Формализация процессов переработки контейнерных грузов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.025.4.6

И.А. Русинов, Н.Ю. Барышникова

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕРАБОТКИ КОНТЕЙНЕРНЫХ ГРУЗОВ

Контейнерные перевозки являются наиболее удобным и экономичным способом транспортировки грузов. Конструкция грузового контейнера обеспечивает сохранную перевозку грузов в любой комбинации морских, речных и сухопутных видов транспорта. При этом интенсифицируются процессы переработки грузов, минимизируются затраты в транспортных узлах, упрощается мониторинг. Основным транспортным узлом в контейнерных перевозках является специализированный контейнерный терминал. На терминале осуществляется переработка грузов, прибывающих на морских и речных судах в импорте, а также - по железной дороге и автомобильным транспортом в экспорте.

Неотъемлемой частью специализированного терминала являются каналы переработки грузов, которыми в частных случаях являются морские или речные причалы. При разработке и эксплуатации терминалов возникает необходимость определения показателей качества процессов переработки грузов, характеризующих среднее время ожидания судов и среднее время пребывания судов на терминале, а также пропорциональных этим показателям - средних значений числа судов, находящихся в очереди или на терминале. Указанные показатели характеризуют качество услуг, т. к. ожидание в очереди приводит к существенным потерям для транспортных компаний. В результате, несмотря на увеличение грузооборота, излишнее увеличение коэффициента загрузки каналов становится экономически нерентабельным. При этом величина убытков возрастает с увеличением числа судов, простаивающих в ожидании освобождения каналов.

В настоящее время широкое распространение получили детерминированные модели переработки грузов. При использовании детерминированных моделей предполагается, что прибытие к терминалу морских или речных судов представляет собой регулярный поток событий, в котором прибытия следуют одно за другим строго по графику через одинаковые промежутки времени.

Однако детерминированные модели не отражают специфику функционирования специализированных терминалов. В действительности моменты прибытия судов к терминалу - нерегулярные потоки событий.

Процессы, протекающие при обработке судов, переходят из одного состояния в другое в случайные моменты времени. При этом меняется число судов, находящихся в очереди и число занятых каналов. Переход процессов из одного состояния в другое происходит в моменты когда либо новое судно подходит к терминалу, либо освобождается один из каналов. Система содержит п+1 счётное множество состояний: Е0, Е1, Е2, ..., Еп, где п -число судов, находящихся в системе, т. е. учитываются как суда, находящиеся в очереди, так и суда, которые находятся в обработке.

Как известно, суммарный поток моментов прибытия морских или речных судов к терминалу можно рассматривать как сумму потоков судов, принадлежащих различным компаниям и доставляющих различные грузы.

В то же время известно, что при взаимном наложении большого числа ординарных стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к стационарному пуассоновскому (простейшему) потоку. Будем также считать, что время обработки судна подчиняется показательному закону распределения.

Принятые допущения о пуассоновском потоке прихода судов и показательном распределении времени обработки контейнерных грузов позволяют использовать для описания процессов в контейнерных терминалах аппарат массового обслуживания. Применение аппарата массового обслуживания позволяет описать процесс обработки судов в контейнерном терминале с помощью линейных дифференциальных уравнений и представить выражения для вероятностных показателей качества процессов в аналитической форме. Однако применение существующих моделей массового обслуживания для определения вероятност-

ных характеристик процессов обработки судов не представляется целесообразным, т. к. эти модели неадекватно описывают указанные процессы в реальных условиях функционирования.

Так, классическая теория обслуживания предусматривает исследование многоканальной системы, причём число приборов 5" равно числу каналов. Каждый канал может обслуживаться одним прибором независимо от других каналов (система массового обслуживания (СМО) без взаимопомощи). Кроме того, каналы могут обслуживать все свободные приборы или часть свободных приборов (СМО с полной или частичной взаимопомощью). Вероятности переходов системы из состояния Еп в состояния Е, т. е. вероятность обслуживания одной заявки зависит от числа работающих каналов обслуживания. Результирующая интенсивность обслуживания в п—м состоянии определяется на основе принципа линейной суперпозиции, т. е. равна суммарной интенсивности всех приборов обслуживания и кратна расчётной интенсивности одного прибора ц0. Таким образом, результирующая интенсивность обслуживания в этом случае не может превышать 5ц0, т. е. цр < 5ц0, а интенсивность обслуживания одним прибором ц0 не меняется в зависимости от состояния СМО. Кроме того, процесс обслуживания считается непрогнозируемым и неуправляемым, т. е. администратору СМО неизвестно число заявок, которые в ближайшее время поступят в систему, и он не может в зависимости от состояния СМО менять интенсивности приборов обслуживания.

