CC BY-NC
16ФЛЮИДОДИНАМИЧЕСКИЕ ГЕОСИСТЕМЫ В КРИОЛИТОЗОНЕ. 2 Часть Криолитодинамические и криогазодинамические геосистемы
Хименков Александр Николаевич
кандидат геолого-минералогических наук ведущий научный сотрудник, Институт геоэкологии РАН 101000, Россия, г. Москва, Уланский ппроезд, 13, стр. 2
И [email protected] Власов Александр Николаевич
доктор технических наук Директор, Институт прикладной механики Российской академии наук 125 040, Россия, г. Москва, ул. Ленинградский Проспект, 7
И [email protected] Волков-Богородский Дмитрий Борисович
кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник, Институт прикладной механики Российской академии наук
125040, Россия, г. Москва, Ленинградский проспект, 7
И [email protected] Сергеев Дмитрий Олегович
кандидат геолого-минералогических наук заведующий, Институт геоэкологии Российской академии наук 101000, Россия, г. Москва, Уланский проезд, 13, стр. 2
Станиловская Юлия Викторовна
Специалист по мёрзлым породам 92078, Франция, г. Париж, ул. Place Jean Mllier, 2
Статья из рубрики "Многолетнемерзлые породы и подземные льды Арктики"
Аннотация.
Вторая часть статьи посвящена рассмотрению условий возникновения и развития двух видов флюидов в многолетнемёрзлых породах: потоков мерзлых пород и льда и газовых потоков. Эту работу затрудняет отсутствие соответствующего понятийного аппарата, разработанных классификаций, систематизированных признаков выделение различных по генезису динамических образований в мёрзлых породах. В работе проанализирован понятийный аппарат флюидогеодинамики, используемый в геологии, и рассмотрена возможность его использования в геокриологии. Проанализированы условия развития различных типов литогенных флюидов: за счёт формирования ядра жёсткости, движения
мёрзлых пород по склону, субаквальных оползней, складкообразования у боковой поверхности растущих повторно-жильных льдов. Основное внимание уделено построению феноменологических моделей формирование флюидов в многолетнемёрзлых грунтах, дополненному структурным методом и методом актуализма. На основе анализа строения воронки газового выброса (Ямальского кратера) рассмотрена возможность и условия фильтрации газа сквозь льдистые многолетнемёрзлые породы. Предложена математическая модель напорной фильтрации газовых флюидов в структурно-неоднородной среде (в грунте) на основе уравнения Бринкмана, применительно к многолетнемёрзлым породам.
Ключевые слова: пластические деформации, многолетнемёрзлые породы,
инъекционные льды, фильтрация газа, флюиды, флюидогеодинамика, криогенные флюидодинамические системы, математическая модель, структурно-неоднородная среда, пла с то в ые льды
DOI:
10.7256/2453-8922.2018.2.26377
Дата направления в редакцию:
31-05-2018
Дата рецензирования:
01-06-2018
Работа выполнена: при финансовой поддержке РФФИ (проект 17-05-00294), в соответствии государственному заданию ФАНО (рег. № АААА-А18-118022190065-1 от 21/02/2018), в рамках темы ПФНИ ГАН № гос. регистрации AAAA-A17-117032010141-7
ВВЕДЕНИЕ
Для данных мерзлотных образований характерным являются наличие вязкопластических деформации (вязкопластического течения) льдов, ледогрунтов и мёрзлых грунтов. Проще всего можно объяснить их происхождение, ледниковым генезисом пород. Генезис деформаций в таких льдах представляется очевидным. Примеров для этого в современных условиях развития оледенения достаточно. Внутригрунтовое происхождение подобных образований доказать сложнее, поскольку наблюдать развитие деформаций в породе в естественных условиям члдневозможно. Кроме того, в отношении данных образований существует методологическая трудность. Все они занесены в инъекционный тип льдообразования, связанный с промерзанием водоносных горизонтов, хотя течение льда и мёрзлых пород может происходить и без присутствия воды.
ФЛЮИДЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТВЁРДОГО ВЕЩЕСТВА В
МНОГОЛЕТНЕМЁРЗЛЫХ ПОРОДАХ
Особая группа флюидов в промерзающих и многолетнемёрзлых породах связана с процессами перемещения твёрдого вещества внутри грунтового массива. Они связаны с вязкопластическим течением мёрзлых грунтов и льдов. Для правильного понимания процессов происходящих при пластических деформациях и вязкого течении мерзлого грунта или льда воспользуемся теоретическими положениями, разработанными С. С.
Вяловым и Н. А. Цытовичем ^ .
Вязкопластическое течение мёрзлых грунтов и льдов
Сцепление цементации льдом обусловлено цементирующей связью между кристаллами льда и минеральными частицами. Данная связь осуществляется не путем непосредственного контакта льда и минеральных частиц, а через жидкую пленку, обволакивающую твердые частицы и ледяные кристаллы. Это сцепление зависит от содержания льда, площади его контакта с минеральными частицами и температуры мерзлых грунтов. Сцепление цементации льдом является наименее стабильным и в природных ус л о в ия х не пре рыв но ме ня е тс я , в с оотв е тс тв ии с ко ле б а ние м те мпе ра туры мёрзлой толщи. С повышением температуры сцепление мерзлых грунтов уменьшается
При воздействии внешней нагрузки в мёрзлых грунтах развивается комплекс процессов приводящих к пластическим деформациям и течению мёрзлых пород. Даже при небольших внешних давлениях на контактах минеральных частиц и кристаллов льда
могут возникать напряжения до сотен кг/см2. Это вызывает плавление льда и отжатие образующейся воды в менее напряжённые области, где она вновь замерзает. При достижении достаточных напряжений возникают пластические деформации льда и его отжатие из более напряженной зоны в менее напряжённые. При этом наблюдается вязкопластическое течение льда (без фазовых переходов). Величина сдвигающего напряжения, при котором возникает вязкопластическое течение льда, при
отрицательных температурах близких к 0°С, очень мала и не превышает 0,01 МПа-3^. Процесс течения льда сопровождается нарушением структурных связей мерзлого грунта. Одновременно происходит перемещение и перекомпоновка твердых частиц, в результате чего возникают необратимые структурные деформации, т. е. явление ползучести. Эти деформации возникают только в том случае, когда касательные напряжения превышают силы внутреннего взаимодействия, обусловливающие равновесное состояние мёрзлой породы. Если нагрузка превышает предел длительной прочности, то возникает пластично-вязкое течение. Наличие ледяных прослоек снижает общее сопротивление мерзлых грунтов, длительно действующим нагрузкам. Кроме указанных процессов, происходит также отжатие воздуха, содержащегося в мерзлом грунте
Раздвижение и уплотнение мёрзлой породы при воздействии внешней нагрузки ядром жёсткости.
