CC BY
55
2016, Т. 158, кн. 2 С. 262-275
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 624.131.526+532.546
ФИЛЬТРАЦИОННАЯ КОНСОЛИДАЦИЯ В ПОРИСТОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ С РАЗРЫВНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Ф.М. Кадыров, А.В. Костерин
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Построены начальные условия консолидации в упругой среде в общем виде; для давления жидкости получено уравнение Лапласа. С учетом построенных начальный условий решена задача фильтрационной консолидации для бесконечной пористой трубы с круговой симметрией: решение для давления описывается диффузионным уравнением. Установлено, что при отсутствии «скважины» в начале координат давление жидкости становится неограниченно большим.
Ключевые слова: теория фильтрационной консолидации, начальные условия, упругая пористая среда, нагрузка, давление
Введение
Процесс фильтрационной консолидации в узком смысле означает деформации пористой среды под воздействием сжимающей поверхностной нагрузки вследствие выдавливания насыщающей жидкости из пор. В широком смысле - это разнообразные технологические воздействия в химических производствах, в строительстве и добыче полезных ископаемых, сопровождающиеся процессами деформации и фильтрации.
Начало теории консолидации связано с работами К. Терцаги [1], который впервые исследовал одномерную задачу консолидации. Им сделано важное предположение о постоянстве суммарных напряжений в каждый момент времени при постоянной нагрузке (гипотеза Терцаги). Н.М. Герсевановым [2] получены начальные условия плоской задачи консолидации для равномерной нагрузки, распределенной в виде полосы. В.А. Флорин [3] рассмотрел полную схему расчета неодномерных задач. В работе М. Био [4] дана общая постановка задачи консолидации, приведены методы и получены аналитические решения. Анализ уравнений механики насыщенных упругих сред с позиций механики сплошных сред проведен В.Н. Николаевским [5, 6].
По исследуемой тематике выполнены многие сотни работ. Фундаментальные работы по механике деформируемого твердого тела и фильтрационной консолидации представлены в [7, 8]. Библиография дана в [9-11].
Обзор [10] относится к модели консолидации М.А. Био: обсуждаются уравнения модели, исследуются двумерные задачи консолидации с применением функций комплексных переменных, приведены значения параметров модели М.А. Био.
Работа [11] охватывает широкий круг вопросов в геомеханике: теория упругости, фильтрационная консолидация, транспорт в пористой среде, пластичность. Обзор включает более 300 ссылок.
Основные результаты в области фильтрационной консолидации, полученные в Казанском университете, представлены в [12, 13].
Целью настоящей статьи является: 1) постановка и решение задачи по выводу начальных условий консолидации; 2) решение задачи консолидации для бесконечной круглой пористой трубы.
1. Математическая модель консолидации упругой пористой среды
Математическая модель фильтрационной консолидации насыщенной пористой среды, находящейся под воздействием внешних поверхностных сил, включает в себя суммарное уравнение движения фаз, уравнения неразрывности, закон фильтрации, реологическое соотношение для пористого скелета, начальные и граничные условия.
Рассмотрим процесс консолидации в заданной области И С Я3 с граничной поверхностью Г.
Суммарное уравнение движения фаз в пренебрежении инерционными членами имеет вид [14]
доА др
ТГ1 - ТЛ + [тр1 + (! - т)р2]¥ = 0' * =1> 2> 3>
д X1 д Хг
где хг - декартовы координаты, о А - эффективные напряжения в скелете [15], р - давление жидкости, т - пористость скелета, р\ и р2 - плотности жидкой и твердой фаз соответственно, Е = (^1,^2,^3) - плотность внешних массовых сил.
Суммарные напряжения в скелете состоят из напряжений в твердой фазе (эффективных напряжений) и давления жидкости [5, 15]
оА = оА - Р$а , (1)
где ¡а - символ Кронекера.
