CC BY
3ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N4, 2009 Электронный журнал, рег. МП2375 от 07.03.97 ISSN 1817-2172
http://www. neva. ru/journal http://www. math. spbu. ru/diffjournal/ e-mail: jodiffWmail.ru
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений
ФАЗОВЫЕ ПОТОКИ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА КУБИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КРУГЕ ПУАНКАРЕ. Щ 1
А. Ф. Андреев, И. А. Андреева 2
Продолжаем начатое в одноименных статьях, части 1,11,III [2,3,4], исследование поведения траекторий динамической системы
dx о о 2 3 / \
— = pox + Pix y + poxy + Рзу = X(x,y),
dy <ол)
— = ax2 + bxy + cy2 = Y(x, y),
dt
где p0, ..., p3, a, b, c (e R) — параметры, подчиненные лишь условию: фор-
X(x, y) Y(x, y) отображения траекторий системы в круг Пуанкаре [5].
В части I [2] мы выявили все возможные для (0.1) топологические типы (Т-типы) ее конечной особой точки 0(0,0) и указали их коэффициентные критерии. В части II [3] сделано то же самое для каждой из ее бесконечно удаленных особых точек (БО-точек). В части III [4] для каждого случая системы (0.1), характеризующегося 1) фиксированной парой (m,n), где m (n) — число прямых, па которых x = 0 (соответственно y = 0), и 2) фиксирован-
m + n
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации по поддержке ведущих научных школ (НШ-954.2008.1) и РФФИ (08-01-00346), НИИММ им. акад. В.П.Смирнова СПбГУ.
2 © А. Ф. Андреев, И. А. Андреева, 2009
О в (+)-направлении, мы описали Т-типы всех существующих у нее в этом случае особых точек.
В настоящей IV части (которая в свою очередь будет состоять из нескольких частей) мы для каждого из рассмотренных в III части случаев строим (в описательной форме) фазовый портрет (ФП) системы в круге Пуанкаре Л, если этот портрет имеет определенный вид, все возможные его варианты — в противном случае. В настоящей IV части мы по-прежнему считаем, что в системе (0.1) первое ненулевое из чисел р3, ... р0 и первое ненулевое число из чисел с, Ь, а положительны, а также используем понятия и обозначения, введенные в частях I III. и полученные в них результаты.
§ 0. Методика исследования
0.1. Некоторые определения. Введем для системы (0.1) несколько новых понятий.
0.1.1. Топодинамический тип (ТД-тип) особой точки. Для конечной особой точки 0(0,0) это понятие вводится так. Слово Ао, определяющее Т-тип точки О (см. часть I), т.е. слово из букв N Б, фиксирующее круговой порядок следования (при обходе точки О в +-направлении) пучков О-кривых системы узлового (Ж) и седлового (Б) типов модифицируется: каждый из символов Ж, Б в нем снабжается правым верхним индексом + или —, смотря по тому состоит ли соответствующий ему пучок из 0+-кривых или из О--кривых. Получающееся при этом слово А о трактуется как слово, определяю-
О,
каждый из его символов N ±, Б ± — ТД -типом соответствующего ему пучка О
Для произвольной ВО-точки это понятие вводится аналогично. Так, для любой БД-точки Ог(и^, 0), щ € К, роль исходного сл ова А о играют слова А±, определяющие Т-тип точки О^ (см. часть II [3]), роль О+(—^-кривых — О^-кривые, не лежащие па оси г = 0 и п^имыкаюгцие к О^ с возрастайием £ (с убыванием £). Получающиеся слова А± и определяют ТД-тип точки О^.
Для любой точки О^ нам будет полезна и модификация каждого из слов А± , состоящая в следующем: каждый из символов N±, Б± в нем дополняется еще и правым нижним индексом + (—), если соответствующий ему пучок О^-кривых примыкает к точке О^ из области и > щ (щ < щ), ще и = -. Для слов, полученных в результате этой модификации, сохраняются прежние обозначения и названия. Требующиеся для нее индексы имеются в таблицах части II [3].
0.1.2. Бездорожная карта (БД-карта) системы. Это графическая схема, которая строится следующим образом.
1) В круге изображается иоле направлений системы: отмечаются ее особые точки, проводятся образы изоклин нуля и бесконечности ее траекторий, указываются стрелками направления векторного поля в областях между этими ^изоклинами^ и на границе Г круга 1 между БО-точками.
2) Возле каждой особой точки изображаются примыкающие к ней пучки полутраекторий системы с указанием их ТД-типов: каждый из пучков типа Б + (Б-) изображается одной дугой со стрелкой, обращенной к точке (от точки), каждый из пучков типа N + (М-) — двумя-тремя такими дугами. Для пучков БО-точек О{(щ, 0) эти дуги располагаются в области, указываемой нижним индексом пучка, если таковой у него существует, симметрично относительно направления и = щ — в противном случае.
0.1.3. Максимальная простая инвариантная ячейка (МП-ячейка) круга 1. Это инвариантная для системы область круга!, в которой поток системы имеет лишь один источник и лишь один сток и которая не является собственной подобластью другой такой области.
0.2. Программа исследования
Каждый из случаев системы (0.1), которые нам предстоит рассмотреть, мы изучаем по следующей общей программе.
0.2.1. Для фиксированного случая составляем перечень особых точек системы и выясняем ТД-тип каждой из них. Делаем это на основании результатов частей I, II [2,3] и оформляем в виде слова А о и таблицы ТД-типов БО-точек.
Поскольку ТД-типы БО-точек зависят от знаков вещественных корней полиномов Р(и), Q(и) (см. § 1), для каждого случая возникает ряд подслучаев и мы переходим к их поочередному исследованию.
0.2.2. Для фиксированного подслучая, используя ТД-типы особых точек системы, составляем перечень их сепаратрис и строим БД-карту системы. По ней выясняем глобальное (при всех £) поведение каждой из сепаратрис: для а (ш)-сепаратрисы особой точки ищем ее ш (а)-предельную точку.3 При этом мы руководствуемся правилом, которое (в автодорожных терминах) формулируется так: начав движение от особой точки О' то ее а-сепаратрисе Б- и попав по выходе из малой окрестности этой точки па ^бездорожье^ (где
3См. ниже замечание 0.1 по этому поводу.
^дороги^ (сепаратрисы) нам и предстоит прочертить), двигаемся, воспринимая указатели направления векторного поля как предписывающие знаки, а символы ТД-типов пучков N +, Б + особых точек — как знаки разрешенных парковок; начав движение от точки О' по ее ¡¡-сепаратрисе Б+, на ^бездорожье^ двигаемся, воспринимая те же символы в противоположном смысле. Траектория этого движения от старта до парковки и есть возможное максимальное продолжение исходной сепаратрисы.
