Формализация базовых преобразований моделей эволюционных вычислений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3.- 621.3

doi: 10.21685/2072-3059-2023-4-4

Формализация базовых преобразований моделей эволюционных вычислений

П. П. Макарычев1, Н. В. Слепцов2

1,2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1pm@pnzgu.ru, 2NBS_NBS@km.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Предложен подход к формализованному представлению моделей генетических алгоритмов как разновидности эволюционных вычислений. Обсуждаются вопросы представления данных для повышения эффективности эволюционного поиска, выбора операций при формализованном представлении генетических преобразований и построения математических моделей вычислений. Отмечено, что организация эволюционных вычислений в рамках наиболее распространенных разновидностей генетических алгоритмов приводит к необходимости формализованного представления достаточно большого набора параметров, влияющих на эффективность процесса эволюционных вычислений применительно к конкретной задаче. Рассмотрены два подхода к заданию бинарных представлений. Первый подход предполагает двоичное представление, второй подход - двоичное кодированное представление. Обсуждены модели для неограниченной и ограниченной популяции, обеспечивающие применение широкого спектра операторов преобразования и отбора. Предложенный подход наиболее эффективен при решении задачи эволюционных вычислений с учетом максимизации ключевых шаблонов. Результаты. Выполнено теоретическое обоснование структуры и параметров моделей эволюционных вычислений для решения задач идентификации и прогнозирования состояния технических объектов и социально-экономических систем. Выводы. Предложенный подход обеспечивает формализованное описание базовых преобразований для моделей эволюционных вычислений с ограниченными и неограниченными популяциями. Подход может быть использован при формализованной постановке задачи максимизации ключевых шаблонов в эволюционирующей модели. Ключевые слова: эволюционные вычисления, генетические операции, модели, ключевые шаблоны

Для цитирования: Макарычев П. П., Слепцов Н. В. Формализация базовых преобразований моделей эволюционных вычислений // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2023. № 4. С. 40-51. doi: 10.21685/2072-3059-2023-4-4

Formalization of basic transformations models of evolutionary computing

P.P. Makarychev1, N.V. Sleptsov2

1,2Penza State University, Penza, Russia 1pm@pnzgu.ru, 2NBS_NBS@km.ru

Abstract. Background. An approach to the formalized representation of models of genetic algorithms as a kind of evolutionary calculations is proposed. The issues of data representa-

© Макарычев П. П., Слепцов Н. В., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

tion to improve the efficiency of evolutionary search, the choice of operations in the formalized representation of genetic transformations and the construction of mathematical models of calculations are discussed. It is noted that the organization of evolutionary calculations within the framework of the most common varieties of genetic algorithms leads to the need for a formalized representation of a sufficiently large set of parameters that affect the efficiency of the process of evolutionary calculations in relation to a specific task. Two approaches to the task of binary representations are considered. The first approach assumes a binary representation, the second approach assumes a binary encoded representation. Models for unlimited and restricted populations providing the use of a wide range of transformation and selection operators are discussed. The proposed approach is most effective in solving the problem of evolutionary calculations, taking into account the maximization of key patterns. Results. The theoretical substantiation of the structure and parameters of models of evolutionary calculations for solving problems of identification and forecasting of the state of technical objects and socio-economic systems is carried out. Conclusions. The proposed approach provides a formalized description of the basic transformations for models of evolutionary calculations with limited and unlimited populations. The approach can be used in the formalized formulation of the problem of maximizing key patterns in an evolving model.

Keywords: Evolutionary calculations, genetic operations, models, key patterns

For citation: Makarychev P.P., Sleptsov N.V. Formalization of basic transformations models of evolutionary computing. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2023;(4):40-51. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3059-2023-4-4

Введение

Достигнутое на настоящий момент понимание принципов построения систем искусственного интеллекта (ИИ) объединяет среды обработки и технологии вычислений, основанные на использовании квазибиологических подходов, включая аппарат искусственных нейронных сетей (ИНС), эволюционных вычислений и нечеткой логики. Эволюционные вычисления в общем случае определяются как методика поиска оптимальных решений в многомерной среде, основанная на определенных преобразованиях над наборами множеств возможных решений и применении в качестве прототипов главных факторов эволюционного развития.

