Фильтрационное поле и фильтрационный потенциал одиночного стока Текст научной статьи по специальности «Математика»

удк 519.3

М.Р. Петриченко

ФИЛЬТРАЦИОННОЕ ПОЛЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ОДИНОЧНОГО СТОКА

M.R. Petrichenko

FILTRATION FIELD AND FILTRATION CAPACITY OF SINGLE FLOW

Депрессионная кривая фильтрационного потока в однородной перемычке получается как асимптотическая форма решения предельной задачи для уравнения Крокко, описывающего эволюцию «фильтрационного потенциала». Выясняется: отсутствие депрессионной воронки конечного радиуса и равносильность условия Дюпюи на расход интегральному условию равенства площадей влияния.

ФИЛЬТРАЦИОННЫЙ ПОТОК. ПРОМЕЖУТОК ВЫСАЧИВАНИЯ. СТОК И ПОТЕНЦИАЛ СТОКА. УРАВНЕНИЕ КРОККО. ПРЕДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА.

Depression curve flow in a uniform bridge is obtained as the asymptotic form of the solution of the limit problem for Crocco equation describing the evolution of «filtration capacity.» It turns out: the lack of finite radius cone of depression and the equivalence conditions Dupuis on the condition that the integral flow area of influence.

SEEPAGE FLOW GAP SEEP. STOCK AND POTENTIAL RUNOFF. OF CROCCO. THE LIMIT PROBLEM.

Постановка задачи. Промежуток высачивания в нижнем бьефе необходим для существования живого сечения, сопрягающего фильтрационный поток с нижним бьефом. Действительно, если депрессионная кривая выклинивается в нижний бьеф на урезе воды, то в точке высачивания одновременно пересекаются две линии тока. Поэтому выклинивание депрессионной кривой выше уреза воды необходимо для единственности решения уравнений фильтрационного движения [1]. Определение высоты промежутка высачивания Л = к'-к0 >0 в теории Дюпюи требует привлечения искусственных расчетных схем и допущений. В [2] предложен альтернативный прием, основанный на погружении решений уравнения неравномерного движения в поле некоторого функционала. Получается, что экстремаль, представляющая депрессионную кривую, длиннее и проходит не ниже параболы Дюпюи, выклиниваясь на низовой откос выше уреза воды. Прогнозы А близки к решениям [1, 3].

Причина образования разрыва непрерывности за точкой выхода депрессионной кривой на низовой откос описана в [3, 4] на примере

однородного полуограниченного массива с дренажным стоком (рис. 1). В предлагаемой статье приводятся небольшие количественные уточнения результатов [3, 4].

Пусть до момента времени I = 0 в полуограниченном однородном массиве и в дренажной скважине поддерживался естественный уровень воды (отметка Н). В моменты времени I > 0 производится откачка воды из дренажа. Уровень воды в скважине падает, если расход стока превышает фильтрационный расход в сечении х = 0 фильтрационного потока. Для дальнейшего важно сопоставить скорости движения воды в дренажном стоке и в массиве. Скорость

—- = О (к) опускания депрессионной кривой

в выходном сечении с глубиной к = к' (к — коэффициент фильтрации) меньше скорости движения (опускания) свободной поверхности

—к

в скважине, равной — = у0 . Очевидно, что

т

у0 » к и депрессионная кривая «отрывается» от уреза воды. Образуется промежуток выса-чивания.

Когда опускание уреза воды в скважине прекращается, то дальнейшая работа дренажа происходит только за счет поступления воды из грунтового массива. Высота промежутка высачивания стабилизируется (промежуток высачивания медленно уменьшается или даже не изменяется).

Условие материального баланса для дренажного колодца имеет вид

,йк0

Л '

■■9е + В~

(1)

н

н

н

н

По

= к. н

к'

е[0, 1]; П' = Т7 ^ =

н

Яе

кн

Тогда (1) имеет вид /Эг'Л

П

дп

:5е

Д=0

йПо й т

(1а)

Считается, что фильтрационный расход в сечении х = 0 (£, = 0) вычисляется по Дюпюи.

