ФИЛОСОФСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕЛЕЙ Б. РАССЕЛА ПРИ ПОСТРОЕНИИ ПРОГРАММЫ ЛОГИЦИЗМА

Олейник Полина Ивановна

Философский анализ целей Б. Рассела при построении программы логицизма

Олейник Полина Ивановна,

кандидат философских наук, научный сотрудник лаборатории трансдисциплинарных исследований познания, языка и социальных практик философского факультета Национального исследовательского Томского государственного университета

E-mail: polina-grigorenko@mail.ru

В статье проводится анализ целей Рассела при построении программы логицизма. Рассматриваются две цели: опровержение философско-математических взглядов И. Канта и установление природы математического знания. Устанавливается взаимосвязь этих мотивов. Анализируется интерпретация А. Краала, согласно которой целью логицизма Б. Рассела было показать, что математические предложения обладают полной общностью, в силу которой их истинность не зависит от пространства и времени. При такой интерпретации некоторые пункты традиционной критики логицизма могут быть показаны несостоятельными: демонстрируется, каким образом А. Краал опровергает устоявшееся мнение о том, что теорема Геделя подрывает основание логицизма. Также обсуждаются проблемы редукции математики к логике в логицизме и отсутствия адекватных определений базовых понятий логики. Предлагаются возможные пути решения этих проблем. Делается вывод о возможности использования и разработки некоторых идей логицизма Б. Рассела.

Ключевые слова: Б. Рассел, философия математики, логицизм, логика, полная общность, редукция математики к логике.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 2228-00126).

Попытка Б. Рассела, британского философа и логика, президента Аристотелевского сообщества, разработать и обосновать логицизм, одну из основных программ философии математики, сегодня вновь подвергается тщательным исследованиям. Актуальность проведения таких исследований обуславливается с одной стороны историко-философскими задачами, с другой - появлением новых программ философии математики, берущих за основу логицизм Рассела [10, 12]. Пересмотр логицизма приводит к новым результатам, которые мы рассмотрим в данной статье. Как отмечает К. Клемент, «Хотя сегодня не принято считать, что в "Принципах математики" удалось установить логицизм, я думаю, что все еще можно привести доводы в пользу того, что это удалось сделать» [10, р. 152].

Суть логического проекта, изложенного Расселом в «Принципах математики» (1903) [17], отражена в утверждении Рассела: «вся чистая математика имеет дело исключительно с понятиями, определяемыми в терминах очень небольшого числа фундаментальных логических понятий, и <.. .> все ее предложения выводимы из очень небольшого количества фундаментальных логических принципов» [17, р. XV]. Однако существуют разногласия относительно цели Рассела при построении логицизма. Что именно мотивировало логицизм Рассела? Согласно традиционной интерпретации, популяризируемой, например, Р. Карнапом [5], целью Рассела было рассеять неопределенность (или повысить определенность) математических истин. Х. Пат-нэм [15] (позже А. Масгрейв [13]) утверждали, что целью Рассела было показать, что математические истины имеют условную структуру «если - то». Согласно интерпретации, предложенной Э. Ирвином [8, 9], целью Рассела было обнаружить и в некоторой степени обосновать окончательные основы математических

160

истин. П. Хилтон выделяет важную роль логицизма в опровержении идеализма [7]. Выделяются и другие цели Рассела. Анализ всех мотивов, приписываемых ему при построении логицизма, слишком объемен и многозадачен, чтобы уместить его в данное исследование. Мы обратимся к антикантианскому мотиву, а также к мотиву установления природы математики. Далее мы рассмотрим их взаимосвязь и возможные последствия, к которым приведет такая интерпретация целей логицизма.

Критика Канта

Ранняя философия математики Рассела, представленная главным образом в диссертации «Об основах геометрии» [16], имеет идеалистическую основу и во многом опирается на Канта [1]. При построении программы логицизма Рассел во многом уходит от ранее поддерживаемых идей и критикует их. Многие исследователи полагают, что антикантианский мотив в логицизме является основным.