В зоне воздействия нагрузки вследствие уплотнения формируется ядро жёсткости (рис. 1) Когда нагрузка достигает предельного значения и наибольшие касательные напряжения в окрестности плотного ядра превысят предельно длительное сопротивление мёрзлого грунта сдвигу, возникают деформации пластично вязкого течения. На этой стадии уплотненное ядро начинает раздвигать окружающий менее плотный грунт и
внедряться в него
V ~л л О
'-1-—
Рис. 1. Ядро жёсткости, сформировавшееся в мёрзлых ленточных глинах после вдавливания штампом -Ш.
В природных условиях в качестве уплотнённого ядра может выступать ранее сформировавшееся ледяное тело (рис. 2, 3)
Рис. 2. Внедрение монолитного тела чистого льда (1) и дислоцированной льдо-грунтовой массы (2) в слоистые прибрежно-морские пески и алевриты, изогнутые в антиклинальную
складку (п-ов Ямал)
Рис. 3. Уплотнённый лед (1) в головной части слоистого ледогрунта со следами течения (2) в основании бугра пучения предшествовавшего образованию Ямальского кратера. Фото А. Лупачёва.
Пластично-вязкое течение мёрзлых грунтов на склонах
В механике мёрзлых грунтов пластично-вязкое течение мёрзлых грунтов является важным фактором, который всегда необходимо учитывать. Особенно опасно это явление
при повышении температуры мёрзлых грунтов до величин близких к температуре фазовых переходов. Рассмотрим некоторые условия, соответствующие течению мёрзлых грунтов. Напряжение, соответствующее началу текучести для мёрзлого песка при температуре -1,6°С составляет около 2 кг/см2, а для мёрзлой глины при температуре -
1,9°С примерно 1 кг/см2 При температуре -0,3°С предельная нагрузка, после которой начинается течение грунта, в ленточных глинах без ледяных прослоек составила 10
кг/см2, а с прослойками толщиной 3-5 см эта нагрузка равняется 7,5 кг/см2
Н. А. Цытовичем было выявлено, что вязкость мёрзлых грунтов(особенно глинистых) меньше вязкости льда. Это позволило ему предположить, что в массивах горных многолетнемёрзлых горных пород, расположенных на склонах, возможны
пластичновязкие течения, подобные тем, которые наблюдаются в ледниковых льдах Данные образования характерны для склонов сложенных высокольдистыми породами, где наблюдается веерообразный наклон верхних частей сингенетических повторно-
жильных льдов (рис. 4, 5) [5, 6].
Рис. 4. Наклонные ледяные жилы в обнажении Воронцовский яр в низовьях Енисея
Рис. 5. Схема деформации «ледового комплекса» в аласной котловине: I - ледовый комплекс, II - таберальные отложения, III - отложения термокарстовых озёр, IV -оползневые отложения, V - аласные отложения; 1 - сингенетические повторно-жильные льды и вмещающие их пылеватые супеси; 2 - пески пылеватые к массивной криогенной текстурой; 3 - пылеватые супеси с прослоями торфа; 4 - супеси с включениями малакофауны; 5 - супеси с включениями дернины; 6 - костные остатки мамонтовой фауны; 7 - границы ММП. [6].
На скальных склонах формируются курумы - подвижные каменные образования [7]. Нижние части некоторых из них представоляют из себя ледогрунтовый слой, пластические деформации которого приводят к перемещению курума вниз по склону. Д. О. Сергеевым, исследовавшим курумы в Забайкалье, выделены курумо-глетчеры, сформировавшиеся в нижних частях склонов в результате пластических деформаций
ледогрунтового слоя. Поверхность этих образований осложнена серповидными валами. Им зафиксирована среднемноголетняя (за 20 лет) скорость перемещения куромо-
глетчера 14 см/год
Движение мёрзлых пород на склонах ярко проявляется при формировании техногенных глетчеров. В Хибинах, в отвалах рудника, сформировались техногенные мёрзлые породы с льдистостью 50% и температурой -1,2°С. Техногенный каменный глетчер, состоящий из камней и льда, стал медленно сползать вниз по склону. На его поверхности появились
дугообразные валы, сформировался крутой фронтальный уступ
А.И. Поповым выделен особый тип мерзлых пород, связанный с перемешением потоков субаквальных морских осадков на подводных склонах шельфов арктических морей В этих условиях осадки накапливаются при отрицательных температурах. При возникновении оползней, в слаболитифицированных морских отложениях происходит тиксотропное разжижение с выделением свободной воды. Замерзание выделившейся воды формирует ледяные шлиры со следами пластических деформаций. Пликативные дислокации прослеживаются на десятки и сотни метров по простиранию и до сотни метров по вертикали. Их размеры различны: от мелких — длиной от 0,5 - 1 м и высотой такого же порядка до крупных - длиной в 100 - 200 м и более и высотой в несколько десятков метров. Следует отметить, что в отложениях Актического шельфа криогенные
образования формируются и без динамического воздействия оползней а
оползневые процессы лишь деформируют уже образовавшиеся криотекстуры.
Формирование складок около боковых поверхностей растущих повторо-жильных
льдов
Течение мёрзлого грунта наблюдается у поверхности растущих повторно-жильных льдов (рис. 6).
Рис. 6. Смятие вмещающих пород у контакта с повторно-ледяной жилой. Фото. Е.М. Катасонова
Приведённые примеры свидетельствуют о наличии в криолитозоне многочисленных проявлений внутригрунтовых пластических деформаций и признаков течения мёрзлых грунтов. Но в большинстве случаев, генетическая интерпретация дислокаций, обнаруженных в многолетнемёрзлых породах, вызывает большие трудности. Сами
деформации очень похожи на ледниковые. Критериев чёткого разделения ледниковых (реликтовых) и внутригрунтовых деформаций не разработано. Чтобы правильно определить их генезис, необходимо получить сведения о морфологии и морфометрии всего геологического тела, сформированного деформированными льдом и ледогрунтом. По данным прямого исследования единичного естественного обнажения это сделать чрезвычайно сложно.
