CC BY
12
-►
СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 532 (531+512.81)
М.Р. Петриченко, Д.В. Петросова, М.В. Петроченко
ФИЛЬТРАЦИОННЫМ ПЕРЕНОС ВОЗДУХОМ
КОНСЕРВАТИВНОЙ ПРИМЕСИ (ТЕМПЕРАТУРЫ И ТЕПЛОТЫ) СКВОЗЬ СТЕНУ
Фильтрационный перенос консервативной примеси можно использовать для стилизации теплопередачи через ограждающую конструкцию. Роль консервативной примеси при этом играет температура, роль концентрации — безразмерный температурный напор:
0:= е[0,1]; йТ _-(-Тс)й0.
Тк-Тс
Здесь индексы к и с относятся соответственно к горячей и холодной поверхностям стены (рис. 1).
В условиях плавно изменяющегося фильтрационного движения (поток вдоль оси х; гидравлические элементы потока — функции ограниченного роста) для средней скорости фильтрации используется формула Дюпюи:
V = кЫ;
/ :_- й йх
/
Р_ ч ЯР
йх
д
' дТ
ЯТ
8
Т _Я(Тк-Тс))0.
йх
8
йх
V _
кЯ(Тк -Тс)й0
йх
где Я — индивидуальная газовая постоянная воздуха (Я = 287 Дж/(кг-К) = 287 м2/(с2-К)).
Ниже рассматриваются простейшие задачи, связанные с применением формулы Дюпюи.
Коэффициент фильтрации к предполагается известным [1].
Пусть известны температуры Тк, Тс на плоскостях соответственно х = 0 и х = 5. Требуется найти: распределение температуры в стене; тепловые потоки, выносимые фильтрующимся воздухом сквозь стену. Температура считается консервативной (по Верно) примесью, не влияющей на коэффициенты переноса. Уравнение теплопередачи (Фурье) в данном случае имеет вид
где к — коэффициент фильтрации, Ы — градиент пьезометрического напора. По определению и используя предположение о совершенности фильтрующегося воздуха, можно записать:
Р_
ч 8Р,
й 20 йХ 2
--^
| _ 0; йХ 1
X :_х е [0,1];
укЯ (Тк - Тс)
8v
Предельные условия:
0(0 )_0(1)-1 _ 0.
(1)
(2)
Рис. 1. Схема фильтрации сквозь стенку.
Пунктир — чистая теплопроводность, сплошные линии — фильтрация
Дробь s=
akR (T -T)
gv
— безразмерна; оче-
видно, это число подобия — фильтрационный аналог числа Рэлея [1]. Пусть s = s0 = const. Тогда решение задачи имеет вид
Q(X ) = l]n--
sn 1 - qns
qo:=
d е
dX
q :=
0 1 q0 s0X = 1 - exp (-S0);
X=0
d е
0
q0
q1 := q (1) =
dX 1 - q0s0 X
/ de
dX
q0
(3)
'X=1 1 % 5° Переменную q естественно называть концентрацией теплового потока.
В силу (3) ql>q0. Очевидно, что 9(Х) ^ X,
причем двойная стрелка означает равномерную сходимость по переменной X. Выражениям для плотности теплового потока q можно придать симметричный вид, исключив координату X: ехр (°е)(1-ехр (-5°)) _
q=
q\ =
exp (s0 )-1
Рис. 2. Влияние фильрацион-ного числа Рэлея на концентрацию напора (линейная или консервативная фильтрация)
и в твердом теле — линейное. С увеличением 5° распределение температуры фильтрующегося воздуха отклоняется от линейного (см. рис. 2). Точно так же тепловой поток, передаваемый воздухом по ходу фильтрации, возрастает. При этом
q\
— = ехр 5°.
qo
По ходу воздушного потока происходит своеобразная фильтрация примеси температуры, причем концентрация е(^ < 1. Падение температуры наблюдается на выходе из стены. При этом одновременно увеличивается концентрация q/q0 теплового потока, т. е. «вынос» теплоты из стены. В размерных переменных
<2-т; ^ ( )=|(г„- Ге ,
где X — коэффициент теплопроводности воздуха.