Общая схема процесса эволюционных вычислений приведена на рис. 1. Эта схема предполагает достаточную свободу выбора реализаций отдельных составляющих общей модели. Так, для выбора способа эволюционного давления, задающего направление развития в популяции решений, можно для различных обстоятельств внешнего окружения предложить классический набор механизмов эволюции [1].

Эволюционное давление реализуется воздействием на популяцию решений некоторым множеством преобразований (генетических операций).

Примером реализации процесса так называемой видовой эволюции может служить следующая схема:

ЦЕЛЬ: минимизация функции Q(X) НАСЛЕДСТВЕННАЯ ИЗМЕНЧИВОСТЬ: ПОПУЛЯЦИЯ ^ набор точек {хг-,....xir ...хц}

РАЗМНОЖЕНИЕ ^ в каждой из К популяций по своей процедуре:

= + Ах;; г = 1,1; б = 1, Ыг

где Ах; - случайный вектор, порождаемый своей процедурой, Ыг - число потомков, зависящее от значений Q( X).

КОНКУРЕНЦИЯ: по значению функции Q(X). ОТБОР: по значению функции Q(X).

Рис. 1. Общая схема эволюционных вычислений

В известных формализованных постановках задач схемы главных факторов эволюции имеют значительно более сложный вид (связанный со спецификой решаемых задач) аналогов популяций и особей, оптимизируемых функций и т.п. Например, структура отдельной «особи» может быть крайне сложна и быть представленной эволюционирующим гиперграфом. Как показано в [2], при соблюдении определенных условий эволюционные вычисления обладают свойствами универсальной вычислительной среды. Реализация подобной схемы вычислений возможна в виде генетических алгоритмов (ГА), генетического программирования (ГП) и других подходов.

1. Проблемы организации процесса эволюционных вычислений

Детальное рассмотрение процесса организации эволюционных вычислений (ЭВ) в рамках наиболее распространенных их разновидностей в виде ГА (рис. 2) приводит к необходимости максимально формализованного определения достаточно большого набора параметров, влияющих на эффективность процесса эволюционных вычислений применительно к конкретной задаче.

Рис. 2. Допустимые преобразования в генетических алгоритмах

Дело в том, что и глобальные в плане управления процессом, и локальные, управляющие частными преобразованиями, параметры определены достаточно нечетко, согласно лишь общей парадигме вычислений, следовательно, для решения задачи оптимизации процесса ЭВ необходимо решить ряд задач, которые в первом приближении можно представить в следующем перечне:

1) определение возможного варианта кодирования представления задачи;

2) формирование исходной популяции;

3) выбор критерия оценки решения и завершения процесса вычисления;

4) задание набора генетических операций, условий и параметров их применения;

5) задание (определение) величины эволюционирующей популяции (множества решений);

6) определение вероятностных параметров эволюционных преобразований;

7) переход от параметрического представления задачи в виде генома к реальному представлению и оценка фенотипа;

8) дополнительные процедуры, связанные с возможным кодированием не параметров решения задачи, а некоторого набора правил его генерации.

Последующее рассмотрение будет в основном касаться проблем 1 и 4 в связи с тем, что их решение касается базовых преобразований и оказывает максимальное воздействие на все последующие, а также в связи с невозможностью подробного рассмотрения всего набора (1-8) вследствие ограниченности места.

2. Проблемы представления данных в ГА

Эволюционный поиск с точки зрения практической реализации основан на применении триады основных генетических операций (мутации - скрещивания (кроссовера) - селекции) по отношению к случайно выбранным фрагментам некоторой кодировки, которая либо сама является решением задачи, либо таковым является ее развитие/расширение. При этом результаты работы эволюционирующей системы, как и ее математической модели, соответствуют фундаментальной теореме естественного отбора [2], которую коротко можно было бы сформулировать так: в панмиктической популяции достаточного размера средняя приспособленность популяции возрастает, достигая в одном из состояний стационарного значения.

