CC BY
36
УДК 539.4
В.П. Радченко, С.А. Дудкин
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ ВАРИАНТ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАКРОМОДЕЛИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Разработана методика прогнозирования пластической деформации и области разрушения материала на основе стохастической модели и метода статистических испытаний. Выполнена проверка стохастической макромодели по экспериментальным данным для сплава АД-1 при Т=26С. Наблюдается хорошее соответствие расчетных и экспериментальных данных.
Постановка задачи. Решение проблемы разработки феноменологических моделей неупругого реологического деформирования и разрушения материалов не ограничивается детерминированным подходом, поскольку хорошо известно, что механические свойства материалов имеют четкую вероятностную природу, начиная с атомно-молекулярного уровня и заканчивая уровнем элемента конструкции, машины или сооружения. Следствием этого является то, что однотипные изделия имеют неодинаковые механические свойства. Более того, механические свойства материала оказываются не только различными в разных точках одного и того же элемента конструкции, но и являются различными при испытании образцов в лабораторных условиях. Поэтому необходимость разработки стохастических моделей неупругого реологического деформирования и разрушения материалов отмечалась в ряде работ [1-9]. В [10,11] было указано, что структура полей макро- и микронеоднородностей механических свойств материалов различна. При этом медленные изменения механических свойств соответствуют макронеоднородностям материала, а быстроосциллирующие изменения связаны с микроструктурным строением материала.
С использованием такой классификации неоднородностей для неупругой деформации, в [12] была построена стохастическая макромодель ползучести и длительной прочности. Что же касается описания стохастического характера деформации пластичности и процесса разрушения вследствие ее накопления, то здесь вопрос на сегодняшний день остается открытым.
В связи с вышеизложенным целью настоящего раздела является разработка стохастической макромодели пластичности и разрушения на примере экспериментальных исследований для сплава АД-1, выполненных авторами настоящей работы.
Разработка стохастической одноосной макромодели пластичности и разрушения материала. При построении феноменологических макромоделей пластичности будем исходить из основного предположения [10-11], что в пределах одного образца (элемента конструкции) соответствующие механические характеристики являются «постоянными», но для набора однотипных образцов они будут восприниматься при статистическом исследовании как случайные величины.
Если анализировать обычную диаграмму упругопластического деформирования е ~ о , то причины рассеяния опытных данных можно разделить на две группы: свойства материала (анизотропия, неоднородность, вариации химического состава, технологии изготовления и термической обработки) и методика испытаний (погрешность изготовления образцов и измерения деформации, колебания температуры и точность ее измерения, погрешность в определении приложенной нагрузки и т.д.). В связи с изложенным предполагается, что деформация пластичности ер является аддитивной составляющей двух случайных функций:
условий е£ (о) рассматривается как некоторый шум, порожденный второй группой причин рассеяния и наложенный на случайную функцию е1р (о), отражающей стабильные случайные свойства материала. Таким образом, роль случайной функции е£ (о) сводится к созданию незначительных флуктуаций возле каждой из реализаций е1р = е1р (о) . Поэтому ег = ег (о)
называется главной частью деформации ер .
Основным подходом при построении стохастических реологических моделей является обобщение некоторой базовой детерминированной модели, заключающееся в том, что часть параметров или функций этой базовой модели полагается случайной, а оставшаяся - детерми-
<íp
нированной. Естественно, что гипотезы о случайности или детерминированности параметров должны быть обоснованы из анализа экспериментальных данных.
В настоящей работе в качестве базовой детерминированной модели используется эндо-хронный вариант теории пластичности, предложенный в [13]:
0 s
e = e + e0, e = —;
E
Í0,s < snp;
l[a(a - anp)n - e0 (t)J a] - anp)n > e0 (t), (1)
0, a(s - sпР)ni < e0 (t),s > ]пр;
S = s o(1 + w), (2)
w = gse0, (3)
где e - полная деформация; e и e0 - упругая и пластическая составляющие полной деформации; a, n1 - параметры материала; E - модуль Юнга; Sпр - предел пропорциональности (упругости); w - параметр поврежденности; S и S0 - истинное (с учетом накопления поврежденности) и номинальное напряжения соответственно; t - параметр нагружения или внутреннее «время» (как будет показано дальше в качестве него можно использовать обычное физическое время); у - параметр, аппроксимация которого в общем случае принимается в виде
у = Yi(e 0) "2. (4)
Здесь у 1 и m 2- константы материала (в частном случае возможно у = const). Роль параметра 1 будет рассмотрена ниже.
