CC BY
15
2018
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Геология
Том 17, №2
УДК 551.4.01
Физическая модель температуры недр Земли
Ю.П. Петров, А.В. Горожанцев
Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
E-mail: petrov-1941@bk.ru
(Статья поступила в редакцию 3 мая 2017 г.)
Показано, что источником тепла недр Земли является увеличение плотности с глубиной, вызывающее деформацию атомов, которая приводит к росту их кинетической энергии. Кинетическая энергия атомов определяет их тепловое движение. Физическим параметром, характеризующим тепловое движение, является температура. С учетом в принятой модели химического состава и фазового состояния вещества получена зависимость температуры с глубиной, позволяющая предполагать резкое изменение температуры на границе жидкое ядро-твердое ядро. Сделано предположение о физических причинах возникновения вулканов по границам литосферных плит.
Ключевые слова: сейсмические волны, плотность, атом водорода, кинетическая энергия, закон Больцмана, степени свободы, фазовое состояние.
DOI: 10.17072/psu.geol.17.2.140
Введение
Известно, что исследование термического поведения Земли является одним из наиболее умозрительных разделов геофизики. На больших глубинах температура меняется весьма неопределённо. На основании постоянно увеличивающегося со временем массива измерений в разных тектонических областях к настоящему времени определены значения потока тепла через поверхность Земли.
Считалось, что основным источником внутреннего тепла планеты является радиоактивность изотопов урана, тория, калия. Исследования показали, что радиоактивные элементы с сильными литофиль-ными свойствами в основном распределены в коре и не могут определить весь тепловой поток, излучаемый Землей.
По современным представлениям распределение температур в недрах зависит
от состава недр и геодинамических процессов. Процессы, происходящие в мантии, связывают с фазовыми переходами, процессы в жидком ядре - с конвекцией и адиабатическими явлениями (Жарков, 1983). В работе О.Г. Сорохтина и С.А. Ушакова (1991) условно определено, что такие параметры, как плотность р, температура Т, давление Р и их распределение в недрах, создают физическую модель Земли. Предложен метод исследований, заключающийся в определении теоретической зависимости одной физической величины от другой, которая с большой вероятностью может быть определена экспериментально. Далее показано, что прохождение поперечных (5) и продольных (Р) волн может дать точную информацию о распределении плотности и давления в недрах Земли.
© Петров Ю.П., Горожанцев А.В., 2018
Постановка задачи
Рассмотрим качественную модель распределения температуры в недрах Земли с учетом изменения плотности р вещества. Отметим, что температура Т является мерой средней кинетической энергии атомов в веществе (Трофимова, 2004), и далее определим причины движения атомов.
В работе Ю.П. Петрова, А.В. Киевского, В.И. Костицына (2014) показано, что одной из причин движения атома, изначально находящегося в неподвижном состоянии, является испускаемый им фотон. Количество движения неподвижного атома равно нулю. Также нулю равно и суммарное (ядро+фотон) количество движения атома и после испускания им фотона. Однако фотон движется в одну сторону, а атом, согласно закону сохранения импульса, в противоположную. Атом приобретает кинетическую энергию, а совокупность атомов определяет их среднюю кинетическую энергию в веществе, что и характеризует его температуру. Данная модель удобна для описания броуновского движения в газах и жидкостях.
Рассмотрим причину установления температуры вещества с учетом внутриатомных взаимодействий, зависящих от его плотности.
Интересным представляется высказывание В.Н. Жаркова (1983): «Реальной физической характеристикой среды, характеристикой более осязаемой, чем давление, является расстояние между атомами ...». Эта идея им в дальнейшем не была развита. В данной работе авторы исходят из того, что увеличение плотности вещества вызывает деформацию его атомов.
Методика исследования
Исследования проведены с использованием модели атома Резерфорда-Бора. Кинетическая энергия электрона (Ек)е в атоме определяется формулой
(Е). = ОХе
(1)
где те - масса электрона, Уе - скорость электрона.