Если все сепаратрисы ведут себя однозначно (каждая из них имеет фиксированную для данного подслучая пару предельных точек), то они осуществляют вполне определенное разбиение круга Л на МП-ячейки, число которых равно числу различных сепаратрис. В противном случае получается несколько вариантов такого разбиения.
0.2.3. Для данного подслучая составляем перечень МП-ячеек круга Л, для каждой из них описываем границу, указываем источник и сток. Границу ячейки описываем словом из обозначений ее граничных сепаратрис, перечисленных в порядке, соответствующем положительному обходу ячейки по ее границе; участки границы, лежащие на Г, опускаем.
0.2.4. Результат исследования любого подслучая каждого случая оформляем в виде таблицы, описывающей поведение сепаратрис и вид МП-ячеек для него (или в виде нескольких возможных ее вариантов). Эта таблица представляет собой описательный фазовый портрет (ФП) системы (0.1) в круге Пуанкаре Л для этого ее подслучая (или его вариант). Построить по ней обычный графический ФП системы и наоборот — минутное дело.
Замечание 0.1. Система (0.1) не имеет предельных циклов (ни обыкновенных, ни особых), ибо при наличии такого цикла для индекса Пуанкаре I (О) единственной конечной особ ой точки О системы (0.1) должно было бы выполняться равенство I(О) = 1. В действительности же для системы (0.1) всегда I(О) = 0. Это па основании части I дает формула Бендиксона для индекса Пуанкаре изолированной особой точки О I(О) = 1 + , где е — число эллиптических секторов, Н — число гиперболических секторов, примы-О
§ 1. (т, п) = (3, 2).
Условия § 1 означают, что для системы (0.1)
Р(и) = X(1,и) = р3(и — и:)(и — и2)(и — и3), р3 > 0, и1 < и2 < и3,
0(и) = У(1, и) = с(и — <1)(и — <2), с> 0, д! < <22, и = УУ г,з
При этих условиях образы изоклин бесконечности траекторий системы (0.1) в круге Пуанкаре Л суть его диаметры О—О+, г = 1,3, образы изоклин нуля —
диаметры 0—0+, з = 1, 2, где О+(—)(иг, 0), , 0) € Г+(—) := Г|ж>о(ж<о).
Ее особыми точками в Л (согласно частям 1,11) являются конечная особая точка О(0, 0) и БО-точки О±(щ, 0), г = 0,3, и0 = 0.
При условиях §1 для корней полиномов Р(и), 0(и) существует шесть случаев последованпя по возрастанию, попарно независимых в смысле определения III.6.1, т.е. не переходящих друг в друга при замене в системе (0.1) (£,у) ^ (—£, —у) и изменении нумераций корней полиномов Р, 0 па обратные. Таковы, например, нижеследующие случаи 1.1-1.6. Их мы изучаем в этом параграфе по программе пункта 0.2.
1.1. Случай и < и2 < и3 < д! < д2.
О1
описывает слово А о = Б0Б1ЖБ2, где Б0, Б1 и Б2 — седловые п учки О-кривых
ОО ОО0 (х = 0,
у < 0? О0+ и О0— соответствепно, N — узловой пучок О-кривых системы. Из этого следует: Б0 есть ¡¡-сепаратриса точки О, Б1 и Б2 — ее а-сепаратрисы,
О
Ао = Б+Б—N—Б—. (1.1.0)
Т-тппы БО-точек Ог, г = 0,3, указаны в замечании 111.0.2 и в таблице III.6.12. Но эти точки суть особые точки системы (11.2.1) па оси г = 0. Из
рассмотрения этой системы и следует, что У г € {0, ... , 3} ТД-тип точки Ог в зависимости от знака числа щ описывается словами А± , указанными в таблице 1.1.0. Символы N±, Б± в этих словах, как правило, снабжены и нижними знаковыми индексами, смысл которых указан в п. 0.1.
Таблица 1.1.0. ТД-типы БО-точек в случае 1.1.
Подслучай А+н А+(-) А+(-) л2 А+(-)
1 0 <щ N1 (М-) ^ (Б-) Б+ (Щ) N+ (Б-
2 щ = 0 N1 (0) _ Б+ (N-) N+ (Б-
3 щ < 0 <и2 (#+) ^ (Б+) Б+ N+1+ (Б-
4 щ = 0 0 N М-) ^ (Б+) _ К (Б-)
5 и2 < 0 <и3 N1 (М-) ^ (Б+) Б- (N+) N+ (Б-
6 и- = 0 N1 ^ (0) ^ (Б+) Б- (N1) _
7 и3 < 0 < д\ N1 N) ^ (Б+) Б- (Л/+) N- (Б+)
8 (1 < 0 т (т) N1Б+ Б- (Л+) N1 (Б+)
Как видно из таблицы 1.1.0, в случае 1.1 мы различаем восемь подслучаев с различными наборами ТД-типов БО-точек в любых двух из них. Реализуем для каждого из этих восьми подслучаев пп. 2-4 программы 0.2. Для этого введем одно новое обозначение.
Пусть Б+(-) := Бо+(-) — сепаратриса БО-точки О+(~\ % = 1,3.
Для любого из подслучаев 1,3, 5, 7,8 список сепаратрис особых точек имеет вид:
Бо, Б2, Б+, Б-- , Б-- , (1.1.1)
в подслучаях 2,4 и 6 одна из них отсутствует. Как показывает дальнейшее исследование, возможно совпадение некоторых двух из сепаратрис (1.1.1).
Подслучай 1.1.1: 0 < щ. В этом подслучае любая а (ш )-сепаратриса любой особой точки системы (0.1) имеет определенную а (ш)-предельную точку (ведет себя однозначно), все сепаратрисы (1.1.1) различны и разбивают круг 1 на МП-ячейки % = 1,6. Этот общий вывод конкретизирует таблица 1.1.1.
Таблица 1.1.1. ФП для подслучая 0 <п\.
^ч Столбец 1 2 3 4 5 6
Строка \ ) — Лг д Лг Источник —У Сток
1 $0 — о Л1 с с с+ о+ — о+
2 30 О+ — о+ 4° о+ — о+
3 $1 о — о+ Лз $2$1 О — О+
4 $2 о — о+ Л4 $0$2$з о+ — о+
5 $3" О" — о+ Лв $3 $1 О" — О+
6 О" — О+ Лб О" — О+
Замечание 1.1. Ниже в каждой из таблиц, описывающих ФП системы, в целях экономии места мы опускаем "шапку таблицы "(которая содержит нумерацию и названия столбцов), ибо она стандартна.
