CC BY
39
В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ
2005 р. В и п. № 15
УДК 621.316.727:621.3.026.5
Гейзер A.A.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ В УСТРОЙСТВАХ ЭЛЕКТРОПИТАНИЯ НА ОСНОВЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ
На основе классических уравнений Максвелла сформулированы уравнения многофакторной электродинамики, являющиеся основой физико-математического аппарата для описания электромагнитных процессов в устройствах электропитания с компенсацией реактивной мощности.
Отличительной особенностью многих электротехнических устройств, используемых в современной промышленности и технике, является индуктивный характер нагрузки, работа на частотах, отличающихся от промышленной частоты 50 Гц и другие показатели. Все это требует разработки схем электропитания, которые бы наиболее полно удовлетворяли разнообразным требованиям рассматриваемых устройств, при условии минимального потребления электроэнергии. С этой целью в устройствах электропитания используют схемы на основе колебательных контуров, как с сосредоточенными, так и с распределенными параметрами [1]. В настоящей работе в основном будут рассматриваться схемы электропитания на основе низкочастотных колебательных контуров. Они работают на частоте порядка v > 50 Гц, и используются в системах электропитания различных магнитно-импульсных устройств, с широким диапазоном по величине потребляемой энергии. По этой причине эти колебательные контура относятся к устройствам электроэнергетики, и мы их в дальнейшем условимся называть энергетическими. Для проектирования и расчета магнитно-импульсных устройств с использованием энергетических колебательных контуров важно знать структуру формируемых электромагнитных полей и иметь математическую модель описывающую их. Это знание важно как с практической, так и с познавательной точек зрения. В связи с этим нам представляется целесообразным описывать электромагнитные процессы в колебательных контурах физико-математическим аппаратом теории электромагнитного поля, в отличие от общепринятого аппарата теории цепей.
Анализ структуры полей и характер протекания электромагнитных процессов в колебательной системе практически невозможен без применения наглядной модели и ее математического описания. Между тем этому вопросу в настоящее время в известной нам литературе уделяется недостаточное внимание. Насколько нам известно, в настоящее время отсутствует наглядная модель структуры электромагнитных полей имеющих место в энергетических колебательных контурах, как с сосредоточенными, так и с распределенными параметрами, работающих на низких частотах.
Целью настоящей работы является разработка на базе ключевых положений и формул классической электродинамики и модели структуры электромагнитных полей, наблюдающихся в энергетических колебательных контурах с сосредоточенными параметрами, физико-математического аппарата для описания электромагнитных процессов в устройствах электропитания с компенсацией реактивной мощности.
Существует много форм записи уравнений электродинамики, приводимых в различных литературных источниках [2-4], описывающих электромагнитные процессы в электро- радиотехнических устройствах. Мы же будем пользоваться формой записи имеющей наибольшее признание - уравнениями Максвелла, отраженной в отечественных и зарубежных источниках и используемой в современной физической и научно- технической литературе. Этот выбор обусловлен тем, что другие формы записи уравнений электродинамики носят, как правило, дискуссионный характер и отражают в основном взгляд авторов на теорию электромагнетизма, т.е. их представления о ней. Как отмечено в [5]: "При изучении курса электродинамики наиболее
ПГТУ, канд. техн. наук, доц.
целесообразно постулировать уравнения Максвелла, а затем последовательно применять их к исследованию конкретных различных задач". Это утверждение относится, на наш взгляд, и к применению уравнений Максвелла в научных исследованиях, чем мы и будем руководствоваться в дальнейшем. Уравнения Максвелла записываются, в общем виде, в интегральной
гдЬ
I. Я 5
гдВ
д1
О)
л'
и дифференциальной
г, -г ао гоШ = / +—, Ы
яр
ШЁ = - —, (2)
д1
сйу£> = р, ¿™в = о,
формах записи, в виде систем уравнений (1) и (2), которые будем называть классическими. В этих уравнениях: Н - вектор напряженности магнитного поля; сИ - вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; ] - вектор плотности тока проводимости; Ъ - вектор электрического смещения; I - время; - вектор, модуль которого равен площади контура, а направление совпадает с нормалью к площадке; Е - вектор напряженности электрического поля; В - вектор индукции магнитного поля; р - плотность электрических зарядов; с/К - элементарный объем.