Условие (1 а) рассматривается как предельное в сечении х = 0 (£, = 0) для уравнения нестационарной фильтрации

Эт=Э^

Эп

(2)

к стандартному виду. Пусть П = П

=п(С).

Это преобразование приводит (2) к нелинейному уравнению второго порядка [1]

й2 П

п—2+ й с2

йп "2 й С

+ 2^ йП = 0 й с

(2а)

причем предельные условия (1а, б) ставятся так:

й С

-2л/т

Л=0

йП0 й т

= пИ-1 = 0. (1 в)

где —расход воды из пласта в дренаж; де — расход воды, забираемой из скважины (обильность стока); В—диаметр скважины. Вводятся безразмерные переменные:

П = ке(0, 1); £ = Х >0; т =; р = В;

причем Дп) = (£, т) (где \ > 0, т > 0) и, кроме (1а), ставится условие при т = 0 (^ = 0):

п(,0)-1 = 0. (1б)

Для вычисления высоты промежутка выса-чивания достаточно решить предельную задачу (1а, б), (2) и найти п'. Для этого, прежде всего, необходимо привести уравнение Буссинеска (2)

Рис. 1. Однородный полуограниченный массив с дренажным стоком (колодцем)

Предельные задачи для (2а) решены в [1]. При этом смешанное предельное условие не разбирается. В [5, 6] предлагается свести (2а) к уравнению Крокко [7]. Используется понижающая

порядок подстановка: у = йп = у (п), У(п) ^ 0 .

й ц п^1

Тогда в силу (2а)

= -2С(п), (2б)

что сразу же дает первый интеграл:

1

п у (п) = 2 ^(г )й г..

п

1

Учтено, что у(1) = 0. Функция ф(п) = |^(г )й г

п

(«потенции фильтрации») обладает очевидными свойствами: ф(1) = 0; йф = . Тогда

йп

йп

1

й2 ф

йп2

что позволяет уравнение (2б) записать в виде уравнения Крокко для ф(п):

2

. й ф Л , 1

2ф—2+п = 0; п <п< 1. йп2

Предельные условия для (2в) очевидны: йф

йп

:ф(1) = 0.

(2в)

(1г)

тп=п

Первое из условий — (1г) — означает, что ^ = 0, П = П'. Второе следует из определения потенциала фильтрации Крокко. Наряду с двухточечными предельными условиями (1 г) должны выполняться одноточечные предельные условия, следующие из (1г, в), а именно:

( (йф"

ф(п')-^ Ъе +Р

П0 йт

= 0;

йп

уп=п

или, после ввода обозначения у(т)=>/Т[ ъе + р¿П0

ф(п')-У(т) = 0;

й ф йп

= 0.

тп=п

ф(п')>ф(п)^ф(1) =

й ф йп

= 0,

тп=п

й ф йп йу йп

= у;

п 2ф

Тогда двойственная по Лежандру функция

(

п, ф

й ф йп

= 1 = 2

(

= sup

(У)

у йп-Е (n, ф, ¥)

( й ф йп

\2

+ п 1П

1

ф(п)

= 0, (3)

(3а)

Предельные задачи для уравнения Крокко изучены в [6]. Основные результаты анализа: ф(п)>0; 0<п'<п<1. Причем на промежутке пе(п, 1) нет точек, сопряженных с точкой п = п': монотонные решения уравнения Крокко, удовлетворяющие естественным предельным условиям (3), п' = var , погружаются в поле экстремалей производящего функционала, для которого решение этого уравнения с предельными условиями (1 г) доставляет необходимое условие минимума. Решение уравнения Крокко, удовлетворяющее естественным предельным условиям (3), (3а) совпадает с одной из экстремалей поля этого функционала. Иначе говоря, монотонное решение ф(п) уравнения Крокко такое, что при 1 >п>п' > 0 существует

которое совпадает (при фиксированном значении п ) с одной и только с одной из (слабых) экстремалей для производящего функционала.