Рассел обращается к «новой науке» Пеано, символической логике, чтобы представить «окончательное и бесповоротное» опровержение кантовского взгляда на математику [17, § 4]. Рассел акцентирует стремление Канта рассматривать недедуктивные способы рассуждения как математически обоснованные: «Что существенно [во взгляде Канта на математику] с логической точки зрения, так это то, что априорные интуиции [пространства и времени] обеспечивают методы рассуждения и вывод, который формальная логика не допускает» [17, § 434]. Поскольку символическая логика Пеано предоставляет средства для осуществления логических доказательств, и поскольку, по мнению Рассела, такие доказательства могут быть даны, ее принятие служит - с точки зрения Рассела - устранению причины для обращения к кантовской интуиции.

И. Прупс [14], однако, отмечает, что Рассел полагает, что кантовская интуиция играет иную роль в обосновании аксиом геометрии: «[Даже] признавая рассуждения геометрии чисто формаль-

ными, кантианец может все еще утверждать, что априорная интуиция убеждает его, что определение трехмерного евклидова пространства единственное среди определений возможных пространств является определением существующего...» [17, § 434]. Таким образом, даже в случае опровержения рассуждений Канта о геометрии, его сторонники все равно могут настаивать на необходимости обращения к априорной интуиции при проверке геометрических аксиом. Сам Рассел отрицает такую роль априорной интуиции.

«Антикантианскую» мотивацию часто приписывают логицизму Рассела. Интересны замечания Прупса на этот счет. Он полагает, что Рассел действительно критиковал и опровергал математические рассуждения Канта, однако, это было не задачей собственно логицизма, а задачей его более широкой теоретической программы: «суть разногласий Рассела с Кантом относительно геометрии - это не спор об истинных основаниях нашего знания геометрии реального пространства, а скорее спор об истинных основаниях нашего знания условных выражений» [14, р. 271]. Можно привести в подтверждение этому и пассаж самого Рассела: «[Мнение о том, что априорная интуиция убеждает нас в том, что фактическое пространство трехмерно и евклидово], строго говоря, не имеет отношения к философии математики, поскольку математика безразлична к вопросу о том, существуют ли ее сущности» [17, § 434]. С точки зрения Рассела, задача сводится к вопросу о том, являются ли геометрические рассуждения чисто логическими. Следовательно, для того, чтобы опровергнуть взгляды Канта на природу геометрических рассуждений, достаточно просто сформулировать евклидову геометрию как строгую дедуктивную теорию: нет необходимости определять геометрические понятия в логических терминах, и поэтому логицизм не играет существенной роли в его опровержении математических рассуждений Канта. Однако, логицизм необходим для опровержения кантианского тезиса о том, что аксио-

161

мы арифметики основаны на интуиции времени. Как отмечает Рассел, мнение Канта о том, что исчисление имеет существенную связь со временем (или, по крайней мере, с пространством или временем), исходит из убеждения, что понятие непрерывной последовательности можно объяснить только ссылкой на непрерывное изменение в пространстве и времени. Новая математика с ее четким определением непрерывной последовательности делает такое обращение ненужным. Соответственно, логицизм также используется Расселом в более важном и широком опровержении «двух столпов кантовского здания», а именно доктрины о том, что рассуждения математики отличаются от рассуждений формальной логики, и идеи о том, что существуют противоречия в идеях пространства и времени.

Установление природы математики

Еще одна мотивация, часто приписываемая логицизму Рассела - стремление определить природу математики. Прупс обращается к этой задаче Рассела как к «мотиву логицизма Рассела, который выходит за рамки оппозиции Канту». Однако, как мы увидим, анализ этого мотива также тесно связан с критикой взглядов Канта на природу математики; кроме того, в этом вопросе логицизм противостоит также эмпиризму и психологизму (далее мы обратимся к другой интерпретации этих мотивов А. Краалом, которые рассматривает их во взаимосвязи).

Рассел пишет: «[Пока] все соглашались, что математика в некотором смысле истинна, философы спорили о том, что на самом деле означают математические утверждения: хотя что-то было истинным, ни один из двух людей не был согласен с тем, что именно было истинным, и, если что-то было известно, никто не знал, что именно было известно. Однако до тех пор, пока этот вопрос не разрешен, вряд ли можно сказать, что в математике можно получить какие-либо определенные и точные знания» [17, § 3].