Исключая статические силы и предполагая, что пористость среды в процессе консолидации изменяется незначительно [5], получим
доА др
-¡Г1 - =0, * = 1, 2, 3. (2)
дхА дхг
Уравнения баланса массы для жидкой и твердой фаз запишутся соответственно в виде
' д(тр1)
дЬ
д((1 - т)р2) дЬ
+ ёгу (тр1 V) = 0,
+ &у((1 - т)р2И) = 0,
где V и и - среднефазовые макроскорости жидкой и твердой фазы, и - перемещения скелета, Ь - время. Точка сверху означает дифференцирование по времени. В случае малых отклонений от стационарных состояний можно пользоваться уравнениями баланса масс в их линейном приближении [6]
1 ^ + *у(т^ = 0,
р1 дЬ
д((1 - т)р2) р2 дЬ
+ &у((1 - т)И) = 0,
где р1 и р2 - начальные значения плотностей жидкой и твердой фаз. В результате сложения уравнений баланса масс получим
-1 -1 д((1 Ч + ¿ = 0,
р1 дЬ р2 дЬ
где ч = m(V — и) - скорость фильтрации, в = и - объемная деформация скелета.
Рассмотрим случай фильтрации слабосжимаемой жидкости в упруго-деформируемой однородной пористой среде. В этих условиях можно считать производные их параметров по давлению постоянными [16]
¿Р± = к-10 ¿Р2 = 1р0 = к-1 о
3р = КР1 р1' ¿р = КР2 р2 ¿р! = КР2 р2
Запишем закон баланса массы для среды в виде
«1 др + «2 д- + Ч + 0 = 0, (3)
где «1 = тК-1 + (1 — т)К-21, «2 = (1 — т)К-1, р! = —о~[к/3 - шаровой тензор эффективных напряжений.
Закон фильтрации примем следующим:
к__, , ,
Ч =--Ур, (4)
Мо
где к - проницаемость скелета, мо - вязкость жидкости.
Реологическое соотношение для пористого скелета связано только с эффективными напряжениями (закон упругости) [5, 15]. Оно принимается линейным
а(з = \eSij + 2мегз, (5)
где Л, м - коэффициенты Ламе упругой пористой матрицы, е^(V) = (диг/дхз + + ди2/дхг)/2 - деформации скелета.
Граничные условия должны быть сформулированы как для пористого скелета [14]
(а{п — Р^гз) • пз = П(х, Ь) на части Гст границы Г,
- (6) иг = иг(х,Ь) на части Г и границы Г,
так и для фильтрационного потока
р = р(х, Ь) на части Гр границы Г,
к др Г Г (7)
Чг • пг =--тг- =0 на части Г „ границы Г ,
Мо дп
где Га и Ги = Г и Гр и Г =Г.
Способы приложения нагрузки П(х, Ь) в среде могут быть различными [6, 14]:
а) «жидкий поршень» (Пг = —р • пг) - нагрузка приложена только к жидкости;
б) «непроницаемый» или «жесткий» поршень (дп = 0) - нагрузка приложена и к жидкости, и к скелету среды;
в) «высокопроницаемый поршень» (р = 0) - нагрузка приложена только к твердой фазе.
Начальное условие примем в виде
^(х, 0) = и0(х). (8)
Соотношения (2)-(8) охватывают широкий класс прикладных задач.
2. Начальные условия консолидации
Поставим специальную задачу по выводу начальных условий консолидации в упругой среде. Пусть в момент времени Ь = 0 на части границы Гст мгновенно прикладывается нагрузка Пг(х). На поверхности нагрузка целиком воспринимается жидкостью [2, 3]:
р0(х, Ь =0) • Щ = Пг(х), х € Га. Следовательно, на поверхности эффективные напряжения равны нулю:
о{0(х,Ь = 0) = 0.
В начальный момент времени фильтрационная консолидация не успевает развиться, и объемные деформации скелета равны нулю [14]:
ё1у И0 = в0(х,Ь = 0) = 0. (9)
Для вывода начальных условий консолидации перейдем к вариационной постановке задачи для И0 [17-19]. Будем пользоваться пространственным осреднением в простейшей форме [19]. Рассмотрим принцип минимума потенциальной энергии упругой системы [20]
I(И)= ^Ец (и) • Ец(и) ЗП - ! П^ ЗГ. (10)
п г^
Задавая виртуальные приращения 5иг, получим
51 ^ У 2^еа дГ- и ЗП - ! Пг5иг ¿Г. п 0 га
Обозначим оа = 2^Еа и преобразуем первый интеграл:
51 = I оА ТТа 5иг <т-! Пг5иг ЗГ = I -дА 5иг ЗП^' оА •па5иг ЗГ-1 Пг5иг ЗГ.
п 0 га п 3 га г^
Здесь учтено, что 5иг = 0 на Г у. Таким образом,
51 = / -дА 5иг З^ + У (оА • А - Пг) 5иг ЗГ.