Для построения производящего функционала уравнение Крокко (2в) записывают в виде системы

V У

является плотностью распределения для функ-1

ционала 3(ф) = |Лйп . Иначе говоря:

п'

1. Среди гладких траекторий, удовлетворяющих условиям (1г), существуют такие близкие траектории ^^(п', 1), что вдоль них

1

83 = 18Лйп = 0 , где 5 означает изометрическую п

вариацию (промежуток п<п< 1 фиксирован).

2. При этом необходимое условие экстрему-

1

ма функционала 3(ф)= |Лйп совпадает с урав-

п

нением Крокко (2в), что и объясняет термин «производящий функционал».

Принципиально важно, что уравнение, описывающее диссипативный процесс (диффузия воды через поровое пространство грунта или распространение трения в пограничном слое вязкого газа), оказывается каноническим и связан-

1

ным с вариационным условием 83 = 18Лйп = 0 .

п'

При этом «энергия» Е(п, ф, у) = у- + ф ,

определяемая уравнением Крокко, , убывает с увеличением п, т. е. «фазовая масса» Е йф йф уменьшается. Это связано с тем, что гамильтониан — параметрический, — явно зависит от П. Действительно, согласно теореме Лиувилля дивергенция фазовой скорости

( дЕ ЭЕ'

Эф

с =

Сф Эу, Су "

(2г)

равна

div с =

Эсф дс.

_ —ф

У _

откуда сразу видно, что это каноническая система с непараметрическим гамильтонианом (энергией)

Е (п Ф, у)=^2-+п1п ф .

Эф Эу

= 0.

Значит, вдоль экстремалей поля производящего функционала

йЕ ЭЕ — = — + div йп Эп

(-

сЕ

ЭЕ ^

=--+ с gradE =

Эп

ЭЕ 1,

= — = — 1п ф< 0;

Эп 2

0 < ф(п) < ф(п) < 1,

где оператор —/—п означает производную в силу поля (или, как ее еще именуют, субстанциальную производную), а д/дП означает локальную (частную) производную.

Интегральное тождество для предельной задачи (2в) и (1г). В [8] изложено решение предельной задачи (2в), (1г) с помощью расщепляющих разложений. Здесь же будет использован упрощенный интегральный прием, основанный на выполнении закона сохранения (формула интегрирования по частям). Очевидно, что в силу (2в) и (1 г) выполняется тождество (закон сохранения)

^ йп =

1 -п

/2

или (в понятных символах)

й ф

йп

1 -п

2

ь2

4

(4)

(4а)

т. е. для существования решения предельной задачи (2в), (1г) необходимо: фе ^2(1) (п', 1). Но

тогда и подавно фе (п', 1); иначе при интегральном описании фильтрационного потенциала достаточна измеримость (Ь) производной тт й ф

потенциала. Но — = -С,. Поэтому получается, йп

что для существования фильтрационного потенциала достаточно ограниченности площади 1

| ^йп , трактуемой как «площадь области пита-п

ния» фильтрационного потока.

Пусть «навязывается» следующее распределение для потенциала фильтрации Крокко:

(

фт (п; п')=а

1 -

т

(п-п 1 -п'

а=фт (п'; п).(5)

йп

1 4.

(4б)

Тогда решение предельной задачи (2в), (1г), как указано в [1], совпадает с известным решением Блазиуса и фт(0; п') = 0,33206. С другой

стороны, в силу (4б)

2

(ат) 1 1 2-1

-—— = —; а = — ы2т -1 = а0. 2т -1 4 2т

При т = 4, а0 = фт(0; п') = 0,3307, что отличается от решения Блазиуса на 0,4%. Итак, т = 4 — неплохое приближение к точному решению. В общем случае в силу (4) и (5)

откуда а = -

(ат) 1 = 1 -п 2т -11 -п' 42т -1

2

2т

(1 -п')лД+? = % (1 -п'))1+?.