Это высказывание можно проинтерпретировать как утверждение о том, что до тех пор, пока не будет создана

правильная теория о природе математического знания, такое знание не может быть ни определенным, ни точным. Однако, далее Рассел пишет: «Соответственно, идеалисты все больше склонны рассматривать всю математику как имеющую дело с простой видимостью, в то время как эмпирики считают, что все математическое является приближением к некоторой точной истине, о которой им нечего нам сказать. Такое положение вещей, следует признать, было совершенно неудовлетворительным» [17, § 3].

По мнению Рассела, существующие теории природы математики несовместимы с определенностью и точностью математического знания, вследствие чего, пока эти теории остаются неопро-вергнутыми, наша позиция, исходящая из здравого смысла о том, что у нас есть определенные и точные математические знания, будет неоправданной. Такое прочтение подтверждается замечанием, сделанным Расселом в его лекции 1911 года «Аналитический реализм»: «Ни идеализм, ни эмпиризм не обеспечивают теорию знания, согласующуюся с фактами» [20, р. 136-137]. Под фактами Рассел подразумевает, во-первых, то, что математика истинна, и, во-вторых, что она дает совокупность точных и определенных знаний. Рассел утверждает, что эмпиризм и идеализм несовместимы с этими очевидными чертами математики: эмпиризм представляет угрозу точности математического знания, поскольку он предлагает рассматривать математику такой, как будто она существует только в пределах эмпирического наблюдения. Идеализм, с другой стороны, воспринимается как угроза достоверности математики. Под угрозой оказывается статус математических утверждений как вечных истин: «Может случиться, что завтра наша природа изменится настолько, что дважды два будет пять. Эта возможность, по-видимому, никогда не приходила в голову [Канту], и все же она полностью разрушает определенность и универсальность, наличие которых он стремится доказать для арифметических предло-

162

жений» [18, р. 49]. В «Принципах» Рассел подчеркивает угрозу, которую кантианство представляет для истины математики: согласно Расселу, само объяснение Кантом априорности геометрии убеждает его в ложности тех же самых якобы априорных убеждений. Мы могли бы реконструировать рассуждения Рассела следующим образом: основанием Канта для того, чтобы считать наши знания о пространстве необходимыми - и поэтому априорными - является, по сути, неизбежность наших убеждений о пространстве. Причина, по которой эти убеждения неизбежны для Канта в понимании Рассела, заключается в том, что пространство на самом деле субъективно. Тем не менее, частью содержания этих убеждений является то, что они представляют пространство как объективное.

Рассел также критикует психологизм за искажение природы математики: «Философы обычно считали, что законы логики, лежащие в основе математики, являются законами мышления, законами, регулирующими работу нашего разума. Из-за этого мнения истинное достоинство разума очень сильно принижается: он перестает быть исследованием самой сути и неизменной сущности всех действительных и возможных вещей, становясь вместо этого исследованием чего-то более или менее человеческого и подверженного нашим ограничениям» [19, р. 55].

Таким образом, один из основных мотивов Рассела в «Принципах» состоит в том, чтобы дать первое адекватное описание природы математического знания, или, точнее, первое адекватное описание того, что известно, когда мы обладаем математическим знанием, - описание, которое должно объяснить особый характер, который мы приписываем математическому знанию.

Логицизм представлен в «Принципах» как наиболее адекватное объяснение характера наших математических знаний. При обосновании логицизма мы получаем релевантное объяснение того, как математика может быть совокупностью истинных, определенных и точных знаний (если, как полагает Рассел, ло-

гика обладает этими свойствами). Рассел полагает, что все конкурирующие теории о природе математики несовместимы с тем, что она обладает таким характером.

Основной вопрос логицизма Рассела

Интересен взгляд исследователя А. Кра-ала на мотивы Рассела. Он выдвигает тезис о том, что настоящая цель Рассела состояла в том, «чтобы обосновать антикантианский тезис о том, что математические предложения обладают определенным видом полной общности (будет объяснено далее), в силу чего их истинность не зависит от пространства и времени» [11, р. 1494]. Краал полагает, что при построении логицизма Рассел преследовал две цели: позитивную: дать понимание природы утверждений, выражаемых истинными математическими предложениями; и отрицательную: опровергнуть тезис Канта о том, что математика зависит от интуиции пространства и времени.

