Физика колебаний в колледже информатики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 377 . 5

DOI: 10 .23951/1609-624Х-2017-8-68-77

ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ В КОЛЛЕДЖЕ ИНФОРМАТИКИ

П. В. Пипич

Новосибирский государственный университет, Новосибирск

С использованием элементарных численных методов построены модели различных колебательных систем. Математический маятник, поршень, движущийся в цилиндре под действием разности давлений в цилиндре, и материальная точка, совершающая колебательные движения по окружности под действием упругой силы, демонстрируют качественно различный характер зависимости между амплитудой и периодом колебаний. С помощью блока численного решения дифференциальных уравнений математического пакета Ma1:hCAD изучено движение маятника Капицы с нетривиальной возвращающей силой. Построение двух- и трехмерных графиков в системе Ma1:hCAD применено для сложения взаимно перпендикулярных колебаний и получения фигур Лисса-жу. Автоколебательные системы представлены в виде моделей RC-генератора с трехзвенной фазовращающей цепью отрицательной обратной связью и генератора Вина. Примером релаксационного генератора является модель мультивибратора на динисторах. В основе компьютерной модели генератора на туннельном диоде использование вольтамперной характеристики N типа, содержащей участок с отрицательным сопротивлением.

Ключевые слова: компьютерная модель, нелинейные колебания, маятник Капицы, RC-генератор, мультивибратор, фигуры Лиссажу, туннельный диод.

Колебания являются одним из важнейших разделов физики. Для студентов-физиков существует немало увлекательных и содержательных книг по этому вопросу [1—5]. Но содержание этих книг недоступно, несмотря на важность, для большинства нефизиков и для студентов колледжей. В интересной книге [6] сделана попытка изложить физику колебаний для неспециалистов, но, несмотря на заманчивое название «Колебания и волны для гуманитариев», для уяснения текста требуется уровень студентов инженерных факультетов. Этот раздел физики делает сложным математический аппарат. Дифференциальные уравнения, описывающие даже простые колебательные системы, как правило, нелинейные. Хотя и разработаны приближенные методы для их решения [7], но их изучение -удел будущих специалистов в областях, связанных с колебаниями. Остальным приходится довольствоваться линейным приближением и словесным описанием нелинейных эффектов. В значительной степени исправить положение дел можно с помощью численного решения дифференциальных уравнений и численного интегрирования. Численные методы в какой-то степени «уравнивают шансы» физиков и нефизиков. В своей основе численные методы низводят любую задачу на уровень элементарных формул, и, используя это обстоятельство, можно построить модели многих сложных явлений. Плата за «элементарность» - большой объем вычислений, который «поручается» компьютеру. Студенты колледжа информатики в этом отношении обладают преимуществом перед студентами других специальностей.

Преподавание в колледже информатики обладает рядом особенностей, существенных для изучения физики:

1. Студенты колледжа изучают программирование в объемах, которые позволят им профессионально работать в различных областях информатики, и, как следствие, их умений и навыков достаточно, чтобы численно решать физические задачи.

2. Физические задачи являются материалом, на котором учащиеся совершенствуют знания и навыки в основной профессии и в этом смысле физика - невторостепенный предмет.

3. Физика является теоретической основой всех технических наук. Поэтому для тех, кто собирается эффективно использовать информатику в технических приложениях, физика является не только общеобразовательным предметом, но и частью профессионального образования.

4. Математика также является одним из основных предметов в программе подготовки специалистов, что совпадает с интересами преподавания физики.

5. Студенты изучают не только языки программирования, но и специализированные пакеты Maple, Mathcad, Mathematica, Mathlab, оптимизированные под решение физических и технических задач.

Учитывая вышеизложенное, рассмотрим на конкретных примерах, как можно реализовать возможности студентов колледжа информатики при изучении колебаний в курсе физики.

Зависимость периода колебаний от амплитуды. В курсе физики в средних и высших учебных

заведениях оеанюшвеются приближением малых колебаний,так какэтотслучай стответсякетмтш-мстическнм возможностям учащихсяистудонтоа. Дляэ^^гогжи(^!^ои^е^ия хлракгеоно то, что перияд кол<сЖаннс нс иа-нсил ая амшштуоы,итоэосбще-то млттнвсжечрнннтелцин и онымуМсл-чте ксякбао ниг1^лйеррт^естэгб моттоэвт оопривоеорттияе-

методор,ко-

яяиые ведвиткоив1 стуценэаж оониеджа. ипк, нери-од колебаннйЛ-маяттмка^нлна кмторослТ,тсм-понтувт келебаний м- сыражсетэя верез -к-вимН элмипятяскиП иитерналпррвоморода.

