CC BY
8
Физические основы определения комплексного волнового числа для электромагнитных волн, распространяющихся через слой углепластика
Ю. А. Новикова
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического
приборостроения
Аннотация: Приведен вывод соотношений, которые могут служить для описания процесса распространения или дифракции электромагнитных волн в полупроводящих слоях композитных материалов, которые в том числе рекомендуется применять при создании бортовых антенн и устройств СВЧ с меньшим весом. Получены как точные, так и упрощенные математические выражения для быстрой количественной оценки комплексного волнового числа. На примере углепластиков с высокой проводимостью показано, что их использование позволяет создавать волноводные тракты и отражатели антенн до миллиметрового диапазона длин волн.
Ключевые слова: углепластик, электродинамика, композит, распространение, поглощение, антенна.
Механическая прочность композитных материалов позволяет применять их в авиационной промышленности. Преимущество композитов заключается в их потенциале для снижения веса летательных аппаратов (ЛА) без потери высокой прочности и жесткости. Кроме этого, существует возможность их специального изготовления или подгонки с анизотропными свойствами [1]. При этом они являются перспективными и для использования в СВЧ радиотехнических системах, как при традиционном применении для отражателей, СВЧ трактов антенн, так и в реализации экранов подложек конформных антенн и антенных решеток [2,3]. Создание антенн и их размещение на летательных аппаратах (ЛА) из композиционных материалов в электродинамическом смысле представляет собой новую задачу, поскольку широкое распространение получила теория дифракции электромагнитных волн на телах, выполненных из хорошо проводящего материала. В случае использования для ЛА новых композиционных материалов (органопластиков, углепластиков) необходимо решать более общую задачу дифракции на телах из полупроводящих материалов различной формы в
широком диапазоне от метровых до сантиметровых волн включительно. Выбор углепластика, как материала, который пригоден и перспективен для авиационного и радиотехнического применения, базируется на его физических особенностях, среди которых необходимо подчеркнуть симбиоз малой плотности и высокой прочности. Также следует учесть и инертность по химическому взаимодействию с возможными окисляющими элементами в широком диапазоне рабочих температур.
Исследования радиотехнических параметров углепластиков, обладающих уникальными механическими и весовыми свойствами при использовании на различных типах летательных аппаратов, необходимы для их грамотного применения в технике антенн СВЧ бортовых радиотехнических систем. Особый интерес представляют фольгированные углепластики [4]. Сами углепластики представляют собой среды с потерями. При решении задач электродинамики, связанных с расчетами процессов распространения электромагнитных волн в средах можно охарактеризовать их векторном (еа; а) из значений диэлектрической и магнитной проницаемостей и проводимости соответственно. Величины еа, и а связывают электрические и магнитные поля, ток и индукцию.
В диэлектриках = ^о, а еа Ф е0. Потери в этих материалах могут быть учтены заданием комплексной диэлектрической проницаемости:
8. =8'- Х.
е' - вещественная, а е" - мнимая часть; у - мнимая единица.
Диэлектрические потери и потери на проводимость проявляют себя аналогичным образом, т.к. связь между е" и а имеет вид юе"=а. Диэлектрические потери можно охарактеризовать также, задавая тангенс угла потерь tg5=s7s\ На основании теории взаимодействия электромагнитных волн с полупроводящими средами и реализации методов измерения электрических и радиотехнических параметров композиционных
материалов рассмотрим случай распространения плоской волны в фольгированном углепластике - среде с потерями, для которой соблюдается выполнение приближенных условий Щукина-Леонтовича и толщиной фольги, удовлетворяющей условию выполнения поверхностного эффекта. Для электромагнитной волны с плоским фазовым фронтом в безграничной
однородной среде при ненулевой проводимости среды существует известная взаимосвязь между векторами напряженности Е (электрического поля) и Н (магнитного поля) [5]
У2Ё + РЁ = 0; сЦУЕ = 0; (1) 1
Н
(2)
к2 - квадрат от значения волнового числа, записанного в комплексной
форме, которое содержит как действительную, так и мнимую компоненты.