Второй закон Ньютона для электрона, движущегося в атоме под действием сил Кулона, имеет следующий вид:
Ще
т V2
е е
4ж£0 г
(2)
где г - радиус орбиты электрона, Це - заряд электрона, ео - электрическая постоянная, z - заряд ядра.
Воспользовавшись первым постулатом Бора (Трофимова, 2004) выраженным формулой
И
ту г =-п,
е е 2^
определим радиус г на основании (3): пИ
г =
2лтъ„
(3)
(4)
Здесь к - постоянная Планка, п - номер орбиты электрона.
Подставляя найденный радиус г в уравнение (2), получим следующую формулу для вычисления Уе:
,2
V, = г
Че
2&0Ип ( )
Уравнение (1) с учетом (5) запишется в виде
(Ек ) е = г2
т а
ее
8И2е%п2'
(6)
Для атома водорода (2 = 1, п = 1), принимая те = 9Д09-10"31 кг; Це = 1,602-Ш"19 Кл; к = 6,626-Ш"34 Джс; ев = 8,854-Ш"12 Ф/м на основании (6) получим значение кинетической энергии [(Ек)е]г=1, п=1 электрона, равное 21,80-10"19 Дж.
Полученное значение кинетической энергии электрона равно величине энергии (Еи)а ионизации атома водорода, которое установлено (Физический энциклопедический словарь, 1983) экспериментально и имеет значение, равное 21,79-10"19 Дж.
Относительная погрешность энергии, теоретически найденной по формуле (6) и полученной экспериментальным путем, составляет 0,05%, что находится в пределах погрешностей измерительных прибо-
г
ров. Поэтому в дальнейших расчетах будем использовать теоретическое значение кинетической энергии электрона, равное 21,80-Ш"19 Дж.
В этом случае уравнение (6) запишется в следующем виде:
г
(Ек )е _ 2 [(Ек )е ]г=1,и=1'
п
(7)
= те = те
У я Уе
т
т
-
Пе
2г0 к
(8)
Кинетическая энергия (Ек) а атома с учетом (7) и (8) запишется в следующем виде:
2 2 ту г т
(Ек )а = (Ек) я = = т [(Ек )е ]Г1М- (9) 2 п тя
В атоме водорода радиусу г минимальной орбиты электрона соответствует ее номер п = 1. При увеличении плотности вещества объем атома уменьшается за счет приближения электрона к ядру. Поэтому делаем предположение, что значение п будет меньше единицы и обратно пропорциональным величине плотности р. Данное предположение запишем в виде отношения
С
п = —, Р
(10)
где С - коэффициент пропорциональности, зависящий от среды и внешних условий.
С учетом (10) выражение (9) будет иметь вид
В веществе тепловое движение атома определяется его кинетической энергией (Ек)а. Масса та атома с большой степенью точности определяется массой тя его ядра, т.к. электроны в атомах имеют гораздо меньшие значения массы. Для дальнейших рассуждений примем (Ек)а = (Ек)я.
Предположим, что атом в первоначальный момент неподвижен и не излучает фотон. Согласно планетарной модели атома, предложенной Резерфордом (Трофимова, 2004), электрон движется по орбите и обладает в каждый момент времени количеством движения теуе. Из закона сохранения импульса следует, что равным ему и противоположным количеством движения -тяУя должно обладать взаимодействующее с ним ядро, т.е. твУв - тяУя = 0. Здесь символы тя и у я соответственно обозначают массу и скорость ядра атома.
Отсюда, с учетом выражения (5), получаем формулу
2
(Ек )а = -2 ^ ^
С т„
[(Ек )е (11)
Австралийский геофизик Булен, анализируя распределение сейсмических волн в недрах Земли, разделил недра на ряд зон, для которых ориентировочно был определен химический состав вещества. Согласно В.И. Трухину, К.В. Показаеву, В.Е. Куницыну (2005), принимаем, что твердое и жидкое ядра состоят из железа
56
Ее,
а
мантия -
из
силикатов
MgSiO2-Fe2SiO2.