Подслучай 1.1.3: и1 < 0 < и2. В этом подслучае поведение сепаратрис $2, б1-" и неоднозначно: они по одному разу пересекают полуось у = 0, х < 0, причем, если это происходит при значениях х, скажем, х2, х" и х" соответственно, то х" < х2, для х" возможно любое из следующих равенств-неравенств: 1) х" < х", 2) х" = х", 3)х" < х" < х2, 4) х" = х2, 5) х" < х", а каждому из последних пяти равенств-неравенств соответствует свой определенный вариант взаимного расположения сепаратрис (1.1.1). Следовательно, подслучай 1.1.3 распадается па подподслучаи 1.1.3^, к = 1, 5. Для любого из них ФП описывает таблица с тем же номером.
Таблица 1.1.31. ФП для подподслучая х- < х-.
1_5 Как в таблице 1.1.1 с заменами 0+ о 0+
6 О" — О" Лб О" — О"
Таблица 1.1.3з. ФП для подподслучая х3 < Х- < Х2.
1 $0 о+ ^ о с с+ с о+ ^ о+
2 о+ ^ о+ 4+ о+ ^ о+
3 $1 о ^ о+ $1$2 о ^ о+
4 $2 о ^ о+ $0 о+ ^ о+
5 о+ ^ о- $1 $3 о+ ^ о-
6 $з- о- ^ о- $3- о- ^ о-
Таблица 1.1.З5. ФП для иодподслучая Х2 < Х- .
1,2,6 См. таблицу 1.1.3з.
3 $1 о ^ о+ ^3 $1 iS'l о ^ о+
4 о ^ о- 51 $2 о ^ о-
5 $2 о ^ о- ^5 $2$3 $0 о+ ^ о-
Таблица 1.1.32. ФП для иодподслучая х- = х:
1_3 См. таблицы 1.1.31,з.
4 $2 о ^ о+ ^4 $0 о+ ^ о+
6 $3 = о3- ^ о- ^6 о- ^ о+
Таблица 1.1.34. ФП для подподслучая Х- = Х2.
1,2,6 См. таблицы 1.1.З3 5
3 о ^ о+ ^3 /1/2 о ^ о+
5 .2 = б*- о ^ о- ^5 /2/3 /о о+ ^ о-
В подподслучае 1.1.32 = 0, в подподслучае 1.1.34 = 0.
Подслучай 1.1.5: и2 < 0 < и3. Для сепаратрис /2, б1- и 53~ возможны те же пять вариантов взаимного расположения, что и в подслучае 1.1.3^ подслучай 1.1.5 также распадается па пять подподслучаев: 1.1., к = 1, 5. Фазовые портреты системы для них описывают одноименные таблицы, причем V к Е {1,..., 5} таблица 1.1.5к получается из таблицы 1.1.3к 1) заменой ее второй строки строкой
2 /0 (О /0 о+ ^ о+,
2) перестановкой в ней символов О0 ^ 02 .
Подслучай 1.1.7: и3 < 0 < д1. Поведение /2, б1-2 и б— неоднозначно: как и в подслучаях 1.1.3, 1.1.5 они пересекают полуось у = 0, х < 0, при значениях х : х2, х- и х-, но теперь х- < х-, а для х2 возможно любое из равенств-х1- < х2, х2 = х1-, х3- < х2 < х1-, х2 = х3-, х2 < х3-^ подслучай 1.1.7 также распадается на пять подподслучаев: 1.1., к = 1, 5, но последние определяются иными, чем в подслучаях 1.1.3,1.1.5 условиями. Фазовые портреты системы для них описываются одноименными таблицами.
Таблица 1. 1 .7ь ФП для подподслучая х- < Х2.
1,2,6 См. таблицу 1. 1.7з.
3 /1 о ^ Оо+ ^3 /1/2 о ^ о+
4 /2 о ^ о+ 52£)1 /о о+ ^ о+
5 о+ ^ о- ^5 53 о+ ^ о-
Таблица 1.1.7з. ФП для подподслучая х3 < Х2 < Х- .
1 $0 о+ ^ о с 5+ с о+ ^ о+
2 о+ ^ о+ 4+ о+ ^ о+
3 $1 о ^ о+ $1 о ^ о+
4 о ^ о- $2 о ^ о-
5 $2 о ^ о- $2$3 $0 о+ ^ о-
6 о+ ^ о- $3- о+ ^ о-
Таблица 1.1.75. ФП для подподслучая Х2 < х:
1_3 См. таблицу 1.1.7з.
4 о ^ о- ^4 $3 о ^ о-
5 о ^ о- $3 $2 о ^ о-
6 $2 о ^ о- ^6 $2$0 о+ ^ о0-
Таблица 1.1.72. ФП для подподслучая Х- = Х2.
1,2,6 См. таблицы 1.1.71,з
3 $1 о ^ о+ со $1$2 о ^ о+
5 $2 = о ^ о- ^5 $2$3 $0 о+ ^ о-
Таблица 1.1.74. ФП для подподслучая Х2 = х
1-3 См. таблицы 1 . 1.7з,5
4 О ^ о- ^4 »2 О ^ о-
6 »2 = »з о ^ о- »2»0 о+ ^ о-
В подподслучае 1.1.72 = 0, в подподслучае 1.1.74 = 0.
Подслучай 1.1.8: ^ 0. Все сепаратрисы (1.1.1) присутствуют, различны и ведут себя однозначно. Фазовый портрет системы описывает таблица 1.1.8, совпадающая с таблицей 1.1.75.
Обращаемся к подслучаям 2,4,6 случая 1.1. В каждом из них одна из сепаратрис (1.1.1) отсутствует.
Замечание 1.2. В некоторых из случаев 1.1-1.6 таблица, описывающая фазовый портрет системы для подслучая вида и = 0, г € 1, 3, может быть получена из одной из ФП-таблиц для соседнего подслучая простейшей его деформацией: удалением одних ее фрагментов, заменой других. При реализации этой идеи будем первую из названных таблиц трактовать как искомую, вторую — как базовую для первой.
Подслучай 1.1.2: и1 = 0. Сепаратриса (»9- отсутствует, остальные пять различны и ведут себя однозначно. Таблица 1.1.2 (ФП для подслучая и1 = 0) получается деформацией любой базовой для нее таблицы согласно строке 1 таблицы 1.1.9.