ГАЗОВЫЕ ФЛЮИДЫ В МНОГОЛЕТНЕМЁРЗЛЫХ ПОРОДОбХцие положения. Наличие газа в криолитозоне установлено давно, но его роль в криогенных процессах считалась незначительна. Содержание газа в многолетнемёрзлых породах не привлекало большого внимания геокриологов. Миграция вообще отрицалась, считалось, что сцементированные льдом породы непроницаемы для движения газовых потоков. С началом освоения газовых месторождений в Арктике начала поступать информация о многочисленных газовых выбросах в толще многолетнемёрзлых пород. Для Бованенковского ГКМ эти
выбросы в большинстве случаев приурочены к глубинам 60-100 м -Ш1. В 2014 году были обнаружены воронки с явными следами взрывных процессов. В. П. Мельников, В. И. Богоявленский, М. О. Лейбман, А. И. Кизяков, В. В. Оленченко, М. И. Эпов, И. Н. Ельцое и др. считают, что формирование данного вида взрывных образований обусловлено
выбросом газов. Было предложено называть их воронками газового выброса Для большинства обнаруженных воронок газового выброса, а их количество в настоящее время приближается к 10, характерно появление бугров пучения непосредственно перед взрывом. Это обстоятельство свидетельствует о том, что при всей скоротечности образования воронок им предшествует довольно длительный подготовительный этап. В данной публикации мы не будем останавливаться на критическом анализе имеющихся на настоящее время гипотез образования воронок газового выброса и источников газа, это отдельная тема. Источник газа может быть различен, это и диссоциация гидратосодержащих мерзлых пород, и свободный биогенный газ, или газ, поступающий с
больших глубин из подмерзлотных горизонтов И^!. Каково бы ни было происхождение газа, он должен был собираться в определённой зоне, то есть должны быть области его формирования, транзита и концентрации. Во всем многообразии процессов, обуславливающих формирование воронок газового выброса, главным является миграция газа сквозь многолетнемёрзлые породы. Точнее, выяснение условий, при которых это возможно, поскольку исследований, прямо указывающих на фильтрацию газа в мёрзлых толщах, пока нет. Рассмотрим некоторые косвенные доказательства. Для этого воспользуемся анализом строения стенок, наиболее изученной воронки газового выброса, расположенной в 30 километрах к югу от Бованенковского ГКМ, получившей название Ямальский кратер. Роль газовых флюидов при формировании Ямальского кратера. Позиция авторов на формирование данного объекта изложена в ранее
опубликованных статьях [16, 17, 18] и состоит в следующем. Под действие локального нагрева под поверхностным водоёмом в мерзлых породах, содержащих слой
газогидратов на глубине 60-80 м происходит повышение температуры в пределах отрицательных значений. В области локального прогрева ММП под озёрами температуры многолетнемёрзлых пород находятся в диапазоне -1 - -3°С. После того, как температуры в слое газогидратов превысят значения, обеспечивающие их устойчивое состояние, начинается диссоциация газовых гидратов. При температурах в диапазоне 268, 15 Т К (-5°С) ^ 273, 15 Т К (0°С) равновесное давление в системе газ — вода (лед) — гидрат находится в диапазоне 2,57 - 2,17 МПа По расчётам В. П. Мерзлякова^17-
критические давления, формирующие выброс пород на разных глубинах, зависят от веса породы на данной глубине и силы среза по боковым вертикальным стенкам. На глубине
60 м это давление равно 10,9 МПа. Гидростатическое давление составляет около 0,7 МПа. Газ, находящийся под давлением, не может выбросить перекрывающую толщу мёрзлых пород, но может фильтроваться сквозь неё. Потоки газовых флюидов в нижней части кратера. Рассмотрим элементы криогенного строения, свидетельствующие о фильтрации газа в мерзлых породах. Поскольку газовые флюиды в многолетнемёрзлых порода х дв иг а лис ь по на пра в ле нию с низ у в в е рх, в э том ж е напр а в л е нии ра с с мо трим и имеющийся фактический материал. На фотографии, сделанной в ноябре 2014 года в нижней части Ямальского кратера (рис. 7), хорошо видны потоки газовых флюидов.
Нижние их части совпадают с зоной каверн и гротов и соответствуют зоне залегания
газогидратного слоя [21, 19]. В верхней части газовые струи переходят в ячеистые льды (рис. 8, 9).
Рис. 7. Флюиды в нижней части Ямальского кратера. Фото В.А. Пушкарёва.
Рис. 8. Связь газовых флюидов с ячеистыми льдами на стенках Ямальского кратера. Фото В.А. Пушкарёва.
Рис. 9. Фрагмент рис. 8, контакт газонасыщенной струи с ячеистым льдом.
Ячеистые льды. Ячеистые льды представляют из себя необычные образования, ранее не описанные в геокриологии. Первой их выделила М. О. Лейбман, без какой-либо
генетической интерпретации I22!. Ячеистые льды фактически занимают всю поверхность вертикальной части кратера (рис. 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14). В некоторых местах они перекрыты тонким перетёртым глинистым слоем. Ячеистые льды, прослеживающиеся на стенках кратера, являются краевыми частями ледогрунтового газонасыщенного штока соответствующего вертикальной части Ямальского кратера. Его формирование связано с напорной фильтрацией газа, поступающего из зоны диссоциации слоя газовых гидратов, залегающего на глубине 60-80 м. Ячеистое строение формируется за счёт сближения газовых пузырей. В местах скопления пузырей ячейки более выражены, в местах разряжения менее или отсутствуют (рис. 12, 13).
Рис. 10. Ячеистый лёд в стенке Ямальского кратера. Фотография сделана в ноябре 2014 г. Фото В.А. Пушкарёва.
Рис. 11. Ячеистый лёд в стенке Ямальского кратера. Фотография сделана в июле 2014 г. Фото В. И. Богоявленского [23].
Рис. 12. Фрагмент рис. 11, зона ячеистого льда со следами пластических деформаций.
Рис. 13. Пластические деформация мерзлых пород в зоне незначительного содержания «пузырей». Ямальская воронка июль 2014 г. Фрагмент фотографии М. О. Лейбман
Сами пузыри вытянуты в цепочки или образуют изометричные скопления (рис. 11, 12). В верхней части кратера сохранился фрагмент хорошо сохранившегося ячеистого льда (рис. 14). Граница между ним и вмещающими породами резкая. Ячейки вытянуты в направлении простирания пласта и деформированы. Одновременно они подвергались давлению из центра кратера к стенкам (рис. 15). Можно предположить, что ячейки сформировались при напорной фильтрации газа в многолетнемёрзлых породах. Фильтрация газа происходила в мёрзлом субстрате. Об этом свидетельствуют многочисленные пластические деформации льда и ледогрунта, наблюдаемые по всей поверхности кратера (рис. 11, 13, 16).