T = 4 •

V1- k 2sin2©

k = sin

i

д/l - k 2sin2©

= ln -

l

l-k

(k — l - 0),

T = 2K.

m ■ L

'2■ Y■ Po ■S

мядыхиоле6аняй icacc в зрдаче ия [В], веля рюзино-веш шнур натянзн ]у соутоннии навновесия а; [иной F. Мы раеолотрии более слоакный случойс когда натежтние шнура я состоялии равнтвесдо реоно нлою, ато сорднссскя^т ооэунсквиж иаауняоамдо-го чляни о блйлоровскон розложлнли иотенцианл-н—н эвероопе сся Мундцнп .яла >р

ьд2дд + И)2

0(р)т Кинеоноесман онортпя

Р

K

M • R2 • ю2

T ^ 2и - (k ^ 0, ф0 ^ 0) \g

Есливычмслюоьасимяоотл1п этовоиндэоэаон ш>и ф0—н, то мянжеввдеть, п

2 -

Период волоРаний в итом гфоблаиасвии можна уы-разить инреы ймлаитуду колебаний ф0 и Г-функс цию:

г-' ^кГМ

о0

'01 4

т. е. T -я-си (ф0 -н п) .

Млльаутаь болол скскмлыми иредствами (рие. 1),можла пошчить ияакпжасритакмю же информацию. На комньютедной модели моыо ги>ороанониурить зсвияимссть ммртода нояебрним от амплитуды.

На рис. 2 приведен гримериногорода. Без особого труда мояею наёти ферм—о доя онриода кт-лебаний Т-поршня при адиабатическом изменении объема газа в цилиндре слева и справа от поршня.

Не утручмо снбя иоисиами ажалитм-есноБО ¡решения для колеергшй проювольнойамплшуды, для каждого конкретного случая можно получить решение численными методами, а также найти период малых кетебандй в чбстностр.На осоовонин полученных ураДдоон нджое сбелать еамесрвен-ные выводы: 1) по мере увеличения амплитуды увеличивается степень нелинейности, что проявляется в отклонении графика от синусоиды; 2) чем больше амплитуда, тем меньше период колебаний. Последний результат является несколько неожиданным в сравнении с математическим маятником.

На рис. 3 представлен своеобразный пример, в котором отсутствует линейное приближение. В рассматриваемом случае можно найти период

Из этого выражения видно, что Т ^ да при Фо --( 0. Знаниями, необходимыми для получения этой формулы, студенты колледжа не располагают. Однако с помощью численных методов хоть и не-пилялюо мпэжло увидеть да

приф0 —о Жпайтинприор колеокнш- длл задаиолй aHHHHHW>PaT6PMe найти амплитуду, соответству-ющтюминиюсльнлжу периоду колебаний, и найти оависимосооугла дткленешилт воеиони ь(0- Вы-щапридеимнные фокйлыйуеуИйель-покйаьь, какие трудности можно обойти с помощью численных методов тем, кто не располагает специальными знаниями.

Маятник Капицы. Маятник Капицы - тема, которую рассматривают обычно в спецкурсах для Оизуыовоо телриисилеМаннй.На рис.е пяев-Копииы - вевесомыйстержьнь длины L с грузом m на конце в поле силы тяжести. Точка подвеса стержня вибрирует вертикальны с ампскуууой и и чаетотоИ н. Мв солеЯлюднй-мямеятникдеботвиют моиешюдвоиешнеилы тяжести Mg = mgL^sin(0) и возвращающей силы M = -m-L-a-ffl2-sin(ffl-f)-sm(0). Для того чтобы решить нкотиетствиюмесыйавгение нвюоеыов, ммда нл влемаиездеаоьея1ыюораымойд1н оиельннеое решения дифференциальных уравнений любого математического пакета, например программой Odesolve MathCAD. Из рис. 4 видно, что вся процедура сводится к написанию уравнения движения с начальными условиями в блоке между строками Given и 0:=Odesolve(t,5,1O5). В правой и левой части уравнения движения опущен общий множитель mL. Полученное решение позволяет построить график зависимости 0 от t.

n := 1000 dt := 0.01 m := 1 g := 9.S1

ф(о.) :=

м i— 0

i m-l for 1Ï 1..П

M <--m-L-g-sm(<|ii_i)

M

ra ra + ß ■ dt Ф1 í— + м dt

L := 1

ф0 := Ф

I 9 t

i := 0..n

(О, (Hi té;

-1.5

-J

1 / I к

■ 1 V I \ ■ 1 ■1 fm i j I • jF 1 г ^fc V \ л ; j

0 \ Y \i t i 1/ \ \ 5 ' s ^ 1/1 .1 ■1

'■Л'" \ r ka I' ' "

