CC BY
72
10. Цвейг С. Диккенс. Собр. соч. в 2 тт. Т. 2. / Пер. с нем. -С. 79-102.
11. Ильин И. Постмодернизм. Словарь терминов. - М.: ИНИОНРАН, 2001.-384 с.
12. Гегель Г. Энциклопедия философских наук: В 3 т. Т. 3. Философия духа. - М.: Мысль, 1977. - 472 с.
13. Ахматова A.A. Сочинения: В 2 тт. Т. 1. - М.: Правда, 1990.-448 с.
14. Данилова B.C., Кожевников H.H. Философия истории на пути к формированию исторической картины мира // Вестник ЯГУ. - 2010. - Т. 7. - ,Уо 2. - С. 150-155.
15. Кожевников H.H., Исламгалеев В.Р. Вклад феноменологии в современную философию // Вестник ЯГУ - 2006. - Т. 3. - № 4. - С. 83-89.
N.N. Kozhevnikov, VS. Danilova
Literary picture of the world: opportunities and prospects
The authors study main notions and concepts of philosophy, literature and identified notions that lead to universal generalizations.
There has been done an attempt to integrate these concepts into fundamental structures that form the universal artistic space and time.
Key words: work, text, semantics, art space, art time, character, story, thing, detail, nature (environment), landscape, author, reader, discourse, implicit reader, implicit author.
^r^srisf
УДК 1:001 001.8 H.M. Охлопков
ФИЛОСОФСКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ СБЛИЖЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ
Приведены материалы исследования методологических расхождений и вопросы взаимосвязи прикладной и теоретической математики. На основе анализа взаимосвязей прикладной и теоретической математики разработана общая схема взаимодействия между ними.
В этой схеме математическая модель является связующим звеном прикладной и теоретической математики, т.е. она фаю и-чески является ядром современной единой и неделимой математики. Теперь структурообразующими элементами современной математики стали потребности науки как производительной силы общества.
Ключевые слова: прикладная математика, теоретическая математика, аксиома, модель, теория, ЭВМ, вычислительная математика, существование, корректность, приближенный метод, численный метод, уравнение, итерация, прямая задача, обратная задача, схема, алгебраизация.
В историческом плане математика развивалась с V века до н.э. в двух направлениях: «чистая», теоретическая (классическая) математика и прикладная математика. Оба направления представляют собой относительно самостоятельные типы целостного математического знания.
Классическая математика развивалась из необходимости систематизировать установленные математические факты, выяснить их взаимосвязи, объединить их с помощью обобщающих концепций в теорию по ее внутренним законам [1].
Развитие прикладной математики тесно связано с необходимостью решения практических задач. Прикладная математика - та часть математической науки, которая изучает реальные объекты средствами математики и вычис-
ОХЛОПКОВ Николаи Михайлович - к.ф.-м.н., доцент ИМИ ЯГ~У. E-mail: Mathjsu@mail.ru
лительной техники. Теоретическая математика - та часть математической науки, которая изучает абстрактные объекты по их внутренним законам развития. Прикладная математика выступает в качестве теоретической основы и рабочим инструментом конкретных наук. Теоретическая математика в свою очередь представляет собой теоретическую базу и фундамент прикладной математики. В некоторых случаях методы, развитые в классической математике, могут быть использованы непосредственно в приложениях. Однако заимствование методов еще не означает полного совпадения подходов и методологических принципов дисциплин. Основное отличие классической математики от прикладной математики заключается в том, что основным содержанием классической математики является исследование ее собственных закономерностей, в то время как прикладная математика нацелена полностью на решение «внешних задач».
Отделение чистой математики от прикладной характерно и для стран средневековой Европы. В чистую математик) врастают теория решения алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней и комбинаторики.
Бурное развитие естествознания в ХУ1-ХУН вв. плодотворно повлияло на развитие математики. Прикладное и теоретическое направления непрерывно взаимодействовали между собой и дополняли друг друга. В период гармоничного развития математики различение, а тем более противопоставление считалось противоестественным. Так как ученые этого периода развития математики, например, И.Ньютон, Л.Эйлер, Ж.Лагранж, братья Николай, Даниил, Иоганн, Якоб Бернулли и другие были не только математиками, но и физиками, механиками, которые занимались как теоретическими, так и прикладными
вопросами математики.
