Фильтрационные Расчеты несовершенной скважины в безнапорном потоке Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 556.3(075.8)

В.М. Шестаков, И.К. Невечеря

ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ РАСЧЕТЫ НЕСОВЕРШЕННОЙ СКВАЖИНЫ В БЕЗНАПОРНОМ ПОТОКЕ

На модели радиального потока у несовершенной скважины с затопленным фильтром, трансформированной применительно к программе MODFLOW для плоского потока, получено тестовое решение для ряда представительных случаев строения потока. На примере результатов решения этих задач апробированы предложенные методы расчетов для такого рода условий. Даны практические рекомендации по проведению расчетов и моделирования для различных вариантов расположения водозаборных скважин.

Ключевые слова: моделирование, радиальный поток, водозаборная скважина, методы расчетов.

On model of a radial stream at no penetrating well with the flooded filter, transformed with reference to program MODFLOW for a flat stream, the test decision for of some representative cases of a structure of a stream is received. On an example of results of the decision of these problems the offered methods of calculations for such conditions are approved. Practical recommendations on carrying out of calculations and modeling for various variants of an arrangement of water-supply wells are given.

Key words: modeling, radial stream, production well, methods of calculations.

Для водозаборных скважин в безнапорном потоке характерно устройство фильтра в нижней части водоносного пласта, где обычно залегают более проницаемые отложения, чем в верхней части. В этом случае возникает своеобразная ситуация с формированием участка нависания потока вблизи скважины, где ее гидродинамическое совершенство связано с положением свободной поверхности потока. Рассмотрим особенности фильтрационного расчета такого потока, опираясь на результаты тестового моделирования.

Моделирование профильно-радиального фильтрационного потока с применением программы MODFLOW. Для численного моделирования профильно-радиального потока в координатах г, г исходной является сеточная схема плоского потока, состоящая из блоков с радиальными размерами г'-го блока /¡, /¡-1 и вертикальными размерами Аг. Для прямого применения вычислительной программы MODFLOW такая сетка трансформируется применительно к фиктивной схеме планового потока в координатах х, у с размерами блоков Ах, Ау при задании в г'-м блоке проводимости Т' = 2пггк и с расчетным коэффициентом фильтрации ку в направлении у.

В такой фиктивной схеме радиальные координаты г трансформируются в координаты х, причем размер блока сетки Ах, номера г с радиальной координатой узла блока г определяется из условия равенства горизонтальных сопротивлений в -м блоке исходного профильно-радиального и фиктивного планового потоков, таким образом получается формула для размера г'-го блока расчетного планового потока

Щ = r ln-

(1)

' i -1

В направлении у принимается Ау = Аг и для выполнения условия равенства сопротивлений в исходной и расчетной схемах приходится вводить расчетный коэффициент фильтрации ку, связанный с вертикальным коэффициентом фильтрации кв со-

отношением

k^ =ArL

Ari = ri - ri-i-

(2)

Результаты тестового моделирования показали, что для разбивки в радиальном направлении можно рекомендовать задавать размеры блоков по соотношению

— = 15- 2

(3)

i-1

причем для первого, ближайшего к скважине блока г,_1 равно радиусу скважины гс.

а расстояние до узловой точки 1-го блока принимать равным

Г (4)

Таким образом, структура сеточной схемы для расчетного планового потока (в координатах х, у) остается такой же, как для исходного профильного радиального потока (в координатах г, г). При этом размеры блоков расчетной схемы Ах в направлении х задаются по формуле (1), а проводимость расчетного планового потока принимается равной Т = 2пг^к; в направлении у остаются размеры блоков Ау = Аг, однако расчетный коэффициент фильтрации ку пе-ресчитывается по соотношению (2).

При моделировании безнапорного профильно-радиального потока его верхняя граница задается на свободной поверхности. Поскольку положение свободной поверхности здесь заранее неизвестно, решение поставленной задачи приходится искать

итерационным путем. В первом приближении свободная поверхность задается горизонтальной, и при этом находятся значения начального понижения £сп на свободной поверхности. По этим величинам положение свободной поверхности в каждом сечении i перемещается на расстояние Az0 = £сп. Для этого на сеточной модели в тех блоках, где ордината узловой точки г < £сп, реализуется новое положение свободной поверхности как непроницаемой границы, которая аппроксимируется ступенчатой линией, проходящей через узловые точки блоков. При таком новом положении расчетной свободной поверхности проводится моделирование во втором приближении, которого обычно достаточно для удовлетворительного итерационного выполнения условия Az0 = £сп.

Тестовое моделирование фильтрационного потока вблизи несовершенной скважины. Моделирование проводится для стационарного профильно-радиального фильтрационного потока с внешней границей 1-го рода и глубиной потока h0 на расстоянии R от скважины и понижением напора £с в скважине с фильтром длиной l и радиусом rc. Верхней границей потока является его свободная поверхность, которая находится из условия, что значения понижения напора на ней (£сп) равны ее ординатам z0 (рисунок).