В реальных условиях функционирования терминала, процессы переработки грузов неадекватны указанным допущениям. Именно поэтому рассматривается централизованная система обработки грузов, управление которой осуществляется администратором (диспетчером) терминала. Администратор определяет дисциплину очереди и дисциплину обслуживания, а также производит распределение человеческих и технических ресурсов между отдельными каналами. В случае необходимости, когда очередь судов существенно возрастает, администратор может привлечь дополнительные ресурсы, тем самым существенно увеличивая интенсивность обработки грузов отдельными каналами. Однако во многих случаях в виду ограничения фронта перегрузочных работ результирующая интенсивность системы стано-

вится меньше суммарной интенсивности отдельных технических средств. Таким образом, в реальных условиях результирующая интенсивность обработки грузов, как правило, не бывает кратной средней интенсивности обработки ц0 и в отдельных случаях может превышать величину S^0.

Указанные особенности централизованной системы обработки контейнерных грузов требуют, чтобы разрабатываемые вероятностные модели учитывали возможность изменений интенсивности отдельных приборов обслуживания в зависимости от состояния СМО. Однако классическая теория массового обслуживания оперирует с постоянными значениями интенсивности отдельных приборов восстановления. Поэтому одним из основных научных результатов настоящей работы, является развитие классической теории массового обслуживания с учётом специфики функционирования контейнерного терминала, т. е. с учётом возможности изменения значения интенсивности обслуживания отдельными приборами в зависимости от состояния СМО.

Рассмотрим контейнерный терминал, включающий S каналов, на вход которых поступает простейший поток судов (заявок) с интенсивностью X. Расчётная интенсивность обработки каждым причалом равна ц0. Однако результирующая интенсивность процесса может меняться в зависимости от его состояния. Результирующая интенсивность обработки грузов в состоянии En = гпц0, где тп - коэффициент интенсивности обработки может быть как целым, так и дробным числом. Как правило, когда заняты все причалы, т. е. n > S предполагается что r = const (обычно r = r ).

^ n v n max7

Возможностью «перескока» системы через состояние (например, из En в En+2 или из En-1 в E p минуя состояние E и En) за малый промежуток времени dt можно пренебречь, как величиной высшего порядка малости.

Величина rn характеризует результирующую интенсивность обработки контейнерных грузов в состоянии E ; r может быть как целым, так и

nn

дробным числом, а в отдельных случаях - превышать величину S.

Наглядное представление о марковском процессе обработки грузов даёт квадратная матрица интенсивностей простейших потоков прихода судов и обработки грузов. Если рассматривать n+1 состояние системы, то матрица интенсивностей имеет вид:

пц

гп1М)

Граф состояний

Е0 Е, Ег Е3 . • Еп_1 Еп Еп+1

0 X 0 0 . . 0 0 0

1До 0 X 0 . . 0 0 0

0 ЪР-о 0 А, . . 0 0 0

0 0 0 . . 0 0 0

0 0 0 0 . . 0 А, 0

0 0 0 0 . ■ гл|10 0 А,

0 0 0 0 . . 0 '"п-иИо 0

(1)

п—1

Матрице интенсивностей соответствует ориентированный граф состояний, в котором размер ребра, связывающий два последовательных состояния, равен соответствующей интенсивности перехода из одного состояния в другое. Указанный граф состояний приведен на рисунке.