С середины XIX века, в связи с развитием теории множеств и теории функций, с развитием абстрактных алгебраических структур и развитием аксиоматического метода значительная часть математики превратилась в единую науку с едиными требованиями строгости. Единое требование строгости привели к тенденции решать прикладные задачи на уровне строгости теоретической математики. При решении прикладных задач это привело к двойственности: постановка задачи и интерпретация решения проводились на физическом уровне строгости; решение задачи осуществлялось на математическом уровне строгости, что часто приводило к упрощению задач. Вторичное раздвоение происходило в процессе вычислений, которые не проводятся полностью на чисто математическом уровне строгости.
До появления электронно-вычислительных машин (ЭВМ) вычисления играли подчиненную роль в экспериментальных и теоретических исследованиях. ЭВМ появились лишь в середине XX в., и только после этого стало возможным механизация и автоматизация вычислительных работ. Стали использовать ЭВМ не только в прикладной математике, но и в теоретической математике.
Прикладная математика - это математика, опосредованная практикой, которая имеет специфические особенности и методологические расхождения с теоретической математикой. Поэтому их отождествлять нельзя, их синтез может быть осуществлен диалектикой мышления на основе компромисса с той и с другой стороны. Вычислительная математика - область математической науки, которая изучает абстрактные и реальные объекты средствами вычислительной техники. Синтезатором теоретической и прикладной математики выступает вычислительная математика, которая перекидывает мостик между ними. В методологическом плане в прикладной и классической математике пути достижения поставленной цели сильно расходятся. В прикладной математике математическая строгость рассуждений не всегда оправдана и во многих случаях не приводит к цели. Часто используются математически не строго обоснованные приемы
и методы, но оправдавшие себя на практике. Математические модели часто проверяются «экспериментальным» путем и на этой основе создается математическая теория конкретных наук. Многие математические задачи, возникающие из реальной действительности не поддаются точному математическому анализу средствами классической математики. Для решения таких задач используются различные приближенные приемы, методы.
Рассмотрим задачи абстрактной и прикладной математики, записанные в символической форме:
1) математическую модель реального объекта, запи-санную в виде:
= Яр/е#2; (1)
2) абстрактную математическую задачу, записанную в виде:
Ах = у, хе /?,, уе (2)
Рассмотрим методологические расхождения классической и прикладной математики [2, 3, 4. 5].
В классической математике традиционным является однократный выбор математической модели (2) и однократная формулировка допущений в самом начале исследований. Дня современной прикладной математики характерны многократный выбор и многовариантность математической модели (1).
Одним из центральных вопросов классической математики является вопрос существования решения задачи (2). В классической математике, основанной исключительно на дедуктивном методе и формальной логике, термин «существование» тождественен логической непротиворечивости. Для прикладной математики доказательство теоремы существования приобретает определенную ценность только при условии, если оно имеет конструктивный характер.
В классической математике доказательство корректности постановки задачи (2) является обязательным. Если не доказаны теоремы существования, единственности решения, то дальнейшее рассмотрение задачи (2) не допускается.
Отсутствие теорем корректности постановки задачи в прикладной математике не является категорическим запретом дальнейшего ее рассмотрения. Такая задача подчас успешно решается, а впоследствии уже после получения численных результатов проводятся косвенные доказательства, обосновывающие правомерность используемого метода. В рамках абстрактной математики такой подход недопустим. Вместе с тем следует отметить, что отыскание в указанном смысле несуществующих решений требует серьезного и тщательного анализа на всех его этапах и особенно основательной проверки их достоверности: путем рассмотрения предельных переходов; сравнением с аналогичными, более простыми задачами, для которых существуют аналитические решения, и другими возможными способами.
В задачах классической математики не допускается, что входные данные задачи задаются приближенно с
некоторой погрешностью. Таким образом, с самого начала предполагается, что все математические величины заданы точно без потери информации. Задачи вида (2) решаются точными аналитическими методами. Использование приближенных методов не допу скается.
В задачах прикладной математики использование точных аналитических методов сопряжены с большими трудностями, а порой эти трудности оказываются непреодолимыми. Для решения сложных прикладных задач используется весь арсенал математических методов и приемов. Во многих случаях наиболее эффективными являются методы вычислительной математики.