В силу этого можно принять осред-ненные значения расчетных величин для твердого ядра (тв.я), жидкого ядра (ж.я) и мантии (м):
(•)тв.я = (г)ж.я = 26;
(те / тя)тв.я = (те / тя)ж.я = 9,82-10-6; (12) (г)м = 13,8; (те / тя)м = 3,0040-6.
Заряды ъ и соотношения масс те / тя вычислены как усредненные значения на каждый атом среды. Информация для вычисления этих величин взята из справочника (Физический энциклопедический словарь, 1983).
При тепловом движении атомов, согласно закону Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы (Трофимова, 2004), для вычисления температуры Ттеор, характеризующей энергию атома, имеем формулу
(Ек )а = 1-кТТе0р, (13)
где i - степень свободы атома, к - постоянная Больцмана, равная 1,3840-23 Дж/К.
В твердом ядре Земли атом имеет три степени свободы ^ = 3). В жидком ядре атомы дополнительно обладают еще одной степенью свободы, обеспечивающей конвекционное движение ^ = 4). Для мантии, состоящей из силикатов, имеющих в молекулах связанное состояние атомов,
2
26
характерны колебательные движения последних, что отвечает двум степеням свободы (/ = 2).
Из равенства правых частей уравнений (11) и (13) для определения температуры вещества в недрах Земли получаем формулу
2 2 Р
ш„
ТТеор 2 ' [(Ек )е]=1,и=1'
¡к С2 т„
(14)
Распределение плотности р и температуры Т с глубиной Н в недрах Земли
Н, км р Ю3, кг/м3 Т, К ТТеор, К
1 2 3 4
200 3,30 1770 1109
430 3,60 1940 1320
430 3,82 2010 1487
600 4,09 2130 1704
670 4,16 2170 1793
670 4,37 2110 1946
800 4,49 2170 2054
1000 4,61 2260 2166
1200 4,72 2360 2270
1400 4,83 2450 2377
1600 4,94 2540 2486
1800 5,04 2640 2589
2200 5,25 2820 2809
2600 5,45 3010 3026
2885 5,60 3130 3195
2886 9,52 - -
3000 10,06 3310 3310
3400 10,60 3830 3675
3800 11,06 4400 4000
4200 11,43 4870 4273
4600 11,72 5280 4492
5000 11,97 5620 4686
5120 12,04 5710 4741
5120 13,00 - -
5400 13,10 5890 5890
5800 13,23 6060 6007
6000 13,27 6110 6044
6200 13,29 6140 6062
6371 13,29 6140 6062
288 -
условий, является неизвестной. Значение С можно рассчитать, используя метод ре-перных точек (Трухин, Показаев, Куни-цин, 2005).
Для этого из уравнения (14) находим
С = 2,2 Р1
¡к
ТТеор тя
т
[(Ек )е\=1,1
(15)
При вычислении Ттеор по формуле (14) воспользуемся данными о плотности и температуре, приведенными в работе О.Г. Сорохтина, С.А. Ушакова (1991).
В реперных точках предполагаем, что температура Т и плотность р, приводимая в большинстве исследований, численно равны Ттеор и р. Численные значения Т и р берем из таблицы (Сорохтин, Ушаков, 1991).
Для мантии на глубине порядка 400 км при температурах Т = (1600 ±50) К создаются условия для фазовых переходов минералов 2$>Ю2. Такая температура соответствует плотности р = 3,90 103 кг/м3. Вычисления по формуле (15) для мантии дают значение величины См = 0,82 103 (п = 21). Для жидкого ядра при значении Т =3310 К и плотности р = 10,06 103 кг/м3 величина Сж.я = 4,00 1 03 (п = 0,33), а для твердого ядра при Т = 5890 К и р = 13,10103 кг/м3 значение Ств.я = 4,50 103 (п = 0,34).
Результаты
В соответствии с вычисленными значениями коэффициентов С и с помощью уравнения (15) проведены вычисления веЛИЧИНЫ Ттеор.