Рассмотрим, какими свойствами должна обладать матрица интенсивностей, а, следовательно, и граф состояний, чтобы в СМО протекали пуассо-новские процессы. Для этого необходимо чтобы все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, были пуассоновским (простейшими), т. е. элементы матрицы интенсивностей (1) не изменялись во времени. Таким образом, коэффициенты тп (п = 1, 2, 3...) могут принимать любые целые или дробные положительные значения, но должны оставаться постоянными величинами. Такая матрица обычно называется простейшей матрицей, а соответствующий случайный процесс - простейшим марковским процессом. Аналогичным образом граф состояний (рис.), из которого каждому ребру соответствуют постоянные значения интенсивностей, будем называть простейшим графом состояний.

На основе графа состояний может быть составлена стохастическая матрица переходов. При этом следует учитывать, что, как показано выше, ввиду отсутствия «перескока» событие V может быть только одним из трёх событий Е ,,

А п-1

Е Еп+1 (V = п-1, п, п+1). Соответственно каждая строка и каждый столбец стохастической матрицы не должны содержать больше трёх ненулевых элементов. В соответствии с вышеизложенным, представим вероятности перехода системы из одного состояния в другое следующим образом:

Е0—>Е0 Р00 —1 А/, Рт = Уа,

1 <п<Б

Еп^Еп Рт= 1 лл

Еп^Еп+1 РП,П+\ = XI,

Еп^Еп_, Рп,п-1 =

и>5 ^

Еп^Еп Рт=1-(Х+гп\10)сИ,

Е„

П,П+1

= ы,

Еп^ЕпЛ Рп,п-1=ГпР о А.

Тогда стохастическую матрицу переходов можно представить в виде матрицы:

т=

Е0 /'. Е2 Е3

1-Ы Ы 0 0 ... 0

ф0<й 1-(Х + г1\1а)Л Ы 0 ... 0

0 г2ц0<й 1 -(игд^и... 0

Еп 0 0 0 0

ООО 0 ... + Ы

0 0 0 0 ... гц.0А 1-Я + гц0)Л

0 0 0 0 ... 0

.(2)

Строкам матрицы соответствует состояние Еп(?), а столбцам Еп+1(?). Осуществив операцию транспонирования над левой и правой частями выражения РТ(? + <) = Рт(?).(?), получим: Р(? + <) = = .т(?) Р (?), где ./т0:) - матрица, транспонированная к матрице переходов .(?); Р (?) - вектор столбец вероятностей размерностей п*1.

Представим (2) в виде: Р (? + <) = [.(?) - Еп]х X Р (?) + Р(?). ,

Перенесём Р(?) в левую часть, тогда: Р (? + <?) -

- Р (?) = [7Т(?) - Еп] Р (?).

Разделив левую и правую части (2) на <?, получим: Р'(?) = ЯР (?), где 1 трица, которая имеет вид:

Ро Р, Рг

-X г,ц„ О ...

X -(Х, + г,ц0) г2ц„ ...

0 X -(Х + ш) -

0 0 X ...

д =

Еп\ - ма-

Рп-1 Рп,1

0 0 о ' Ро

0 0 0 Р1

0 0 0 Рг

0 0 0 Рз

0 Рп-1

X - Рп

Первые п+1 дифференциальных уравнений системы обработки грузов можно также представить в виде:

Р0 (?) = - Р?) + г1ц0Р1(?), Р0(?) = Р?) - (X + гЛ)Л(?) + (3)

Рп(?) = ХР^?) - (X + Гп^о)Рп(?) + Гп+^О, п = I,2,3...

Будем считать, что процесс обработки грузов является марковским случайным эргодическим, т. е. по истечению достаточно продолжительного промежутка времени (теоретически при вероятности состояний системы обработки грузов практически не зависят от того, в каком состоянии система находилась в начальный момент времени при t = 0 и не зависит от самого промежутка времени. Такое допущение возможно, т. к. все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, являются простейшими, т. е. все элементы матрицы интенсивностей (1) являются постоянными величинами.

На основе уравнений (3) производится исследование системы переработки грузов в динамических режимах.