Расчеты выполнены в двух вариантах строения потока: вариант А — однородный поток (к = 10 м/сут); вариант Б — двухслойный пласт (нижний слой с кн = 16 м/сут и мощностью тн = 10 м, верхний слой с кв = 8 м/сут и мощностью тв = 30 м). В рамках этих вариантов задавались различные величины длины фильтра l и понижения напора в скважине Sc: в варианте А1 — l = 10 м, Sc = 20 м, в варианте А2 — l = 10 м, Sc = 30 м; в варианте A3 — l = 20 м, Sc = 20 м, в варианте Б1 — l = 10 м, Sc = 30 м, в варианте Б2 — l = 20 м, Sc = 20 м. Для этих вариантов проводилось моделирование при следующих размерах модели: R = 64 м, h0 = 40 м и радиус скважины rc = 0,125 м.

Схема безнапорного потока вблизи несовершенной скважины: 1 — статический уровень; 2 — расчетное положение свободной поверхности; 3 — уровень воды в скважине

Разбивка потока на блоки проведена следующим образом: в радиальном направлении задано г1 = 21-1 гх при г0 = гс = 125 м; вертикальный шаг такой сетки Аг = 2 м задан из условия Аг < 0,2/ [Лукнер, Шеста-ков, 1976].

Таблица 1 Размеры сеточной схемы для однородного потока

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Г, м 0,25 0,5 1 2 4 8 16 32 64

ri м 0,177 0,353 0,707 1,41 2,83 5,66 11,3 22,6 44,2

Ax,, м 0,122 0,244 0,487 0,975 1,95 3,9 7,8 15,6 31,2

T, м2/сут 11,1 22,2 44,5 89 178 356 710 1430 2860

Ar, м 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 16 32

Ky 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025

K

В табл. 1 приведены величины элементов расчетной сеточной схемы для условий однородного потока. Предварительно проведено моделирование потока постоянной мощности с длиной фильтра / = к0 и понижением напора в скважине = 10 м, которое показало хорошее согласование модельных (Ом) и расчетных (О) данных определения расхода и распределения напоров, рассчитанных по формулам Дюпюи для радиального потока; в частности, получены следующие значения: Ом = 4057 м3/сут при О = 4031 м3/сут.

Интерпретация данных моделирования и обоснование расчетных зависимостей. Расчетная величина расхода радиального потока к гидродинамически несовершенной скважине определяется по формуле [Шестаков, 2009, с. 155]:

Q =

2nTS„

ш R+T z,

I n XJ

(5)

где Т — расчетная проводимость потока, равная ее среднему значению в сечениях с величинами глубины потока к0 и Ин, Тн — проводимость потока у скважины при глубине Ин, Сне — параметр сопротивления на гидродинамическое несовершенство скважины (ГНС).

Для учета ГНС в безнапорном потоке можно воспользоваться предложениями, имеющимися для случая скважин в напорном пласте, задавая его таким, как для потока мощностью, равной высоте потока у скважины кн. При этом потери напора обусловленные ГНС, в однородном потоке с коэффициентом фильтрации к для скважины с фильтром длиной /, радиусом гс и расходом О, определяются выражением

О

SHC —

2nkhH

Z HC' Z HC

hi _ 1 l

, al In-.

(6)

Для слоистого пласта формула (6) преобразуется к виду

S — Q

S HC 2nT

Z HC' z HC

T

TH _ 1 T 1

al

In — ,

r„

(7)

где Тн и Тс — значения проводимости пласта в пределах потока с глубиной кн и интервала фильтра I. Формулой (7) рекомендуется пользоваться при сравнительно плавных изменениях проницаемости слоев по глубине потока и отсутствии внутри пласта слабопроницаемых слоев. В других случаях величину £нс следует определять моделированием области потока вблизи скважины [Шестаков, 2009]. В формулах (6) и (7) величина а определяется из табл. 2 [Шестаков, 2009].

Таблица 2

Величина а в формулах (6) и (7)

УК 1/К

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0 1,03 0,89 0,74 0,62 0,51 0,41 0,32

0,1 0,57 0,52 0,43 0,36 0,29 0,23 0,17

0,3 0,55 0,45 0,37 0,31 — — —

Таблица 3

Сопоставление модельных и расчетных расходов потока

Отношение А1 А2 А3 Б1 Б2

ом/ос 0,329 0,329 0,584 0,485 0,671

О/Ос 0,335 0,328 0,595 0,502 0,688

что вблизи скважины образуется радиальных поток, в котором понижение напора А5 между сечениями на расчетном расстоянии Я и модельном расстоянии Ям, описывается уравнением Дюпюи для радиального потока. Если в расчетном случае задается напор на расстоянии Я, то соответственно понижение напора 50 у скважины относительно этого напора можно рассчитать по формуле

£0=об0

-О- 1иА = О

2пТ Ям Т

б 0

0,36618

Км

. (8)