Рис . 1

Dp -pOL

Dp3

a <--—

m

V <r- V + adt

х- x. , + Vdt i l-l

(L-Vl)7 (^-if

7 := - L := 1 m := 10

3

pO := 104 3 := 0.01

и := 2000 dt := 0.001

xO := X(0.25 xl := X(0.7) x2 := XjU?)

i := 0.. n

Рис 2

Т(Ф) :=

с1ф<е- 0.001-л М í- 1 к^ 60 R 1 h í— 1.2

Li- Jr2 + (h+ R)2 - 2-R-(h + К)-соз(ф)

E í-

k (L - h)

tí- 0

while ф > 0

a := 0.05-я.0.1-я.. 0.9-я

L í- /R2 + (h +К52 - 2-R-(h+Re cosí ф --у

и í— -J Е - --(L-h)2 2

MR2

dt í— Ц

и

Ф Ф - (Зф

t í- t + dt

Рис.3

а := Ü.00J м := 450 L := 0.2 g := 9.81

e(t) 0.03

0.015

Given ,2

"0.015 -0.03

L--^e(t) = g-sin(e(t)) - a-MZ-sin(M-t)-sin(e(t))

dt 9(0) = 0

Э'(0) = 0.1

e := 0desolve(t,5,105

Рис.4

М=1кг

Л / \ Л

/ I ,

! *

\l V 1 V

Варьируя параметры, можно детально изучить колебания маятника. В частности, увеличивая частоту вибрации подвеса ю, легко видеть, что период колебаний маятника уменьшается, что вовсе не очевидно из наглядных представлений. Следует иметь в виду при выборе конкретных параметров задачи, что должно выполняться условие устойчивости: a2•ю2 > 2•g•L.

Фигуры Лиссажу. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний обычно рассматривают на примере простых синусоидальных колебаний с кратными частотами. Эллипсы, восьмерки и им подобные фигуры получаются на экране осциллографа при сложении сигналов от генераторов синусоидальных колебаний. Элемент новизны в представленном случае заключается в том, что компьютер

позволяет синтезировать колебания различной формы и, как следствие, результаты сложения отличаются большим разнообразием. Кроме того, можно наблюдать результат сложения трех взаимно перпендикулярных колебаний. На рис. 5 представлены результаты сложения периодических колебаний в двумерном и трехмерном случаях.

Генераторы гармонических колебаний. Прежде чем переходить к моделированию электронных схем, целесообразно сделать следующее замечание. Имеется ряд программ схемотехнического моделирования, автоматически составляющих и

решающих системы уравнений, описывающих состояние электронных схем и моделирующих их работу. Анализ схем в таких программах настолько автоматизирован, что теряется физическое и математическое содержание. Для целей обучения такой подход нецелесообразен. Именно при составлении и отладке соответствующих программ достигается понимание физической сущности явлений, происходящих в схеме, и уяснение принципов ее работы.

Не составляет труда, пользуясь элементарными формулами, построить модель RC-генератора. Для начала рассмотрим генератор с трехзвенным

Рис.5

RC-фильтром. Такая цепочка меняет фазу входного зовращающей цепью, то можно получить генера-

сигнала на 180° для частоты ю = ^6/(Л-С) и умень- тор. В нашей модели выходное напряжение гипо-

шает амплитуду примерно в 30 раз (теоретическое тетического усилителя иаи, нелинейно зависит от значение 29). Следовательно, если воспользоваться напряжения входного сигнала U¡n. Эта зависимость

инвертирующим усилителем с коэффициентом выражается формулой Uout = -Л"^^^). Такая за-

усиления К = 30 и соединить выход с входом фа- висимость качественно отражает уменьшение ко-

Рис. 6

эффициента усиления усилителя с ростом входного напряжения. Схема и результаты моделирования представлены на рис. 6. Варьируя К, можно определить порог генерации и выяснить, что с ростом К будет увеличиваться коэффициент нелинейных искажений. Последнее обстоятельство очень важно, поскольку генератор является существенно нелинейным устройством.

Модель, представленная на рис. 7, также относится к RC-генераторам. Отличие в устройстве фа-зовращающей цепи. Для такой схемы порог генерации К = 3 и частота определяется формулой ю = 1/(Л-С). Для возникновения генерации необходим неинвертирующий усилитель, усиление которого можно количественно описать формулой Uout = К^т(и„), (К > 3). Использование в модели усилителей функции sin(U) не является обязатель-

5 -7

К := 10 С := 10

ным, подойдет, например, аг^(Ц), важно, чтобы коэффициент усиления уменьшался с ростом входного сигнала. Заметим, что в программах есть слагаемое в строке для выходного напряжения, которое соответствует флуктуации, которая инициирует начало генерации. Варьируя Я, С, K, можно изучить влияние параметров схемы на частоту и форму генерируемого напряжения. Кроме того, можно построить фазовые портреты и проиллюстрировать понятие предельного цикла.