В классической математике заранее предполагается, что все исходные данные задачи заданы точно, все вычисления проводятся без никаких погрешностей. Поэтому полученный результат будет всегда точным. В прикладной математике исходные данные задачи получаются экспериментальным путем. Поэтому они всегда имеют погрешности приборов, наблюдений и т.д. Все вычисления проводятся на ЭВМ с помощью реальных вычислительных алгоритмов, которые всегда допускают погрешность округления чисел. Используемые методы решения часто являются сами приближенными, которые допускают погрешность метода (аппроксимации), кроме того, сама исходная математическая модель имеет погрешность, ибо не существует математической модели, точно отражающей реальный процесс. В конечном итоге указанные выше погрешности будут суммироваться. Суммарная погрешность не должна искажать процесс решения задачи.
Понятие бесконечности в прикладной математике приобретает особое специфическое значение. В классической математике создана стройная теория бесконечно малых и больших. В прикладной математике такой теории не существует. Под фактически бесконечно большими или малыми понимаются некоторые конечные значения рассматриваемых параметров и при этом они, как правило, выбираются на основе численных экспериментов и имеют смысл только применительно к данной задаче.
В историческом плане наиболее привлекательной и исследованной является задача решения алгебраических уравнений. Поэтому теоретические, аналитические и численные методы исследования (решения) алгебраических уравнений могут служить моделью системы научного знания вообще [6]. Эта теория исследует вопросы разрешимости и решения уравнения:
Рп(х)= а0 + а{х + ....+апх" = 0. (3)
Задача вычисления значения полинома является прямой задачей (/Зл(х)= у, у = ?), а нахождение корней уравнения (3) представляет собой обратную задачу
(Рп(х)= 0,х = ?).
Задача точного аналитического решения уравнения (3) является теоретической, а задача численного решения уравнения (3) является эмпирической (практической).
Таким образом, одна задача рассматривается как две задачи (в рамках абстрактной и прикладной математики), которые используют различные методы и критерии решения. Отнесение первых к теории (теоретической математике), а вторых к эмпирии (прикладной математике) оправдано не только логически, но и исторически. Из теории Абеля и Галуа известно, что алгебраические уравнения (3) выше четвертой степени в общем случае не имеют точного аналитического решения. Это говорит о том, что теория алгебраических уравнений неполна относительно аналитического решения. Эту неполноту преодолевают (дополняют) «практически», на вычислительном уровне, образованном численными методами решения уравнения (3). С этой целью задачу (3) заменяют задачей вида:
/>„(*)= 0. (4)
Требование нахождения точного решения уравнения (3) является теоретическим, т.е. задачей абстрактной математики. В рамках прикладной математики требование точного нахождения корня уравнения (3) делает задачу практически неразрешимой. Так как входные данные задачи задаются приближенно и используются для решения уравнения (3) приближенные численные методы, которые всегда допускают вычислительные погрешности. По этим причинам в эмпирической задаче (4) не ищется единственное решение, как в теоретической (3). Прикладная (эмпирическая) задача имеет бесконечно много решений, заполняющих числовой интервал, величина которого определяется практическими интересами исследователя (точностью задания входных данных). Любое из этих решений прикладник рассматривает как решение задачи. С точки зрения эмпирика (прикладника) задача (3) представляется некорректной (нереализуемой), и он заменяет ее адекватной задачей (4), которая является некорректной (нет единственности решения) уже с точки зрения теоретика. Возникшее противоречие между теоретической и прикладной математикой преодолевается диалектикой мышления - компромиссом с той и с другой сторонами.