Рис. 14. Строение Ямальского кратера. Ячеистый лёд, оставшийся после взрыва, расположен вдоль стенок кратера. Фото В.В. Оленченко июль 2014 г.
Рис. 15. Фрагменты рис. 14. Строение слоя ячеистого льда в верхней части кратера: а -вертикальный срез зоны ячеистого льда; б - горизонтальная поверхность зоны ячеистого льда. Фото Оленченко июль 2014 г.
Рис.16. Фрагмент рис. 14. Пластические деформации льда в зоне ячеистого льда показывает, что фильтрация газа проходила именно в мерзлых, а не в оттаявшей породе. Фото Оленченко июль 2014 г.
После выброса основной массы газонасыщенного штока, на стенках кратера остались его остатки в виде слоя ячеистого льда, толщина которого колеблется от 1 - 1,5 м до 510 см. Его верхняя часть прослеживается в основании конусообразного расширения кратера (рис. 17). Местами данный слой отсутствует и на поверхность выходит слоистая ледогрунтовая порода, в которую вложен кратер. В 2014 г. ячеистый лёд прослеживался на большей части поверхности вертикальной части кратера. К осени 2015 г. он в
основном
вытаял, остались лишь отдельные фрагменты (рис.
18)
Рис. 17. Ямальский кратер, июль 2014 г. Красной линией выделена верхняя часть зоны ячеистого льда. Фото В. В. Оленченко.
Рис. 18. Ямальский кратер, июль 2015 г. Сохранившийся фрагмент ячеистого льда в центральной части фотографии (светлый слоистый лёд) лёд . На соседних участках слой ячеистого льда отсутствует. Фото А. Лупачёва.
Стадии развития Ямальского кратера
Можно выделить ряд общих черт, обеспечивающих фильтрацию газов в мёрзлых породах.
1. Наличие локальной области, где наблюдается появление газа в мёрзлых или подмерзлотных породах (в промерзающих породах таликов, разложение газогидратов в мерзлом грунтовом массиве, подмерзлотные глубинные газы).
2. Возникновение давления в газосодержащей области (промерзание таликов, разложение газогидратов, напор глубинных газов).
3. Образование зоны транзита, обеспечивающую напорную миграцию газа в многолетнемёрзлых пород. При этом формируются зоны газонасыщенного льда, с пов ыше нным да в ле ние м г а з о в о й с о с та в ля ющ е й.
3. Формирование пластических деформации вмещающих пород. Если скорость нарастания давления небольшая и кровля успевает деформироваться, то формируются
бугры пучения, выраженные в рельефе. При быстром возрастании давления область пластических деформаций может быть слабо выраженной.
4. В конечной фазе миграции сквозь многолетнемёрзлые породы газ или высачивается в атмосферу, преимущественно через таликовые зоны и поверхностные водоёмы или накапливается под приповерхностными низкотемпературными газонепроницаемыми мёрзлыми породами. Во втором случае повышение давление выше предела прочности пород вызывает взрыв сжатого газа. Разброс обломков породы достигает десятки, а иногда и сотни метров. Если взрыв сжатого газа сопровождается его возгоранием, то сила взрыва многократно усиливается.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ. Рассмотренные материалы показывают, что в толщ промерзающих и мёрзлых пород, вследствие температурной неоднородности, фазовых переходов, структурных преобразований, изменения прочностных и деформационных свойств формируются потоки вещества в газообразном, жидком и твердом виде. Основными зонами проявления флюидов являются места локального повышения температуры в пределах отрицательных значений, или участков повышения давления вследствие возникновения криогенного напора. Здесь могут происходить структурные изменения мёрзлых пород, такие как разложение газогидратов и появление газовой фазы, находящейся под высоким давлением; переход засолённых льдов и льдистых пород в жидкое состояние; появление ослабленных зон, жидких и газовых включений во льду. При этом меняются физико-механические свойства мёрзлых пород, например, происходит ослабление их прочностных и деформационных свойств, что может приводить к пластическим и разрывным внутригрунтовым деформациям, а при значительных давлениях к течению грунта и льда. При промерзании мелководий на Арктических побережьях возникают области повышенного давления, отжимающие минерализованные
воды в области с более низким давлением [24, 25, 26]. Несмотря на то, что инъекционные льды изучаются давно, проблема их генезиса далека от разрешения. В.И. Соломатин отмечает: «в представлениях об инъекционном льдообразовании сохраняются
существенные пробелы, многие вопросы остаются открытыми» ———I35!. Попытка разделить эту группу путем введения нового понятия «криодиапиризм», как субвертикального перемещения грунтовых растворов, возникающего в результате
криогенного напора не прижилась. Интересное предположение о роли напорной
миграции воды (интрузий) из сеноманского водоносного горизонта в формировании
мощных подземных льдов высказано Л.Н. Крицук Е.А. Слагодой высказано
предположение о достройке растущих повторно-жильных льдов за счёт повторно-инъекционных штоков льда, сформировавшихся при многократных внедрениях воды в
ходе промерзания замкнутых таликов 1221. Эти гипотезы так-же не получили развития. Очевидно, что в группу инъекционных льдов объединены льды различного генезиса. Это льды, сформировавшиеся при гидроразрыве породы и промерзании внедрившейся воды и льды, переместившиеся под давлением в мерзлом состоянии в толще породы, имеющие следы различных деформаций.
Движение флюидов в толще пород возникает при возникновении разности давлений между флюидосодержащей зоной и вмещающими породами. Что же приводит к образованию зон повышенного давления в мерзлых породах? Перечислим некоторые из причин:
- неравномерность промерзания обуславливает формирование криогенного напора и латерального перемещения подмерзлотных вод и газов в область меньших давлений
(образование сезонных и многолетних бугров пучения);
- промерзание замкнутых таликов;
- сужение сечения внутригрунтового водного потока при его промерзании;
- возникновение повышенных давлений над зонами восходящих внутригрунтовых водных потоков.
