Фокусные образы гиперповерхности типа 2 с двумерными плоскими образующими в шестимерном проективном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.31 ББК 22.151.61

© А.В. Середа

Россия, Улан-Удэ, Бурятский государственный университет

ФОКУСНЫЕ ОБРАЗЫ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ТИПА 2 С ДВУМЕРНЫМИ ПЛОСКИМИ ОБРАЗУЮЩИМИ В ШЕСТИМЕРНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В статье рассматриваются свойства плоскостных гиперповерхностей в шестимерном проективном пространстве специального вида: все касательные плоскости в неособых точках каждой двумерной образующей данной поверхности имеют общую четырёхмерную плоскость. Фокусная

линия образующей такой поверхности состоит из коники S2 и точки F . Показано, что если

F £ S2, то совокупность всех прямых, проходящих через точку F и принадлежащих соответствующим образующим, образует тангенциально вырожденную поверхность ранга 4.

Ключевые слова: проективное пространство, плоскостная поверхность, тангенциально вырожденная поверхность, поверхность типа s , подвижной репер, фокусные образы, ассоциированная плоскость.

© A. V. Sereda

Russia, Ulan-Ude, Buryat State University

FOCAL IMAGES OF HYPER-SURFACE OF TYPE 2 WHICH HAVE TWO-DIMENSION PLANE FORMATIONS IN SIX-DIMENSION PROJECTIVE SPACE

In the article a properties of plane hyper surfaces in six-dimension projective space are described.

Key words: projective space, plane surface, tangential surface, surface of type s, mobile reper, focal images, associate plane.

Введение

Пусть X(d, a) - плоскостная поверхность, образованная a -параметрическим семейством L(a) d -мерных плоскостей L в N -мерном проективном пространстве PN (d + a < N). Обозначим через TX(d, a) касательную (d + a )-плоскость к поверхности X(d, a) в точке X и рассмотрим пересечение таких плоскостей во всех неособых точках образующей L . В общем случае такое пересечение совпадает с плоскостью L, а в случае, когда X(d, a) - тангенциально вырожденная поверхность ранга a[1], это пересечение будет (d + a )-мерно, так как касательные плоскости TX(d, a) будут одинаковыми во всех точках X с L. Если же плоскости TX(d, a) пересекутся по (d + s )-мерной плоскости h+s( L) (1 £s< a — 1), то поверхность X (d, a) называется поверхностью типа s[2] и обозначается sVd+a. Плоскость ld+s(L) называется ассоциированной с L плоскостью.

В данной статье изучаются свойства гиперповерхностей типа 2 в Р6 с двумерными образующими L .

Строение фокусной линии образующей

Присоединим к семейству L(3), описывающему в Р6 гиперповерхность X(2,3), подвижной репер [Aj} (I, J, K = 0, 1, ..., 6) так, что L = (A0, A1, A2). Деривационные формулы репера [AI} имеют вид dAI =wJAJ, где линейные дифференциальные формы Q)J

6

удовлетворяют уравнению структуры Dqj = qk aWk и соотношению . Условие не-

I=0

подвижности плоскости L семейства L(3) записывается в виде Qp = 0 (i = 0, 1, 2; p = 3, 4, 5, 6). Поэтому формы Qp будут зависеть только от дифференциалов параметров семейства L(3), то есть будут главными. Считая точку A0 с L неособой на поверхности X(2,3), выберем среди форм Qjf три линейно независимые формы следующим образом: в1 = (й\, в2 = Q4, в3 = Q50. Эти формы будем считать базисными формами семейства L(3) . Тогда

Qf = afek, a0+h = d, (1)

где к, h= 1, 2, 3; i = 0, 1, 2; p = 3, 4, 5, 6.

Можно доказать, что для того чтобы семейство L(3) описывало поверхность типа 2, необходимо и достаточно, чтобы с помощью подходящей специализации репера коэффициенты afT (i = 0, 1, 2; t = 1, 2; s = 5, 6) уравнений (1) могли быть приведены к нулю. Геометрически это означает, что если поверхность 2V2+3 отнесена к подвижному реперу [AI } так, что L = (A0, Aj, A2), l4(L) = (L, A3, A4) и базисные формы вк (к = 1, 2, 3) семейства L(3)

выбраны так, как указано выше, то форма в3 определяет инвариантное для поверхности 2V2+3 распределение А2, интегральные 1-семейства L(y) которого касаются соответствующих ассоциированных плоскостей l4 (L).

Однопараметрическое подсемейство L(y) семейства L(3) называется фокальным, если

при смещении плоскости L вдоль этого 1 -подсемейства две бесконечно близкие плоскости L и L + dL имеют непустое пересечение. Это пересечение называется фокусом или характеристикой плоскости относительно подсемейства L(y) и обозначается ChL(y). Совокупность всех фокусов плоскости L называется фокусной линией плоскости L .

Теорема 1. Фокусная линия образующей L поверхности 2V2+3 состоит из коники S2 и

точки F , причём в общем случае F £ S2.

Доказательство. Зададим однопараметрическое подсемейство L(y) семейства L(3)

системой вк =1в. Так как дифференциал точки X = x'Ai имеет вид dX = (...) Aj + xQp Ap, то, если подсемейство L(y) будет фокальным, уравнение его характеристики СкЬ(щ) должно иметь вид:

xlapK1к = 0, xp = 0. (2)

Если рассматривать систему (2) как систему уравнений относительно неизвестных 1к, то для того чтобы она имела ненулевое решение относительно 1к, необходимо и достаточно, чтобы Rang || x'af, ||= 2 . С учётом того, что в выбранном репере aft = 0, данное условие

может быть выполнено только в двух случаях: 1) Det || x1arit ||= 0 (r = 3, 4); 2) x'a^ = 0. Первое уравнение задаёт в плоскости L конику S2, а система x'a*3 = 0 - точку F . Нетрудно показать, что в общем случае F £ S2. Теорема доказана.