В табл. 3 сопоставлены модельные величины расхода потока Qм, полученные в тестовом моделировании, с величинами Q, рассчитанными по формуле (5) с определением величины £ для вариантов А по формуле (6) и для вариантов Б по формуле (7). Эти данные приведены в виде соотношений Qм/Qс и Q/Qс, где Qс — приток к аналогичной совершенной скважине, и свидетельствуют о хорошем согласовании расчетных и модельных величин расхода скважины. Вместе с тем при сопоставлении данных расчетов по вариантам А1, А2 с вариантом Б1 (при I = 10 м) и А3 с вариантом Б2 (при I = 20 м) четко выявляется влияние на ГНС неоднородности строения водоносного пласта, поскольку в случае неоднородного строения пласта, при вдвое большей проницаемости слоя в нижней его части, существенно увеличивается относительный приток к несовершенной скважине. Следовательно, для расчетов несовершенных по степени вскрытия пласта водозаборных скважин необходимо учитывать не только суммарную проводимость пласта, но и распределение проницаемости в пределах его мощности.

Для определения высоты участка нависания используем модельные данные понижения 50 свободной поверхности вблизи скважины, а также безразмерные величины £0 = £0 / Опри О = О / Т. Согласно этим данным, величины £0 для различных вариантов строения модельного потока получились довольно стабильными (0,18—0,22), поэтому для практических расчетов при определении мощности потока у скважины можно принять, что величина £0 равна 0,2. При других размерах модели можно исходить из того,

В формуле (8) Ям соответствует модельным условиям, для которых Ям = 64 м, а при Я < Ям/4, когда путем расчета по формуле (8) получено 50 < 0, следует принимать £0 = 0.

Рекомендации по расчетам несовершенных скважин с затопленным фильтром в безнапорном потоке. 1. Интерпретация опытной откачки. В этом случае при интерпретации опытной откачки наряду с определением проводимости требуется обосновать значение параметра ГНС £нс. Для этого прежде всего определяется проводимость пласта по данным понижений уровней в наблюдательных скважинах. Затем по формулам (6) или (7) рассчитывается понижение 5нс, обусловленное ГНС по степени вскрытия пласта. Поскольку при откачке обычно 5с << Ис, то при таких расчетах можно принимать величину Ин, равной глубине Ис. При значительных величинах 5с Н„ = Н0 — 50, где Н0 — начальная глубина потока, а 50 находится из уравнения (8) при величине Я, определяемой по данным площадного прослеживания.

Заметим, что при слоистом строении пласта для определения соотношения Тн/Тс необходимо иметь данные о профиле проницаемости пласта, которые могут быть получены по информации о распределении гранулометрического состава песчаной породы.

После расчетов величины 5нс находим величину скин-эффекта, определяющего сопротивление фильтра скважины:

О

5ск 5с 5нс

+

т Т 1П — ,

2пТ гс

(9)

где 5н — понижение в ближайшей наблюдательной скважине на расстоянии гн от центральной скважины, Т — расчетная проводимость пласта.

2. Моделирование системы водозаборных скважин (ВС). При заданных расходах ВС путем моделирования в блоках ВС находим напоры Нм и соответствующие глубины потока Им. Затем находятся величины Снс, причем в первом приближении — при глубине потока Нм и соответствующей проводимости. При значительных величинах 5с такой расчет далее корректируется при глубине потока Ин = Нм — 50 и величине 50, определяемой по уравнению (8) при Я = 0,2Ах После этого находим напоры в скважине по формуле [Шестаков, 2009]:

Н — Н —

с_ м 2пТ„

(1п 0,2Ах

(10)

где Аx — шаг сетки в квадратном блоке со скважиной, Тн — проводимость потока с глубиной Ин.

Дополнительно здесь учитывается понижение напора за счет проявления скин-эффекта, параметры которого предварительно находим по данным опытных откачек или натурных наблюдений на водозаборе.

3. Расчеты ряда скважин берегового водозабора. Рассматриваются условия ряда скважин, расположенных с шагом а вдоль уреза реки. Система расчетных зависимостей здесь получается на основе использования метода фильтрационных сопротивлений, согласно которому напор в скважине Hc радиуса гс с

расходом Q связан с напором на линии скважин H соотношением

Н с = Н л -

Q

2nT

In

ст

2%r„

+ Z H

(11)

где Т — проводимость потока на линии ряда скважин.

Величину в этом случае обычно можно определять при глубине потока у скважины Ин, которую принимаем равной средней глубине потока Нл на линии ряда скважин. Здесь также необходимо дополнительно учитывать понижение напора за счет проявления скин-эффекта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Лукнер Л., Шестаков В.М. Моделирование геофильтрации. М.: Недра, 1976. 407 с.

Шестаков В.М. Гидрогеодинамика. М.: Изд-во КДУ, 2009. 339 с.

Кафедра гидрогеологии МГУ имени М.В. Ломоносова, Поступила в редакцию

В.М. Шестаков, проф., докт. техн. н., 10.03.2009

e-mail: hydro@geol.msu.ru

Геологический факультет, ЛГОС,

И.К. Невечеря, вед. науч. сотр., канд. геол.-минер. н.,

e-mail: iri1739@yandex.ru