Режим работы контейнерного терминала, при котором вероятности Рп нахождения системы в состоянии п не зависят от времени, называется стационарным режимом. Таким образом, контейнерный терминал имеет предельные стационарные режимы. Характеристики этих режимов зависят не от того, в каком состоянии контейнерный терминал находился в начальный момент времени, а от принятой дисциплины обработки грузов, т. е. от распределения ресурсов контейнерного терминала.

Для определения значений вероятностей отдельных состояний системы в стационарных режимах необходимо приравнять к нулю значения производных состояний, т. е. левых частей системы уравнений (3).

Распишем систему уравнений более подробно, перенесём в каждом уравнении одно из слагаемых в левую часть:

Г1—0Р1 = XP0,

Г2—0Р2 = а + Г1—,)Р1 - Р

Г3—0Р3 = (^ + - Р

Гп^0Рп = ^ + Г-1—0^1 - ^ I

Введём обозначение у = — и назовём его

—0

приведённой плотностью потока прихода судов. Выражение соотношений между стационарными значениями вероятностей отдельных состояний:

1

„ 1 „ 1 -

Р2=-¥рх =-¥ ро>

Г2 VI

(4)

Р3=-уР2= — ¥3р0.

г- Щ

1=0

Используя выражение (4), получим нормировочное условие:

(-0

=1,

где г0 берётся равным 1.

Вероятность нулевого состояния системы, т. е. вероятность того, что в момент прихода судна в порт все причалы будут свободны, определяется выражением:

1—. 5

ро=-

Щ

1=0

Будем считать, что при п > 5' результирующая интенсивность системы равна гтах—0. Обычно 5' = 5, т. е. равна числу причалов. Однако в отдельных случаях 5' может быть как больше, так и меньше числа причалов 5. В дальнейшем, если это не будет оговорено, будем считать 5' = 5. Тогда:

П Г( ¿=0

р — р _

~ М) я

Пгп

и=1

г

¥

г

V шах у

Нормировочное условие можно записать следующим образом:

у1 ¥ , ¥ у

5 5"—1

п=0Пгп П гяа=0

Г ^<г ¥

=1.

(6)

п=1 п=1

Вторая сумма (6) представляет сумму членов

геометрической прогрессии. Отсюда:

1

+

л=0

(7)

п=1 Гт

Выражение (7) является наиболее общим выражением для вероятности того, что в момент прихода судна в порт все причалы свободны. В зависимости от дисциплины обработки грузов (без взаимопомощи, с полной или частичной взаимопомощью, а также в случаях, когда интенсивность обработки грузов отдельными причалами меняется в зависимости от состояния системы) значение коэффициентов r, а, следовательно, и элементов матрицы интенсивностей и переходов будет меняться. Соответственно будут меняться и выражения для вероятностей состояний системы. Но все они могут рассматриваться, как частные случаи выражений (4) и (7). Стационарный режим системы существует только при выполнении V

следующего условия: r— < 1.

max

Если взять r = S (как это достаточно часто

max

встречается на практике), то условие существования стационарного режима можно записать в У

виде: ф = — < 1, где ф - коэффициент загрузки S

системы обработки судов.

Из этих условий следует, что среднее число судов, обрабатываемых в единицу времени всеми S причалами должно быть больше среднего числа судов, поступающих в терминал в единицу времени. Если это условие не выполняется, то число мест в очереди считается бесконечным, а в терминале не будет стационарного режима. Действительно при у > rmax (ф > 1), процесс неограниченно перемещается в сторону состояний с большим числом d, и очередь будет неограниченно возрастать. Тогда при у > rmax (ф > 1), для любого конечного d lim Ps+d= 0, т. е. система должна обязательно пройти состояние S+d и не вернуться в него. Действительно при r = у, как видно из (5) и (6), вероятности P0 и Pn равны 0. При rmax < у эти выражения теряют физический смысл.

Определим среднее число судов, находящихся в очереди:

d= hn- S)Pn = tdPs+d = Ps Ydi^-Y,

n=S+1 d=1 d=1 Гтах

где d = n - S число судов, находящихся в очереди: Р =Р^~

S 0 s ■

m

¿-I

Получим выражение для среднего числа судов, находящихся в очереди:

V

-р Г

d -Рг

= Рг

V

S+1

О 5-1

ЩОтах

"щ (I-—)2

'=! 'шах 1=1

Определим среднее число судов, находящихся в терминале:

^ =1пР=%пР+ ¿ПР .