Исследование Краала интересно тем, что он утверждает, что благодаря предлагаемой им интерпретации два распространенных возражения против логицизма Рассела, вытекающие из теоремы Геделя о неполноте и из нелогичного характера некоторых аксиом в «Principia Mathematica» [2, 3, 4], можно считать несостоятельными. Вместе с тем, он определяет две основные проблемы, с которыми сталкивается логицизм Рассела, если его рассматривать в свете интерпретации Краала, но предлагает решения этих проблем.

Краал выделяет «основной вопрос» логицизма Рассела. Рассел утверждает, что философы до сих пор не могли ответить на вопрос «что на самом деле означают математические предложения», но что теперь в качестве ответа они могут, «по крайней мере, предоставить редукцию всех предложений к определенным фундаментальным понятиям логики» [11, р. 1501]. Логицизм Рассела призван ответить на вопрос о том, что математические предложения «действительно означают». Краал полагает, что этот вопрос лежит в основе логицизма

163

Рассела. В таком случае «традиционное мнение о том, что логицизм Рассела касается только отношений переводимо-сти и выводимости между математическими и логическими предложениями, ошибочно, поскольку логицизм Рассела касается не только отношений между математическими и логическими предложениями, но и отношений между этими предложениями и экстралингвистическими предложениями, которые эти предложения выражают» [11, р. 1502].

Рассел утверждает: «тот факт, что математика является символической логикой, является одним из величайших открытий нашего века» [17, § 4], то есть математические предложения и логические предложения тождественны. В таком случае, если Рассел, спрашивая «что на самом деле означают математические предложения», имеет ввиду, какую природу имеют предложения, выраженные «истинными математическими предложениями», мы могли бы выразить основное утверждение логицизма Рассела таким образом: истинные математические предложения выражают логические предложения. Рассел разъясняет, что под «логическим» предложением он подразумевает предложение полной общности: «Символическая логика отличается [...] главным образом своей общностью» [17, р. 11]. Под полной общностью Рассел имеет ввиду следующее: логические предложения (а) утверждают импликации, (Ь) содержат (неограниченные) переменные и (с) не содержат никаких констант, кроме логических констант. Следовательно, утверждая, что истинные математические предложения выражают логические пропозиции, Рассел фактически говорит, что истинные математические предложения выражают пропозиции соответствующего вида полной общности.

Обратимся к негативной цели логицизма Рассела. Рассел утверждает, что философия до сих пор давала ошибочный ответ на вопрос, что означают математические предложения, поскольку она ввела «совершенно неуместное понятие разума», а именно кантианский взгляд на то, что математика зависит от инту-

иции пространства и времени: «кантианская философия [...] утверждала, что математические рассуждения не являются строго формальными, но всегда используют интуицию, то есть априорное знание пространства и времени. Благодаря прогрессу Символической логики [.] эта часть кантовской философии теперь способна к окончательному и бесповоротному опровержению» [17, р. 4]. Краал полагает, что предложенные выше положительные и отрицательные цели логицизма Рассела взаимосвязаны: «если можно показать, что математические предложения имеют соответствующий вид совершенно общей природы, то будет показано, что они независимы от пространства и времени» [11, р. 1505]. Идея здесь заключается в том, что все, что зависит от пространства и времени, не является полностью общим, или, наоборот, что все, что является полностью общим, не зависит от пространства и времени. Дело в том, что изложенный выше вид полной общности включает в себя количественную оценку любых видов вещей вообще. Соответственно, если переменные этих значений принимают «любые значения» (т.е. имеют неограниченный диапазон), то эти значения не ограничены объектами в пространстве и времени и поэтому не зависят от интуиции пространства и времени. Таким образом, тезис Рассела о совершенно общей природе математических предложений подрывает кантианскую точку зрения.