Итак, распределение потенциала фильтрации Крокко на промежутке глубин фильтрации имеет вид

ф(п; п)=О) (1-п') 1+п'

(

1-

( '\4

(п-п 1 -п'

Это распределение зависит от трех констант: а, т, п'. Для их определения имеются два условия: тождество (4) и условие (3), или равносильное (3а). Третье условие эвристическое. Если в определении (4) п' = 0, то в силу (4), (4а) будет

йфт 2

причем нижний индекс т (т = 4) у потенциала фильтрации ф опущен. Значит,

ф(п') = ф(п'; п')=1 (1-пОТ^^. (6)

Высота (внешнего) промежутка высачивания.

Основная идея заключается в следующем.

1. Поступление воды в сток (дренажную скважину) происходит за счет осушения площади криволинейного треугольника, ограниченного депрессионной кривой и прямой п = 1, т. е. за счет поступления воды из «области питания». Ввиду того, что мгновенный фильтрационный расход правильно прогнозируется по Дюпюи, то площади областей питания по Дюпюи и по точному решению уравнения Крокко должны совпадать.

2. Мгновенное значение фильтрационного расхода из пласта можно подсчитать по точной

Эк" _

и по Дюпюи исходя из

' >=0

мгновенных значений глубины. В безразмерных переменных:

п (ЭлЛ

формуле # = кк' I — Эх

1 -п0

-— = п

2А,

1

Л=0

2л/т

п (Ш)^. (7)

т

Здесь ХИ = Ь, Ь — длина влияния фильтрационного стока. Площадь области питания по Дюпюи:

4

Ь

2

1( +Х(1 -п2)

й

Х(1 -п0 )(1 + 2 п)

3

1 + п0

0 < <

3

Площадь области питания по точному решению уравнения Крокко вычисляется точно. Получается

~ 1 й 2ф = 1(1 -п)й ^ = -л)йпф й п = 2^ (п'),

0 п' йп

0 < £с <

Но = £с. Поэтому «радиус влияния стока» пропорционален времени:

Х =

6л/т(1+п0 )ф(п')

(1 -п0 )(1 + 2п0)

= 2л/Г(1+п0 )(1 -пОУГ+л7 (8) " (1 -п0 )(1 + 2п0) • ^

Развитие депрессии во времени удобно оценить с помощью формулы (8). Как видно,

X — ^; X — ^л/Г (1 -п') 1+п'. Ясно, что

п0 —1-0 п0 —+0 на малых временах фильтрационная воронка, формирующая сток, получается «короткой»; * йХ

кроме того, X —> ^; —--> 0 равномерно в ква-

т—йт т—^

драте 0 < п0 < 1, 0 < п' < 1. Тогда размерная скорость перемещения депрессионной кривой

йЬ , й X ^ равна — = к— = и

йг

йт

. Мгновенная (в раз-

личные моменты времени) конфигурация де-прессионной кривой показана на рис. 2.

г = 0

г

Рис. 2. Мгновенные конфигурации депрессионных кривых

Исключение функции Цт) из (8) и подстановка в (7) позволяет установить связь глубины фильтрационного потока в точке выхода депрес-сионной кривой на поверхность стока и глубиной воды в скважине:

3(1 -п')2 (1+п') = (1 -п )2 (1 + 2п0). (9)

Очевидно: п0 = 0 — п' > 0; точнее, п' = 0,219. Пусть п0 = 1 - е, п' = 1 - 8, 8 «1, 8 «1. Тогда

4 2 2

8<8« 1. Действительно, в силу (9): 38=8 ;

