА
к , к ГЪп— 1 —
п—2
сВ :=
Ь п 0 —1 0 0 0 0
Ьп —1 0 —1 —2 0 0 0
Ьп —2 0 0 —2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 1— п
Ь 1 0 0 0 0 0 1— п
Ь о 0 0 0 0 0 0
Ап А п— 1 А2 А1 Ао
Сп 2п + 1 0 0 0 0 0 0
Сп— 1 2п 2п — 1 0 0 0 0 0
0 2п — 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
С1 0 0 0 0 4 3 0
Со 0 0 0 0 0 2 1
Вп Вп— 1 Вп— 2 ••• В1 Во
Сп 1 0 0 0 0 0 0
Сп— 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
С1 0 0 0 0 0 1 — 2п
Со 0 0 0 0 0 0 1 — 2п
к
к
1
о
ск
кп — 1 кп —2 к1 ко
СП 1 0 0 0 0 0
СП — 1 1 2п — 2 0 0 0 0
0 3п — 2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 —4 0
С1 0 0 0 0 —3 2п — 2
Со 0 0 0 0 0 2п — 2
Разложим определитель этой матрицы по строке 6о. Получим
М„ = (—1)Пп ¿е! МП + в ¿е! МП, (45)
где (—1)П ¿е! М^ и ¿е! М2 — алгебраические дополнения элементов п и в• Заметим, что в каждом из этих миноров а присутствует только в 2п — 1 строках. Поэтому для вычисления коэффициента при а2п-1в в определителе матрицы МП надо сделать следующее.
1. В матрице М^ перемножить коэффициенты при а в строках аП-1, ..., а1, 6П, ... , 61 (соответствующее произведение будет равно п!) и вычеркнуть все строки и столбцы, соответствующие этим элементам. Получим матрицу, в которой в присут-
ствует ровно в одной строке ао. Значит, ¿е! М^
а
2 1
в ¿е! М>!(— 1)П + ..., где
М1
числовая матрица, полученная из М^ вычёркиванием всех строк а и 6^,
М1
АП кп — 1 кп —2 к1 ко
сп 2п + 1 1 0 0 0 0 0
Сп — 1 2п 1 2 — 2п 0 0 0 0
0 0 3 — 2п 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 —4 0
С1 0 0 0 0 0 —3 2п — 2
Со 0 0 0 0 0 0 2п — 2
(46)
Вычислим определитель матрицы (46). Заметим, что в последней строке ровно один ненулевой элемент. Раскладывая по этой строке, также получим матрицу, у которой в последней строке ровно один ненулевой элемент, и так далее. В результате получим
2п + 1 1 2п 1
¿е! М,1 = (2п — 2) ■ (—3) ■ (—5) ■... ■ (3 — 2п)
= (—1)П ■ (2п — 2) ■ (2п — 3)!
2. В матрице М2 перемножим коэффициенты при а в строках ап-1, ... , ао, 6П, ... , 62 (соответствующее произведение будет равно п!) и вычеркнем все строки и столбцы, соответствующие этим элементам. Значит, ¿е! М2 = —а2п-1 ¿е! М2п! +... , где М2 — числовая матрица, полученная из М2 вычёркиванием всех строк а и всех строк 6^- с номерами ] = 1,
М2
ап Во к —1 к п —2 к1 ко
61 0 0 0 0 0 0 0 1 — п
сп 2п + 1 0 1 0 0 0 0 0
Ог —1 2п 0 1 2 — 2п 0 0 0 0
0 0 0 3 — 2п 0 0 0
0 0 0 0 0 0
С2 0 0 0 0 0 —5 —4 0
С1 0 — 2п 0 0 0 0 —3 2п — 2
Со 0 1 — 2п 0 0 0 0 0 2п — 2
(47)
Вычислим определитель матрицы (47)- Заметим, что в первой строке стоит ровно один ненулевой элемент; раскладывая по этой строке, также получим матрицу, у которой в последней строке ровно один ненулевой элемент, и так далее^ В результате получим
det МП = (1 - n) ■ (1 - 2n) ■ (-3) ■ (-5)
(3 - 2n)
2n + 1 1 2n 1
= (-1)n ■ (1 - n) ■ (1 - 2n) ■ (2n - 3)!!.
В итоге получаем определитель матрицы Mn (45)
det M„ = (-1)n ■ n ■ (2n - 2) ■ (2n - 3)!! ■ n! ■ a2n-1 ■ ß ■ (-1)n-
-a2n-1 ■ ß ■ n! ■ (-1)n ■ (1 - n) ■ (1 - 2n) ■ (2n - 3)!! + ■ ■ ■ = = (-1)n ■ n! ■ (2n - 3)!! ■ (n - 1) ■ a2n-1 ■ ß + ....
Таким образом, det Mn — ненулевой многочлен. Поэтому для почти всех (a,ß) определитель матрицы Mn не равен нулю, и соответствующая система уравнений будет разрешима. Это значит, что найдена замена координат, нормализующая все члены n-струи исходного BDE; при этом также найдём и коэффициент Yn формальной нормальной формы (31).
3. Окончание доказательства. В пунктах 1 и 2 доказательства мы последовательно нормализовали n-струи исходного BDE. Отметим, что для каждого n ^ 2 нормализующее отображение имеет тождественную (n - 1)-струю. Поэтому бесконечная суперпозиция построенных замен сходится (в пространстве формальных замен) и даёт искомую нормализующую замену. Теорема доказана. □
Замечание 5. Условия типичности в теореме 2 налагаются только на параметры (a,ß) и состоят в том, что det Mn(a, ß) = 0 для всех n ^ 2.