Как следует из формулы (3) параметр поврежденности w пропорционален работе истинного напряжения на деформации пластичности.
Для описания разрушения материала используется энергетический критерий, согласно которому считается, что материал находится в неразрушенном состоянии, если A < A°, где
Isde0 - (5)
работа истинного напряжения на пластической деформации, соответствующая разрушению и являющаяся константой материала; ер - деформация пластичности, соответствующая разрушению. Величина А р - текущее значение работы истинного напряжения:
e 0
Ар = | оёер,
0
при этом истинное напряжение о задается формулой (2). Таким образом, из (5) следует, что разрушение образца наступает тогда, когда работа истинного напряжения на деформации пластичности достигает критического значения Ар .
Из модели (1)-(3) следует, что описание процесса упругопластического нагружения математически аналогично описанию образования деформации ползучести; т.е. пластическая деформация также развивается во времени. Схема развития упругопластической деформации в координатах о0 ~ е в режиме мягкого нагружения («мгновенного» приложения нагрузки)
представляет ломаную ОАВ (рис. 1), т.е. сначала при действии на образец напряжения о 0 возникают мгновенные упругие деформации (линия ОА), а затем развивается во «времени» пластическая деформация (линия АВ), причем характер развития ер от «времени» (при заданном
о0) экспоненциально асимптотический при t ® ¥ . Поясним это наглядно следующим образом.
Р
Р
*
Рис. 1. Схема развития пластической деформации по эндохронной теории пластичности (в режиме мягкого нагруже -
При малых eр можно считать, что поврежденность от пластичности С незначительна и 7 »70 . Тогда из (1) имеем
eP (t) = а(7о - 7„р)ni [1 - exp(—1)], откуда сразу имеем
lim eP (t) = а(7о - 7 )П1.
*
Из двух последних соотношений следует, что параметр 1 характеризует время выхода пластической деформации к своему асимптотическому значению. Поэтому значение параметра 1 можно выбирать произвольно, но достаточно большим, таким, чтобы
расчетное время выхода ep (t) к асимптотическому
ния)
значению составляло очень малое значение, т.е. при этом времени exp(-It) » 0 (с заданной погрешностью). Например, 1 выбирается таким образом, чтобы за время выхода ep (t) к своему асимптотическому значению накопленная деформация ползучести p была пренебрежимо
мала по сравнению с асимптотическим значением e .
Для определения параметров a, n1, g1, m2, A* необходимо иметь стандартную диаграмму упругопластического деформирования, полученную, например, с заданной скоростью нагружения e = £0 = const. Учитывая, что для развитых пластических деформаций ep >> e,
условие S = e0 = const сведется к условию ep @ eо = const. Тогда из (1)-(3) нетрудно получить соотношения
s = s 0 exp( J gs о deP);
(6)
t[s(t) -s„p]n -eP(t) = 1
^0.
(7)
Последнее соотношение следует из следующих соображений. Какое бы ни было заданное
значение скорости нагружения e = const, за счет выбора параметра 1 величину e/1 можно сделать как угодно малой. С учетом сделанного предположения из (7) имеем
eP = a(s - sпр)\
Из (7) и (8) получаем неявную зависимость s0 = s0 (e р ) :
eр = a
а•
s0eXP( J gs0deP ) - sпр
(8)
(9)
которая позволяет описывать диаграмму упругопластического деформирования в режиме «жесткого» нагружения (при заданных ер ).
При малых значениях пластической деформации ер поврежденность С незначительна, истинное и номинальное напряжения отличаются мало и можно считать О » О0 . Тогда, используя начальный участок экспериментальной диаграммы упругопластического деформирования, легко определить параметры а и п1 аппроксимации (3.8) (например по методу наименьших квадратов).