Пусть к(X) = к/(X);/(X) > °, X е (°,1). Тогда
^^ ^ (т т )
5 = 5°/(X), где 5° := —°——-— . Тогда уравне-
ние (1) принимает вид
gv
d 2е
dX
- S0 f (X)
de I = 0.
dX,
(1.1)
X = 1-ехр(-5о9), ее[°,1]. (3.1) 1 - ехр (-5°)
Итак, при малых значениях 5°, (5°<<1), распределение концентрации е(^ такое же, как
Предельные условия — прежние, (2). Тогда
1 = Л - S0F (X) , где F (X) := ]fdx; q(X) q0
q (X )=1
q0
- M0F (X)
; q (1)=T
0
q0
- S0q0F (1)'
(4)
e(X )=q0 J r
dt
°1 - -Ш Р ()'
причем dF/dX > °.
Пусть е = 1. Тогда X = 1, и для определения q0 получаем условие
1 = Ц_ . (5)
°1 - () '
Возможны следующие ситуации: 1. В качестве модельной функции для коэффициента фильтрации, увеличивающегося по ходу фильтрационного потока, можно взять / (X) = X» Тогда
F (X) =
X
m+1
m +1
+ 0.
s
0
s
0
Строительство -►
И поэтому q1 - q0 ^ 0 (практически достаточно ш > 3). Поэтому в поровом пространстве стены с коэффициентом фильтрации, возрастающим по степенному закону вдоль фильтрационного потока, выравнивается концентрация теплового потока; концентрация же температурного напора 0 распределяется по линейному закону.
2. ЕслиДХ) = (1 — Х)ш, т. е. коэффициент фильтрации уменьшается по ходу фильтрационного
потока воздуха, то X) _
1 - (1 - X)
ш+1
- 0. Вы-
q _
1 - Soqo (X - X)
при X1 < X < X2;
q _
qo
1 - ^0 ((2 - X1)
при X2 < X < 1.
Концентрация ql конечна, если < -
1
qo (( - Xl)
Определение q0 производится по формуле (5):
- +
1 _ q0 Xl + — 1п 1
¿0 1 - soq0 ((2- ^) qo (1 - X2)
1 - qo ((2- Xl) Пусть X2 - X1: = А << 1. Тогда 1 _ q0 + А2 +
ш-1т *>0 40 * ш
+... + —-— А +..., и концентрации теплового
ш
потока в начале и в конце фильтрационного потока составят соответственно
qo _-
1 1
'.0А2 А4 .0 А2 0
_0А2;
ql _ q (1)_ у
_10__ ¿0А Л q
_ „2*3 _qo,
- SoqoF(1) 1 - А
тока
„2л3
Пусть величина концентрации теплового по-<< 1, тогда при А<<1, = 0(1),
¿0 А2
Ш +1 ш^ю
вод аналогичен выводу пункта 1.
3. Если /(X) = х(Х, X2), 0 < X1 < X2 < 1, где X — характеристическая функция отрезка (X, X2), то
Г (X)_ 0, для 0 < X < X1;
Г(X)_X-X1, для X1 <X<X2;
Г (X)_ X2 - X1, для X2 < X < 1. Значит, в силу (4)
q _ q0 при 0 < X < Xl;
qo
s2А3 << 1. Значит, при наличии «тонкой» фильтрующей прослойки в стене и ограниченном значении фильтрационного числа Релея происходит перехватывание (выравнивание) концентрации теплового потока по ходу фильтрации. То же относится и к концентрации температуры.
Если же .У0 А2 _ О (1), 80 _ О (а-2 )>> 1 (фильтрационное число Релея велико), тогда ¿о А3 _ О (а-1 )>> 1, и никакого выравнивания
концентрации теплового потока нет. При этом, как видно, концентрация температурного напора почти всюду равна нулю.
2. Подстановка q: = йЭ^х = q(0) понижает порядок и линеаризует выражение (1.1):
й0-.0. / ^ ) _
(1.2)
Очевидно, что уравнение (1.2) совпадает с необходимым условием минимума для неотрицательных функционалов [2]:
^ ^)_ К (I)2+(/ (x «
\
й 0> 0;
s(q)_Л¿0/(x)q) й0>0. (6)
Именно в действительных фильтрационных потоках 55 = 0, 52 = 0, 5 — изотермическая вариация. При этом множество функций, минимизирующих (6), шире, чем класс решений уравнения (1). Действительно, решения (1.2) q е Х(1) (0, 1),
а функции, минимизирующие £(0), q е Ж,(1) (0,1) з
С(1) (0,1) . Какие решения (1.2) могут быть погружены в поле одного из функционалов (6), например 5^)? Прежде всего, интересуют решения с «почти постоянной» (медленно изменяющейся) концентрацией теплового потока. Уравнение Ла-гранжа для имеет вид
^ - */2 (x* •
(7)
Это — уравнение второго порядка, что позволяет ввести лишнее условие мягкости:
/йq
,
_ 0.