Метод простого подбора решения превращается в систематический, эффективный метод (метод итераций) решения широкого круга сложных математических задач. Это достигается преобразованием оператора (функции) задачи Рп в алгебраический оператор ф, осуществляющий сжимающее отображение числового интервала в себя. Первое приближение х. эмпирической (прикладной) задачи выбирается произвольно из области определения корня и этот произвол указывает на происхождение метода итераций от «метода» подбора. Исходное уравнение (4) преобразуется к виду:
х=ф(х)хе [я,в|ф(х)е [а,в\ (5)
Начальное приближение х0 подставив в правую часть уравнения (5), получим X, = ф(*о) Аналогичным образом имеем:
*2 =Ф(*|)=Ф(Ф(*о))=Ф2(*о)---' Хк = Ф'(*о) '
Метод итераций связывает «выход» ^ ) машины <р с ее «входом» (х0) обратной связью. В силу указанного свойства оператора (функции) <р числовая последовательность
Хк =Ф(*А-1 )' ^ =
стремится, по мере роста номера к, к решению задачи (3). Иными словами, бесконечная числовая последовательность х09х19...,хк9... является сходящейся к точному решению Вычислитель (прикладник) может прервать процесс последовательных приближений на любом конечном шаге итераций (к=п), зависящем от требуемой точности решения, и считать значение хп решением эмпирической (прикладной) задачи (4). Работающая таким образом эмпирическая машина (алгоритм), реализующая метод итераций, требует для своей остановки вмешательства субъекта (задание точности вычисления е>0 и критерия остановки машины). Только после остановки
«машины» (р она дает результат хп ~ X = ^ .
Количество итераций к=п определяется самим субъектом исходя из вне теоретических (практических) соображений, а машина руководствуется теоретическими (математическими) критериями. Таким образом, решение, достигнутое численными методами, имеет и субъективный (зависящий от произвола субъекта), и объективный (теоретический) источники и может быть названо синтетическим.
В силу неполноты теории относительно эмпирических (прикладных) задач и неполноты эмпирии (вычислений) относительно теоретических задач, знания, полученные этими методами, не тождественны, но они вместе дополняют друг друга. В задаче (3) можно считать теоретической задачу точного решения уравнения методом аналитических преобразований, а эмпирической (прикладной) - задачу приближенного решения уравнения методом итераций. Точное аналитическое решение уравнения (3), ввиду «запрета Галуа», возможно для немногих уравнений. Численное (синтетическое) решение возможно для всех уравнений (3), но оно неточно. Тем не менее они вместе решают одну общую задачу - полное исследование объекта.
Решение прямой задачи особых усилий от исследователя не требует, носит по преимуществу механический характер вычислений по известному алгоритму, поэтому она не является исследовательской задачей. В полном смысле слова задачей является обратная задача, требующая для своего решения нестандартного мышления, изобретательности, в результате которого открывается алгоритм, дающий возможность единообразно решать задачи из данного класса подобных ей задач.
После открытия алгоритма решения обратных задач, она по существу становится прямой задачей, ибо решать обратную задачу - значит свести ее к решению последовательности прямых задач:
Рп(х)= 0 Р„(х)= 0 х=ф(х)-> хк+[ =ф(х, ).
Контроль правильности или применимости решения обратной задачи Ах=у, х=? осуществляется путем решения соответствующей ей прямой задачи Ах=у, у=?
Достоверность решения задач прикладной математики проверяется сравнением его с данными опыта, служит одновременно критерием правильности расчетов и степени адекватности выбранной модели.
В настоящее время центральным ядром организации математического знания является построение математических моделей конкретных наук, соединяющих вместе различные ветви математического знания.
Со второй половины XX века с появлением ЭВМ и интенсивным внедрением компьютеров во все сферы человеческой деятельности успешно развивается теоретико-алгоритмическое направление в рамках абстрактной и прикладной математики на базе математических моделей. Математические модели исследуются как теоретические конструкции аксиоматического типа [7]. Выявляются общие методы, заложенные в структуре математических моделей. Особое внимание уделяется разработке вычислительных алгоритмов, удовлетворяющих современным требованиям вычислительной математики. С одной стороны, математическая модель служит для прикладной математики экспериментальным средством, а с другой стороны, на основе математических моделей проводится вычислительный эксперимент [8], который выступает как теоретико-практическая реализация метода математического моделирования, означающего новый способ описания реальности, конкурирующий с традиционными идеалами аксиоматически-дедуктивных методов построения теорий.
Взаимодействия прикладной и теоретической математики можно представить в виде общей схемы (рис.).