Определение параметра у осуществляется численно. Для этого используется ряд экспериментальных значений (ер , Оы) на всей диаграмме деформирования, включая участок неустойчивого деформирования (ниспадающий участок диаграммы). Представляя значение интеграла в (9), например, по формуле прямоугольников, получаем
0
n
g (ep ) =
о-o(eP -ep-i)
ln
0( i-1)
L V
(10)
Зная дискретную зависимость g(ep ) от (ep ), можно построить либо аппроксимацию вида (3.4), либо принять гипотезу g(ep) = const. Далее с помощью зависимости g(ep) по (3.6) можно рассчитать величину истинного напряжения о . Величина A* определяется согласно формуле (5), где e* - пластическая деформация, соответствующая точке разрушения на диаграмме деформирования образца.
После завершения процедуры идентификации параметров модели (1)-(5) можно описать диаграмму упругопластического деформирования в режиме «жесткого» нагружения. Для этого, разрешая уравнение (9) относительно о0 , получим неявную зависимость о0 от eр вида
a
о 0 =-^-
exp
J gо 0dep
V
(11)
Для построения теоретической зависимости О 0 = О 0(ер) в режиме «жесткого» нагружения, уравнение (11) решается численно методом итераций. Для этого отрезок [0, е* ] разбивается на отрезки Аер и на каждом шаге (11) решается численно. После достижения заданной точности на п-ом шаге итерации в точке [у*р, ер ] осуществляется переход к следующей и т.д., пока
не будет пройден весь отрезок [0, е* ].
Соотношение (11) дает теоретическую зависимость для номинальной (условной) диаграммы упругопластического деформирования в координатах О0 — ер .
Перейдем теперь к изложению методики построения стохастической модели на основе базовой модели (1)-(5). Для этого необходимо:
1) ввести гипотезы относительно характера параметров (случайных или детерминированных), входящих в модель (1)-(5);
2) иметь экспериментальную выборку кривых упругопластического деформирования для определения законов распределения случайных функций или параметров стохастической модели;
3) установить вид законов распределения выделенных случайных величин модели.
В соответствии с изложенной схемой построения стохастической макромодели пластичности в базовой модели (1)-(5) часть ее параметров являются детерминированной, другая ее часть - случайной. Поскольку разброс экспериментальных данных в упругой области много меньше, чем в пластичной области, то вводится гипотеза о детерминированности упругой деформации и поэтому полагается, что Е - детерминированная величина. Из оставшихся параметров 1, Опр,
а , п1, у1, т2, А* модели (1)-(5), описывающих процесс пластичного деформирования и разрушения материала, вводится гипотеза: Опр, а , у1, А* - случайные, а 1, пх и т2- детерминированные величины.
Таким образом, если в модели (1)-(5) детерминированные величины О , а , у1, А* заме-
нить на случайные S п стичности:
A , G, RAp, то получим стохастический вариант макромодели пла-
n
e
n
e
p
n
e
. p
e =
p ' о e = e + ep, e =—;
E
0,о ; (12) ГЛ^о-Snp )n - ep (t)], A (о-Snp )n > ep (t),
|_0, A (о-S„p )n < ep (t ),о >Snp;
о = о 0(1 + w); (13)
w = то ep; (14)
g = G(ep )m ; (15)
eS
J о dep = RAp. (16)
0
В частности, если в модели (12)-(16) вместо случайных величин использовать их математические ожидания опр = M[Хпр], a = M[A], g1 = M[G], A* = M[R^], то (12)-(16) дает детерминированный вариант одноосной модели пластичности (1)-(5). С точки зрения механики деформируемого твердого тела гипотеза о случайности величин Sпр, A , G , RPp в модели (12)-
(16) означает, что варьируя эти случайные величины, можно на основании (12)-(16) получить хорошее аналитическое приближение к любой реализации (кривой упругопластического деформирования) вплоть до разрушения.
Исходной информацией для определения параметров модели является серия диаграмм упругопластического деформирования. Методика оценки случайных величин состоит в выполнении следующих этапов (для каждой из экспериментальных реализаций):
1) определяется величина S пр (как точка, отделяющая линейный участок диаграммы упругопластического деформирования от нелинейного);
2) по начальному участку диаграммы определяются величины A и n1 для каждой реализации;
3) по участку с развитой пластической деформацией определяется величина g и аппроксимируется степенной зависимостью (либо принимается гипотеза g = const ); в результате определяются G и m2 ;
4) осредняются величины n1 и m2 ;
5) по начальному участку диаграммы (при малых значениях ep) при n =const определяется величина A для каждой из реализаций;
6) по участку диаграммы с развитой пластичной деформацией определяется величина G из величины g = G (ep ) m2 при найденном значении m 2==const;
7) определяется величина работы разрушения RAp из соотношения (16).