Подслучай 1.1.4: и2 = 0. отсутствует. Для »2, »-и »З- возможны те же варианты взаимного расположения, что и в поделучаях 1.1.3, 1.1.5 ^ подслучай 1.1.4 распадается па пять подподслучаев: 1.1.4^, к = 1, 5. Итоговая таблица для любого из последних получается деформацией любой базовой для нее таблицы (см. таблицу 1.1.9, строка 2).
Подслучай 1.1.6: и3 = 0. б- отсутствует. Для »2 и б1- возможны следую-
щие варианты взаимного расположения (в обозначениях из подслучая 1.1.3):
1) х- < х2, 2) х- = х2, 3) х2 < х-; они порождают для подслучая 1.1.6 под-подслучаи 1.1.6к, к = 1,3. V к € {1, 2,3} итоговая таблица 1.1.получается деформацией любой базовой для нее таблицы (см. таблицу 1.1.9, строка 3).
Таблица 1.1.9. ФП для подслучая щ = 0, г = 1, 3.
Искомая таблица Базовая таблица Деформация базовой таблицы
Удаляемые фрагменты Замена
1.1.2 1.1.1,1.1.3.1 Строка 6, символ в строке 5 О1 ^ Оо
1.1.4л (к = 1, 5) 1.1.3л, 1.1.5л Строка 2, символ 5+ в строке 1 О2 ^ Оо
1.1.6л (к = 1, 3) 1.1.5л+2,1.1.7л Строка 6, символ 5— в строке 5 Оз ^ Оо
1.2. Случай и < д! < < и2 < и3.
Действуем по программе пункта 0.2. Сначала находим: ТД-тип точки О имеет вид (1.1.0), ТД-типы БО-точек — вид, указанный в таблице 1.2.0.
Таблица 1.2.0. ТД-типы БО-точек в случае 1.2.
Подслучай а+(-) А+(_) А+(_)
1 0 < и1 N1 (Я-) N1 (5'-) 5+ (N+7) N+1+ (5-)
2 и1 = 0 N1 (0) _ 5- №) ^ (5-)
3 и1 < 0 <31 ЯГ (5+) 5- (Л-) N+1+ (5-)
4 31 < 0 < 32 (Я+) N1 (5+) 5+ (N+7) N+1+ (5-)
5 32 < 0 < М2 N1 (5+) 5+ (^) ^ (5-)
6 М2 = 0 0 ) N.1 (5+) _ N+1+ (5-)
7 и2 < 0 < и3 N1 (Я—) N.1 (5+) 5- (М) ^ (5-)
8 из = 0 Я— ^ (0) N7 5+ _
9 и3 < 0 (N1) N7 5+ (N+5 N1 (5+)
Далее изучаем подслучаи случая 1.2. Начинаем с подслучаев 1,3-5,7,9. Для каждого из них список сепаратрис особых точек, как следует из ТД-
типов последних, имеет вид
$0, 5*1, $2, $+, , $3 . (1.2.0)
Подслучай 1.2.1: 0 < и1. Глобальное поведение всех сепаратрис однозначно. Они разбивают круг О на шесть МП-ячеек. Фазовый портрет системы описывает таблица 1.2.1.
Таблица 1.2.1. ФП для подслучая 0 < и.
1 50 Оо+ ^ О О1 о+ ^ О+
2 О ^ О+ О2 О ^ О+
3 4+ О ^ О+ Оз О ^ О++
4 0 См. таблицу 1.1.1.
Подслучай 1.2.3: и1 < 0 < Для сепаратрис и возможны те
же пять вариантов взаимного расположения, что и в подслучае 1.1.3. Возникают подподслучаи 1.2.3&, к = 1, 5. Результаты их исследования содержат таблицы 1.2.31,... , 1.2.35.
Таблица 1.2.31. ФП для иодподслучая х- < х-.
1 4 Как в таблице 1.2.1 с 0+ ^ 0+
5,6 Как в таблице 1.1 .З1.
Таблица 1.2.З3. ФП для иодподслучая х3 < х- < Х2.
1, 2, 6 Как в таблице 1.2.З5.
3 $2+ О ^ О+ Оз О ^ О++
4 $2 О ^ Оз О4 О+ ^ О++
5 О+ ^ ОГ О5 $1 $3 О+ ^ ОоГ
Таблица 1.2.З5. ФП для подподслучая Х2 < Х- .
1 50 о+ ^ о 5о51 о+ ^ о+
2 51 о ^ о+ 515)2+ о ^ о+
3 о ^ о+ 5+5- о ^ о+
4 о ^ о- 5- 52 о ^ о-
5 52 о ^ о- 52/.)з 5о о+ ^ о-
6 о- ^ о- о- ^ о-
Таблица 1.2.З2. ФП для подподслучая Х- = х:
1_3 Как в таблицах 1.2.3х,э
4 52 о ^ о+ ^4 525-|_ 5о о+ ^ о+
6 5- = ^^з о3- ^ о- ^6 ¿Г о- ^ о-
Таблица 1.2.З4. ФП для подподслучая Х- = Х2.
1,2,6 Как в таблицах 1.2.3з,5
3 4+ о ^ о+ со 5+52 о ^ о+
5 5- = 52 о ^ о- ^5 525З 5о о+ ^ о-
В подподслучае 1.2.32 = 0, в подподслучае 1.2.34 = 0.
Подслучай 1.2.4: ^ 0 ^ д2. Поведение всех сепаратрис определённо. Фазовый портрет системы описывает таблица 1.2.35.
Подслучай 1.2.5: д2 < 0 < и2. Поведение сепаратрис 51 и 5+ неоднозначно. Они по одному разу пересекают полуось у = 0, х > 0, но для абсцисс х1 и х+ точек пересечения возможны варпанты: 1) х+ < х1, 2) х1 = х+, 3)
Х1 < Х+ . Возникают подподслучаи 1.2.5к, к = 1,3. Результаты их исследования излагаются в одноименных таблицах.
Таблица 1.2.51. (ФП для подподслучая х+ < Хх) совпадает с таблицей 1.2.35.
Таблица 1.2.5з. ФП для подподслучая Ж1 < ж+.
1,2 Как в таблице 1.1.1 с 0+ ^ 0+
3 5х о ^ о+ ^3 -15- о ^ о+
4 0 Как в таблице 1.2.З5.
Таблица 1.2.52. ФП для подподслучая Х1 = ж+.
1 5о о+ ^ о 5о—1 0+ ^ Оо2
3 —1 = 5+ о ^ о+ ^3 о ^ о+
4 0 Как в таблицах 1.2.51,3.