Релаксационный генератор. Мультивибратор на динисторах может служить примером релаксационного генератора. Модель, приведенная на рис. 8, отличается от реальной непринципиальным отсутствием двух резисторов, ограничивающих ток через динисторы. В начальный момент времени в силу разброса параметров один из динисторов

<Й := 10

п := 10000

Ш:=

и

I

И 1Т1

3.2 -гт(Ш)

q 0

^ о ш0<-о

и ^ о

Аэг 1 е 1.. п

Е 3.2-31П|1Л._^ | + 0.1

Е - и - и1

I

¿-1

Ш

12

1-1

II ^ I - 12 — + И-<&

1 С q с^ Ч- I ■ (34.

ш

Рис.7

открывается и через него заряжается конденсатор. Конденсатор заряжается до тех пор, пока не откроется закрытый динистор. Открытый динистор запирается, и конденсатор начинает перезаряжаться. Если резисторы, через которые заряжается конденсатор, разные, то импульсы VI и V2 на выходах отличаются по длительности. На рис. 8 представлена программная реализация словесного описания принципа действия мультивибратора. Сравнение компьютерной модели с реальным мультивибратором из лабораторного практикума показывает высокую степень идентичности модели и реальной схемы.

Генератор на туннельном диоде. Хотя туннельный диод не нашел широкого применения в электронике, он является хрестоматийным примером прибора с отрицательным сопротивлением. В этом качестве он часто встречается на страницах литературы по физике и электронике [9, 10]. Обычно в курсах физики для средних учебных заведений ограничиваются линейными цепями из-за математической простоты, и у учащихся складывается впечатление, что закон Ома - самое главное в электричестве. Этот предрассудок можно преодолеть

при наличии вычислительных возможностей анализа нелинейных цепей. Модель генератора на туннельном диоде и служит этой цели. На рис. 9 приведена схема генератора и ВАХ туннельного диода. Для расчетов необходимо располагать аналитическим выражением ВАХ. Существует много формул, аппроксимирующих ВАХ туннельного диода.

В представленной модели используется одна из наиболее распространенных в литературе формул. Кроме того, формулу для ВАХ можно получить с помощью сплайн-интерполяции. Математическое выражение физического содержания модели сводится к двум фактам. Сумма напряжений на индуктивности, емкости и резисторе равна ЭДС источника напряжения. Е = UR+UL+UC. Ток в цепи равен сумме токов через конденсатор и через диод. I = Соответствующую систему дифференциальных уравнений можно решить с помощью возможностей Mathcad. Тот же результат можно получить, написав программу, в которой производная dI(t)/dt заменена конечной разностью. В зависимости от математической подготовки студентов используется тот или иной вариант.

Рис. 8

Рис .9

вень рассмотренных тем вполне доступен учащимся и студентам. Компьютерные модели электронных схем адекватны тем, что используются в лабораторных работах. Использование математических пакетов, например MathCAD, существенно расширяет диапазон используемых моделей за счет совершенных алгоритмов решения дифференциальных уравнений.

Таким образом, представленные примеры показывают, что владение учащимися программированием позволяет рассмотреть многие вопросы раздела колебаний с большей полнотой, чем обычно. Раздел колебаний можно дополнить вопросами, актуальными для будущих специалистов в области компьютерных систем, например схемами генераторов различных типов. Достаточно высокий уро-

Список литературы

1. Горелик Г . С . Колебания и волны . Введение в акустику, радиофизику и оптику . М . : Физматлит, 2008.

2 . Крауфорд Ф . Волны . М . : Наука, 1984. 512 с.

3 . Пейн Г . Физика колебаний и волн . М .: Мир, 1979 . 392 с.

4 . Рабинович М . И ., Трубецков Д . И . Введение в теорию колебаний и волн . Ижевск: РХД, 2000 . 432 с .

5 . Мигулин В . В . , Медведев В . И ., Мустель Е . Р ., Парыгин В . Н . Основы теории колебаний . М . : Наука, 1978. 392 с

6 . Трубецков Д . И . Колебания и волны для гуманитариев . Саратов: Колледж, 1997 . 394 с .

7 . Найфэ А. Введение в методы возмущений . М .: Мир, 1984. 536 с.