Применительно к экспериментальным данным для сплава АД-1, которые представлены на
рис. 2-4 (значки), применение изложенного алгоритма позволило определить значения
n = 2.24 и m2 = 5.82 и построить выборки случайных величин Sпр, A , G , RAp, значения которых приведены в табл.1. На рис. 2-4 приведены экспериментальные (значки) и расчетные (сплошные линии) по модели (12)-(16) с данными из табл. 1 диаграммы упругопластического деформирования всех 13 образцов. Из этих рисунков видно удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных данных, что свидетельствует о том, что действительно варьированием четырех случайных величин Sпр, A , G , RAp можно хорошо описать любую диаграмму упругопластического деформирования.
Выборки случайных величин X пр, А , О , ЯА
№ по порядку № образца Хпр , МПа А -10"5, МПа -П1 О, МПа- Яр, МДж
1 101 48.17 8.12 1428.82 14.95
2 108 54.64 5.46 294.40 22.72
3 111 60.23 11.87 468.59 20.81
4 112 46.21 6.68 185.87 23.74
5 113 66.71 2.99 230.75 30.32
6 114 47.48 8.82 256.98 23.07
7 115 54.15 5.41 78.38 27.30
8 203 49.44 5.57 4.17 47.67
9 204 56.31 7.01 9.51 38.93
10 206 57.49 8.81 1.99 47.78
11 210 54.15 5.57 2.50 27.27
12 211 59.84 7.99 63.99 26.29
13 212 56.31 8.03 7.44 36.38
ег0 ,МПа
* 101
Ж 108
□ 115
о 210
О 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 £
Р и с. 2. Экспериментальные (значки) и расчетные по модели (12) - (16) (сплошные линии) диаграммы упругопластического деформирования образцов 101, 108, 115, 210 из сплава АД-1 при Т=26°С
,МПа~"
0 о □ □
о *4 □
□
Р и с. 3. Экспериментальные (значки) и расчетные по модели (12) - (16) (сплошные линии) диаграммы упругопластического деформирования образцов 111, 114, 204, 211 из сплава АД-1 при Т=26°С
>1УШСГ I
/ < ж Д-.-н □X
:о
□
, ; о
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 £
* 112
X 113
□ 203
О 206
Л 212
Р и с. 4. Экспериментальные (значки) и расчетные по модели (12) - (16) (сплошные линии) диаграммы упругопластического деформирования образцов 112, 113, 203, 212 из сплава АД-1 при Т=26°С
В табл. 2 приведены значения корреляционной матрицы для случайных величин
X пр, А , О , ЯА . Как следует из этой таблицы величины X пр, А , О являются некоррелированными, а величина ЯА является коррелированной с величиной О (коэффициент корреляции между этими величинами равен - 0.64).
Исходя из данных табл. 1 были приняты нормальные законы распределения для
А , X пр, О .
Выборки случайных величин S пр, A , G , RA
S пр A G Rp A
S пр 1 0.31 0.18 0.17
A 1 0.25 -0.16
G 1 -0.64
Rp A 1
Случайная величина работы разрушения RPA (в силу ее коррелированности с величиной G) задавалась соотношением
RAP = «3(G)"3 + X , (17)
где получено а3 = 1.35 , т3 = —0.13 ; функция X - нормально распределенная случайная функция с нулевым математическим ожиданием: M[X] = 0 и дисперсией Д[Х] = 0.33 , характеризующая «ошибку» аппроксимации (17).
Рассмотрим вопросы использования стохастической модели (12)-(16) в расчетной практике. Хорошо известно, что чисто феноменологическое стохастическое прогнозирование требует большого объема соотвествующей эмпирической информации, получение которой (особенно в области повышенных температур) крайне затруднительно и экономически нецелесообразно. Одним из подходов в механике деформируемого твердого тела, позволяющим восполнить недостающее количество экспериментальных данных, является метод статистических испытаний. В настоящей работе для решения задачи прогнозирования неупругой деформации и разрушения на основании стохастической модели (12)-(16) и проверки соотвествия расчетных и экспериментальных данных используется классический метод статистических испытаний - метод Монте-Карло.