В подподслучае 1.2.52 = 0.
Подслучай 1.2.7: и2 < 0 < и3. Все сепаратрисы ведут себя однозначно. Фазовый портрет системы описывает таблица 1.1.55.
Подслучай 1.2.9: и3 < 0. Поведение всех сепаратрис определенно. Итоговый результат дает таблица 1.2.9.
Таблица 1.2.9. ФП для под случая из < 0.
1_5 Как в таблице 1.1.55 с 0+ ^ 0+
6 5— о+ ^ о3- 5- о+ ^ оо-
Переходим к изучению подслучаев 2, 6, 8 случая 1.2 (см. таблицу 1.2.0). В каждом из них система имеет лишь пять сепаратрис: из списка (1.2.0) в подслучае 2 исчезает , в под случае 6 — 5+, в под случае 8 — -5^3". Итоговые
таблицы для этих иодслучаев получаются из базовых для них таблиц (см. замечание 1.2) по схеме, указанной в таблице 1.2.10.
Таблица 1.2.10. ФП для подслучая щ = 0, г = 1, 3.
Искомая таблица Базовые таблицы Удаляемые фрагменты Замена
1.2.2 1.2.1, 1.2.31 Строка 6, символ 5- в стр. 5 о1 ^ оо
1.2.6 1.2.53, 1.2.7 Строка 2, символ 5+ в стр. 1 о2 ^ оо
1.2.8 1.2.7,1.2.9 Строка 6, символ 5- в стр. 5 оз ^ оо
1.3. Случай и < < и2 < и3 < д2.
о
цей 1.3.0.
Таблица 1.3.0. ТД-типы БО-точек в случае 1.3.
Подслучай А+(-) А+(-) А+(г)
1 0 < и1 Л- (Л-) Л++ (5-) Л- (5+) 5- (Л++)
2 и1 = 0 Л- (0) _ Л- (5+) 5- (Л++)
3 и1 < 0 < и2 Л+ (Л+) Л- (Я+) Л- (5+) 5- (Л++)
4 М2 = 0 N0 (0) Л- (Я+) _ 5- (Л++)
5 и2 < 0 < и3 Л- (Л-) Л- (Я+) Л+ (5-) 5- (Л++)
6 из = 0 0 (Л- Л+) Л- (Я+) Л+ (ад _
7 и3 < 0 Л+ (Л+) Л- (Я+) Л+ (5-) 5+ (Л-)
Мы различаем в этом случае семь подслучаев. В каждом нечетном из них система имеет шесть сепаратрис:
5о, 51, 52, ¿>1 , 52 , 5+, (1.3.1)
в каждом четном — одна из этих сепаратрис отсутствует: в подслучае 2 отсутствует б1-, в подслучае 4 — 5-, в подслучае 6 — 5+. В любом подслучае
сепаратрисы ведут себя однозначно. Фазовые портреты для подслучаев случая 1.3 описывают таблицы 1.3.к, к = 1, 7.
Таблица 1.3.1. ФП для подслучая 0 < щ.
1,5,6 Как в таблице 1.3.3 с 0+ ^ 0+.
2 51 О ^ О+ О ^ О+
3 ¿Г ОГ ^ О+ О- ^ О+
4 53+ О3+ ^ О+ ¿3+ О+ ^ О+
Таблица 1.3.3. ФП для подслучая щ < 0 < и3.
1 5о О+ ^ О ¿0^1 О+ ^ О+
2 ¿1 О ^ О0+ С С+ С Г О ^ О+
3 ¿3+ О3+ ^ О0+ О+ ^ О+
4 ¿Г О ^ О Г ¿Г ¿2 О ^ О0Г
5 ¿Г О ^ ОГ О ^ О3-
6 ¿2 О ^ ОГ ¿2^0 О+ ^ ОГ
Таблица 1.3.5. ФП для подслучая и2 < 0 < из.
1-3,6 Как в таблице 1.3.3 с 0+ ^ 0+.
4 ¿Г О ^ ОГ ^4 ¿Г ¿2 О ^ ОГ
5 ¿Г ОГ ^ ОГ ^5 ¿Г О0Г ^ ОГ
Таблица 1.3.7. ФП для под случая из < 0.
1.4 6 Как в таблице 1.3.5 с О° ^ О- .
2 51 О ^ О+ ^2 515)+ О ^ О+
3 5+ О ^ О+ ^3 О ^ О+
Таблица 1.3.2. ФП для подслучая и = 0.
1,3,5,6 Как в таблице 1.3.3 с О1 = О0.
2 51 О ^ О+ ^2 С С+ С - 5153 52 О ^ О0+
Таблица 1.3.4. ФП для подслучая и2 = 0.
1-3,6 Как в таблицах 1.3.3, 1.3.5 с О2 = О0.
4 5- О ^ О - ^4 5- ^2 О ^ О-
Таблица 1.3.6. ФП для подслучая из = 0.
1.4 6 Как в таблицах 1.3.5, 1.3.7 с О3 = О0.
2 51 О ^ О+ ^2 51 »Б'1 О ^ О+
В подслучае 1.3.2 = 0, в под случае 1.3.4 = 0, в подслучае 1.3.6
^3 = 0.
1.4. Случай и < < и2 < q2 < и3.
ТД-тип точки О имеет вид
Ао = 5+5-5+(50)-Ж1-№,
где 50, 5^ 52, 50 — сепаратрисы точки О, примыкающие к ней по направлениям ОО° (х = 0, у < 0), ОО+ (х = 0, у > 0) соответствен-
но, N1, N2 — узловые пучки О-крнвых, примыкающие к О по направлениям О^О^Г. ТД-типы БО-точек описывает таблица 1.4.0.
Таблица 1.4.0. ТД-типы БО-точек в случае 1.4.
Подслучай А+Н А+(-) А+Н С +(г)
1 0 < и1 N3 (N3) N1 (БГ) N+- (¿Г) № (¿г)
2 и1 = 0 N3 (0) _ N+- (¿Г) № (¿г)
3 и1 < 0 < и2 (NГ) N3 (Б+) N+- (¿Г) № (¿г)
4 М2 = 0 N1 N3 (0) N3 (Я+) _ № (¿г)
5 и2 < 0 < и3 N " (NГ) N3 (Я+) № (£+) № (¿г)
6 М3 = 0 N1 N3) (0) N3 (Я+) № (£+) _
7 и3 < 0 N° (№) N3 (Я+) № (£+) N3 (-9+)
Замечание 1.3. Из шести случаев системы (0.1), которые мы изучаем в § 1, два случая (4 и 6) обратимы в смысле определения III.6.1: при замене в (0.1) (£,у) ^ ( £, г у) и изменении нумераций корней полиномов Р, Q па обратные каждый из них переходит в себя (это видно и из таблиц 1.4.0 и 1.6.0). Поэтому для каждого из них нам достаточно изучить лишь первую (или вторую) половину его подслучаев. Результаты для остальных легко получить, используя свойство обратимости случая.