п 3 г^
В этом выражении вариации 5иг удовлетворяют условию ё1у 5И = 0. Добавим к функционалу (10) слагаемое [17, 18]
У а&у И ЗП,
п
вариация которого равна
У а5и,щ ЗГ - У 5иг ^ ЗП,
г^ п
где а - множитель Лагранжа. Окончательно получим
51 = / (-дХХг - да) ¡и ЗЪ + 1 (К' + а5ц) • щ - П<) 5и1 ЗГ.
п о1 г^
п
Рис. 1. Равномерная нагрузка П = const
Необходимые условия экстремума есть
дх,
дао
+ -дат = х 6 ^ + a0$ij) • nj
п
хе га.
С точки зрения аналитической механики условие несжимаемости можно рассматривать как связь [17, 18]. Связь порождает в твердом теле реакцию связи. Такое толкование помогает устранить трудности, связанные с понятием давления в несжимаемой среде: сила реакции связи и есть давление среды (—р0 ). Уравнение движения в начальный момент времени принимает вид
д2 U0 dp0 =0
Р дх"2 dxi '
div U0 = 0.
Применим операцию дивергенции
^A(div U0) - Др° = 0,
и для р° получим уравнение
Др° = 0.
(11)
Таким образом, давление в начальный момент времени является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Приведем примеры отыскания начального распределения давления для конкретных нагрузкок. Положим xi = х, Х2 = y, хз = z.
1) Рассмотрим упругое пористое полупространство z > 0 .В момент времени t = = 0 к его поверхности мгновенно прикладывается равномерная нагрузка П = const (см. рис. 1). Для граничного условия
40 - Р° = -п,
учитывая, что эффективные напряжения af0 равны нулю, получим решение
р0 = П.
2) Дана полуплоскость z > 0. По подошве фундамента шириной 2a прикладывается нагрузка (см. рис. 2, на котором через A обозначена произвольная точка рассматриваемого полупространства)
П(х)
П
0,
const,
\х\ < a, |х| > a.
Рис. 2. Нагрузка прямоугольной формы
Решение р0 записывается в виде интеграла Пуассона [21]
а
0 П [ хс!£ П ( х х \
Р (х, х) = - --—2 = _ аг^--агС^—I— • (12)
п ] (х — С)2 + г2 п \ х — а х + а )
Компоненты суммарных напряжений ахх(х,х), ахх(х,г), ахх(х,г) известны [22]. Тогда в соответствии с (1) начальные эффективные напряжения примут вид [2]
а?0
XX
а^
аХ°
^ хх
п \(х — а)2 + х2 (х + а)2 + х2 П / х(х — а) х(х + а)
П ( г(х — а) х(х + а)
г2)1 ) \
(13)
--- —
п \(х — а)2 + х2 (х + а)2 + П / х2 х2
п \(х — а)2 + х2 (х + а)2 + х2
При 2 = 0 эффективные напряжения обращаются в нуль.
Для определения перемещения поверхности подставим (13) в (5). Проинтегрировав полученное уравнение с учетом (9), имеем [22, 23]
и- = [(х + а) 1п(х + а)2 — (х — а) 1п(х — а)2] + С. (14)
Отметим, что, в отличие от [22], в (14) учтено условие несжимаемости среды в начальный момент времени.
3) Пусть в момент времени £ = 0 по подошве фундамента шириной 2а мгновенно прикладывается треугольно-распределенная нагрузка П(х) [22, 24] (см. рис. 3)
П(х) = —-(а — |х|), \х\ < а. а
В начальный момент распределение давления жидкости описывается уравнением
Р-(х, х) = — П [(х — аЬ + (х + а)а2 — 2ха + х 1п
па У г2
где
г2 = (х — а)2 + х2, г2 = (х + а)2 + х2, г2 = х2 + х2, tg а1 = х/(х — а), tg а2 = х/(х + а), tg а = х/х.
Рис. 3. Треугольное распределение усилий
Рис. 4. Поперечный срез круглой пористой трубы
Эффективные напряжения в начальный момент времени есть
f0 , г1г2 f0 , г1г2 аХ° = г 1п -;г- , я'„° = — г 1п -;г- .
Пог
--1«1 + «2 — 2ш .