Соотношения, приведенные выше для пары векторов напряженности электромагнитной волны - Е и Н, фактически представляют собой случай описания электромагнитного поля через систему уравнений Максвелла в отсутствие внешних источников. Методика поиска значения вектора Е из (1) для рассматриваемой нами среды, базируется на представлении значения к в
следующей форме [6]:
к = = (3)
После определения вектора напряженности электрического поля, значение вектора напряженности магнитного поля определяется через подстановку уравнения (1) в уравнение (2). Для случая описания распространения однородной волны с плоским фазовым фронтом в классической декартовой системе координат используют соотношение (1), являющееся уравнением Гельмгольца в векторной форме. Для него характерно следующее поведение частных производных для векторов напряжённости [5]:
и
8Е 5Ё-о ан = 5Й=о. ду
дх — 0 ду дх
Они, в свою очередь, позволяют записать следующие уравнения для компонент поля:
&2Ё ~9 • (12Ё„ ~9 . а2Ё ~9 •
^гт + = О, —^ + к% = О, ^ + к Е_ = 0. (4)
В случае с плоским фазовым фронтом и перпендикулярной ориентацией вектора поля по отношению к оси распространения, соответствующей направлению переноса энергии, взяв второе равенство из (1) и учтя соотношения, записанные в (3) и (4), можно прийти к следующим равенствам: с\Ejdz = 0 ; Ё_ =0. Уравнения в (4) для компонент напряженности электрического поля вдоль осей 0.x и 0у приводят к решениям в следующей форме:
Ёх = А^Г* + />0е/А\ Ёу = С0е"^ + />0е/Ь (5)
где фигурируют значения комплексных амплитуд Д,, В{), С0, /)0 , которые в
свою очередь определяются через значения амплитуды и фазы для каждой компоненты в традиционном виде для комплексного представления: \ = Дце/Ф|. Если для уравнения (2) расписать по соответствующим координатным осям вектор напряженности для магнитной напряженности, то, согласно [7]:
1 6Ё
1 СШ 1 / • г . г ч
нх = --—^ = - -С0е"^ + Де'Ч
Ну = ——^ = " ДЛ (6)
Н
г
ах ёу
о.
Величина 2С = - волновое сопротивление для материальной
среды с учетом потерь. Поскольку в рассматриваемом случае энергия волны с плоским фазовым фронтом переносится вдоль оси 07, то учитывая (5), (6) получаем, что:
А • -С е~уг •
Ех = Ну = Еу = С0е~уг, Я = Е: = О, Н. = 0. (7)
2с 2с
= —; У = Д = ./«Ая, (! - .ЛЬТ§), (8)
V V /
где у - коэффициент распространения, tg5 - тангенс для угла диэлектрических потерь. Представим первый в форме комплексной величины из сложения его реальной и мнимой составляющих:
у = а + ур. (9)
Тогда волновое сопротивление для распространяющейся электромагнитной волны также выражается в комплексной форме [8]:
= Ьс |е7ф, (9)
\2с\ =
ы
^ 1^5, ф=8. (10)
-а Z
Д + 1в25 V
Возьмем два начальных уравнения (7) и используем подстановку в них выражений (9) и (10). Тогда для соответствующих ортогональных компонент напряженностей электрического и магнитного поля имеем:
Ё Н =-4^е"аге"7рг+7Ф"4"77 (11)
х т 5 V ^ '
\2с\
Это означает, что временные зависимости для указанных компонент записываются в форме:
Ех (г)— ехАте008+ Фа),
А ( 8Л
Н (г) — еу у^ е а 008 ш - рг + фА - -
(12)
По своей сути, полученные временные зависимости характерны для электромагнитной волны с плоским фазовым фронтом, который движется в среде с фазовой скоростью и=ю/р. Рассматриваемая среда является средой с потерями, следовательно, распространение волны сопровождается затуханием, в основе которого лежит преобразование энергии, переносимой волной в энергию теплового процесса. Экспоненциальное падение амплитуд по мере распространения описывается коэффициентом затухания - реальной частью значения у.
Мнимая часть в описывает закон изменения фазы для компонент электромагнитного поля в направлении распространения. Если бы среда была без потерь, то в имело бы тот же смысл, что и волновое число к.