- повышение температуры на склонах и уменьшение здесь прочностных свойств мёрзлых пород (течение смещение мёрзлых пород по склону);
- развитие повторно-жильных льдов. Вблизи боковой поверхности растущей жилы возникает повышенное давление, деформирующее мёрзлую породу;
- образование областей растепления мёрзлых грунтов под поверхностными водоёмами. Формируется область высокотемпературной мерзлоты, вложенная в массив низкотемпературных мерзлых пород. На их границе возникает неустойчивое состояние сходное с состоянием склонов (возможно возникновение внутригрунтовых конвективных потоков);
- разложение газогидратов в области растепления мёрзлых пород под поверхностными водоёмами. Создание в области диссоциации газогидратосодержащих мёрзлых пород избыточного давления;
- формирование криогенного напора биогенного газа в промерзающих породах, его латерального перераспределения и накопления в локальных областях;
- формирование аномальных давлений газа под многолетнемёрзлыми породами.
Что же общего между этими, сильно отличающимися друг от друга процессами? Все они, так или иначе, связаны с перераспределением вещества в многолетнемёрзлых породах. Все они связаны с флюидами твердого вещества, жидкости или газа. Поскольку в геокриологии миграция флюидов в криолитозоне в общем виде не рассматривалась, воспользуемся наработками по данному вопросу из смежной области наук о Земле.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДАННЫХ ФЛЮИДОГЕОДИНАМИКИ В ГЕОЛОГИИ И ГЕОКРИОЛОГИИ. Общие положения
Если представить формирование толщ многолетнемёрзлых пород как отражение глобальных теплообменных процессов на границе литосферы, атмосферы и гидросферы, то формирование зон со следами динамических процессов является отражением локальных неоднородностей, как на границе промерзающих массивов, так и внутри толщи многолетнемёрзлых пород. Эти неоднородности связаны с возникновением участков аномально высокого давления и формирование очагов неустойчивости с последующим перераспределение вещества, выравнивающего эти давления и возвращающим породы в устойчивое состояние. В настоящее время, какого либо общего осмысления и построения моделей движения потоков вещества, различного фазового состава, в толще мёрзлых пород не проведено. Очевидна необходимость разработки теории, рассматривающей движение локальных потоков вещества в газообразном, жидком и твёрдом состоянии в мёрзлых породах. Признание возможности возникновения потоков вещества в мёрзлых породах приводит к необходимости использовать положения флюидогеодинамики. В геологии это направление давно успешно реализуется сначала для исследования миграции газа, воды, нефти, гидротермальных растворов, движения магмы, а позднее и для анализа пластических деформаций твёрдых
пород. Большое значение в становлении флюидогеодинамики как науки имели работы П. Н. Чирвинского, Б. П. Высоцкого, А.Е. Хотькова, Г. Л. Поспелова, А. Е. Бескова, Ю. А Косыгина, Е. В. Артюшкова, Б.А. Соколова, А. И. Кудряшова и др.
А. И. Кудряшов изучая рост соляных куполов, сформулировал основные положения флюидогеодинамики. Флюидогеодинамика (ФГД) - раздел динамической геологии, изучающий процессы механической миграции флюидов в недрах Земли с целью установления закономерностей и геологической роли этой миграции. Ее объектом являются природные флюида, а предметом - законы их механической миграции и геологические результаты этой миграции. Все реальные тела в условиях длительного тангенциального напряжения ведут себя как жидкости. В геологических процессах, в качестве флюида могут выступать не только газы, водные растворы, нефть, илы, магма, но и "твердые" геоматериалы.
Задачами ФГД являются:
- установление видов природных флюидов и условий их существования;
- определение движущих сил миграции флюидов; предсказание новых процессов ФГД;
- оценка геологической роли миграции флюидов;
- разработка методов прогнозирования геологических результатов миграции флюидов.
Основные понятия ФГД - флюид, миграционное напряжение и флюидодинамическая система. Флюид - геологическое тело, характеризующееся состоянием текучести, в ыз в а н н о й в не шне й с ило й. М иг ра цио нно е на пря ж е ние - э то пе ре па д по те нциа льно й механической энергии между двумя точками, определяющий возможность, направление и интенсивность перемещения флюида. Флюидодинамическая система (ФДС) -геологическое тело, представленное флюидом, механически взаимодействующее с вмещающим субстратом земных недр, все части которого гидравлически связаны между собой и находятся в упорядоченном движении под действием миграционного напряжения, созданного какой-либо одной причиной. Полная ФДС состоит из областей питания, транзита и разгрузки. Количество областей в ФДС может быть различным,
пространственно они могут совпадать Выделяется 4 типа ФДС: газодинамические,
гидродинамические, вулканодинамические, литодинамические I32!.
Использование флюидодинамических представлений в геокриологии
Рассмотренные выше положения ФГД в полной мере могут быть использованы в геокриологии. Возможность возникновения флюидов в промерзающих, мерзлых и оттаивающих породах базируется на основных свойствах льда. Кратко перечислим их. При замерзании воды и формировании льда происходит увеличение объёма и соответственно его уменьшение при таянии. Большая чувствительность прочностных и деформативных свойств льда к изменениям температуры, особенно при значениях близким к точке плавления. Реальная температура льда в естественных условиях всего на несколько градусов ниже температуры его плавления. Это позволяет при небольших нагрузках переводить лёд и льдонасыщенные породы в текучее состояние. При повышении температуры мёрзлых пород и льдов до значений близких к 0°С в них возникает множество дефектов, что делает возможным напорную фильтрацию газа и жидкости.
Применительно к условиям криолитозоны можно выделить три типа ФДС:
криогазодинамические, где в качестве флюидов выступает газ, криогидродинамические, здесь системообразующими элементами являются пресные и минерализованные воды, криолитодинамические в которых флюидами являются мёрзлые породы и льды (преимущественно высокотемпературные).
Вне зависимости от причины формирования локального избыточного давления, приводящего к миграции того или иного флюида в многолетнемёрзлых породах все они являются криогенными, поскольку обусловлены особенностями строения и свойств ледяных включений. Нахождение льда в естественных условиях вблизи точки плавления, высокая чувствительность его к колебаниям температуры и давлений, выражающаяся в изменении прочностных свойств, пористости, структуры делают мёрзлые породы чувствительными даже к небольшим локальным внешним воздействиям.
Для каждого типа криогенных ФДС можно выделить свои ведущие процессы:
- для криолитодинамических систем - деформации и пластично вязкое течение льдов и мёрзлых грунтов;
- для криогидродинамических систем - гидроразрыв и фильтрация (для минерализованных вод);
- для криогазодинамических систем - напорная фильтрация газов сквозь многолетнемёрзлые породы.