Замечание 6. Отметим, что для вещественного BDE класса (с вещественными a,ß) соответствующая замена из теоремы 2 также является вещественной. Однако аналогичное утверждение из леммы 2 будет справедливым только для случая, когда результант R из (6) положителен. В случае R < 0 приводимость вещественными заменами BDE (1) к виду (31) невозможна и приходится использовать формальную нормальную форму из работы J. W. Bruce, F. Tari [1]. Заметим, что в работе [1] лишь отмечена возможность приводимости к такой формальной нормальной форме, однако это утверждение фактически не доказано.
4. Доказательство основной теоремы 1
Утверждение теоремы 1 есть прямое следствие леммы 2 и теоремы 2^
Список литературы
1. Bruce J.W., TariF. On binary differential equations // Nonlinearity. 1995. Vol. 8, no. 2. P. 255-271.
2. Bruce J. W., GiblinP. J., TariF. Isotopies of surfaces in Euclidean 3-space, duals, Gauss maps and outlines. Preprint, University of Liverpool, 1993.
3. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения в газодинамике. Л. : Изд-во ЛГУ, 1990.
4. Кузьмин А. Г. О поведении характеристик уравнений смешанного типа вблизи линии вырождения // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, № 11. С. 2052-2063.
5. Давыдов А. А. Нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности его особой точки // Функц. анализ и его приложения. 1985. Т. 19, № 2. С. 1-10.
6. GuinezV. Positive quadratic differential forms and foliations with singularities on surfaces // Transactions of the American Mathematical Society. 1988. Vol. 309, no. 2. P. 477-502.
7. DaraL. Singularites generiques des equations differentielles multiformes // Bulletin of the Brazilian Mathematical Society. 1975. Vol. 6, no. 2. P. 95-128.
8. SotomayorJ., Gutierrez C. Structurally stable configurations of lines of principal curvature // Asterisque. 1982. No. 98-99. P. 195-215.
9. Черепанова Е. А., Воронин С. М. Аналитическая нормализация слоений индуцированных бинарными уравнениями // Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения : сб. тез. Междунар. науч. конф. Уфа : Аэтерна, 2021. С. 76-78.
10. Ortiz-Bobadilla L., Rosales-Gonzalez E., Voronin S. M. Formal and analytc normal forms of germs of holomorphic nondicritic foliations // Journal of Singularities. 2014. Vol. 8. P. 168-192.
Поступила в 'редакцию 23.04-2022.
После переработки 05.05.2023.
Сведения об авторе
Черепанова Елена Анатольевна, аспирант кафедры математического анализа; Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2023. Vol. 8, iss. 2. P. 212-227.
DOI: 10.47475/2500-0101-2023-18205
FORMAL NORMALIZATION OF BINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
E.A. Cherepanova
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia [email protected]
Implicit differential equations (binary differential equations) of the form ap2 + 2bp + c = 0 are considered, where a = a(x,y), b = b(x,y), c = c(x,y), p = djX, such that a(0, 0) = b(0,0) = c(0,0) = 0. It is shown that a typical equation of this type by formal substitutions of coordinates (x,y) i—> (X,Y) can be reduced to the formal normal form (aX + ftY + y(X))P2 + X + Y = 0, P = dY, where a, ft G C \ {0}, y is a formal series in the variable
X, 7(0) =0, 7'(0) = 0.
Keywords: binary differential equation, implicit differential equation, formal normal form.
References
1. Bruce J.W., TariF. On binary differential equations. Nonlinearity, 1995, vol. 8, no. 2, pp. 255-271.
2. Bruce J.W., GiblinP.J., TariF. Isotopies of Surfaces in Euclidean 3-Space, Duals Gauss Maps and Outlines. Preprint, University of Liverpool, 1993.
3. Kuz'minA.G. Nonclassical Equations of Mixed Type and Their Applications in Gas Dynamics. Basel, Birkhauser, 1992.
4. Kuz'minA.G. O povedenii kharakteristik uravneniy smeshannogo tipa vblizi linii vyrozhdeniya [On the behavior of the characteristics of mixed type equations near the line of degeneracy]. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations], 1981, vol. 17, no. 11, pp. 2052-2063. (In Russ.).
5. Davydov A.A. Normal form of a differential equation, not solvable for the derivative, in a neighborhood of a singular point. Functional Analysis and Its Applications, 1985, vol. 19, iss. 2, pp. 81-89.
6. GuinezV. Positive quadratic differential forms and foliations with singularities on surfaces. Transactions of American Mathematical Society, 1988, vol. 309, no. 2, pp. 477502.
7. DaraL. Singularites generiques des equations differentielles multiformes. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, 1975, vol. 6, no. 2, pp. 95-128.
8. SotomayorJ., Gutierrez C. Structurally stable configurations of lines of principal curvature. Asterisque, 1982, no. 98-99, pp. 195-215.
9. Cherepanova E.A., VoroninS.M. Analiticheskaya normalizatsiya sloyeniy, indutsirovannykh binarnymi uravneniyami [Analytic normalization of foliations induced by binary equations]. Kompleksnyy analiz, matematicheskaya fizika i nelineynye uravneniya [Complex Analysis, Mathematical Physics and Nonlinear Equations], Abstracts of the International Scientific Conference. Ufa, Aeterna, 2021. Pp. 76-78. (In Russ.).
10. Ortiz-BobadillaL., Rosales-Gonzalez E., VoroninS.M. Formal and analytic normal forms of germs of holomorphic nondicritic foliations. Journal of Singularities, 2014, vol. 8, pp. 168-192.
Article received 23.04.2022.
Corrections received 05.05.2023.
The work was funded by the Russian Foundation of Basic Research (project no. 21-51-54003).