Применяя постулированную классическую систему уравнений, мы будем в дальнейшем руководствоваться положением, сформулированным в [6], которое звучит так: «Система уравнений электромагнитного поля приобретает определенное физическое содержание лишь в том случае, если будет точно указано, в каких явлениях, доступных наблюдению и изучению на опыте, и каким именно образом проявляется существование электромагнитного поля».
Система уравнений (1) и (2) совместно с законом сохранения заряда составляют базу для описания электромагнитных процессов в устройствах радиоэлектроники [7]. На зависимости характеристик поля от времени в [7] основана ниже следующая классификация электромагнитных полей. Различают поля: нестационарное, квазистационарное, стационарное, статическое. Предметом наших исследований является описание электромагнитных процессов в низкочастотных энергетических колебательных контурах, по этой причине в дальнейшем будем рассматривать только квазистационарное электромагнитное поле. Для квазистационарного электромагнитного поля плотность тока смещения много меньше плотности тока проводимости и поэтому вторыми членами в правой части первых уравнений систем (1) и (2) пренебрегают и эти уравнения записываются в виде
\М1 = \jcis , (3)
га/ Н - ) . (4)
Однако как было отмечено в [8] в этом случае ток смещения перестает быть гарантом замкнутости тока в цепи конденсатора колебательного контура. В связи с этим нами предполагается, что фактором, обеспечивающим замкнутость тока, помимо тока смещения, является другой фактор, каковым представляется, очевидно, переменное электромагнитное поле, через которое в конденсаторе энергетического колебательного контура замыкается ток. Таким образом, мы считаем, что в конденсаторе энергетического колебательного контура существует переменное электромагнитное поле, а, следовательно, и электромагнитные волны, с помощью которых осуществляется энергообмен между энергоемкими элементами колебательного контура. Как известно [7], первые два уравнения систем (I) и (2) после некоторых преобразований
дают волновое уравнение. Но где существует эта волна? Как мы уже отмечали - в конденсаторе колебательного контура и катушке индуктивности. Следовательно, для конкретизации места существования электромагнитных волн в одно из первых двух уравнений систем (1) и (2) можно ввести поле конденсатора. Это не противоречит духу уравнений Максвелла, так как они удовлетворяют принципу суперпозиции [7]. В этом случае уравнения Максвелла, записанные в дифференциальной форме, примут вид
- - 8D roí Н = i + —, dt
rot Ё = rot Ёст - —, (5)
8t
divD = p, div В = 0.
Записав систему уравнений (5) сделаем некоторый комментарий к ним. Прежде всего, отметим, что первый член в правой части второго уравнения системы (5) описывает поле конденсатора колебательного контура и по этой причине его написание может быть различным в зависимости от вида решаемой задачи, что отражено в ряде работ автора, например, в [8, 9]. Сейчас же покажем, что этот член описывает поле конденсатора колебательного контура. Так как причиной всех электромагнитных процессов происходящих в энергетическом колебательном контуре является разрядка предварительно заряженного от стороннего источника конденсатора, то его поле снабдим индексом СТ, означающим стороннее поле, что соответствует закону сохранения и превращения энергии. Применив начальные условия в момент времени / = О
- «Ч - Л 3D А ей Л
к системе уравнении (5), учтя, что в этот момент j = 0, а — = 0 и — = 0, получим что
8t dt
rot К - rot Ёст =0. То есть в начальный момент времени поле конденсатора статическое и напряженность его поля определяется плотностью электрических зарядов, распределенных на обкладках конденсатора. После замыкания конденсатора колебательного контура на катушку индуктивности по цепи колебательного контура начинает течь ток проводимости, возникает переменное электрическое и магнитное поля, в результате чего, в частности, изменяется и поле конденсатора. Таким образом, уравнения системы (5) качественно правильно описывают процессы, протекающие в энергетических колебательных контурах.
Для установления окончательной формы записи системы уравнений (5) необходимо уточнить знаки перед членами в правой части первых двух уравнений. Это необходимо сделать по следующей причине. Как уже отмечалось выше, системы уравнений Максвелла (1) (2) записаны в общем виде и составлены без учета реальной картины полей существующих в конденсаторе колебательного контура. В некоторой степени это пока что относится и к записанной на их основе системе (5). В [9] рассмотрена подробно картина создания электромагнитных полей в конденсаторе в соответствии с записанными первыми двумя уравнениями системы (5). В соответствии с ней установлена окончательная форма уравнений электродинамики описывающих электромагнитные процессы в энергетических колебательных контурах. Эти уравнения имеют вид приведенный ниже
Г7 - r)D dt
- - дВ
rot Ё = rot Егт--, (6)
dt
divD = p, div В = 0.