Наличие ведущих процессов не устраняет одновременное протекание других. В строении флюидодинамической системы, относящейся к какому либо-типу, всегда присутствуют признаки, соответствующие другим типам.
Флюидогеодинамические геосистемы в криолитозоне имеют ряд общих свойств:
- они локальны, каждая из них «вложена» в массив вмещающих многолетнемёрзлых пород;
- их криогенное строение отличаются от строения вмещающих пород;
- особенностью их строения является следы динамических процессов (пластические деформации, следы течения, разрывы, надвиги и др.);
- у них чёткий и резкий контакт с вмещающими породами;
- они имеют общую структуру, в которую входят: область первичного существования флюида, формирование области повышенного давления, область транзита, область накопления и разгрузки. Границы областей могут пространственно совпадать, некоторые области могут отсутствовать, это зависит от истории развития системы в конкретных условиях;
- у каждой криогенной флюидодинамиеской геосистемы есть соответствующая история развития, т.е. смена преобладающих процессов и соответствующих им криогенных образований. Изучение строения этих структур и их пространственного расположения позволяет восстановить последовательность событий в формировании рассматриваемых криогенных геосистем.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ФЛЮИДОВ В МНОГОЛЕТНЕМЁРЗЛЫХ ПОРОДАХ
Изучение криогенных флюидодинамических геосистем невозможно без построения их
математических моделей. Это обусловлено рядом обстоятельств. Геологические системы являются весьма сложными структурами, находящимися под влиянием многочисленных трудно учитываемых факторов. Их практически невозможно изучать в реальных условиях, где мы наблюдаем лишь конечный результат взаимодействия сменяющих друг друга процессов. Математическая модель, базирующаяся на фундаментальных принципах, определяющих существование той или иной флюидодинамической системы, позволяет избавляться от случайных и второстепенных показателей.
Существование каждой из выделенных флюидодинамических геосистем обусловлено движением вещества в твёрдом, жидком и газообразном состоянии. Для описания движения данных флюидов уже разработаны соответствующие математические алгоритмы и построены математические модели. В силу этого, было бы неправильным оказываться от наработанных подходов.
В будущем для каждого типа криогенных флюидодинамических геосистем будет предложен ряд математических моделей. В данной статье мы остановимся на модели фильтрации газового флюида в пористой среде. Условия, возникающие в многолетнемёрзлых породах для возможной фильтрации газа, рассмотрены в предыдущих публикациях [16, 17, 18].
Рассмотрим модель фильтрации флюида (жидкости или газа) в структурно-неоднородной среде (в грунте) на основе уравнения Бринкмана [33, 34]:
где V - скорость течения флюида; р - давление в среде фильтрации; р - плотность флюида; г| - вязкость флюида; К (р )- тензор проницаемости в среде фильтрации, зависящий от давления; ^(Р) - приведённая вязкость с учётом пористости а(р ), также зависящая от давления флюидной фракции в данной точке.
Уравнение (1) определяется проницаемостью среды и является обобщением двух известных законов фильтрационного течения: Дарси и Стокса. Закон Дарси
соответствует параметру Ч
-О
при установившемся течении, а течение Стокса
соответствует свободному фильтрационному течению в абсолютно проницаемой среде, что соответствует случаю ^(Р) = зс'. Заметим, что вывод уравнения Бринкмана был эвристическим, справедливость выполнения которого была строго показана в работах [35, 36, 37] для сред с высокой пористостью (песчаники, пески и др.).
Уравнение (2) представляет собой общеизвестное уравнение непрерывности при течении сжимаемого вещества (например, газа). Для жидкости, рассматриваемой в качестве несжимаемого флюида с неизменной плотностью, это уравнение переходит в простую форму <й/У-0.
В общем случае уравнение (2) должно быть дополнено баротропным соотношением, связывающим между собой плотность и давление фильтрующегося флюида:
Уравнения (1) - (3) являются связной моделью движения флюида в среде, пористость которой зависит от давления во флюиде. Механизм этой зависимости определяется тензором проницаемости К (р ), для нахождения которого необходимо привлечь
структурную модель пористой среды, где происходит движение флюида. В данной работе рассматриваются две такие модели: модель системы ортогональных цилиндрических каналов и дисперсная модель сферических частиц, вне которых образованы фильтрующие каналы (рис. 19).
В модели дисперсных сферических частиц общая пористость фильтрующего пространства о = 1 - с 0 - // , где с 0 - объёмное содержание частиц, // - льдистость. При условии регулярного (периодического) расположения частиц, имеющих сферическую форму, с 0
вычисляется через их радиус г и расстояние между частицами Л : /I)
Максимальную льдистость в этом случае, при которой возможна фильтрация, можно
оценить как |1/£ ('/-') ) или же через объёмное содержание частиц
1 ' 1 ' 1 '. в модели дисперсных сферических частиц при отсутствии льда (// = 0, рис. 19а) общая пористость о = 1 - с 0 . В этом случае, при периодическом расположении частиц, имеющих сферическую форму, относительный радиус и
пористость, зависящая от давления, связаны соотношением:
г/Л = (3/4*11-стО>)|)
Для вычисления тензора проницаемости для таких моделей используется метод асимптотического усреднения Бахвалова согласно которому эффективная
проницаемость определяется из решения задачи на ячейке по обтеканию сферической частицы с эффективным радиусом, определяемым радиусом частицы г и льдистостью // , помещённой в кубическую ячейку размера А с периодическими условиями на противоположных гранях ячейки. Для эффективного решения этой задачи используются
численно-аналитические методы, развиваемые в работах ^^—39—40—41]. Тензор проницаемости имеет в этой модели диагональный вид, и определяется одним
коэффициентом к (р ), соответственно Л в уравнении (1).
Рис. 19. Структурная модель пористой среды: а) дисперсная модель сферических частиц; б) система ортогональных цилиндрических каналов, образующих поры.
В модели ортогональных цилиндрических каналов (рис. 19б) общая пористость связана с
с = л МА)г+{ъШ +{'■,!л)1 относительными радиусами пор формулой - .1, где п - радиусы
каналов, расположенных в направлении / -й оси координат. Решение соответствующей
задачи на ячейке в методе асимптотического усреднения для получения эффективного
тензора проницаемости вычисляется аналитически и имеет следующую форму:
Здесь с - параметр контактного условия с проскальзыванием на поверхности стенок пор
с м . 1401_ При^ = ж реализуется условие прилипания (полного контакта без проскальзывания) при течении флюида по цилиндрическим каналам.