^ п=О /1=0 >1=5+1

Тогда среднее общее число судов в терминале:

"" П г.

п=1

Следует отметить, что независимо от значения у и 5, среднее число в терминале равно сумме среднего числа обрабатываемых судов и среднего числа судов, находящихся в очереди, т. е.

4 е = 4 обр + 4.

Соответственно, среднее число судов, находящихся в обработке:

"=0 П г.

обр

Среднее время ожидания судна в очереди и среднее общее время пребывания судна в терминале определяются с помощью формул Литтла.

Среднее время задержки судна в ожидании процесса обработки из-за занятых причалов:

т

V

S+1

г

1 Х П'; (Гшах - У)' S ПЪ (1 - Ф)2

¡=1 ¡=1

Среднее общее время пребывания судна

в терминале: d

Т

d S 1

- = — + — + —

А, X. Я,

S-hs-n)P

л=0

= Т + ± ож X

[S-t(S-n)Pn

п=0

Полученные вероятностные модели процессов переработки грузов позволяют произвести вероятностный анализ характеристик указанных процессов в общем случае с учётом возможной зависимости коэффициента интенсивности гп от дисциплины переработки грузов.

Произведённые расчеты помогают администратору специализированного терминала решать вопросы планируемой интенсивности потока прихода судов в определённый период времени

с учётом допустимой длины очереди и достаточно высокой пропускной способности. Если во время указанного периода интенсивность прихода су-

дов увеличивается по сравнению с планируемой, то администратор передаёт часть судов на смежный терминал.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кузин Л.Т. Основы кибернетики: В 2 т. // Т. 2: Основы кибернетических моделей. М.: Энергия, 1979. 576 с

2. Русинов И.А. Обработка и хранение рефрижераторных грузов на специализированном терминале. СПб.: СПбИИ РАН, 2005. 168 с.

3. Русинов И.А. Формализация и оптимизация процессов переработки рефрижераторных грузов на специализированных терминалах. СПб.: Политехника, 2008. 472 с.

УДК 351.713

Н.А. Руденко, М.П. Комаров

КЛЮЧЕВЫЕ СКВОЗНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОРГАНИЗАЦИИ И МЕТОДИКА ИХ ВЫЯВЛЕНИЯ

В управлении широкое распространение получил процессный подход как метод фундаментального проектирования различных процессов. Международный стандарт системы менеджмента качества ISO 9000:2000 определяет процесс как «совокупность взаимосвязанных или взаимодействующих видов деятельности, которые преобразуют входы в выходы», при этом «любая деятельность или совокупность видов деятельности, которая использует ресурсы для преобразования входов в выходы, может рассматриваться как процесс» [2].

Процессный подход к управлению организацией позволяет руководителям определять процессы и управлять ими и результатами деятельности организации, а также интегрировать разрозненные действия функциональных подразделений и направлять их усилия на достижение единого результата.

В современных исследованиях можно встретить два различных подхода к выделению процессов организации. Часть авторов придерживается подхода к сегментации (выделению) процессов в рамках структурных подразделений, другие же используют понятие сквозных или межфункциональных процессов [1, 5]. Дадим определения этим понятиям. Процесс подразделения - это процесс, ограниченный рамками одного структурного подразделения организации [6]. А все ресурсы, необходимые для выполнения процесса, находятся под управлением руководителя структурного подразделения, при этом он же является владельцем процессов подразделения, как показано на рис. 1.

Сквозной процесс - это процесс, полностью или частично включающий деятельность, выполняемую структурными подразделениями организации, имеющими различную функциональную

ВХОД /

вход

Процесс 1

выход

Процесс 2.1

Процесс 2.2

вход

выход

вход

Процесс 3.1

Процесс 3.2

Процесс 3.3

Функциональное подразделение 1

Функциональное подразделение 2

Функциональное подразделение 3

Рис. 1. Модель процессов подразделений