па
Осадка в начальный момент времени задается уравнением
и0г = 8- [2х2 1пX — (х + а)2 1п(х + а)2 — (х — а) 1п(х — а)2] + С.
4) Найдем начальное распределение давления для случая бесконечной пористой трубы радиуса Г1 с центральной скважиной радиуса Г2 (см. рис. 4). К внешней поверхности трубы мгновенно прикладывается постоянная нагрузка р° = П.
Запишем уравнение Лапласа (11) в цилиндрической системе координат (г, в, г). Пусть деформации не зависят от угла в и от г. Решение уравнения Лапласа обладает круговой симметрией. Тогда при £ = 0
г1
р1 — р0 = С 1п —. 1г
На внешней границе трубы в момент времени £ = 0 нагрузка воспринимается жидкостью, то есть
р?(п ) = П.
Таким образом,
р0 (г) = р0 + р? 1п Г1.
г
а
хг
г
г
3. Задача консолидации в круглой трубе
Осесимметричная задача консолидации грунтового цилиндра, в центре которого расположена дрена, была рассмотрена в работах Л. Рендуллика [25] и Р. Бар-рона [26]. Авторы предполагали, что через внешнюю боковую поверхность грунтового цилиндра движения воды не происходит, при этом сама дрена абсолютно водопроницаема. Нагрузка в начальный момент времени равномерно распределяется по всей площади влияния дрены.
В настоящей работе начальные и граничные условия иные. Задача по выводу начальных условий консолидации решена в примере 4 разд. 2. Предположим, что приложение нагрузки на границах осуществляется по типу «высокопроницаемый поршень» [5]:
{р1(г1,г) =0, \р2(г2,*) =0.
Граничные условия для пористого скелета примем в виде
'4 (г1) = —п,
(г2 ) = — П1п(г1/г2).
Уравнение равновесия среды
(16)
Зи1_ дг
+ — дЕ = 0
г дг
с учетом закона Гука
диг (диг и дг дг г
и ди и
2---+ А —— +--
г дг г
преобразуется к виду Интегрирование этого уравнения по отрезку [0, г] приводит к соотношению
др д £ = (А+2-) д
■1 д ;
-тг(гит) г дг
р — р0 = (А + 2-)
1 д ( )
- ТТ(гит ) г дг
Найдем производную по времени
1 др дУ V + —.
А + 2— дг дг г
Запишем закон баланса массы (3) с учетом последнего уравнения
др А + — др 1 др к а1 д — "2А + 2—~дЬ + А + 2—дг = —0 р
Давление жидкости описывается диффузионным уравнением
др д
дг = кАр'
Г
а
г
Г
а
д
где к = к/ [мо(«1 - («2(А + м) + 1)(А + 2м) ?)] .
Решение начально-краевой задачи (15)—(17) получено с использованием [27]:
/ 2 + \
р(т,г) = ^2 ехр - К^)фп(г), п = 1 V Г2 /
где
Фп(г) = Уо(Р-п)-1о[ Мп — ) - ■1о(Р'п)Уо[ Мп — ) , « = —, \ Г2 ] \ —2) —2
Г2
/(г) - начальное распределение давления, ■о(г) и Уо(г) - функции Бесселя, корни характеристического уравнения
■1о(р)Уо(вм) - ■1о(.?м)Уо(р) = 0.
4. Обсуждение
1) Обсудим начальные условия в задаче консолидации. В начальный момент времени мгновенно приложенная к поверхности области П нагрузка целиком воспринимается жидкостью [2, 3]. На глубине начальное давление жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа. Пусть задача неодномерная (пример 2). Тогда для г > 0 находим нетривиальное распределение давления (12), эффективные напряжения (13) и осадку поверхности (14), причем аХХ + = 0 - важное условие несжимаемости среды в целом.
Обратимся теперь к задаче для круглой трубы (пример 4). В бесконечной трубе имеем
-р? + ро(г) = р? 1п Г1.
г
С уменьшением поперечного сечения давление возрастает. Таким образом, при отсутствии скважины при г = 0 начальное давление становится неограниченно большим. Эффект Манделя-Крайера объясняется появлением зон значительного повышения давления [6].