На рис. 20 представлена зависимость проницаемости от пористости о для сферических частиц и однонаправленных цилиндрических пор при с =
Рис. 20. Проницаемость для сферических частиц и цилиндрических пор при с = ®.
Следует отметить, что в рассматриваемых моделях важным определяющим моментом является зависимость проницаемости о(р ) от давления, которая реализуется через задачу о зависимости относительного радиуса пор или сферических частичек от порового давления. Эта зависимость находится на основе решения упругопластической задачи, приведённой в работе
В дальнейшем предполагается также учитывать растворение газа в жидкости с его последующим выделением, используя для решения задачи фильтрации газа многоуровневый подход в параметрическом методе асимптотического усреднения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
К настоящему времени вопросы флюидогеодинамики частично разработаны только в отношении напорных процессов при сезонном или многолетнем промерзании горных пород. Между тем, локальные колебания температуры в массивах многолетнемёрзлых пород, связанные с неоднородностью поверхностных условий, могут приводить к изменению их прочностных и деформативных свойств, объемным изменениям. Это в свою очередь может приводить к локальному увеличению внутригрунтовых давлений. Возникающие напорные процессы и вызванное ими перераспределение вещества реализуются в виде потоков газообразного, жидкого или твёрдого вещества (флюидов), выравнивающих внутригрунтовые давления. Эти процессы в геокриологии практически не учитываются.
Включение флюидодинамических представлений в понятийный аппарат геокриологии позволит успешней решать многие теоретические и практические задачи, таких как исследование естественных взрывных процессов в криолитозоне; изучение миграции газовых флюидов в многолетнемёрзлых породах; понимание процессов динамометаморфизма многолетнемёрзлых пород и др.
При неравномерном промерзании в результате криогенного напора на границе мёрзлых и талых пород происходит перераспределение воды и газа, вследствие чего возникают области аномально высоких давлений, формирующих флюиды из водонасыщенного грунта, воды и газа, проникающие в сформировавшиеся мерзлые породы.
Нагрев многолетнемёрзлых пород до температур близких к 0°С обуславливает
ослабление структурных связей в них и, как следствие, уменьшения их прочности. При этом могут получить развитие различного рода процессы в виде: вязкопластического течения льда и ледогрунта, появления линз и слоёв минерализованных вод и их внедрения во вмещающие породы, фильтрации напорных газовых флюидов. В результате формируются новые геологические тела - криогенные флюидодинамические геосистемы.
Диссоциация газовых гидратов создает локальное повышение давления в толще пород, которое реализуется в напорных процессах (фильтрации, пластических и разрывных деформаций, течению льда, взрывах и др.)
Разработка флюидодинамического подхода в геокриологии необходима для проведения палеогеографических реконструкций и разработки криостратиграфических реперов. До сих пор не разработана система показателей, позволяющих чётко разделить внутригрунтовые и погребённые льды и ледогрунты.
Воронки газового выброса в зоне распространения многолетнемёрзлых пород представляют опасность при строительстве и эксплуатации инженерных сооружений. По мере освоения Арктики тепловое воздействие на многолетнемёрзлые породы будет возрастать, опасность взрывных процессов для инженерных сооружений так-же увеличится. Тем не менее, данная группа процессов не только не учитывается при расчётах, выборе проектных решений и прогнозах взаимодействия инженерного сооружения с многолетнемёрзлыми грунтами, но даже не включена в группу опасных геологических процессов. Без выявления роли миграции газов в многолетнемёрзлых порода х не в о з мо ж но ре шить про бле му фо рмиров ания в о ро но к г а з ов ого в ыб ро с а , прогноза их развития и защиты инженерных сооружений от их воздействия.
Разработка флюидодинамического направления обуславливает необходимость рассмотрения нетрадиционных для геокриологии, объектов, связанных с флюидными образованиями в криолитозоне. Разработку данного направления затрудняет отсутствие соответствующей понятийно-терминологической базы, разработанных классификаций, систематизированных признаков. В качестве первоочередных задач мы видим разработку следующих конкретных аспектов проблемы: - выделение и систематизация новых для геокриологии - «флюидогенных» объектов (флюиды, геофлюидная система, каналы транзита флюидов, флюидная разгрузка); - изучение закономерностей распределения «флюидогенных» образований в криолитозоне; - выявление роли флюидов в общей систематике многолетнемёрзлых пород; - изучения взаимодействия флюидов с вмещающими криогенными породами; - создание системы частных математических моделей, описывающих ФДС с возможностью в будущем построение общей модели. - разработка методов изучения и моделирования криогенных флюидодинамических геосистем; - изучение условий возникновения потоков флюидов различного генезиса, при техногенном воздействии на многолетнемёрзлые породы.
Библиография
1. Вялов С. С. Реологические свойства и несущая способность мерзлых грунтов. М., Изд-во АН СССР. 1959. 191 с.
2. Цытович Н. А. Механика мерзлых грунтов: учеб. пособие. М., Высшая школа. 1973. 448 с.
3. Роман Л. Т. Механика мёрзлых грунтов. М.: МАИК «Наука/Интерпериодика». 2002. 426с.
4. Данилов И. Д. Методика криолитологических исследований. М., Недра. 1983. 200 с.
5. Гасанов Ш. Ш. Деформации течения вечномерзлых льдогрунтовых систем //
Материалы гляциологических исследований. 1981. № 41. С. 55-58.
6. Романовский Н. Н. Основы криогенеза литосферы: Учеб. пособие. М., Изд-во Моск. ун-та. 1993. 336 с.
7. Тюрин А. И., Романовский Н. Н., Полтев Н. Ф. Мерзлотно-фациальный анализ курумов. М.: Наука. 1982. С. 149.
8. Сергеев Д. О. Формирование и эволюция курумов в гольцовом поясе гор (на примере хр. Удокан, Северное Забайкалье) : автореф. дис. ... канд. геол-мин. Наук. Москва. 1991. 20 с.
9. Горбунов, А. П., Северский Э. В. Скорости движения и деформации каменных глетчеров // Криосфера Земли. 2010. Т. XIV №1. С. 69-75.
10. Основы геокриологии (мерзлотоведения). Часть первая. М., Изд-во АН СССР. 1959. 457 с.
11. Попов А.И. О субмаринном типе криодиагенеза. // Инженерная геология, 1991, № 6. с. 49-55.
12. Хименков А. Н. Формирование криогенного строения морских отложений. Автореф. дисс. к. г.-м. н. М. ПНИИИС Госстроя СССР. 1985. 24 с.