8 . Ландау Л . Д ., Лифшиц Е . М . Механика . М .: Физматлит, 2013. 208 с.

9 . Зельдович Я . Б ., Яглом Н . М . Высшая математика для начинающих физиков и техников. М . : Наука, 1982 . 512 с .

10 . Фишер Дж. Э ., Гетланд У. Б . Электроника - от теории к практике . М .: Энергия, 1989 . 400 с.

Пипич Петр Васильевич, преподаватель, Высший колледж информатики Новосибирского государственного

университета (ул. Русская, 35, Новосибирск, Россия, 630058). E-mail: pipich@ngs.ru

Материал поступил в редакцию 03.04.2017.

DOI: 10 .23951/1609-624X-2017-8-68-77

PHYSICS OF OSCILLATIONS AT THE COLLEGE OF INFORMATICS

P. V Pipich

Novosibirsk state University, Novosibirsk, Russian Federation

Numerical methods allow to circumvent the difficulties associated with lack of mathematical knowledge among the college students who are required to study physics. Using elementary numerical methods the models of various oscillating systems are built. A pendulum, a piston moving in a cylinder under the effect of pressure difference in a cylinder and a material point oscillating around the circumference under the action of elastic force, show a qualitatively different dependence between the amplitude and period of oscillations. Through the numerical solution of differential equations of the mathematical package MathCAD studied the motion of Kapitsa pendulum with a non-trivial restoring force. Construction of two - and three-dimensional graphs in MathCAD is applied to combine mutually perpendicular oscillations and obtaining Lissajous's figures. Self-oscillating systems are presented in the form of models of the RC- oscillator with three-tier phase-shifting circuit negative feedback and the Wine's oscillator. An example of relaxation oscillator is the model of the multivibrator on the dynistors. At the heart of a computer model of the generator on the tunnel diode is the use of current-voltage characteristics of N-type containing a section with negative resistance. The material may be used in the process of teaching physics at advanced level in secondary schools and junior courses of higher educational institutions.

Key words: computer model, nonlinear oscillations, Kapitsa pendulum, RC oscillator, multivibrator, Lissajous figures, tunnel diode.

References

1. Gorelik G . S . Kolebaniya i volny. Vvedeniye v akustiku, radiofiziku i optiku [Vibraations and waves . Introduction to acoustics, radiophysics and

optics] . Moscow, Fizmatlit Publ . , 2008.656 p . (in Russian) .

2 . Krauford F. Volny [Waves] . Moscow, Nauka Publ ., 1984. 512 p . (in Russian) .

3 . Pain H . J . The physics of vibrations and waves . New York, Wiley, 1976 . 412 p . (Russ . Ed . : Peyn G . Fizika kolebaniy i voln . Moscow, Mir Publ . ,

1979 .392 p .) .

4 . Rabinovich M .I . , Trubetskov D . I . Vvedeniye v teoriyu kolebaniy i voln [Introduction to the theory of vibrations and waves] . Izhevsk, RHD Publ . ,

2000 432 p (in Russian)

5 . Migulin V. V., MedvedevV. I ., Mustel' E . R. , Parygin V. N . Osnovy teorii kolebaniy [Basics of theory of oscillations] . Moscow, Nauka Publ, 1978 .

392 p (in Russian)

6 . Trubetskov D .I .Kolebaniyaivolnydlyagumanitariev[Vibrations and waves for humanitarians] .Saratov, Kolledzh Publ . , 1997 .432 p .(in Russian) .

7 . Nayfeh A. H . Introduction to perturbation techniques . New York John Wiley & sons 1981. 564 p . (Russ. ed . : Nayfye A. Vvedeniye v metody

vozmushcheniy. Moscow, Mir Publ . , 1984. 536 p .) .

8 . Landau L . D ., Lifshits E . M . Mekhanika [Mechanics] . Moscow, Fizmatlit Publ, 2013. 208 p . (in Russian) .

9 . Zel'dovich Ya . B ., Yaglom N . M . Vysshaya matematika dlya nachinayushchikh fizikovitekhnikov[Higher mathematics for beginner physicists and

technicians] . Moscow, Nauka Publ, 1982 . 512 p . (in Russian) .

10 . Fisher J . E . , Gatland H . B . Electronics - theory into practice . Pergamon press . New York, 1976 . 412 p . (Russ. ed .: Fisher Dzh . Ye ., Getland U . B .

Elektronika - ot teorii k praktike . Moscow, Energiya Publ . , 1989 . 400 p .)

Pipich P. V., Higher College of Informatics of Novosibirsk State University (ul. Russkaya, 35, Novosibirsk, Russian Federation,

630058). E-mail: pipich@ngs.ru