Здесь следует заметить, что система уравнений (6) полностью удовлетворяет модели структуры электромагнитных полей предложенной Максвеллом [10] и развитой нами в [9]. Модель структуры электромагнитных полей, которые существуют в процессе колебательного разряда конденсатора колебательного контура на катушку индуктивности, построена на основе надежных, экспериментально подтвержденных факторах. В полной мере всем факторам, как показано в [9], удовлетворяет модель в виде чередующейся цепочки замкнутых силовых линий электрического и магнитного полей, изображенная на рисунке 1. Отметим попутно, что векторные величины É, Н и вектор Пойнтинга S, выделены на рисунке жирным шрифтом.
Как показано в [9] в конденсаторе колебательного контура наблюдается сложная картина переменных электромагнитных полей, переносящих энергию этого поля в различных направлениях, и эта картина описывается системой уравнений (6) в соответствии с моделью, представленной на рис. 1. Как показано в [9] без введения стороннего поля в уравнения Максвелла картина электромагнитных полей в конденсаторе колебательного контура была бы не полной.
Рис. 1 - Модель структуры электромагнитного поля
И. наконец, последний комментарий к записанным уравнениям Максвелла для энергетического колебательного контура. В курсе общей физики электромагнитные процессы в колебательном контуре описываются с использованием математического аппарата теории цепей [11 - 13]. Видимо по этой.причине описанные выше закономерности не были замечены ранее. Кроме того, в этих же курсах при описании электромагнитных процессов в конденсаторе считалось достаточным введения тока смещения для объяснения замыкания тока в его цепи, и по этой причине не учитывалась вся сложная картина электромагнитных процессов происходящих в нем. По этой же причине, очевидно, отмеченные процессы не учитывались и в курсе ТОЭ и аналогичных ему [7]. Учитывая выше изложенный материал, автор назвал систему уравнений (6), описывающую сложную картину электромагнитных процессов в энергетическом колебательном контуре, уравнениями многофакторной электродинамики. Система уравнений (6) записана в дифференциальной форме. В интегральной форме она будет выглядеть в виде, представленном ниже
Из систем уравнений (6) и (7) видно, что два первых уравнения в этих системах отличаются от классических уравнений (1) и (2). Первые отличаются знаками перед вторым членом в правой части, а вторые тем, что в правые их части вводится дополнительный член, включающий напряженность поля сторонних сил. Подробно обоснование вида первых уравнений в системах (6) и (7) приведено выше, а также более подробно в работах [8, 9]. В настоящей работе, а также в [8, 9] обосновывается необходимость введения дополнительного члена во вторые уравнения классических уравнений (1) и (2) так, что эти уравнения приобретают вид (6) и (7). Однако вопрос о виде вторых уравнений в указанных выше системах требует, на наш взгляд, дополнительного рассмотрения. Это продиктовано несколькими причинами, одной из которых является та, что аналогичная форма записи предлагалась автором настоящей работы ранее [1, 14, 15], а проведенные здесь исследования проливают свет на некоторые аспекты к этим работам. Другая причина заключается в том, что формулы вида вторых уравнений систем (6) и (7) использовались нами ранее для описания электромагнитных процессов в различных устройствах [16 - 20], а проведенные позже исследования требуют дополнительных комментариев к этим работам.
Рассмотрим вначале вопрос ввода в уравнения закона электромагнитной индукции дополнительного члена, после чего уравнения этого закона приобретают вид вторых уравнений в системах (6) и (7), записанных в дифференциальной и интегральной формах соответственно. Вопрос этот не простой о чем свидетельствует тот факт, что вокруг него велись и ведутся жаркие дискуссии на страницах различных изданий. Во-первых, хотелось бы сразу отметить, не углубляясь в отдельные детали вопроса, что без введения дополнительных членов или соотношений, вычисление величины Э.Д.С. индукции по классической формуле закона электромагнитной индукции затруднительно. Об этом свидетельствует множество публикаций и в частности [4, 21]. С этой целью вводятся дополнительные поля векторного потенциала магнитного
поля - вектора А, и скалярного потенциала <р, которые связаны с Е и В следующим образом
А
(7)
§Г)сБ= \pclV, ^¿£ = 0.
5
- —.