Использование этого метода заключается в следующем. Поскольку случайные величины Sпр, A, G , X некоррелированы, то их значения генерируются независимо, исходя из их нормальных законов распределения, а случайная величина RAP рассчитывается по (17).
Таким образом, алгоритм статистического моделирования деформации пластичности по модели (12)-(16) заключается в выполнении следующих этапов:
1) для каждого варианта выполняется генерация случайных некоррелированных величин S пр, A, G , X , исходя из их нормальных законов распределения, затем вычисляются значения
случайной величины RAp по (17);
2) для каждого набора случайных величин S пр, A, G , Rp осуществляется решение «детерминированной» системы (12)-(16) и строится спектр смоделированных диаграмм упругопластического деформирования;
3) с использованием совокупности смоделированных диаграмм упругопластического деформирования, с заданной вероятностью строятся доверительные интервалы для деформации пластичности и области разрушения образцов.
В качестве примера на рис. 5 приведены экспериментальные диаграммы упругопластичного деформирования для всех 13 образцов из сплава АД-1, а на рис. 6 - смоделированные по 13 реализациям на основе данных из табл. 1 на основании модели (12)-(16) и метода статистических испытаний диаграммы. Как следует из сравнения данных на рис. 5 и рис. 6 без предварительной информации трудно понять, на каком из рисунков представлены экспериментальные данные, а на каком - смоделированные.
Р и с. 5. Экспериментальные диаграммы упру- Р и с. 6. Смоделированные на основании модели гопластического деформирования сплава (12)-(16) диаграммы упругопластического дефор-АД-1 при Т=26°С мирования сплава АД-1 при Т=26°С
На рис.7 и рис.8 приведены доверительные интервалы с вероятностью ( =0.95 для экспериментально полученной и смоделированной деформации пластичности; здесь же приведена с той же вероятностью область разрушения.
Р и с. 7. Доверительный интервал для диаграммы упругопластического деформирования сплава АД-1, построенный по экспериментальным данным (вероятность 0.95)
Р и с. 8. Доверительный интервал для диаграммы упругопластического деформирования сплава АД-1 при Т=26°С, построенный по смоделированным данным (вероятность 0.95)
Полученные результаты свидетельствуют о целесообразности применения стохастических моделей для прогнозирования деформации пластичности.
Стохастическая макромодель пластического деформирования и разрушения при сложном напряженном состоянии. Стохастическую модель для случая сложного напряженного состояния построим аналогично случаю одноосного напряженного состояния. Для этой цели необходимо иметь базовую детерминированную модель и в ней положить часть функций случайными.
В настоящей работе в качестве основной детерминированной модели используется вариант, предложенный в работе [13], который, в свою очередь, получен формальным обобщением детерминированной одноосной модели [14, 15]. Заменяя (аналогично одноосному случаю) в
модели [13] детерминированные параметры ах,ух,Опр, А*Р, описывающие деформацию пластичности, на случайные А, G, Хпр, КА , получим стохастические уравнения неупругого пластического деформирования и разрушения материала вида:
е У= еУ- +ер;
ву =(1 + V )аг]/Е -у8г]акк/Е;
< = ! (Р - 1 (Р + (22 + (3Р3 К;
(18)
/3Р =
ГУУ
А(-Епр )• В - (V ], [...]£ > 0,
[...]В < а пРи || Опп- 2 О |>^п
О У (1 + ю);
(19)
77
w = y{E2 )с jdej, g = g(E2 Г2, (20)
где ej, e{-, ejp - соответственно тензоры полных, упругих и пластических деформаций; sj}-, s j - тензоры истинных и номинальных напряжений; E, V - упругие (детерминированные) константы материала; E2, S, S0 - интенсивности тензоров деформаций, истинных и номинальных напряжений; S пр 5 A , n1, Я, G , т2 - имеют тот же смысл, что и в одноосной модели (12) - (16); bVV - активные пластические деформации, которые можно было бы наблюдать при отсутствии пуассоновского сужения материала.