Теперь необходимо найти и сами выражения для оценки составляющих комплексного числа а и в. Используя (8), (9) можно перейти к форме
уравнения следующего вида: а + ур — (1 - у^б) . Если взять квадраты
модулей по обе стороны представленного соотношения, а также использовать (10), а кроме этого использовать и равенство вещественных частей соотношения, то получим, что:
а2 + р2 — ш2еаца>/ 1 + 1в28, а2 -р2 —-ш2еа; (13)
а — (71+ -1), р — (л/Т+^б +1). (14)
В случае, когда значение tga равно нулю, то подстановка в первое соотношение (14) приводит к обнулению величины а.
Изменение вектора Пойтинга для распространяющейся вдоль оси 07 электромагнитной волны с плоским фазовым фронтом описывается формулой:
П = [] = Т^)е~^(юг-р2 + ф)соб Ю+ ФА-~ е2. (15) \2с\ V 2)
( \ (
. а V
В соответствии с [8], можно ввести следующее соотношение для расчета модуля вектора Пойтинга:
П ср =
1 Ке
2
Е Н
х у
А —ггп 3
-г-^Че - соб—
-с
2
2
Для оценки значения фазовой скорости, используя (14), получим формулу:
1 с
Ю
и = — = р
(7^6+1) ^^^^^/т+ъ^2^+1)
(16)
V 2 V* ~ / V 2
с = 1Д/е0|и0 - скорость света. При этом анализ (14), показывает, что с ростом
частоты фазовая скорость увеличивается. Из (12) получим и значение, которое характеризует длину волны:
Т
Х = иТ =
Р
№
(V 1в26 +1 + т)
, (17)
В случае, когда среда распространения характеризуется условием (tg5<<1), то есть представляет собой диэлектрический материал, можно упростить вычисления. Для этого можно воспользоваться тем, что для малых
значений х действительно упрощенное соотношение вида л/Г+Х «1 + х/2,
получаем следующие соотношения для основных параметров, характеризующих случай распространения электромагнитной волны:
а
а - —./си, = 2У 2\
С
фй
1 +
8
Са '
С
ц„ 1
14
8
= —^
Са 1 + ^
2
йа-. --0.
(18)
Если среда характеризуется повышенной проводимостью, для которой следует считать, что tg5 >> 1, то можно получить соответствующие упрощенные формулы:
' ' 1
й8—
. и:
№
tg5
2— йаа
(19)
\2Г
И
8 л
У = - = т ■ 2 2
Са^8 V а
Известно, что расстояние А, которое проходит волна с уменьшением амплитуды вектора напряженности электрического поля в е раз, по определению считается глубиной проникновения [9]. В соответствии с [10], связь между А и длина волны X в проводнике задается формулами:
1 я 2л
А = ~г=—> ^ = -^ = 7 Ч / .
У1л/йаа Р
Полученные соотношения позволяют производить поиск параметров углепластика на основе результатов измерений проводимости с применением постоянного тока. Для среды, в которой идет распространение электромагнитной волны, согласно [9], можно найти граничную частоту. Последняя определяет собой условие равенства между амплитудами токов смещения и проводимости ^8 = 1):
а
/ =
гр
(21)
гр 2лс'
При высоких значениях f >> ^ среда проявляет диэлектрические свойства. Для нее распределение токов определяются в основном через токи
С
и
смещения. При низких значениях / << _/Тр среда по сути представляет собой проводник, а распределение токов задается посредством токов проводимости.
Для измерений проводимости на постоянном токе может был вырезан из листа углепластика длинной I. Проводимость образца следует измерять при протекании тока вдоль волокон и поперек их по известной формуле [11]:
а = ИВЕ
где - площадь поперечного сечения. Таким образом, можно выявить анизотропию электрических параметров углепластика. После этого необходимо оценить значения граничных частот по формуле (21). Например, для углепластиков с повышенной проводимостью, отличающихся
а> 104 [Ом • м] 1 в предположении, что в'< 10^ = —1—10 9 Ф, получим, что
36л м
/гр>20000 ГГц, это говорит о том, что вплоть до частот миллиметрового диапазона, такие углепластики ведут себя как проводник и могут быть использованы для СВЧ-трактов антенных систем.