В основе реализации механизма эффективного поиска лежат две составляющие - кодирование решения проблемы (представление генома) и реализация преобразований. Рассматривая первую составляющую, отметим, что критично не столько кодирование всего решения (всей цепочки), сколько сохранение внутри кодирующих строк существенных фрагментов (в естественных природных система - аллелей). Отображения аллелей (шаблоны, шимы) включают кроме бинарных символов дополнительный признак (#), являющийся групповым, он может принимать произвольное значение из множества {0,1}.

Характеристиками шаблона являются порядок и разрешение. Порядок соответствует списку фиксированных в шаблоне аллелей, не заданных как #, а разрешение - это фактически расстояние от первой до последней разрешенной аллели. Соответственно вероятность уничтожения шаблона как единого фрагмента при мутации связана с порядком - большее значение порядка означает и большую вероятность мутации в шаблоне. Разрешение соответствует аналогичной возможности для операции кроссовера.

При применении к популяции строк генетических операций разрушение строк происходит значительно чаще, чем шаблонов. Если удачные свойства, отраженные в шаблоне, закрепить в особях с повышенной оценкой пригодности, эволюционный процесс может закрепить это обстоятельство в по-

пуляции и позволить улучшить ее качество (в конечном варианте - оценку пригодности).

Унифицированные преобразования, ключевые шаблоны и неявный параллелизм. Оперируя со строками, мы одновременно производим и операции над множеством шаблонов. Аналогично тому, что при селекционном отборе остаются наиболее приспособленные особи (в модели - строки), тот же эффект наблюдается в отношении множества шаблонов. Это фактически можно интерпретировать как параллельную обработку шаблонов (она же - неявный параллелизм). Оценки для популяции размером п дают число обработанных шаблонов на уровне 0(п3). Реализуемая в рамках такой разновидности внутреннего параллелизма обработка аналогична параллелизму, реализованному при обработке двоичных деревьев, хотя конкретно в этом случае обработка имеет вероятностные характеристики и более сложный характер. Кроме того, вероятностный характер обусловливает и дополнительную погрешность. Однако при этом суть сохраняется - как в двоичном дереве выбор направления означает отказ от рассмотрения в среднем половины элементов этого же уровня и одновременно фактически неявную их обработку, так и обработка одних шаблонов неявно влечет и обработку множества других.

Одновременно и цели ГА также меняются - их удобно изменить указанием в качестве цели формирования не множества строк, а множества шаблонов, причем с дополнительными свойствами. Эти свойства ничего не меняют в исходной формулировке проблемы, но указывают, что ключевые шаблоны должны быть обязательно обработаны для всех шаблонов, участвующих в преобразованиях данного этапа эволюционного моделирования. Особенностью ключевых шаблонов является то, что они фактически задают существенные свойства фрагментов решения, а не решений в целом, как строки. Поэтому в связи с изменением целей реализации и оценки ГА представляется необходимым модифицировать стандартные для ГА преобразования, поскольку введение ключевых шаблонов обеспечивает повышение степени параллелизма и, как следствие, повышение эффективности реализации ГА.

Возможности двоичного и двоично-кодированного представления задачи. Принципиально возможные подходы к кодированию бинарного представления с помощью чисто двоичного и двоично-кодированного представлений предполагают различные возможности и ограничения. Если традиционное двоичное кодирование предполагает принципиальную простоту реализации, оценки и интерпретации, то двоично-кодированное (далее - кодированное) представление при возможном усложнении преобразований может обеспечить представление задачи принципиально любым набором символов при некотором усложнении базовых операций. Очевидно при этом, что аллели могут содержать гены, не являющиеся (по крайней мере частично) двоичными.

Двоичное и кодированное представления дают шаблоны с различными свойствами. В частности, кодированное представление обеспечивает работу с меньшим числом шаблонов, при этом порядок у шаблонов выше. Двоичное представление получает большее число шаблонов, качество которых ниже -они короче, в совокупности с большим числом это ухудшает сходимость процесса.