2) Обсудим применение гипотезы Терцаги для решения задачи консолидации с постоянной вертикальной нагрузкой [1, 6, 16]. Решение системы уравнений
даго даА др
Эху дх^ дхг с граничными условиями (высокопроницаемый поршень)
(а3 - р$гз ) • Пз = аго ■ Щ = Пг(х)
неединственно [20]. Реологическое соотношение (5) связано исключительно с эффективными напряжениями [5, 15]. Тогда в случае заданной на границе нагрузки уравнение совместности удобно записать в напряжениях, используя уравнения равновесия и закон Гука [20]
д 1 + 1 д2а[к 2 д2р + и 5-■ Д
гз 1 + V дхгдхо дхгдхо 1 - V 4 ' где V = (1/2)А/(А + м) - коэффициент Пуассона.
Процесс консолидации координируется фильтрацией и описывается соотношениями (3), (4). Начальные и граничные условия терпят разрыв. Для одномерных задач консолидации решение для давления преобразуется в классическое уравнение пьезопроводности (17). Аналитическое решение неодномерных задач консолидации проводится с использованием гипотезы Терцаги. Суть гипотезы в следующем: независимо от уравнения совместности уравнение суммарного движения и граничные условия задачи консолидации не содержат явно время. Тогда имеем [16]
дагз (х) = д(а(3 (х,г) — р(х,г)5ц) дг дг
Полагая г = ] = 1, 2, 3, получим важное соотношение
д(а11 + а22 + а33 — 3р)
дг
0.
0.
Таким образом, давление уменьшается, а эффективные напряжения, наоборот, увеличиваются до тех пор, пока вся нагрузка не передастся на скелет. По принятой гипотезе давление жидкости р(х,г) описывается диффузионным уравнением.
Справедливость гипотезы Терцаги подтверждается численными решениями. Расчеты были проведены методом блочной релаксации для случая прямоугольной нагрузки (пример 2) [28]. Результаты численного решения согласуются с результатами аналитического исследования [24].
Заключение
Решена специальная задача построения начальных условий консолидации; установлено, что начальное давление жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа. При этом сумма нормальных эффективных напряжений равна нулю, что является важным условием несжимаемости среды. Показано, что условие несжимаемости с точки зрения аналитической механики можно рассматривать как связь. При этом давление в несжимаемой среде есть сила реакции связи. Получены начальные условия для бесконечной круглой трубы. Установлено, что с уменьшением поперечного сечения круглой пористой трубы давление жидкости возрастает. Отсутствие «скважины» в начале координат г = 0 приводит к неограниченному росту давления. Появление зон значительного повышения давления обусловлено эффектом Манделя - Крайера.
Решена задача консолидации для бесконечной круглой пористой трубы с учетом построенных начальных условий: для давления жидкости получено классическое уравнение пьезопроводности. Отмечено, что аналитическое решение неодномерных задач предполагает выполнение гипотезы Терцаги, согласно которой в любой момент времени распределение суммарных напряжений сохраняется. Выполнение гипотезы Терцаги позволяет свести закон распределения давления жидкости к уравнению теплопроводности. Справедливость гипотезы Терцаги подтверждается численными расчетами: численное решение достаточно точно аппроксимирует аналитическое.
Литература
1. Терцаги К. Теория механики грунтов. - М.: Госстройиздат, 1961. - 544 с.
2. Герсеванов Н.М. Собрание сочинений: в 2 т. -М.: Стройвоенмориздат, 1948.
3. Флорин В.А. Основы механики грунтов: в 2 т. - М.: Госстройиздат, 1959-1961.
4. Bio M.A. General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous materials // J. Appl. Mech. - 1956. - V. 23, No 1. - P. 91-96.
5. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т. Механика насыщенных пористых сред. - М.: Недра, 1970. - 339 с.
6. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. - М.: Недра, 1984. -232 с.
7. Bear J., Corapcioglu M.Y. Fundamentals of transport phenomena in porous media. -Dordrecht: Martinus Nijhoff Publ., 1984. - 1003 p.
8. Coussy O. Mechanics and physics of porous solids. - London: John Wiley and Sons, 2010. - 300 p.
9. Shiffman R.L. A bibliography of consolidation // Bear J., Corapcioglu M.Y. Fundamentals of transport phenomena in porous media. - Dordrecht: Martinus Nijhoff Publ., 1984. -P. 617-669.
10. Rice James R., Cleary Michael P. Some basic stress diffusion solutions for fluid-saturated elastic porous media with compressible constituents // Rev. Geophys. Space Phys. -1976. - V. 14, No 2. - P. 227-441.