13. Криосфера нефтегазоконденсатных месторождений полуострова Ямал. Т. 2. Криосфера Бованенковского нефтегазоконденсатного месторождения / под общ. ред. Ю. Б. Баду, Н. А. Гафарова, Е. Е. Подборного. М., ООО Газпром экспо. 2013. 424 с.
14. Лейбман М. О., Плеханов А В. Ямальская воронка газового выброса // Холод'ОК. 2014. № 2 (12). С. 9-15.
15. Богоявленский В. И. Угроза катастрофических выбросов газа из криолитозоны Арктики. Воронки Ямала и Таймыра // Бурение и нефть. 2014. № 9. с. 12-17.
16. Хименков А. Н., Сергеев Д. О., Станиловская Ю. В., Власов А. Н., Волков-Богородский Д. Б. Газовые выбросы в криолитозоне, как новый вид геокриологических опасностей // Геориск. № 3. 2017а. С. 58-65.
17. Хименков А. Н., Станиловская Ю. В., Сергеев Д. О., Власов А. Н., Волков-Богородский Д. Б., Мерзляков В. П., Типенко Г. С. Развитие взрывных процессов в криолитозоне в связи с формированием Ямальского кратера // Арктика и Антарктика. 2017б. № 4. С.13-37.
18. Власов А. Н., Хименков А. Н., Волков-Богородский Д. Б., Левин Ю. К. Природные взрывные процессы в криолитозоне // Наука и технологические разработки. 2017. Том 96. № 3. С. 41-56.
19. Оленченко В. В., Синицкий А. И., Антонов Е. Ю, Ельцов И. Н., Кушнаренко О. Н., Плотников А. Е., Потапов В. В, Эпов М. И. Результаты геофизических исследований территории геологического новообразования «Ямальский кратер» // Криосфера Земли. 2015. Т. XIX. № 4. С. 94-106.
20. Шостак Н. А. Моделирование образования и диссоциации гидратов при разработке и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений: автореф. дис... канд. техн. наук. Краснодар: Кубан. гос. технол. ун-т. 2015. 23 с.
21. Эпов М. И., Ельцов И. Н., Оленченко В. В., Потапов В. В., Кушнаренко О. Н., Плотников А. Е., Синицкий А. И. Бермудский треугольник Ямала // Наука из первых рук. Вып. 5(59), 2014. С. 14-23.
22. Лейбман М. О., Кизяков А. И. Новый природный феномен в зоне вечной мерзлоты // Природа. № 2. 2016. С. 15-24.
23. Богоявленский В. И. Выбросы газа и нефти на суше и акваториях Арктики и
Мирового океана // Бурение и нефть, 2015, № 6, С. 4-10.
24. Неизвестнов Л. Н. Этапы формирования гидрогеологических условий шельфа // Основные проблемы палеогеографии позднего кайнозоя Арктики. Л., Недра. 1983. С. 182-185.
25. Хименков А. Н., Шешин Ю. Б. Геокриологические условия побережья Карского моря в районе пос. Амдерма (опыт комплексного геокриологического изучения арктических побережий) // Инженерная геология. № 2. 1992. С.71-82.
26. Charkin A. N., Michiel R. v., Shakhova N. E. et al. Discovery and characterization of submarine groundwater discharge in the Siberian arctic seas: a case study in the Buor-khaya gulf, Laptev sea // The Cryosphere. 2017. no. 11. P. 2305-2327.
27. Соломатин В. И. Физика и география подземного оледенения (учебное пособие). Академическое издательство ГЕО Новосибирск. 2013. 346 с.
28. Дубиков Г. И. Состав и криогенное строение мерзлых толщ Западной Сибири. М., ГЕОС. 2002. 246 с.
29. Крицук Л. Н. Подземные льды Запапдной Сибири. М., Научный мир. 2010. 352 с.
30. Слагода Е. А., Мельников В. П., Опокина О. Л. Повторно-инъекционные штоки льда в отложениях Западного Ямала // Доклады Академии Наук. 2010. Т. 432. № 2. С. 264-266.
31. Кудряшов А. И. Флюидогеодинамика и эпигенез калийных залежей (на примере Верхнекамского месторождения) / автореф. диссертации доктора геолого-минералогических наук. Пермь, 1994. 39 с.
32. Кудряшов А.И. Опыт классификации флюидодинамических систем // Тр. XI геол. конф. Коми АССР. Сыктывкар, Коми НЦ УрО АН СССР, 1991. С. 214-217.
33. Brinkman H. C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles // Appl. Scient. Res. A. 1947. V 1. P. 27-34.
34. Beavers G. S., Joseph D. D. Boundary conditions at a naturally permeable wall // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. P. 197-207.
35. Rajagopal K. R. On a hierarchy of approximate models for flows of incompressible fluids through porous solids // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2007. V. 17, № 2. P. 215-252.
36. Tam C. K. W. The drag on a cloud of spherical particles in low Reynolds number flow. // J. Fluid Mech., v. 38, pp. 537-546, 1969.
37. Childress S. Viscous Flow Past a Random Array of Spheres // J. Chem. Phys. 1972. V. 56, p. 2527.
38. Власов А. Н., Волков-Богородский Д. Б. Аналитико-численный метод усреднения уравнений фильтрации Бринкмана в пористых и трещиноватых средах // Труды Всероссийской конференции "Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред" (г. Москва, 23-25 ноября 2010). М., ИПРИМ РАН. 2010. С. 81-97.
39. Волков-Богородский Д. Б., Власов А. Н. Асимптотическое усреднение уравнений фильтрации Бринкмана в многофазных средах с периодической структурой // Механика композиционных материалов и конструкций. 2012. Т. 18. № 1. С. 92-110.
40. Savatorova V. L., Talonov A. V., Vlasov A. N., Volkov-Bogorodsky D. B. Brinkman's filtration of fluid in rigid porous media: multi scale analysis and investigation of effective permeability // Composites: Mechanics, Computations, Applications. 2015, v. 6, N 3, p.239-264.
41. Саваторова В. Л., Талонов А. В., Власов А. Н., Волков-Богородский Д. Б.
Многомасштабное усреднение уравнений переноса газовой фазы в пористой среде. // Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред. Сб. материалов Всероссийской научной конференции с международным участием (к 95-летию со дня рождения академика И.Ф. Образцова). Москва. 2015. С. 544-545
42. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М., Мир. 1982. 334 с.