Следует отметить, что компоненты активной пластической деформации b p рассчитываются в главных осях, поэтому суммирование по повторяющемуся индексу не производится.
В (18) использованы обозначения
B = (!SVV — IS4v| — Srq> )^i'^n(-|sw — |s°SVV ),
S0 = S11 + s22 + s33, (21)
где sign - функция сигнатуры (знака). Остальные обозначения имеют тот же смысл, что и в уравнениях (12) - (16).
Не составляет труда обобщение критерия разрушения (16) для одноосного напряженного состояния на случай сложного напряженного состояния:
* s jdep 1
= 1, (22)
t*
J
Rp
0 1VA
где К* имеет тот же смысл, что и для соотношений (12) - (16).
Таким образом, случайными величинами в модели (18) - (22) являются А, G, Хпр, КАР ; все
остальные параметры - детерминированные. Относительно случайных величин и случайных функций сохраняются все гипотезы, принятые при построении одноосной модели (12) - (16), с заменой номинального напряжения О0 на интенсивность номинальных напряжений 50 .
Следует отметить, что предложенная стохастическая модель (18) - (22) для описания неупругой реологической деформации и разрушения материала не требует дополнительных экспериментальных затрат при сложном напряженном состоянии. Все параметры модели определяются по результатам одноосных испытаний по методике, изложенной в работе [15], при этом достаточно иметь выборку диаграмм упругопластического деформирования.
Моделирование пластической деформации при сложном напряженном состоянии по модели (18) - (22) ведется аналогично одноосному случаю на основе метода статистических испытаний по известным законам распределения для случайных величин А, G, X и КРА .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кузнецов А.А., Алифанов О.Н., Ветров В.И. и др. Вероятностные характеристики прочности авиационных материалов и размеров сортамента. М.: Машиностроение, 1970. 568 с.
2. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. 312 с.
3. ЛомакинВ.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 139 с.
4. Самарин Ю.П. О применении стохастических уравнений в теории ползучести материалов // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. №1. С. 88-94.
5. БиргерИ.А., ШорБ.Ф. и др. Термопрочность деталей машин. М.: Машиностроение, 1975. 456 с.
6. Бадаев А.Н. К вопросу об определении функции распределения параметров уравнения состояния ползуче-
сти // Проблемы прочности. 1984. №12. С. 22-26.
7. Локощенко А.М., Шестериков С.А. Методика описания ползучести и длительной прочности при чистом растяжении // ПМТФ. 198о. №3. С. 155-159.
8. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. М.: Наука. 1997. 228с.
9. Сараев Л.А. Моделирование макроскопических пластических свойств многокомпонентных композиционных материалов. Самара: Самар. гос. ун-та, 2000. 182с.
10. Радченко В.П., Дудкин С.А., Тимофеев М.И. Экспериментальное исследование и анализ полей неупругих микро- и макродеформаций сплава АД-1// Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 2002. Вып. 16. С.111-118.
11. Самарин Ю.П. Стохастические механические характеристики и надежность конструкций с реологическими свойствами//Ползучесть и длительная прочность конструкций. Сб. науч. тр. Куйбышев: КПТИ, 1986.
С.8-17.
12. Радченко В.П., Симонов А.В., Дудкин С.А. Стохастический вариант одномерной теории ползучести и длительной прочности// Вест. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 2001. Вып. 12. С. 73-84.
13. Радченко В.П. Математическая модель неупругого деформирования и разрушения металлов при ползучести энергетического типа // Вест. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 1996. Вып. 4. С. 43-63.
14. Радченко В.П. Энергетический вариант одноосной теории ползучести и длительной прочности // ПМТФ. 1991. №4. С. 172-179.
15. Радченко В.П., Кичаев Е.К. Феноменологическая реологическая модель и критерий разрушения металлов при одноосном напряженном состоянии // Проблемы прочности. 1991. №11. С. 13-19.
16. Радченко В.П., Симонов А.В. Разработка автоматизированной системы построения моделей неупругого деформирования металлов на основе методов непараметрического выравнивания экспериментальных данных// Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 1999. Вып.7. С.51-62.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ №03-01-00448.
Поступила 19.07.2003 г.