Кодированное представление обеспечивает при меньшем фактическом числе шаблонов существенно большее число обрабатываемых благодаря так

называемой альтернативной интерпретации. Суть альтернативной интерпретации дополнительных символов «#» в том, что если для кодированного представления их рассматривать как «0 или 1», то число обрабатываемых шаблонов при длине строк ' и порядке генов с* возрастает от значения (с*+ I)'при двоичном кодировании до (2с* - 1)' при альтернативной интерпретации.

Предельным случаем для кодированного представления и альтернативной интерпретации является вырожденная ситуация, для которой решение задачи кодируется одним геном с размером, позволяющим охватывать все пространство поиска.

Очевидным преимуществом альтернативной интерпретации является возможность более свободной обработки при отсутствии ограничений на свойства ключевых шаблонов, т.е. множества ключевых шаблонов при любых интерпретациях сохраняются.

Это вновь возвращает к пониманию кодирования представлений как зафиксированных шаблонов и приводит к одновременности обработки всех

строк, содержащих в общей сложности шаблонов.

Оснований для выявления серьезных предпочтений какого-либо одного подхода кодирования нет, поэтому наиболее предпочтительным в такой ситуации будет некоторый унифицированный подход к кодированию, особенно если он обеспечит приемлемую сложность манипуляций в рамках генетических преобразований.

3. Модели популяций генетического алгоритма

В рамках построения моделей популяций ГА возможны различные интерпретации процессов эволюционного моделирования [3, 4]. Эти интерпретации предполагают соблюдение базовых и отражающих глубинную суть черт ГА, развитие или лимитацию менее существенных особенностей, учет которых важен в конкретных приложениях. Важнейшей особенностью при этом является легкость формализации, интерпретации и анализа основных параметров и модели, и анализируемой задачи. В рамках такого подхода рассмотрим две модели.

3.1. Модель неограниченной популяции

Модель неограниченной популяции обеспечивает применение широкого спектра операторов преобразования и отбора. Базовой характеристикой для популяции выступает удельный вес строки. Для строк и для эпохи

g популяция представляется как е Я"5, при этом 5-му компоненту соответствует удельный вес строки 5 в популяции. Индексация векторов в данном случае допустима, если строкам 5 сопоставить в соответствие номера. Преобразования отображаются использованием матриц М для генетических операторов и ^ для отбора (селекции).

Поскольку процесс эволюционных изменений фактически представляется сменой эпох, в каждой из которых существует своя популяция, то в основе процесса лежит механизм генерации новых популяций. Он запускается выбором строк 5 для деления, который для каждой строки возможен с некоторой вероятностью г. Поэтому множество вероятностей будет существенной

характеристикой для генерации. В обозначении г^ е Я"5 компонент 5 - это

вероятность выбора строки 5 для деления. Вычисление аg из г! обеспечивается применением матрицы Е.

Дополнительно в эквивалентные отношения для Я и нужно ввести масштабирующие коэффициенты для учета особенностей пропорциональной селекции. Эти коэффициенты не являются постоянными для различных эпох,

соответственно для смены эпох: а ~ Ь, если 3 а = кЬ .

к >0

В приведенных обозначениях имеем следующие соотношения между строками для деления и популяцией :

а ! ~ Ег!.

Над множеством строк 5, выбранных для последующего деления случайным образом, проводятся генетические преобразования, в результате которых с вероятностью р5 5' (V) генерируется строка V из исходных 5 и 5'. Базовая характеристика новой строки V - удельный вес в очередном поколении (! + 1), определяемая как

ег!+1 = £ а! а!рз/((^

5,5'

где е - математическое ожидание.

Поскольку действие генетических операторов над строками 5 и 5' отображается матрицей М, то М5 / = р5 /(50) и для очередной популяции (! + 1) оценка удельного веса строки 50 задается как

ег0!+1 = а! М а!.

Поскольку р55' (V © и) = р 5©{ 5© (и), где © - исключающее ИЛИ, то

с изменением в а! порядка элементов можно использовать М для определения удельного веса любой строки V в новой популяции, однако особенность операции © позволяет применить эти свойства чисто к двоичным представлениям. Для кодированных представлений интерпретацию свойства необходимо будет модифицировать.

Поскольку в результате применения М строка V преобразуется в 50, то это же свойство возможно применить для отображения строк в строки, которое применяется в виде перестановки « из а! :

( « а ! ) 5 =а !© .