Следуя замечанию 1.3, изучаем лишь подслучаи 1-4 случая 1.4. В под-случаях 1 и 3 сепаратрисы особых точек системы суть
с с с с0 С_
¿0, ¿1, ¿2, О , ¿1 , ¿2 , ¿3 ,
в подслучае 2 отсутствует б1-, в подслучае 4 — б1-. В любом из этих подслучаев поведение всех сепаратрис однозначно. Фазовый портрет системы для них описывают таблицы 1.4.к, к = 1,4.
Таблица 1.4.1. ФП для подслучая 0 < щ.
1-3,6,7 Как в таблице 1.4.3 с 0+ ^ 0+.
4 50 о ^ о+ ^4 сЮ А- А- о ^ о+
5 о- ^ о+ о- ^ о+
Таблица 1.4.3. ФП для подслучая щ < 0 < из.
Подслучай А+Н А 0(-) А о(-) А о(-)
1 50 о+ ^ о о+ ^ о+
2 о ^ о+ о+ ^ о+
3 52 о+ ^ о 5250 о+ ^ о+
4 50 о ^ о+ 5 05- о ^ о+
5 о ^ о- о ^ о-
6 о ^ о- 52 53 о ^ о
7 о ^ о- 53 50 о+ ^ о
Таблица 1.4.2. ФП для подслучая щ = 0.
1-3,6,7 Как в таблицах 1.4.1,1.4.3 с01 = О0.
4 50 о ^ о+ ^4 5 052- о ^ о+
Таблица 1.4.4. ФП для подслучая = 0.
1-4,7 Как в таблице 1.4.3 с 02 = О0.
5 о ^ о- ^5 о ^ о
В подслучае 1.4.2 О5 = 0, в подслучае 1.4.4 = 0.
1.5. Случай и < и2 < ql < и3 < q2.
ТД-тип особой точки О имеет вид
Ао = (1.5.0)
где 5°, 5°, 51, 52 — сепаратрисы точки О, примыкающие к ней соответственно по направлениям ОО° (х = 0, у < 0), ОО+ (х = 0, у > 0), О^-, Оф-, N1, N2 — узловые пучки О-кривых, примыкающие к О по направлениям О^2 . ТД-типы БО-точек имеют вид, указанный в таблице 1.5.0.
Таблица 1.5.0. ТД-типы БО-точек в случае 1.5.
Подслучай А+Н А+(-) А+(-) А+(")
1 0 < и1 N1 (N1) N1 (5'-) (№-) я- )
2 и1 = 0 N1 N1+ (0) _ 5-
3 и1 < 0 < м2 (N2) N1 (5+)
4 М = 0 0 (N2 Я-) N1 (5+) _
5 м2 < 0 < мз N- (N-) N3 (5+) (^)
6 из = 0 0 (N1 N1) N3 (5+) (^) _
7 из < 0 < <2з N2 (N2) N1 (5+) (^) (ЛГ)
8 42 ^ 0 ^ (^) N_- (5+) №) ТО
В каждом из подслучаев 1,3, 5, 7,8 система имеет сепаратрисы
5°, 51, 52, 5°, 51 . (1.5.1)
В подслучаях 1,3,5 все они различны, ведут себя однозначно и разбивают круг О на семь МП-ячеек (см. таблицы 1.5.1, 1.5.3, 1.5.5).
Таблица 1.5.1. ФП для подслучая 0 < щ.
1,2,4,6,7 Как в таблице 1.5.3 с 0+ ^ 0+.
3 5+ 0+ ^ О ^3 О—^ О
5 5— О— ^ О с— с с0 51 515 О—^ О
Таблица 1.5.3. ФП для иодслучая щ < 0 < и2.
1 50 О+ ^ О о с+ 50^2 53 О+ ^ О
2 О+ ^ о+ 5?+ О+ ^ о+
3 5+ О3+ ^ О С— <^0 53 51 515 О—^ О
4 50 О ^ О 50 О ^ О
5 5— О— ^ О— 5— О— ^ О—
6 51 О—^ О 5152 О— ^ О—
7 52 О ^ о— 5052 О+ ^ О—
Таблица 1.5.5. ФП для иодслучая < 0 < из.
1 50 О+ ^ О 505+ О+ ^ О
2 5+ О+ ^ О ^2 с+ с+ °2 53 о+ ^ О
3-7 Как в таблице 1.5.3
В подслучае 7 сепаратрисы 5ю и 5+ ведут себя неоднозначно. Они по одному разу пересекают полуось у = 0, х > 0, скажем, в точках с абсциссами х0, х+, для которых возможны варианты последования: 1) х0 < х+ ,2) х0 = х+, 3) х+ > х°. Возникают подподслучан 1.5.7&, к = 1, 3. Фазовые портреты для них описывают одноименные таблицы.
Таблица 1.5.7ь ФП для подподслучая х0 < х+.
1,4-7 См. таблицу 1.5.5.
2 5+ о+ ^ о С+ С+ с сЮ 52 53 515 о-^ о
3 5+ о- ^ о+ о- ^ о+
Таблица 1.5.7з. ФП для подподслучая < х0.
1,5-7 См. таблицу 1.5.71.
2 5+ о+ ^ о ^2 С+ С+ °2 °3 о ^ о
3 о ^ о+ 0 о ^ о+
4 50 о ^ о+ с0 С- С О 51 51 о- ^ о+
Таблица 1.5.72. ФП для подподслучая х0 = х+.
1,5-7 Как в таблице 1.5.71, 1.5.73 с £0 = £+.
2 о+ ^ о ^2 С+ С+ °2 °3 о ^ о
3 50 = 5+ о ^ о+ ^3 с0 С- с 5 51 51 о3- ^ о+
Подслучай 1.5.8: д2 < 0. Все семь сепаратрис (1.5.1) присутствуют и ведут себя однозначно. Фазовый портрет системы описывает таблица 1.5.73.
Переходим к подслучаям 2,4,6 случая 1.5. В каждом из них одна из сепаратрис (1.5.1) отсутствует: в подслучае 2 — в подслучае 4 — 5'+, в подслучае 6 — 53-. Фазовый портрет системы для этих подслучаев описывают таблицы 1.5.2,1.5.4,1.5.6.