Литература
1. Pecho P., Hruz M., Novak A., Trsko L. Internal Damage Detection of Composite Structures Using Passive RFID Tag Antenna Deformation Method: Basic Research// Sensors, 2021, № 21 URL: doi.org/10.3390/s21248236.
2. R. C. Hansen. Conformal Antenna Array Design Handbook. Washington: Naval Air Systems Command, 1981. 448 p.
3. F.L. Matthews and R.D. Rawlings. Composite Materials: Engineering and Science. London: Woodhead Publishing, 1999. 470 p.
4. Гардымов Г. П., Мешков Е. В., Пчелинцев А. В., Лашманов Г. П., Афанасьев Ю.А. Композиционные материалы в ракетно-космическом аппаратостроении. СПб.: СпецЛит, 1999. 271 с.
5. Федоров H. H. Основы электродинамики. М.: Высшая школа, 1980. 399
с.
6. Красюк В. H., Оводенко А. А., Бестугин А. Р., Рыжиков М. Б. Шгревостойкие антенны космических и гиперзвуковых летательных аппаратов. Том.1 Теория. СПб: Политехника, 2013, 783 с.
7. Красюк В. H. Методика расчета волноводных антенн с многослойными диэлектрическими покрытиями // Оборонная техника. 2001. № 6/7. С. 23-31.
8. Гринев А. Ю., Гиголо А. И. Математические основы и методы решения задач электродинамики. М.: Радиотехника, 2015. 216 с.
9. Григорьев А. Д. Электродинамика и техника СВЧ. М.: Высшая школа, 1990, 335 c.
10. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Радио и связь, 1983. 296 с.
11. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. 440 c.
12. Каблов E.H., Гуняев Г.М., Ильченко С.И. и др. Конструкционные углепластики с повышенной проводимостью // Авиационные материалы и технологии. 2004. №2. С. 25-36.
References
1. Pecho P., Hrúz M., Novák A., Trsko L. Sensors. 2021. No 21. URL: doi.org/10.3390/s21248236.
2. R. C. Hansen. Conformal Antenna Array Design Handbook. Washington: Naval Air Systems Command, 1981. 448 p.
3. F.L. Matthews and R.D. Rawlings. Composite Materials: Engineering and Science. London: Woodhead Publishing, 1999. 470 p.
4. Gardymov G. P., Meshkov E. V., Pchelintsev A. V., Lashmanov G. P., Afanas'yev Yu.A. Kompozitsionnyye materialy v raketno-kosmicheskom
apparatostroyenii [Composite materials in rocket and space apparatus construction]. SPb.: SpetsLit, 1999. 271 p.
5. Fedorov N. N. Osnovy elektrodinamiki [Fundamentals of electrodynamics]. M.: Vysshaya shkola, 1980. 399 p.
6. Krasyuk V. N., Ovodenko A. A., Bestugin A. R., Ryzhikov M. B. Nagrevostoykiye antenny kosmicheskikh i giperzvukovykh letatel'nykh apparatov. Tom.1 Teoriya [Heat-resistant antennas of space and hypersonic aircraft. Volume 1 Theory]. SPb: Politekhnika, 2013, 783 p.
7. Krasyuk V. N. Oboronnaya tekhnika. 2001. No 6/7. pp. 23-31.
8. Grinev A. Yu., Gigolo A. I. Matematicheskiye osnovy i metody resheniya zadach elektrodinamiki [Mathematical foundations and methods for solving electrodynamics problems]. M.: Radiotekhnika, 2015. 216 p.
9. Grigor'yev A. D. Elektrodinamika i tekhnika SVCh [Electrodynamics and microwave technology]. M.: Vysshaya shkola, 1990, 335 p.
10. Markov G. T., Chaplin A. F. Vozbuzhdeniye elektromagnitnykh voln [Excitation of electromagnetic waves]. M.: Radio i svyaz', 1983. 296 p.
11. Vaynshteyn L. A. Elektromagnitnyye volny [Electromagnetic waves]. M.: Radio i svyaz', 1988. 440 p.
12. Kablov E.N., Gunyayev G.M., Il'chenko S.I. i dr. Aviatsionnyye materialy i tekhnologii. 2004. No 2. pp. 25-36.