(2.1)
0_0
1
Тогда, в силу (7), (2) и (2.1) существует первый интеграл:
^ = ±5,4/2(X)2-/2(°)°2 . (8)
В (8) возникают две ветви решения — положительная и отрицательная. Физический смысл имеет положительная ветвь. В случае /(X) = 1 (постоянный коэффициент фильтрации) получается
q=q0ch (s0 е),
(9)
откуда ql = q0ch50. Для определения постоянной интегрирования q0 надо решить (9):
=-Un-
1+tg
s0q0 X
1 - tg
s0q0 X 2
(10)
Пусть в (1°) X = 1, е = 1. Тогда
„=.
5° ехр (5° ) +1
Если поток теплоты минимально изменяется с изменением температурного напора и удовлетворяет условию мягкости (2.1), то из этого следует:
п
1) q0 =-; 5° >> 1 и q0 = 0(1/5°)<<1. В этом
25°
случае в силу (9), (10)
qch (s0e);
2s
1 + tg
nX
> = — ln-
1 - tg
nX'
зависимостью коэффициента вязкости и фильтрации от температуры, например при больших перепадах температуры на плоскостях X = 0, X = 1. Тогда в силу (1.2)
dq
q = 0,
d a
(1.3)
где da: = 5(е^е.
Решение, удовлетворяющее предельным условиям (2), имеет вид
q = q0 exp (a);
e
J exp (-a(t ))dt
X=
J exp (-a(e))d e
(11)
где постоянная интегрирования q0 определена так: q0 :=
J exp (-a(e)) e . Тогда в силу первой из
0
формул (11) получаем
1
q = exp(a(e)) Jexp(-a(e))e.
0
Например, если s = const: = s0, то в силу (11) будет
q = ilexp (s0e);
s0 0
X = 1 - exp (-s0e); 1 - exp(-S0) '
= -Un-
1
s0 1 - X(1 - exp(-s0 ))' q = —exp(s0e)(1 - exp(-S0)).
(12)
2) q0 = 1; 5° << 1. Тогда в силу (9) распределение концентрации теплового потока вдоль фильтрационного потока практически постоянно и мало отличается от 1. В силу же (10)
е=X + О(X2). Получается, что решения задачи
на минимум Б^) не противоречат сильным решениям предельной задачи (1), (2);
3) возможен случай фильтрации «неконсервативной» примеси. Тогда фильтрационное число Рэлея зависит от концентрации температурного напора: 5 = 5(е). Такая постановка стилизует ситуацию, когда нельзя пренебречь
Эти формулы получены раньше (см. (3), (3.1)). При малых значениях 50, получается X= = е, т. е. распределение температурного напора такое же, как и при «чистой» теплопроводности. Наоборот, при 5° >>1 I* 1 —ехр(—50е), е ~ » 1п(1 —!)—1/50. Иначе говоря, при больших значениях фильтрационного числа Рэлея концентрация напора почти всюду равна нулю, кроме левой окрестности точки X = 1.
Возможность ослабления полученных решений можно провести по схеме предыдущего пункта. Производящий функционал
^ \2 1 dq 1 , „2
* (q )=J
da1 +q
V -
d a;
0
2
s
0
0
s
0
0
0
4
Строительство -►
Рис. 3. «Сильное» решение (12) и слабое решение (12') (штриховая линия и сплошная линия) совпадают при 50 ^ 0
и ^ т
Е _ }.й 0
достигает минимума, если
й2q п
^ - " __ 0,
причем можно поставить «лишнее» граничное условие:
^ | _ 0.