Таблица 1.5.2. ФП для подслучая т = 0.
1,2,4,6 Как в таблицах 1.5.1, 1.5.3 с О1 = О0.
3 3+ О3+ ^ О ^3 с с0 33 31 з О—^ О
Таблица 1.5.4. ФП для подслучая = 0.
1 30 О+ ^ О 30»5'33 О+ ^ О
3-6 Как в таблицах 1.5.3, 1.5.5 с О2 = О0.
Таблица 1.5.6. ФП для подслучая из = 0.
1.4 6 Как в таблицах 1.5.3, 1.5.71 с О3 = О0.
2 33 О+ ^ О ^2 о— о о0 32 31 313 О—^ О
В подслучае 1.5.2 = 0, в под случае 1.5.4 = 0, в подслучае 1.5.6
^4 = 0.
1.6. Случай < и < и2 < и3 < д2.
Реализуя пункт 1 программы 0.2, находим: 1) ТД-тип особой точки О имеет вид (1.5.0), 2) ТД-типы БО-точек — вид, указанный в таблице 1.6.0.
Таблица 1.6.0. ТД-типы БО-точек в случае 1.6.
Подслучай А К-) А Г'- А+ л2 А+н
0 0 ^ N- (Ж-) Ж- (5-) 5= (№)
1 < 0 < и1 жг (Ж-) Ж- (5-) (№)
2 и1 = 0 0 (Ж- _ Ж-(5°) (№)
3 и1 < 0 < и2 N2 (№) (ЛТ) Ж- (5-) (№)
4 М2 = 0 № Ж- (0) (Ж-) _ (№)
5 и2 < 0 < и3 Ж- (N1) (ЯГ) № (5-) (№)
6 М3 = 0 0 (Ж- (Ж-) N_+ (5-) _
7 М3 < 0 < ^2 № (№) (Ж-) № (5-) (Nг)
8 ^2 ^ 0 № (№) (Ж-) N_+ (5-) (А/Г)
Случай 1.6 обратим (см. замечание 1.3), а потому мы изучаем для него лишь подслучаи 0-4. Список сепаратрис особых точек для каждого из его подслучаев 0,1,3 имеет вид
50, 51, 52, 5ю, S1+, 5+, , (1.6.1)
в каждом из подслучаев 2,4 одна из них отсутствует: в подслучае 2 в
подслучае 4^5-.
Подслучай 1.6.0: 0 ^ д1. Поведение всех сепаратрис однозначно. Фазовый портрет системы описывает таблица 1.6.11 (см. ниже).
Подслучай 1.6.1: д1 < 0 < и1. Поведение сепаратрис 50, 50,
и 5+ неоднозначно; все они по одному разу пересекают полуось у = 0, х > 0, причем, если это происходит соответственно при значениях х
х0, х0, х° и Х+, (1.6.2)
то для трех последних из этих чисел имеют место неравенства х0 < х+ < х+, а для х0 возможно любое го положений на оси х: 1) х0 < х+, 2) х0 = х+, 3) х+ < х0 < х+, 4) х0 = х+, 5) х0 < х0 < х+, 6) х0 < х0, 7) х0 < х0. Следовательно, подслучай 1.6.1 распадается на подподслучаи 1.6.1&, к =
1, 7, с однозначным поведением всех семи или шести сепаратрис в каждой. Фазовые портреты системы для этих подподслучаев описывают таблицы с теми же номерами.
Таблица 1.6.11. ФП для подподслучая ж+ < жо.
1 $0 Оо+ ^ О $0$2 О0+ ^ О-
2 3+ О+ ^ О О+ ^ О
3 $3+ О3+ ^ О с+ с+ О+ ^ О
4 $1 Оо-^ О с с0 с+ О- ^ О
5 3 0 О ^ О $0 О ^ О
6 $2 О ^ О- О- ^ О-
7 $2- О- ^ О- О- ^ О-
Таблица 1.6.1з. ФП для подподслучая ж+ < жо < ж+.
1 3+ О+ ^ О- 5'+ О- ^ О-
2 $0 О+ ^ О с с с+ $0 $2 $1 О+ ^ О-
3 О+ ^ О ^3 О+ ^ О
4-7 См. таблицу 1.6.11.
Таблица 1.6.15. ФП для подподслучая ж0 < жо < ж+.
1,5-7 См. таблицу 1.6.1з.
2 О+ ^ О- ^2 S+ S+ °3 °1 О+ ^ О-
3 $0 О-^ О с с S+ $0 $2$3 О- ^ О-
4 $1 О-^ О ^4 с с0с $10 $0 О- ^ О
Таблица 1.6.17. ФП для подподслучая Ж0 < ж0 < ж+.
1,2,6,7 См. таблицу 1.6.15.
3 51 О- ^ О С с° с+ О°- ^ О-
4 50 О ^ О- ° О 0°02 О ^ О-
5 5° О ^ О 5° О ^ О
Таблица 1.6.12. ФП для подподслучая ж+ = хо.
1 = 5° О + ^ О 52 О+ ^ О-
3-7 См. таблицы 1.6.1х,^ с >5+ = Б0.
Таблица 1.6.14. ФП для подподслучая ж+ = Ж0.
1,4-7 См. таблицы 1.6.1з,5 с >5+ = Б0.
2 = 5° О3+ ^ О ^2 с 53 5°51 О+ ^ О-
В подподслучае 1.6.12 = 0, в подподслучае 1.6.14 = 0, в подподслу-чае 1.6.16 = 0.
Таблица 1.6.1б. ФП для подподслучая ж0 = жо.
1,2,5-7 См. таблицы 1.6.15,7 с Б0 = Б0.
3 О-^ О ^3 с с с с+ 51ОоО2Оз О- ^ О-
Подслучай 1.6.3: и < 0 < и2. Сепаратрисы 5°, и , как и в под-
случае 1.6.1, по одному разу пересекают полуось у = 0, х > 0, в точках (1.6.2), но в этом подслучае для двух пар из чисел (1.6.2) имеют место неравенства
х° < х + , х < х + ,
а для всех их возможны любые неубывающие последовательности, согласующиеся с этими неравенствами, а именно:
1) ж0 < ж+ < ж0 < ж+, 2) ж0 < ж0 < ж+ < ж+, 3) ж0 < ж0 < ж+ < ж+,
4) ж0 < ж0 < ж+ < ж+, 5) ж0 < ж0 < ж+ < ж+, 6) ж0 < ж+ < ж0 < ж+,
7) ж0 < ж+ = ж0 < ж+, 8) ж0 < ж0 < ж+ = ж+, 9) ж0 = ж0 < ж+ < ж+, 10) ж0 = ж0 < ж+ < ж+, 11) ж0 < ж0 < ж+ = ж+, 12) ж0 < ж0 = ж+ < ж+, 13) ж0 = ж0 < ж+ < ж+.