л/3 - ,

8 = —8 . Поэтому А = п,-п0 =8-8>0 . Значит,

всегда существует внешний промежуток высачи-вания с ненулевой высотой. Практическое вычисление п'(п0), А :=п'(п0)-п0 показано на рис. 3. Впрочем, можно непосредственно решить уравнение (9), кубическое относительно п'(п0), и отделить вещественный корень из промежутка п'€ (0,1). На рис. 3 левая часть уравнения (9) обозначена Ь (п), правая часть обозначена Л(п). Это — взаимно-однозначные функции от пе (0, 1). Как видно из (9): 0 < Ь < 4/3; 0 < Л <1, причем при небольших значениях пЛ < Ь. Отсюда следует п' > п0 .

Асимптотическое положение депрессионной кривой по Крокко оценивается так. Пусть уровень жидкости в скважине на «больших» промежутках времени т »1 опустился до значения п0 = 0. Тогда ф(п') - - 3 . Например, пусть будет

к = 10-4 м/с; Н = 10 м; = 10-3 м2/с; т = 0,1 (г = 104 с); ^ = 1; ф(п') = л/0Д; п' = 0,

т. е. за время порядка 10 часов депрессионная кривая приходит на дно скважины. Если в тех же условиях (нулевая глубина воды в скважине и те же значения к, Н, т) расход из скважины (откачку) уменьшить вдвое или при сохранении интенсивности откачки время уменьшить в четыре раза, то отставание депрессионной кривой от уреза воды в скважине увеличится. Тогда ф(п') = 0,158, п' = 0,6, и будет сохраняться довольно большой промежуток высачивания. Следовательно, при «быстрой» откачке (т« 1), ф(п') — +0, п' — 1-0, и есть основание полагать, что область фильтрационной воронки мала:

х=о (((-по)« 1.

Итак:

1. Образование промежутка высачивания обусловлено различием масштабов скорости течения воды в стоке и в грунтовом массиве. Например, в случае дренажного стока (в приня-

тых обозначениях)

йк0

дх

йк0 (К

(И (И

времени, как величина О

п

=^2 +|(1 -п0),

где 0<^<Х; Х =

И

1 + п0

2

I = 1 -п

Я Ь

4/3

» к = О (к). Поэтому Эх

. Поэтому на

что приводит к образованию отрыва уреза воды от депрессионной кривой.

2. Скорость изменения глубины выходного сечения фильтрационного потока убывает по

1 кг

промежутках времени протяженностью 1=О(И/к) депрессионная кривая практически неподвижна, и формирование свободной поверхности завершается.

В таком же масштабе времени изменяется длина фильтрационной воронки Х(т). На промежутках времени малой протяженности (т ^ 1) поверхность стока ведет себя как шпунтовая стенка и мгновенная высота промежутка выса-чивания близка к значению И — к0.

Асимптотическая форма депрессионной кривой. Содержание этого пункта представляет небольшое видоизменение решения из работы [2]. В традиционной теории Дюпюи депрессионная воронка описывается выражением

Рис. 3. Оценка глубины потока и высоты промежутка высачивания с помощью тождества (9)

3(к н

й \

+

I

Ип

2

0. (10)

Здесь 2 > Х — протяженность области фильтрации. Депрессионная воронка Дюпюи имеет наименьшую протяженность. Действительная протяженность депрессионной кривой, 2, как будет сейчас доказано, не меньше Х (рис. 4). Но при этом площади областей питания обязаны совпадать, т. к. прогнозируемый по Дюпюи расход точен. Это положение используется как правдоподобное допущение.

Справедливы следующие леммы:

1. В действительном движении 83 = 0, 3 ^ ^ тГ > 0 (5 означает изометрическую вариацию);

2. Функционал (10) невырожден: порядок уравнения Лагранжа не ниже порядка уравнения Дюпюи для неравномерного движения.