Опровержение возражений против логицизма

Приведенная выше интерпретация логицизма Рассела позволяет показать, что два серьезных возражения против логицизма Рассела не столь разрушительны, как это часто утверждается. Согласно первому возражению, логицизм Рассела опровергается теоремой Геделя о неполноте, согласно которой ни одна непротиворечивая дедуктивная система математики не является такой, чтобы каждая математическая истина могла быть выведена из ее аксиом. Однако, Краал отмечает, что если основное

164

утверждение логицизма Рассела - это утверждение о том, что истинные математические предложения выражают предложения определенного рода полной общности, которая влечет за собой независимость от пространства и времени, тогда теорема Геделя не опровергает логицизм Рассела. Теорема Геделя приводит только к такому результату, что нельзя утверждать, что дедуктивная система математики в «Принципах» Рассела может показать, что все математические утверждения истинны. Однако это не подрывает логицизм Рассела как таковой, поскольку это не подрывает утверждение о том, что математические предложения обладают своего рода полной общностью, которая влечет за собой независимость от пространства и времени. Соответственно, теорема Геделя показывает только то, что логический тезис не может быть полностью подтвержден с помощью дедуктивной системы, подобной той, что содержится в «Principia». «И это означает только то, что защита логицизма Расселом не является окончательной, а не то, что сам логицизм и его метод порочен» [11, р. 1507].

Согласно второму возражению, адресуемому логицизму Рассела, он несостоятелен, поскольку логицизм сводит математику не к логике, а к логике плюс совокупность нелогических аксиом (таких как аксиомы сводимости, выбора, и бесконечности). Это второе возражение также не может опровергнуть логицизм Рассела: во-первых, возражение предполагает, что логицизм Рассела заключается в сводимости математики к логике. Краал же демонстрирует, что основное утверждение логицизма Рассела заключается в том, что математика и логика тождественны. Сведение математики к логике служит для Рассела средством подтверждения логического тезиса, но не является основным тезисом логицизма. Во-вторых, если некоторые из аксиом,используемых Расселом в «Принципах», окажутся нелогичными, это только покажет, что конкретная попытка Рассела в «Принципах» реализовать сведение математики к логике не совсем успешна, а не то, что сама

редукция не может быть реализована. Таким образом, мы видим, что настоящее возражение в большинстве случаев указывает на недостаток в попытке установить логицизм, но не подрывает логицистский тезис как таковой.

Еще одной проблемой, остро стоящей при такой интерпретации логицизма, является адекватность условий логичности (с ней также связан феномен ложных математических предложений). В качестве решения Краал предлагает пересмотр условий логичности, приведенных в «Принципах», в соответствии с принципами, позже предложенными самим Расселом.

В теории Рассела предлагаются следующие условия логичности высказываний: (а) утверждение импликаций, (Ь) содержание (неограниченных) переменных и (с) отсутствие нелогических констант. Эти условия не кажутся ни достаточными, ни необходимыми. Существуют предложения, удовлетворяющие этим условиям (например, Ух (если Рх, то Qx)), которые не кажутся логичными и наоборот, другие предложения не удовлетворяют все условия, вместе с тем, кажутся логичными (например, Ух (Рх или не-Рх)). Недоопределенность базовых понятий в работах Рассела отмечается также Гриффином: «Для человека, который придавал такое большое значение логическому предприятию и потратил так много времени, пытаясь доказать истинность логицизма, Рассел не очень четко объяснил, что он подразумевал под «логикой»» [6, р. 117]. В период с 1903 по 1913 год Расселом написано множество работ по логике, однако, в работах отсутствуют объяснения того, почему логические примитивы являются логическими примитивами; каким условиям должна удовлетворять пропозиция, если она должна считаться пропозицией логики. В связи с этим некоторые исследователи полагают, что проблема демаркации никогда не беспокоила Рассела. Эта точка зрения кажется сомнительной: Рассел разрабатывал новую логику, к которой можно было бы свести математику, и вряд ли он мог не знать о вопросах, касающихся логического статуса

