Фильтрационные волны в анизотропной среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Филиппов Александр Иванович

д-р техн. наук, профессор СФ БашГУ, РФ, Республика Башкортостан,

г. Стерлитамак E-mail: filippovai@rambler.ru Ахметова Оксана Валентиновна канд. физ.-мат. наук, доцент СФ УГНТУ, РФ, Республика Башкортостан,

г. Салават E-mail: ahoksana @yandex.ru Ковальский Алексей Алексеевич советник ректора БашГУ, РФ, Республика Башкортостан, г. Уфа

E-mail: aakov68@mail.ru Повленкович Рената Фанилевна студент СФ УГНТУ, РФ, Республика Башкортостан, г. Салават

E-mail: povlenkovich@mail.ru

FILTRATION WAVES IN ANISOTROPIC ENVIRONMENT

Filippov Alexandr Ivanovich

doctor of engineering sciences, professor of Bashkir State University, Republik of

Bashkortostan, Sterlitamak Akhmetova Oksana Valentinovna candidate of phys.-mathem. sciences, associate professor of Ufa State Petroleum Technological University, Republik of Bashkortostan, Salavat

Kovalskiy Aleksey Alekseevich advisor to the rector of Bashkir State University, Republik of Bashkortostan, Ufa

Povlenkovich Renata Fanilevna student of Ufa State Petroleum Technological University, Republik of Bashkortostan,

Salavat

АННОТАЦИЯ

Получено уравнение для описания фильтрационно-волновых процессов в аксиально симметричной пористой среде. Найдены выражения для скорости волны, коэффициентов пьезопроводности и затухания в соответствии с выбранными координатными линиями.

ABSTRACT

An equation to describe the filtration-wave processes in an axially symmetric porous medium is acquired. The expressions for the wave velocity, attenuation coefficients and diffusivity in accordance with the selected coordinate lines is found.

Ключевые слова: фильтрация; закон Дарси; фильтрующаяся жидкость; анизотропная среда; фильтрационно-волновое поле давления.

Keywords: filtration, Darcy's law, fluid filters, anisotropic medium, filtration wave field.

При стационарной фильтрации истинная скорость может быть найдена из закона Дарси [1], который для анизотропной среды, пренебрегая полями сил тяжести и других массовых сил, в цилиндрической системе координат при осевой симметрии записывается в виде

v

mm

ЭР e

¿J ^ О f* l ^^ О r?

1 1 Z z

or dz

(1)

У

Соотношение (1) эквивалентно наличию фиктивных сил трения [2]

1

R*

mm

р

v jr

er +

v-

(2)

lz У

В случае нестационарной фильтрации необходимо учесть действие указанных сил трения, тогда получим уравнение движения

р dV + gradP - pR * = 0.

(3)

Сила к , согласно (2), зависит от скорости фильтрации, поэтому из (3) получим уравнение движения жидкой фазы

р — + р (V V )V + grad P + m m 01

V r r V z R — er +

v jr

z

0

(4)

которое в частном случае совпадает с уравнением Эйлера-Жуковского. Если же полное ускорение жидкой фазы равно нулю, то нетрудно убедиться, что из (4) следует закон Дарси (1).

Закон изменения (сохранения) массы фильтрующейся жидкости при отсутствии источников записывается в форме уравнения неразрывности

Э

— (тр) + &у(рту ) = 0. (5)

При наличии источников уравнение (5) изменяется — в правой части возникает функция источников массы.

Приведенные выше выражения позволяют получить уравнения, описывающие фильтрационно-волновые явления в пористых средах. Для этого линеаризуем исходные уравнения. Во втором слагаемом (5) полагаем приближенно т = т0, р = р0 в итоге получим

Э

— (тр)+р о то&УУ = (6)

Уравнение движения (4) далее покоординатно умножаем на соответствующие коэффициенты проницаемости, также полагаем т = т0 , р = р0 и, пренебрегая слагаемыми второго порядка по скорости, имеем

Э п ^ , ^ , ЭР _ , ЭР _ _ _

р 0 — (кгV гег + V 2к2е2) + кг — ег + к2 — е2 + дтоУ = 0 . (7)

Эt Эг Эz

С уравнениями (6) и (7) осуществим следующие преобразования. Подействуем оператором набла на векторное уравнение (7)

Э (1 Э Э Л

р0— -—(гк^ г )^(kzv г) Э/\г Эг Эг

+

+

1 э

г Э г

гк,

Э Р Л Э

+

Э г 7 Э z

ЭР

Э z

+ т т о V V = 0 .

(8)

Подставив выражение div^;, найденное из уравнения (6) в (8), получим

Ро

Э

Эг

-^{гкг V г ) + V z)

г Эг Э z

+

+

1Э

г Э г

гк

Э Р Л Э

+

Э г 7 Э z

ЭР

Э z

т э

Р о э I

(тр) = 0 .