Из рис. видно, что математическая модель является связующим звеном прикладной и теоретической математики, т.е. она является фактически ядром современной математики. Построение математических моделей соединяет вместе различные отрасли теоретической математики. Теперь основными «заказчиками» для математики выступают в первую очередь конкретные науки. Отныне они выступают как структурообразующие элементы прикладной математики, вокруг которых группируются математические модели и ориентация на практику проявляется в виде ориентации на другие науки. Теперь структурообразующими элементами современной математики стали потребности науки как производительной силы.
Начиная с 1920-х гг. небывалого расцвета достигла алгебра, произошла алгебраизация математики. Современный успех развития алгебры в большей степени определяется повсеместным использованием ЭВМ и компьютеризацией знания. Все эти факторы требуют алгоритмизации математики. Общая схема изучения многих математических объектов, порой очень далеких от алгебры, состоит в построении алгебраических систем, хорошо отражающих поведение изучаемых объектов.
MM
t
с. Схема взаимодействия прикладной и теоретической конкретные науки, ПМ - прикладная математика. ММ ^е структуры, ТМ - теоретическая математика
- абстракт-
Алгебраизация и компьютеризация знания приводит к алгоритмизации математики [9].
Алгоритмизация знания дает возможность переноса из одной области в другую не только результатов научного исследования, но и методов, приемов их получения, в той или иной науке. Отсюда один путь к алгоритмической интеграции, к практической ориентации математического знания, к арифметико-алгебраическому его строению, к повышению роли вычислительных методов.
С одной стороны, подготовка специалистов по прикладной математике в настоящее время идет, в основном, по линии прикладной направленности обучения, которая безусловно снижает уровень общности знаний, а с другой стороны, решение задач конкретных наук способствует повышению уровня их общности, объединению знаний, их интеграции, которые концентрируются вокруг их математических моделей. При решении прикладных задач происходит переход от общего к частному, от абстрактного к конкретному, от бесконечного к конечному, что усиливает влияние конструктивного направления в математике.
Подготовка специалистов, занимающихся созданием и анализом математических моделей, становится актуальной задачей. Такие специалисты будут определять в конечном счете лицо современной математики, так как будут мыслить математическое знание единым и неделимым на «чистую» и «прикладную» математику. Все эти факторы способствуют сближению абстрактной и при-
кладной математики и приводят к постепенному стиранию методологических разногласий между ними.
Литература
1. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. - М.: Изд-во МГУ, 1981. - 215 с.
2. Блехман А.П., Мышкин А.Д., Пановко Н.Г. Прикладная математика. Логика, особенности подходов. - Киев: Наук. Думка, 1976.-269 с.
3. Вентцель Е.С. Методологические особенности прикладной математики на современном этапе // Математики о математике. - № 8. - М.: Знание, 1982. - 32 с.
4. Охлопков Н.М. Методологические и технологические вопросы прикладной и вычислительной математики: учебное пособие. - Якутск: Изд-во ЯГУ, 1991. — 203 с.
5. Охлопков Н.М., Охлопков Г.Н. Введение в специальность «Прикладная математика»: учебное пособие. Ч. 1. - Якутск: Изд-во ЯГУ, 1997.-93 с.
6. Антаков С.М. Прямая и обратная задачи в структуре научного исследования: автореф. дис. канд. философ, наук. -Нижний Новгород, 1994. - 20 с.
7. Бурбаки Н. Архитектура математики. Сер. «Математика, кибернетика». - № 1. - М.: Знание, 1972. - 32 с.
8. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР. - 1979. -№5.-С. 38-49.
9. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания (закономерность эволюции способа систематизации). -М.: Изд-во МГУ, 1983. - 166 с.
N.M. Okhlopkov
Philosophical and methodological issues of convergence of Applied Mathematics
and Theoretical Mathematics
The author presents materials on methodological differences and relationship of applied and theoretical mathematics. Based on the analysis of the relationship of applied and theoretical mathematics there has been developed a general scheme of interaction.
According to the scheme a mathematical model is a link between the applied and theoretical mathematics, i.e, it is actually a core for modern single and indivisible mathematics. Thus, the structural constituents of modern mathematics are needs of science as a productive
force of the society.
Key words: applied mathematics, theoretical mathematics, axiom, model, theory, computer science, computational mathematics, existence, correctness, an approximate method, numerical method, equation, iteration, direct problem, inverse problem, scheme
algebraization.