Окончательно полностью преобразования для генерации пропорции каждой строки в новом поколении объединены в М

М(о)5 = (&о)гМХо.

С помощью М, отражающей генерацию новых строк и Е, соответствующей селективным механизмам, действие ГА представляется как

а!+1 ~ ЕМ(а!).

Это позволяет описать ГА для случая популяции без наложения ограничений на размер.

Заполнение матриц М и Пусть ГА преобразует двоичные строки с использованием простейших преобразований - одноточечного кроссовера и пропорциональной селекции. Так как оценка строки определяет возможность участия в делении и последующих преобразованиях, то . является диагональной матрицей с = /б , / - вектор оценок. В приведенной ранее зависимости аg (г^) имеет место отношение эквивалентности. Для перехода к точному соотношению и исключению масштабирующего фактора преобразуем зависимость следующим образом:

а ^^ =

| .И

В матрице М каждый элемент МБ / - значение вероятности образования строки И из 5 и / . Она определяется взаимодействием двух факторов - от комбинации строк 5 и / , обеспечивающей получение определенного количества единиц в 50, и от мутаций, с определенной вероятностью переводящей именно эти единицы в 0 при сохранении остальных битов. Обозначим количество 1 в строке 5 как |б| .

Вероятность перехода 5 ^ б0: (1 -ц)7 -|б| ц|б|. Общее количество 1 при пересечении 5 и И в точке к не изменяется, меняется лишь их расположение. Для строки и ее потомка изменение числа 1 задается как

¿з/,к = |(2к -1) ® Б - |(2к -1)<

где ® - операция И. Поскольку (2к - 1) - это 00..011...11, то при кроссовере строка из (2к - 1) определяет биты в участке строки до 1 от к-й позиции справа и выражение позволяет определить разность в числе единиц для конечных отрезков строк 5 и 5 .

При объединении родительских строк число единиц в строке-потомке будет отличаться от родительского на , а именно = И - ,

М = И + к .

Для строки вероятность мутации, превращающая ее в 50, есть

(1 _ ,)7 ,к )УЛбИ,к

Суммируя по возможным точкам кроссовера и с учетом вероятности кроссовера в данной точке, получим

7 -1

(1 -ц)'"^' Ц

1к=1

1 ^ (1 _,, ) 7 ,к ) , , ,к

Подставляя П = Ц / (1 - Ц), получим:

1 1-1 , 1 1-1

^2 (1 -Ц)НИ|-^'к)Ц ^ = (1 -Ц)7 £П

к=1 к=1

Вероятность кроссовера х. При его отсутствии вероятность изменения 1 в 0 для родительской строки 5 мутацией равна

(1 (1 -ц)1 Ли.

) I-и п51 = (

Объединяя кроссовер и мутацию, получаем для первого потомка:

1 м

(1 -х)(1 -ц)т n|s| +х(1 -ц)т n|s|—тsnsSk =

1 k=1

= (1 -ц)1 ли

f l-1 \

1 -х+т-г S nsyk l 1 k=1

Применяя те же действия для второго потомка другого предка - /, получаем в итоге:

=

(1 -ц) l

f

Х т-1 n-ds,s'k

\

1 -х+т-г s п

1 1 k=1

Х т-1 nds,s'k

M

1 -х+гг s П

1 1 k=1

5.2. Модель ограниченной популяции

Названия моделей - ограниченной и неограниченной популяции - достаточно условны, поскольку они предполагают различные траектории развития. Если модель неограниченной популяции определяет ожидаемое развитие во времени, то для модели ограниченной популяции предполагается отсутствие ограничений на траекторию популяции. Это предполагает отличающийся подход и к формальному описанию.

Для модели любая потенциально достижимая популяция рассматривается как состояние марковской цепи [5]. У популяции из Пр строк в пх, из которых производится выбор, возможное число популяций пр составит:

(

пр =

пр + ns - 1

1

Множество состояний марковской цепи - возможный набор популяций - отображается матрицей P np х ns , элементы Ps,i соответствуют числу

строк s, наблюдаемых в популяции p. Так как столбцы являются вектором инцидентности (i-й столбец - для матрицы pi), то они отражают структуру каждой популяции.