Тогда площадь области питания, как полу-

„ А,(1 -пр )(1 + 2пс) В

чено выше, =—-:-. Величина

1 и и ^ , согласно известному результа-кИ И 2Х

ту И.А. Чарного [1], точно прогнозирует расход фильтрационного потока, но конфигурация депрессионной кривой по известным причинам неудовлетворительна и не может быть исправлена в представлениях традиционной теории [2, 3, 9].

Для определения положения депрессионной кривой можно использовать такой прием. Уравнение неравномерного движения Дюпюи представляет необходимое условие минимума для функционала

Рис. 4. Сравнение областей питания фильтрационных потоков

п

Уравнение Лагранжа для (10)

или, выполнив вычисление интеграла,

й 2к /2

й §2

=-—■ т=А==1 -п0

"> 1 1 __

п

н кн 2Х

й §

•/■ ^у 12 п

1 (п)^+т=0-йп п3

(11)

Пусть начальное условие для уравнения (11) 1(1) = 0. Тогда

1 (п)=йп=г^З А й§ п

(12)

Уравнение (12) решается с начальным условием п(0)-п' = 0:

п=

1 -(1 -п2)

1 - 1 -п> §

2

2X^/1-

п

2

(13)

2

Пусть в (13) п = 1. Тогда § = 2, Е = - 2

1 -п0

Очевидно, 2 > X, если

п'-Ям) •

Площадь области питания для депрессион-ной кривой (13) составляет

БЕ :=1(1 -п)й§,

0,43 1/3

п' 1,0

Рис. 5. Оценка глубины потока и высоты промежутка высачивания с помощью тождества (14)

=

2

^ = 2Х

1 -п»

, п' агс81п\Д -п 1 + ----,

2 2^

Порядок уравнения Лагранжа понижается на

йп

единицу подстановкой — = ] (п). Тогда

2

0<£е <Х

4-п

Эта площадь должна совпадать с ^ т. е. Бе — = = 0. Получается следующее условие для определения п :

12

3 (1 -п )2 (1 + 2п0 ) =

=2^1-

п

2

, п агс81й 1+-—

£

2

2^/ъ

п

(14)

Уравнение (14) можно решить относительно п' и найти п' (п0) (рис. 5). На рис. 5 левая часть (14) обозначена через Дп), правая часть (14) — через Дп). Функция Дп), как легко видеть, сюрь-ективна. Для правой (монотонно убывающей ветви) Дп) имеет единственный корень п' > п0. Пусть, например, п0 = 1 -8; п' = 1 -8; 8«1; 8 «1. В силу (14) выполняется приближенно

82 = 2л/28, 8 = » 8 . Тогда высота промежутка высачивания А = п'-п0 =8-5 = ^5 ((8)>

> 0. Если же, наоборот, п0 = 0, то п' > 0,1.

Предложенный способ определения де-прессионной кривой притока к дренажу связан с дифференциальным уравнением Дюпюи неотрицательным функционалом (10). Для этого функционала дифференциальное уравнение Дюпюи является первым интегралом необходимого условия минимума. Наличие «лишнего» граничного условия вполне естественно для слабой (вариационной) формулировки задачи [10]. Это условие позволяет гладко сопрягать депрессионную кривую с естественным уровнем грунтовой воды, что принципиально невозможно в расчетной схеме Дюпюи. Действительно, если йк/йх = 0, то немедленно V = 0, д = 0.

Следовательно, интегральное условие Дюпюи на расход заменяется равенством площадей питания или влияния стока, БЕ — SD=0. При этом действительная депрессионная кривая оказывается проходящей выше и положе, чем

п

парабола Дюпюи. Меньшие градиенты скорости в действительном потоке (по сравнению с решением Дюпюи) компенсируются большей, чем в решении Дюпюи, протяженностью области питания.

Предлагаемый подход, оставаясь чисто гидравлическим, не требует для вычисления элементов фильтрационного потока методов теории групп, применяемых для получения так называемых гидромеханических решений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод [Текст] / П.Я. Полубаринова-Кочи-на.— М.: ГТТИ, 1977. 676 с.