11. Selvadurai A.P.S. The analytical method in geomechanics // Appl. Mech. Rev. - 2007. -V. 60. - P. 87-106.
12. Костерин А.В. Новые модели и обобщенные решения нелинейных задач механики насыщенных пористых сред // Матем. моделирование. - 2001. - Т. 13, № 2. - С. 71-77.
13. Аблаев Ф.М., Авхадиев Ф.Г., Алимов М.М. и др. На рубеже веков. Науч.-исслед. ин-т математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казан. гос. ун-та. 1998-2002 гг. -Казань: Изд-во Казан. матем. о-ва, 2003. - 600 c.
14. Егоров А.Г., Костерин А.В., Скворцов Э.В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1990. - 105 с.
15. Цытович Н.А. Механика грунтов. - М.: Высш. шк., 1983. - 287 с.
16. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. - М.: Недра, 1972. - 288 с.
17. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. - М: Изд-во иностр. лит., 1954. -487 с.
18. Вильке В.Г. Теоретическая механика. - СПб.: Лань, 2003. - 304 с.
19. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процесов (физические основы). - М.: Наука, 1978. - 128 с.
20. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 875 с.
21. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
22. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. - М.: Мир, 1989. - 510 с.
23. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1966.- 228 с.
24. Кадыров Ф.М. Плоская задача консолидации с разрывными начальными условиями // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2013. - Т. 155, кн. 3. - С. 63-70.
25. Rendulic L. Der hydrodynamische Spannungsausgleich in zentral entwasserten Tonzylindern // Wasserwirtsch. Tech. - 1935. - Bd. 2. - S. 250-253, S. 269-273.
26. Barron R.A. Consolidation of fine-grained soils by drain wells // Trans. ASCE - 1948. -V. 113, No 1. - P. 718-742.
27. Полянин А.Д., Вязьмин А.В., Журов А.И. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. - М.: Факториал, 1998. - 368 с.
28. Кадыров Ф.М., Костерина Е.А. Численное решение двумерной нестационарной задачи фильтрационной консолидации // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы Десятой Междунар. науч. конф. - Казань: Казан. ун-т, 2014. -С. 347-351.
Поступила в редакцию 06.07.15
Кадыров Фархад Маратович, соискатель кафедры аэрогидромеханики Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: farhad1987@mail.ru
Костерин Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор
кафедры аэрогидромеханики
Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI
(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 2, pp. 262-275
The Filtration Consolidation of an Elastic Porous Medium with Discontinuous
Initial Conditions
F.M. Kadyrov*, A.V. Kosterin
Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: *farhad1987@m,ail.ru
Received July 6, 2015 Abstract
The problem of finding the initial conditions of consolidation for an elastic medium is solved in a general way; the Laplace equation is obtained for the water pressure. The problem of filtration consolidation for an infinite porous tube with circular symmetry is solved taking into account the found initial conditions: a solution for the pressure is described by the diffusion equation. If there is no "hole" at the origin of coordinates, then the water pressure becomes infinitely large.
Keywords: theory of filtration consolidation, initial conditions, elastic porous medium, load, pressure
Figure captions
Fig. 1. n = const balancing load.
Fig. 2. Rectangular load.
Fig. 3. Triangular force distribution.
Fig. 4. Cross section of circular porous tube.
References
1. Tertsagi K. Theory of Soil Mechanics. Moscow, Gosstroiizdat, 1961. 544 p. (In Russian)
2. Gersevanov N.M. Collected Works. 2 Vols. Moscow, Stroivoenmorizdat, 1948. (In Russian)
3. Florin V.A. Fundamentals of Soil Mechanics. 2 Vols. Moscow, Gosstroiizdat, 1959—1961. (In Russian)
4. Bio M.A. General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous materials. J. Appl. Mech., 1956, vol. 23, no. 1, pp. 91-96.
5. Nikolaevskii V.N., Basniev K.S., Gorbunov A.T. Mechanics of Saturated Porous Media. Moscow, Nedra, 1970. 339 p. (In Russian)
6. Nikolaevskii V.N. Mechanics of Porous and Cracked Media. Moscow, Nedra, 1984. 232 p. (In Russian)
7. Bear J., Corapcioglu M.Y. Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media. Dordrecht, Martinus Nijhoff Publ., 1984. 1003 p.