165

новых оснований. Действительно, в отдельных случаях, например, по поводу Аксиомы Бесконечности, он был обеспокоен, были ли ее основания действительно логичными. Другие исследователи признают, что Рассел знал об этой проблеме, но у него не было достаточно сформированного мнения по этому вопросу. Однако, в 1903 году у Рассела было вполне определенное представление о том, что такое логика, хотя к тому времени, когда он начал публиковать ее в «Принципах», он все больше осознавал ее трудности, в том числе его собственный классовый парадокс. Парадокс, как выразился Рассел, «затрагивает самые основы рассуждений» [17, р. 528]: это повлияло на саму природу логики, потому что показало, что интуитивный и естественный взгляд на логику, который ранее принимал Рассел, был несостоятельным. Сам Рассел, по-видимому, осознавал проблематичность сформулированных им условий и после написания «Принципов математики» вновь обращался к поиску адекватных условий логичности. Во Введении к переизданию «Принципов» в 1937 году, он формулирует условия логичности высказываний следующим образом: (а) имеет полную общность в том смысле, что в нем не упоминается какая-либо конкретная вещь или качество, и (Ь) истинно в силу своей формы [17, р. хм]. Пересмотренные условия не включают условие утверждения импликации, соответственно, можно отнести многие кажущиеся логичными предложения (как вышеупомянутое Ух (Рх или не-Рх) к классу логических предложений. Добавление условия «быть истинным в силу формы», позволяет исключить кажущиеся нелогичными предложения (как вышеупомянутое V х (если Рх, то Qx)) из класса логических предложений на основании того, что они не могут быть истинными в силу формы. По мнению Краала пересмотр такого фундаментального понятия, как условие логичности, не угрожает фундаментальному тезису логицизма о тождестве математики и логики. Таким образом, представляется, что эта проблема может быть решена при условии

предоставления соответствующих пересмотренных условий логичности.

Выводы

Идеи, выдвинутые Краалом, приводят к интересным результатам. Предложенная интерпретация целей логицизма Рассела демонстрирует возможность обращения к логицизму Рассела и использования его идей. Пересмотр условий логичности позволяет более точно определить базовые понятия. Рассмотрение редукции математики к логике как инструмента, а не конечной цели логицизма, делает возможным использование этого метода (при его усовершенствовании), при этом сохраняя основную идею логицизма. Однако, стоит отметить, что Краал при проведении анализа целей логицизма обращается лишь к нескольким выбранным им цитатам Рассела. Основываясь на них, он аргументирует отсутствие у Рассела других мотивов (что важно для выводов исследования Краала), приписываемых ему разными исследователями. Несмотря на то, что эти цитаты достаточно показательны и обращение к ним обосновано, такой анализ нельзя считать полным и завершенным. Вместе с тем, высказанные тезисы открывают новые пути развития логицизма Рассела, которые могут быть использованы при построении современных программ философии математики (в первую очередь речь идет о тех сторонниках неологицизма, которые предпринимают попытку реабилитировать логицизм Рассела). Предложенные решения проблем, с которым сталкивается логицизм, не устраняют заявленные проблемы, однако, ослабляют их категоричность и негативные последствия для программы. Таким образом, вывод Краала о том, что состоятельность логицизма Рассела пока остается открытым вопросом, имеет достаточное основание.

Литература

1. Кант И. Критика чистого разума / Пер. с нем. Н.О. Лосского. М.: Наука, 1999. 655 с.

2. Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: в 3 т. Т. I / А. Уайтхед,

166

Б. Рассел: пер. с англ., под. ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во «Самарский университет»,

2005. 722 с.

3. Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: в 3 т. Т. II / А. Уайтхед, Б. Рассел: пер. с англ., под. ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во «Самарский университет»,

2006. 738 с.

4. Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: в 3 т. Т. III / А. Уайтхед, Б. Рассел: пер. с англ., под. ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2006. 448 с.

5. Carnap R. The Logicist Foundations of Mathematics // Philosophy of mathematics / ed. By E. Putnam., G.J. Massey, P. Benacerraf, H. Putnam. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. Pp. 31-41.

6. Griffin N. Russell on the Nature of Logic (1903-1913) // Synthese. 1980. Vol. 45. № 1. Bertrand Russell's Early Philosophy, Part I. Pp. 117-188.

7. Hylton P. Russell, Idealism, and the Emergence of Analytic Philosophy. Oxford: Oxford University Press, 1990. xv + 420 p.

8. Irvine A. Epistemic logicism and Russell's regressive method // Philosophical Studies. 1989. № 55. Pp. 303-327.

9. Irvine A., Godwyn M. Bertrand Russell's logicism // The Cambridge companion to Bertrand Russell Cambridge. Cambridge University Press, 2003. Pp. 171-201.