Теорема 2. Если F £ S2, то каждая точка X е S2 является характеристикой 1-подсемейства L(yx) семейства L(3), интегрального для распределения А2, а точка F -характеристика подсемейства Ь(фг) , не интегрального для распределения А2.

Доказательство. Пусть точка X = x’A лежит на конике S2. Уравнение 1-подсемейства L(y1), для которого X - фокус, находим из системы (2). Так как F £ S2, то X Ф F и, сле-

120

довательно, х'а^ Ф 0 или х1а^ Ф 0 . Поэтому из (2) следует, что вдоль подсемейства Ь(у1) 1 = 0 , то есть подсемейство Ь(у1) является интегральным для распределения Д2.

Найдём теперь уравнение 1-подсемейства Ь(ф1) , для которого точка Е - фокус. Поместим вершину А2 подвижного репера {А1} в точку Е . Тогда а^ = а!^ = 0, а^ — а^ а^ Ф 0 и уравнения (2), задающие 1-подсемейство Ь(ф1), примут вид а2к1к = 0 (г = 3, 4; к = 1, 2, 3). Из этих уравнений находим уравнения подсемейства Ь(ф1) . Так как по условию теоремы Е £ £2, то а^а^ — а^а^ = 0 и вдоль подсемейства Ь(ф1) 1 Ф 0. Следовательно, подсемейство Ь(ф1) не является интегральным для распределения Д2. Теорема доказана.

Точки фокусной линии являются особыми точками поверхности 2У2+3. Следующая теорема выясняет вид касательной плоскости к поверхности 2 У2+3 в этих точках.

Теорема 3. Касательная плоскость к поверхности 2У2+3 в любой точке X фокусной линии образующей Ь будет четырёхмерной. Она совпадает с ассоциированной плоскостью 14 (Ь) тогда и только тогда, когда X = Е .

Доказательство. Пусть X = х'Аг - произвольная точка плоскости Ь . Касательная плоскость ТХ(2,3) к поверхности 2 У2+3 в точке X имеет вид

ТХ(2,3) = (Ь, х'а^Аг, хгаг2Аг, хгар3Ар), (3)

где 1 = 0, 1, 2; г = 3, 4; р = 3, 4, 5, 6. Размерность TX (2,3) зависит от ранга матрицы || х'арк ||. Так как в выбранном нами репере а^т = 0, то ранг этой матрицы будет понижаться до значения 2 только в случаях, когда Вв( || х'а^ ||= 0 или х'а^ = 0, то есть в точках фокусной линии плоскости Ь .

2 5 6

Если X е £ , то X Ф Е и х’а? Ф 0 или х'а^ Ф 0. Следовательно, в точке X 43 3

плоскость TX (2,3) не совпадает с плоскостью /4(Ь). Если же X = Е, то х1 а^ = 0 (5 = 5, 6)

и, как это видно из (3), TX(2,3) = /4(Ь) . Теорема доказана.

Теорема 4. Для любой фиксированной прямой Ь1, проходящей через Е с Ь и лежащей в плоскости Ь, касательная 5-плоскость TX(2,3) одна и та же во всех неособых точках X прямой Ь1 .

Доказательство. Поместим вершину А2 подвижного репера {А1} в точку Е. Тогда

а~23 = ®б3 = 0, а<^3 — а5 а^ Ф 0. Пусть Ь1 = (А2, у0А0 + у1 А1) - произвольная прямая, проходящая через точку Е = А2 и лежащая в Ь . Тогда любую неособую точку X с Ц можно представить в виде

X = х2А2 +1(у0А0 + у1 А1), I Ф 0.

Так как вдоль координатного 1-подсемейства в1 = в2 = 0

№ = (...) Аг + (...) Аг + [ х2а2 3 +1(у°а0 3 + у1а][3)]А,5,

то в силу условий а^3 = а^3 = 0 касательная плоскость TX (2,3) в любой неособой точке

X прямой Ь1 имеет вид TX(2,3) = (/4,(у0а03 + у^^)А5 и не зависит от выбора точки X на прямой Ь1 . Теорема доказана.

Особый интерес представляет случай, когда О = а — 1, то есть рассматриваются гиперповерхности указанного типа.

Заключение

Проведённое исследование показывает, что гиперповерхность 2V2+3 в Р6 является тангенциально вырожденной поверхностью ранга 4 специального вида: её прямолинейные образующие принадлежат плоским пучкам. Такой класс тангенциально вырожденных поверхностей ранее не изучался. Дальнейшие исследования автора будут посвящены рассмотрению фокусных образов ассоциированного семейства l4 (L), инвариантно связанного с семейством L(3), а также обобщению полученных результатов на плоскостные поверхности максимального типа в PN.

Литература

1. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга r // Известия ВУЗов. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.

2. Гейдельман Р.М., Кругляков Л.З. О плоскостных поверхностях // ДАН СССР. - 1974. - Т. 219. - № 1. - С. 19-22.

References

1. Akivis. M.A. Focal images of surface of rang r // Izvestiya VUZov. Matematika. - 1957. - № 1. - P. 919.

2. Geidelman R.M., Kruglyakov L.Z. About plane surfaces // DAN SSSR. - 1974. - V. 219. - № 1. - P. 1922.