(9)

Дальнейшие преобразования первого слагаемого осуществим в предположении, что компоненты тензора проницаемости не зависят от пространственных координат и времени

1 Э,, ч Э ,, ч ,1 Э , ч , эуz

~~(гкгу г ) + —(кгу z ) = кг~~ (гуг ) + кг~~ г Эг Э z г Эг Э z

кг + к7 ,. _ кг к7 1 Э / ч к7 кг эУ 7

г—^ ё1УУ+——^--(гуг )+——г—

(10)

2

2 г Эг

2 Эz

Для слабо анизотропной среды, когда разница между компонентами тензора проницаемости много меньше их полных значений, двумя последними слагаемыми в (10) можно пренебречь, тогда уравнение запишется как

т Э / ч кг + к7 Э ^ 1--(тр)-р0 ———-—а1У у =

Р0 Э( 1Э

2 Э^

г Э г

гк

ЭР

Э г.

+

Э

Э

ЭР

Э z

(11)

Повторив замену для дивергенции вектора скорости из линеаризованного уравнения неразрывности в полученном уравнении, имеем

т э

Ро Э*

1 э

(тр) +

к+к э2

г Э г

гк;

2т0 Эг

Э Р Л Э +

(тР)

Э г 7 Э 7

ЭР Э 7

Для линеаризованных уравнений состояния для жидкой фазы р = р(Р, Т) = р о [1+ (Р- Р0)] и скелета р5 = р5(Р,Т) = ро5[1 + р 5 (Р- Р0)] баротропное приближение для произведения плотности жидкости на пористость может быть представлено в линеаризованной по давлению форме [3]

Рт = Ро то

1 +

1 Эрт

Рото ЭР

Р =

(Р - Ро)

Р= Р У Эрт

= Ро [1 + Р(Р- Ро)],

рото ЭР

Р = Ро

С учетом этого уравнение для поля давления в анизоторопной однородной среде представляется в виде

тр т

Э Р кг + к,

Э * 1 '

г Эг

+

2

Рр

Э2 Р

Э *2

, ЭРЛ

гкг —

Эг 7

+ -

_э

Э 7

ЭР

V Э 2 7

(13)

Заметим, что уравнение (13) содержит перед вторым слагаемым в левой части среднее по осям значение проницаемости (к) = (кг + к7)/2.

Найденное уравнение позволяет определить две скорости распространения фильтрационной волны, относящиеся к соответствующим координатам

2

2

с

с,

г ?

(1 + к2 / кг )рро (1 + кг / к2 )рро

о

и соответствующие коэффициенты пъезопроводности

сг=кг / (тР^о), с 7=кг/(тр^о) •

Сжимаемость пористой среды в выражается через сжимаемости жидкости и скелета. Поскольку массу скелета в контрольном объеме приближенно можно считать постоянной, то имеем р5 (1 - т) = ро5 (1 - то), что позволяет выразить

зависимость пористости от плотности скелета р 5 или давления Р: т = 1 -р05(1 - т)/р5, т = 1 -(1 - то )[1 -р5(Р- Ро)] • С учетом этих выражений преобразуем производную по времени в левой части уравнения (6) как

"~(тр) = т^ + @ (шроР/ + (1 - то )Р5р)ЭР @

Эг Эг Эг Эг

ЭР (14)

@ро(тор/ + (1 -то)р5^ •

Эг

Отсюда следует выражение для сжимаемости пористой среды Р = тоР/ + (1 - то)Р5 • Здесь ро, ро5 Ро — значения плотности жидкости, материала скелета и давления в точке линеаризации.

Путем сопоставления полученного уравнения с классическим уравнением колебаний определена величина коэффициента затухания

2

У = -^ = ( ^ • (15)

2%г (кг + К )ро

Итак, фильтрационно-волновое поле давления в однородной анизотропной пористой среде в указанных выше приближениях описывается уравнением

1 Э2 Р 1 Э Р 1 Э ( ЭР Л к7 Э2 Р + - - 1 7

-2--2" +--=--г— + —2

С2 Э Г с г Э t г Эг \ Эг) кг Э7

или

Э Р 2 1 Э ( ЭР^ 2 Э2 Р

сг г I Сг л • ЭI гЭгV Эгу Эг

Список литературы:

1. Маскет М. Физические основы технологии добычи нефти. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003 — 606 с.

2. Филиппов А.И., Короткова К.Н. Волновые поля давления в пласте и скважине // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2009. — Т. 12. — № 1. — С. 48—53

3. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Заманова Г.Ф. Асимптотические представления упругих волновых полей в проницаемых пластах // Акустический журнал. — 2013. — Т. 59. — № 5. — С 596—606