2. Бухарцев, В.Н. Экстремальные задачи для фильтрационных потоков [Текст] / В.Н. Бухарцев, М.Р. Петриченко // Квалификация математика.— №757.— 2012—08—16, Saarbrucken: Palmarium academic publishing,.—2012.— 84 с.

3. ГИргидов, А.Д. Время понижения уровня грунтовой воды [Текст] / А.Д. Гиргидов // Инженерно-строительный журнал.— 2012.— №4.— С. 52—56.

4. СНиП 2.06.05—84. Плотины из грунтовых материалов.

5. Бухарцев, В.Н. Нестационарная фильтрация в однородном грунтовом массиве [Текст] / В.Н. Бу-

харцев, М.Р. Петриченко // Гидротехническое строительство.— 2012.— №4.— С. 10—12.

6. Баренблатт, Г.И. Подобие, автомодельность и промежуточная асимптотика [Текст] / Г.И. Баренблатт.— М.: Либрус, 2010.— 312 с.

7. Хейз, У. Теория гиперзвуковых течений [Текст] / У. Хейз, Р.Ф. Пробстин.— М.: ИЛ, 1962.

8. Петриченко, М.Р. Расщепляющие разложения в предельных задачах для обыкновенных квазилинейных дифференциальных уравнений [Текст] / М.Р! Петриченко // Научно-технические ведомости СПбГПУ Физико-математические науки.— 2012. №2 (146).— С. 143—149.

9. Бакельман, И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений // И.Я. Бакельман.— М.: Наука, 1966.

REFERENCES

1. Polubarinova — Kochina, P.Ia. Teoriia dvizheniia gruntovykh vod [Text]. M.: GTTI, 1977, 676 s.;

2. Bukhartsev V.N., Petrichenko M.R. Ekstremal'nye zadachi dlia fil'tratsionnykh potokov [Tekst] // Kvalifikat-siia matematika. №757.— 2012—08—16 / Palmarium academic publishing, Saarbrucken. 2012. 84 s. (rus.)

3. Girgidov, A.D. Vremia ponizheniia urovnia grunto-voi vody [Tekst] // Ingenerno-stroitel'niy jurnal.— 2012.— №4.— S. 52-56. (rus.)

4. SNiP 2.06.05-84. Plotiny iz gruntovykh materi-

alov.

5. Bukhartsev, V.N. Petrichenko, M.R. Nestatsionar-naia fil'tratsiia v odnorodnom gruntovom massive [Tekst] // GTS.— 2012.— №4. S. 10-12. (rus.)

6. Barenblatt, G.I. Podobie, avtomodel'nost' i pro-mezhutochnaia asimptotika [Tekst] // M.: Librus. 2010.— 312 s. (rus.)

7. Kheiz U., Probstin, R.F. Teoriia giperzvukovykh techenii [Tekst] // M.: IL, 1962, ssylka na S. 535, [2].

8. Petrichenko, M.R. Rasshchepliaiushchie ra-zlozheniia v predel'nykh zadachakh dlia obyknoven-nykh kvazilineinykh differentsial'nykh uravnenii [Tekst] // Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbG-PU. Fiz-mat. nauki.— 2012.— №2 (146).— S. 143149. (rus.)

9. Bakel'man, I.Ia. Geometricheskie metody reshe-niia ellipticheskikh uravnenii [Tekst] // M.: Nauka, 1966.— 340 s. (rus.)

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ /AUTHORS

ПЕТРИЧЕНКО Михаил Романович — доктор технических наук профессор заведующий кафедрой гидравлики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета; 195251, ул. Политехническая, 29, Санкт-Петербург, Россия; e-mail: fonpetrich@mail.ru

Petrichenko Mihail R. — St. Petersburg State Polytechnical University; 195251, Politekhnicheskaya Str. 29, St. Petersburg, Russia; e-mail: fonpetrich@mail.ru

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013