В = rot A, E = -grad<p--. (8)
5t
Однако введение дополнительных полей, как отмечается в [4], допускает произвол в решении полевых задач, появляются решения в виде виртуальных полей, и возникает необходимость введения дополнительных калибровочных соотношений, что делает применение теории непосредственно в практической деятельности проблематичным. Кроме того, использование записанных выше соотношений (8) для вычисления Э.Д.С. индукции ведет к возникновению парадоксальной ситуации, о чем сообщается в [4]. Это объясняется, возможно, тем, что понятие векторного потенциала, как это отмечено в [21], не очень популярно среди электротехников и, например, как замечено там же, это понятие в курсе электрических машин вовсе не появляется. Видимо по этой причине на страницах журнала «Электричество» и других электротехнических изданий велась дискуссия, касающаяся темы применения закона электромагнитной индукции в теории электрических машин. Автор высказал свое мнение, касающееся этого вопроса в своей статье [15], где предложил ввести в формулу закона электромагнитной индукции дополнительный член вида Аст jq. Несколько ранее [14] было предложено член такого вида внести в уравнение закона электромагнитной индукции в его классическом написании. Такой же позиции автор придерживается и в более поздней работе [1]. Дальнейшие исследования этого вопроса [8, 9], а также применение предложенной формулы для решения ряда конкретных задач [16 -20] сформировали мнение автора в том, что его подход имеет право на жизнь. Аргументируем высказанное выше более подробно.
Как уже отмечалось ранее, и как замечено в [4], классической системы уравнений для решения конкретных задач электро- радиотехники без введения дополнительного поля векторного потенциала оказывается недостаточно. Это наводит автора на мысль о том, что поскольку без введения дополнительного поля все равно не обойтись, то нельзя ли вместо поля векторного потенциала, не пользующегося популярностью, ввести непосредственно в классическую систему уравнений более осязаемое поле сторонних сил? По всей вероятности можно, благодаря принципу суперпозиции и закону сохранения и превращения энергии, о чем речь шла выше. Собственно это и было сделано автором в цитируемых работах, в результате чего уравнения электродинамики приобрели вид уравнений (6) и (7), названных уравнениями многофакторной электродинамики. На наш взгляд эти уравнения достаточно полно удовлетворяют модели структуры электромагнитного поля, изображенной на рис. 1, которая, в свою очередь, более полно удовлетворяет принципу Гюйгенса. Это и укрепляет уверенность автора в том, что эти уравнения найдут достаточно широкое применение. Например, использование видоизмененных уравнений для описания электромагнитных процессов в колебательных контурах, как с сосредоточенными, так и с распределенными параметрами [9, 17], показывает, что они более полно описывают картину электромагнитных полей существующих в конденсаторах этих контуров. Кроме того, применение видоизмененного закона электромагнитной индукции позволяет достаточно точно описать процесс наведения Э.Д.С. индукции в конкретных устройствах. При этом оказалось, что, исследуя конкретные ситуации, всегда можно найти источник стороннего поля, благодаря которому и возникает наведенное электрическое поле, что, собственно, и должен отражать закон электромагнитной индукции. Разумеется, это не в коей мере не противоречит основным положениям классической электродинамики, напротив вносит в классическую систему уравнений Максвелла определенную симметрию. Здесь следует отметить, что стороннее поле вводится в классическую систему уравнений Максвелла, но не таким способом как мы предлагаем, а через закон Ома. Нам представляется, что гораздо естественнее, особенно в теории электрических машин, к которым можно отнести большой класс электротехнических устройств, стороннее поле вводить в закон электромагнитной индукции. Кстати из классификации
полей проводимой в [7] в этом случае следует, что стационарное поле создается тогда, когда
rotH = j, я rotE = rotECT. Т.е. постоянный ток в цепи течет в этом случае под действием поля
стороннего источника, что и отвечает действительной картине наблюдающейся в природе.
Если кратко прокомментировать работы автора, посвященные рассматриваемому вопросу [1, 8, 9, 14 - 20], то можно отметить - многократная проверка предложенной формулы закона электромагнитной индукции, с введенным в нее полем сторонних сил, показывает, что ее применение достаточно правильно описывает электромагнитные процессы в различных устройствах. При этом для решения конкретных задач не требуется применения такого понятия как век-
торный потенциал и использования дополнительных калибровочных соотношений, что упрощает инженерные расчеты и делает их более наглядными.