10. Klement K. Neo-logicism and Russell's logicism // Russell: The Journal of Bertrand Russell Studies. 2012. № 32 (127). Pp. 127-152.

11. Kraal A. The aim of Russell's early logicism: a reinterpretation // Synthese. 2014. Vol. 191. № 7. Pp. 1493-1510.

12. Linsky B., Zalta E. What is Neologi-cism? // The Bulletin of Symbolic Logic. 2006. № 121. Pp. 60-99.

13. Musgrave A. Logicism revisited // British Journal for the Philosophy of Science. 1977. № 28. Pp. 99-127.

14. Proops I. Russell's Reasons for Logicism // Journal of the History of Philosophy. 2006. № 44 (2). Pp. 267-292.

15. Putnam H. (1975). The thesis that mathematics is logic // Mathematics, matter and method. London: Cambridge University Press, 1975. Pp. 12-42.

16. Russell B. An Essay on the Foundations of Geometry. Create Space Independent Publishing Platform, 2018. 286 p.

17. Russel B. The principles of mathematics (2nd ed.). London: George Allen & Unwin Ltd, 1937. 534 p.

18. Russell B. The Problems of Philosophy. Oxford: Oxford University Press, 1986. 192 p.

19. The Collected Papers of Bertrand Russell. Volume 3. Toward the «Principles of Mathematics» 1900-02 / ed. by G.H. Moore. London: Routledge, 1992. 968 p.

20. The Collected Papers of Bertrand Russell. Volume 6. Logical and Philosophical Papers 1909-13 / ed. by John G. Slater, B. Frohmann. London: Routledge, 1992. 648 p.

PHILOSOPHICAL ANALYSIS OF THE GOALS OF B. RUSSELL IN THE CONSTRUCTION OF A PROGRAM OF LOGICISM1

Oleinik P.I.

National Research Tomsk State University

New research on the philosophy of mathematics shows the actuality of the revision of B. Russell's ideas. The article analyzes Russell's aims in constructing a program of logicism. Two motivations are considered: the critique of philosophical and mathematical views of I. Kant and the establishment a correct theory of the nature of mathematical knowledge The interrelation of these motives is established. The interpretation of A. Kraal is analyzed, according to which the aim of B. Russell's logicism is to show that mathematical propositions have a certain sort of complete generality which entails that their truth is independent of space and time. Under this interpretation, some points of the traditional criticism of logicism can be shown to be untenable: it is demonstrated how A. Kraal refutes the well-established opinion that Godel's theorem undermines the foundation of logicism. The problems of reducing mathematics to logic in logicism and the absence of adequate definitions of the basic concepts of logic are also

1 The work is supported by the grants the Russian Science Foundation, RSF № 22-28-00126.

167

pi

Ц RnCft.l

discussed. Possible ways of solving these problems are suggested. The conclusion is made about the possibility of using and developing some of the ideas of B. Russell's logicism.

Keywords: B. Russell, philosophy of mathematics, logicism, logic, complete generality, reduction of mathematics to logic.

References

1. Kant I. Critique of Pure Reason / Trans. from German N.O. Losskiy. Moscow Publ. Nau-ka, 1999. 655 p. (in Russian).

2. Russel B., Whitehead A. Principia Math-ematica. In 3 vols. Vol. I / Trans., ed. G.P. Yarovoy, Yu.N. Radaev. Samara: Samara University Press, 2005. 722 p. (in Russian).

3. Russel B., Whitehead A. Principia Math-ematica. In 3 vols. Vol. II / Trans., ed. G.P. Yarovoy, Yu.N. Radaev. Samara: Samara University Press, 2006. 738 p. (in Russian).

4. Russel B., Whitehead A. Principia Math-ematica. In 3 vols. Vol. III / Trans., ed. G.P. Yarovoy, Yu.N. Radaev. Samara: Samara University Press, 2006. 448 p. (in Russian).

5. Carnap R. The Logicist Foundations of Mathematics // Philosophy of mathematics / ed. By E. Putnam., G.J. Massey, P. Ben-acerraf, H. Putnam. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. Pp. 31-41.