8. Coussy O. Mechanics and Physics of Porous Solids. London, John Wiley and Sons, 2010. 300 p.
9. Shiffman R.L. A bibliography of consolidation, Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media, Bear J., Corapcioglu M.Y. (Eds.), Dordrecht: Martinus Nijhoff Publ., 1984, pp. 617-669.
10. Rice J.R., Cleary M.P. Some basic stress diffusion solutions for fluid-saturated elastic porous media with compressible constituents. Rev. Geophys. Space Phys., 1976, vol. 14, no. 2, pp. 227441.
11. Selvadurai A.P.S. The analytical method in geomechanics. Appl. Mech. Rev., 2007, vol. 60, pp. 87106.
12. Kosterin A.V., New models and generalized solutions of nonlinear problems in mechanics of saturated porous media. Mat. Model.., 2001, vol. 13, no. 2, pp. 71-77. (In Russian)
13. Ablaev F.M., Avkhadiev F.G., Alimov M.M., et al. At the Turn of the Century. N.G. Chebotarev's Institute of Mathematics and Mechanics. Kazan State University. 1998-2002. Kazan, Izd. Kazan. Mat. O-va., 2003. 600 p. (In Russian)
14. Egorov A.G., Kosterin A.V., Skvortsov E.V. Consolidation and Acoustic Waves in Saturated Porous Media. Kazan, Izd. Kazan. Univ., 1990. 105 p. (In Russian)
15. Tsytovich N.A. Mechanics of Grounds. Moscow, Vyssh. Shk., 1983. 287 p. (In Russian)
16. Barenblatt G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M. Theory of Unsteady Filtration of Fluids and Gases. Moscow, Nedra, 1972. 288 p. (In Russian)
17. Sommerfeld A. Mechanics of Deformable Media. Moscow, Izd. Inostr. Lit., 1954. 487 p. (In Russian)
18. Vilke V.G. Theoretical Mechanics. St. Petersburg, Lan', 2003. 304 p. (In Russian)
19. Gurov K.P. Phenomenological Thermodynamics of Irreversible Processes (Physical Foundations). Moscow, Nauka, 1978. 128 p. (In Russian)
20. Novatskii V. Theory of Elasticity. Moscow, Mir, 1975. 875 p. (In Russian)
21. Lavrent'ev M.A., Shabat B.V. Methods of the Theory of Complex Variable Functions. Moscow, Nauka, 1987. 688 p. (In Russian)
22. Johnson K. Contact Mechanics. Moscow, Mir, 1989. 510 p. (In Russian)
23. Dvait G.B. Tables of Integrals and Other Mathematical Formulas. Moscow, Nauka, 1966. 228 p. (In Russian)
24. Kadyrov F.M. A plane Consolidation Problem with Discontinuous Initial Conditions. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2013, vol. 155, no. 3, pp. 63-70. (In Russian)
25. Rendulic L. Der hydrodynamische Spannungsausgleich in zentral entwasserten Tonzylindern.
Wasserwirtsch. Tech., 1935, Bd. 2, S. 250-253, S. 269-273.
26. Barron R.A. Consolidation of fine-grained soils by drain wells. Trans. ASCE, 1948, vol. 113, no 1, pp. 718-742.
27. Polyanin A.D., Vyaz'min A.V. Handbook of Exact Solutions to Heat and Mass Transfer Equations. Moscow, Faktorial, 1998. 368 p. (In Russian)
28. Kadyrov F.M., Kosterina E.A. Numerical solution of the two-dimensional nonstationary problem of filtrational consolidation. Setochnye metody dlya kraevykh zadach i prilozheniya: Materialy Desyatoi Mezhdunar. nauch. konf. [Proc. 10th Int. Sci. Conf.: Mesh methods for Boundary Value Problems and Applications]. Kazan, Kazan. Univ., 2014, pp. 347—351. (In Russian)
/ Для цитирования: Кадыров Ф.М., Костерин А.В. Фильтрационная консолидация ( в пористой упругой среде с разрывными начальными условиями // Учен. зап. Казан. \ ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 2. - С. 262-275.
For citation: Kadyrov F.M., Kosterin A.V. The filtration consolidation of an elastic / porous medium with discontinuous initial conditions. Uchenye Zapiski Kazanskogo \ Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 2, pp. 262-275.
(In Russian)