в
3; 4000
I &
С 3000
I
*
- ✓ / 1 г
-
> 2
Ж.Я ТВ.я
В уравнении (14) величина С, зависящая от параметров среды и внешних
1000 2000 3000 4000 5000 6001 Глубина Н, км
- -1 - Температура Т ( по Соростину, УшаковуД991)
— 2 - ТермператураТтеор
График зависимости распределения температур Т в недрах Земли с глубиной Н
2
Результаты расчетов Ттеор представлены в таблице (столбец 4), с их использованием построен график зависимости распределения температур в недрах Ттеор Земли с глубиной (рисунок).
Выводы
Результаты исследований показывают, что источником тепла служит изменение (увеличение) плотности пород. Чем плотнее сжата порода, тем выше ее температура, что в конечном итоге сводится к действию закона всемирного тяготения Ньютона.
Полученная зависимость Ттеор = ^р) для принятой в работе модели имеет резкое изменение температуры на границе жидкое ядро - твердое ядро.
Можно предполагать, что движение литосферных плит в местах их взаимного соприкосновения создает условия, спо-
собствующие значительному увеличению плотности пород и повышению температуры, что в свою очередь приводит к образованию вулканов.
Библиографический список
Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и
планет. М.: Наука, 1983. 416 с. Сорохтин О.Г., Ушаков С.А. Глобальная эволюция Земли. М.: Изд-во. МГУ, 1991. 455с. Трофимова Т.И. Курс физики. М. Высш. шк., 2004.544 с.
Трухин В.И., Показаев К.В., Куницин В.Е. Общая и экологическая геофизика. М.: Физ-матлит, 2005. 576 с. Петров Ю.П., Киевский А.В., Костицын В.И. Совершенствование методики преподавания естественных наук // Перспективы науки. Тамбов, 2014. №2 (53). С. 60-63. Физический энциклопедический словарь / гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1983. 928 с.
Physical Model of the Earth's Interior Temperature
Yu.P. Petrov, A.V. Gorozhantsev
Perm State University, 15 Bukireva Str., Perm 614990 Russia
E-mail: petrov-1941@bk.ru
It is shown that the source of the earth's internal heat is a density increase with the depth. The matter density increase causes atoms deformation, which leads to an increase in their kinetic energy. The kinetic energy of atoms determines their thermal motion. The temperature is a physical parameter characterizing thermal motion. Taking into account the chemical composition and phase state of the substance in the introduced model, the temperature dependence on the depth was determined. It allows assuming a sharp temperature change at the boundary between the liquid and solid core. The assumption about the physical causes of volcanoes occurrences along the boundaries of lithospheric plates was made.
Key words: seismic waves, density, hydrogen atom, kinetic energy, Boltzmann's law, degrees of freedom, phase state
References
Zharkov V.N. 1983. Vnutrennee stroenie Zem-li i planet [The internal structure of the Earth and the planets]. Nauka, Moskva, p. 416. (in Russian) Sorokhtin O.G., Ushakov S.A. 1991. Globalnaya evolyutsiya Zemli [Global evolution of the Earth]. MGU, Moskva, p. 455 (in Russian) Trofimova T.I. 2004. Kurs fiziki [Physics]. Vysshaya shkola, Moskva, p. 544. (in Russian)
Trukhin V.I., Pokazaev K. V., Kunitsyn V.E. 2005. Obshchaya i ekologicheskaya geofizika [General and environmental geophysics]. Fizmatlit, Moskva, p. 576. (in Russian) Petrov Yu.P., Kievskiy AV, Kostitsyn VI. 2014. Sovershenstvovanie metodiki prepodavaniya estestvennykh nauk [Development of the teaching methods in the natural sciences]. Perspectivy nauki, 2(53):60-63. (in Russian) Fizicheskiy entsiklopedicheskiy slovar [Physical encyclopedic dictionary]. A. M. Prokhorov Ed., Sovetskaya entsiklopediya, Moskva, p. 928. (in Russian)