Ч й а/а_0
Тогда
q _ qocha(0), ql _ qochст(l).
q0 _ а(0)й0,
X
18ес )Л
0_
1 •
18ес )Л
Например, в линейном случае а = .00, и тогда в силу (13)
аг^
X _-
th| 2 ¿00
aгctg
th
1 + tg
1_—1п-
X aгctg
th| 1.
По определению а(0) — положительная монотонно возрастающая абсолютно непрерывная функция: а(0) > а(0) > 0 , если 0>0> 0. Значит, всегда ql > q0. Это означает, что тепловой поток на наружной (холодной) плоскости (X = 1) больше, чем на плоскости X= 0. Происходит перехват теплоты фильтрационным потоком воздуха по ходу фильтрации 0 < X < 1.
Тогда
0
q0X _ |sec) й^,
1 - tg
X аг^
Л
(12.1)
/ г
qo _ — aгctg
th
1
2 0
ч ч / /
q1 _ — ch (.0 )aгctg
th
-.л
ч ч^
(13)
q _ qoch (¿0 0).
Рис. 3 содержит сравнения распределений концентрации 0^), q(X) по формулам (12) и (12.1). При ^ +0 оба решения, сильное (12) и слабое (12.1), практически совпадают; различия начинаются, если = 0(1) и при больших
0
0
¿
0
0
0
0
значениях фильтрационного числа Рэлея концентрация напора почти всюду равна нулю, кроме левой окрестности точки X = 1.
Выводы.
1. Фильтрационная диффузия консервативной примеси (температуры и теплового потока) при конечных значениях фильтрационного числа Рэлея 5 >> 1 приводит к нелинейному распределению температурного напора по ходу фильтрации. При сильной неоднородности изменения коэффициента фильтрации по ходу
фильтрации происходит практически скачкообразное падение температуры на холодной грани. Наоборот, при малых значениях 5 << 1, 5 = = 0(1) наблюдается такое же изменение температурного напора, как и при чистой теплопроводности (линейное).
2. Распространение консервативной (и неконсервативной) примеси в фильтрационном потоке управляется положительным функционалом, необходимое условие минимума которого совпадает с уравнением переноса примеси в потоке. Вдоль хода фильтрации изменение теплового потока в среднем минимально.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Соковишин, Ю.А. Свободно-конвективный теплообмен [Текст]: Справочник / Ю.А. Соковишин, О.Г. Мартыненко.— Минск: Наука и техника, 1982.— 402 с.;
2. Петриченко, М.Р. Экстремальные задачи для фильтрационных потоков [Текст] / М.Р. Петриченко, В.Н. Бухарцев.— Saarbruken, Palmarium academic publ.— 2012.— 84 p.
УДК 621.311.22:075.8
В. Г. Киселёв
ОЦЕНКА ЗАЩИЩЕННОСТИ ПОДЗЕМНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ ОТ КОРРОЗИИ
Постановка проблемы
Наружная поверхность подземных металлических коммуникаций (ПМК) в местах дефектов антикоррозионного покрытия или при отсутствии его подвержена интенсивному коррозионному износу, что и обусловливает использование различных мероприятий для их защиты от коррозии. Существенную роль в оценке выбора конкретного вида антикоррозионной защиты и оценке ее эффективности играют коррозионные измерения, включающие, прежде всего, измерение токов, сопротивлений и потенциалов. Особенно велика роль измерения стационарных и поляризационных потенциалов металлических сооружений, находящихся в электролитической среде. Так, например, в соответствии с ГОСТ 9.602-2005 [1] и ГОСТ Р 51164-98 [2], а также с рядом других отечественных нормативных документов, посвященных защите подземных металлических сооружений
от коррозии, для оценки эффективности электрохимической защиты (ЭХЗ) в первую очередь требуется обеспечить поляризационные потенциалы или потенциалы с омической составляющей ПМС в определенных пределах. При этом ГОСТ 9.602-2005 [1] указывает (в справочном порядке) конкретный метод измерения потенциалов — метод модельного электрода с использованием прерывателя тока, в то время как, например, соответствующие европейские нормативные документы требуют прежде всего использовать различные модификации метода отключения. Ситуация в этом направлении еще более обостряется в связи с активным участием нашей страны в международном разделении труда, особенно после вступления в ВТО. Рассмотрению основных проблем, связанных с распространением на нашей территории европейских методов измерения в области катодной защиты, в частности при оценке эффективности ЭХЗ