Вторая матрица, используемая в модели - матрица переходов 0 размера Пр х Пр, содержит вероятности переходов из состояния i в j, а фактически

перехода от популяции pi к pj.

Если 9i (s) - вероятность формирования s из популяции pi и следующей популяцией является pj, то в pj s будет сформирована с вероятностью Psj,

а вероятность такого события составит фг- ( s)

Вероятность генерации полной популяции pj из pi будет определяться

ПР

Фг (s) j •

seS

Популяция сама по себе представлена множеством строк и их порядок не имеет значения, но представленное выражение дает оценку генерации именно упорядоченной популяции. Поэтому дополнительно следует учесть число перестановок строк:

П ! rip .

и тогда для 0г- j получим:

P P ! P 1-1

т0,j ■ г1,j ■■■■jrnp-\,j •

j = ПрП-"(S) ^

Р !

^} ■

В свою очередь для определения фг- (б) условия выполнения генетических операций формируются с использованием результатов из предшествующей модели:

Фг (s ) = M

( FPU }

| FPU

ss

где пg - вектор-строка, i-й компонент которого дает вероятность, что g-м поколением будет рг.

Для любого поколения распределение вероятностей при начальном распределении п0 может быть определено из следующего выражения:

пg = п0©g .

Заключение

Представленный подход к формальному описанию моделей генетических алгоритмов как разновидности эволюционных вычислений дает возможность строгого описания базовых преобразований для моделей как ограниченных популяций, так и неограниченных при постановке задачи максимизации ключевых шаблонов в эволюционирующей модели. Дальнейшее развитие предложенного подхода предполагает распространение его на унифицированное представление данных с одновременным уменьшением вычислительной сложности предлагаемых преобразований.

Список литературы

1. Емельянов В. В., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Теория и практика эволюционного моделирования. М. : Физматлит, 2003. 432 с.

2. Букатова И. Л. Эволюционное моделирование и его приложения. М. : Наука, 1979. С. 31-77.

3. Handbook of genetic algorithms. Complex coding systems / ed. by D. L. Chambers. CRC, 1999. 659 p.

4. Das A. K., Pratihar D. K. A direction-based exponential mutation operator for real-coded geneticalgorithm // IEEE International Conference on Emerging Applications of Information Technology, 2018. P. 1-4.

5. Zhai R. Solving the optimization of physical distribution routing problem with hybrid genetic algorithm // Journal of Physics: Conference Series. 2020. Vol. 1550. P. 1-6.

References

1. Emel'yanov V.V., Kureychik V.V., Kureychik V.M. Teoriya i praktika evolyutsionnogo modelirovaniya = Theory and practice of evolutionary modeling. Moscow: Fizmatlit, 2003:432. (In Russ.)

2. Bukatova I.L. Evolyutsionnoe modelirovanie i ego prilozheniya = Evolutionary modeling and its applications. Moscow: Nauka, 1979:31-77. (In Russ.)

3. Chambers D.L. (ed.). Handbook of genetic algorithms. Complex coding systems. CRC, 1999:659.

4. Das A.K., Pratihar D.K. A direction-based exponential mutation operator for real-coded geneticalgorithm. IEEE International Conference on Emerging Applications of Information Technology. 2018:1-4.

5. Zhai R. Solving the optimization of physical distribution routing problem with hybrid genetic algorithm. Journal of Physics: Conference Series. 2020;1550:1-6.

Информация об авторах / Information about the authors

Петр Петрович Макарычев доктор технических наук, профессор, профессор кафедры математического обеспечения и применения ЭВМ, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: pm@pnzgu.ru

Petr P. Makarychev Doctor of engineering sciences, professor, professor of the sub-department of mathematical support for computer applications, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Николай Владимирович Слепцов кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры вычислительной техники, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: NBS_NBS@km.ru

Nikolay V. Sleptsov Candidate of engineering sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of computer engineering, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 18.05.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 14.07.2023 Принята к публикации / Accepted 04.10.2023