Выводы
Уравнения многофакторной электродинамики, в отличие от уравнений Максвелла, включают поле сторонних сил в уравнении закона электромагнитной индукции. Это делает, на наш взгляд, ненужным, во всяком случае, при вычислении Э.Д.С. индукции, применение в дальнейшем такого понятия, как понятие поля векторного потенциала. Предложенные уравнения наиболее полно описывают картину электромагнитных полей, наблюдающихся в энергетических колебательных контурах. По этой причине они могут являться базовыми для физико-математического аппарата предназначенного для описания электромагнитных процессов в устройствах электропитания с компенсацией реактивной мощности.
Перечень ссылок
1. Гейзер A.A. Генераторы колебаний для электропитания магнитно-импульсных устройств / A.A. Гейзер. - Мариуполь: Рената, 1998. - 224 с.
2. Абрамкин Ю.В. Сравнительный анализ математических моделей электромагнитного поля Максвелла и Лоренца / Ю.В. Абрамкин, В.И. Извеков, В.А. Кузнецов //Электричество. -1997. - № 5 . - С . 37-49.
3. Иосифьян А.Г Эволюция физических основ электротехники и электродинамики / А.Г. Ио-си$ьяя//Электричество. - 1987. -№ 12. -С. 18-29.
4. Докторович З.И. Анализ причин появления калибровок при решении уравнений Максвелла ГЗ.И. Докторович. - http://vmw.laboratoiy.m/artic!/math/ram020.htm.
5. Тай Чэнь-До. О методах изложения теории Максвелла / Чэнь-До Тай II Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. - Том 60. - 1972. - №8. - С. 17-27.
6. Тамм И.Г. Основы теории электричества / И.Г. Тамм. - М.: Наука, 1976. - 616 с.
7. Кугушев A.M. Основы радиоэлектроники I A.M. Кугушев, Н.С. Голубева. - М.: Энергия, 1969. - 880 с.
8. Гейзер A.A. К вопросу о замкнутости тока в колебательных контурах /A.A. Гейзер //Техн. електродинамжа. Тем. вип. "Проблеми сучасно! електротехшки". - 2004. - Ч. 5. - С. 7-10.
9. Гейзер A.A. Моделирование электромагнитных процессов в энергетических колебательных контурах / A.A. Гейзер II Техн. електродинамжа. Тем. вип. "Силова електрошка та енергое-ффективность". - 2004 . -Ч.З. - С. 137 - 140.
10. Максвелл Д.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля I Д.К. Максвелл. -М.:ГИТТЛ, 1954.
11. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.З 1ДВ. Сивухин. - М.: Наука, 1977.- 688 с.
12. Савельев ИВ. Курс общей физики. Т.2 / ИВ. Савельев. - М.: Наука, 1988. - 496 с.
13. Трофимова Т.И. Курс физики / Т.Н Трофимова. - М.: Высшая школа, 2003. - 542 с.
14. Гейзер A.A. Закон электромагнитной индукции в классической электродинамике / A.A. Гей-зерИ Вестник Приазов. гос. техн. ун-та. -1995. -№ 1.-С. 284-287.
15. Гейзер A.A. Использование некоторых выражений закона электромагнитной индукции / A.A. Гейзер //Электричество. - 1996. - № 10. - С.73 - 76.
16. Гейзер A.A. Электромагнитные процессы в генераторе импульсов на основе индукона / A.A. Гейзер, O.A. Гейзер II Bíchhk Приаз. держ. техн. ун-ту. - 2000. - № 9. - С. 215 - 220.
17. Гейзер A.A. Свободные электромагнитные колебания в колебательных контурах с сосредоточенными параметрами /A.A. Гейзер II Bíchhk Приаз. держ. техн. ун-ту. - 2001. -№ 11. - С. 237-242.
18. Гейзер A.A. Бетатронное отношение с учетом магнитного потока создаваемого электронами IA.A. Гейзер II Известия вузов "Электромеханика". - 2002. - № 5. - С. 3-7.
19. Гейзер A.A. Основные уравнения физических процессов в вихретоковом преобразователе на основе закона электромагнитной индукции / A.A. Гейзер //Техническая диагностика и не-разрушающий контроль. - 2001. - № 2. - С. 12 - 15.
20. Гейзер A.A. К вопросу об основных уравнениях трансформатора / A.A. Гейзер II Известия вузов и энергетических объединений СНГ "Энергетика". - 2002. - № 6. - С. 48-56.
21. Поливанов КМ. Электродинамика движущихся тел / K.M. Поливанов. - М.: Энергоиздат, 1982,- 192 с.
Статья поступила 17.02.2005