Следовательно, подслучай 1.6.3 распадается на подподслучан 1.6.3к, к = 1,13, с однозначным поведением всех семи, шести или пяти сепаратрис каждый.
Сначала строим фазовый портрет системы для подподслучаев 1.6.3^, к = 1,6; в каждом из них все семь сепаратрис различны (см. таблицы 1.6.3&, к = 176).
Таблица 1.6.З1. ФП для подподслучая х0 < < хо <
1 о+ ^ о+ 5+ о+ ^ о+
2 $0 о+ ^ о (О с с с+ $0$2$1 о+ ^ о-
3 5+ о+ ^ о со $)33$0 о+ ^ о
4-7 См. таблицу 1.6.1^ с О0 ^ О- .
Таблица 1.6.32. ФП для подподслучая х0 < хо < <
1,5-7 См. таблицу 1.6.З1.
2 $0 о+ ^ о- ^2 с+ с+ °3 °1 о+ ^ о-
3 $0 о- ^ о с с с+ $0$2$3 о- ^ о-
4 $1 о- ^ о 0 $2 $ $0 о- ^ о
Таблица 1.6.З3. ФП для подподслучая х0 < хо < <
1 о+ ^ о+ $3+ о+ ^ о+
2 о- ^ о+ с+ с+ $1 $3 о- ^ о+
3 $0 о- ^ о ^3 с с с+ $0$2$1 о- ^ о-
4-7 См. таблицу 1.6.З2.
Таблица 1.6.З4. ФП для подподслучая хо < х0 < <
1,2,6,7 См. таблицу 1.6.З2.
3 $1 о- ^ о ^З С с0 с+ о- ^ о-
4 $ 0 о ^ о- 0 О 00$2 о ^ о-
5 $0 о ^ о $0 о ^ о
Таблица 1.6.З5. ФП для подподслучая хо < х0 < <
1 $0 о+ ^ о+ $0 о+ ^ о+
2 ¿о о- ^ о+ с+ с+ °1 °З о- ^ о+
3 о- ^ о ^З с с0 с+ $1 $ $1 о- ^ о-
4 $0 о ^ о- ^4 0 $ $0 $2 о ^ о-
5-7 См. таблицу 1.6.З4.
Таблица 1.6.3б. ФП для подподслучая хо < х+ < х0 < х+.
1,5-7 См. таблицу 1.6.З5.
2 51 о- ^ о с с0 с+ 515 53 о- ^ о+
3 50 о ^ о+ сЮ С С+ 5 5о51 о ^ о+
4 о ^ о+ с+ с с 51 5о52 о ^ о3-
Обращаясь к остальным подподслучаям, замечаем, что Vк € {7,..., 12} существует / € {1,... , 6}: таблица 1.6.3к получается из таблицы 1.6.3/(к), если подвергнуть последнюю следующей деформации: 1) отождествить в ней сепаратрисы, совпадающие в подподслучаях 1.6.3к, 2) удалить из нее строку с опустевшей в результате этого отождествления ячейкой, 3) заменить в ней одну из строк, соседних с пустой (для к = 12 — обе), логически подхо-дящей(ими) новой(ыми). Эту идею реализует таблица 1.6.314. Из нее видно, что Vк € {7,..., 12} номер /(к) принимает два значения; таблицы 1.6.3/(к) с этими номерами мы называем базовыми для таблицы 1.6.3к.
1.6.313
Таблица 1.6.3 14. ФП для подподслучаев 1.6.37,...,12.
Подпод-случай к № /(к) Тождественные сепаратрисы Пустая строка Новая строка (Новые строки)
7 1,2 5+ — 50 3 2 >5+ — 50 о+ ^ О ^2 5+525+ О+ ^ О-
8 2,3 5+ — 5+ 53 — 51 2 _
9 2,4 с0 — о 5 — 5о 4 3 51 О- ^ О ^3 515052.5+ О- ^ О-
10 3,5 с0 — о 5 — 5о 4 3 51 О- ^ О 515052.5+ О- ^ О-
11 4,5 5+ — 5+ 53 — 51 2 3 51 О- ^ О 51505+ О- ^ О-
12 5,6 50 — 5+ 3 2 51 О1 ^ О 515 05+ О- ^ О0+
4 50 — 5+ О ^ О+ ^4 .5+5052 О ^ О-
Таблица 1.6.3 13. ФП для подподслучая ж+ = ж+, ж0 = жо.
1 С+ — с+ °3 — °1 0++ ^ 0++ 53+ О+ ^ О0+
3 51 О- ^ о с с° с с+ 515 5251 О- ^ О-
5 ° о — 5° о ^ о 5 ° О ^ О
6 О ^ О- 5251^2 О- ^ О-
7 5- О- ^ О- 5- О- ^ О-
Переходим к рассмотрению подслучаев 2,4 случая 1.6 (см. таблицу 1.6.0).
Подслучай 1.6.2: и1 = 0. Сепаратриса 5+0 отсутствует. Для взаименого расположения 5°, 5° и 50 возможны варианты: 1) > 2) = 3) < < 4) = х°, 5) < х°. Возникают подподслучан 1.6.2к, к = 175.
Но те же пять вариантов взаимного расположения сепаратрис 5°, 5° и имеют место и в подслучаях 1.6.1, 1.6.3, если изучать в них вопрос о взаимном расположении лишь этих сепаратрис (забыть о 5++). При пашем (полном) изучении подслучаев 1.6.1, 1.6.3 эти пять вариантов реализуются в подслучае 1.6.1 для подподслучаев 1.6.1&, к = 3, 7, в подслучае 1.6.3 для подподслучаев 1.6.3^, к = 1, 2, 4, 7, 9 соответственно. Используя эти соображения, приходим к выводу, что справедливо следующее утверждение.
Таблица 1.6.2к ( ФП для подподслучая 1.6.2к) получается при, к = 1 из любой из таблиц 1.6.13, 1.6.31, при, к = 3 из любой из таблиц 1.6.15, 1.6.34, при, к = 5 из любой из таблиц 1.6.17, 1.6.39, при, к = 2 из любой из таблиц 1.6.14, 1.6.32, при, к = 4 из любой из таблиц 1.6.16, 1.6.37,
а) заменой в ней, 01 на О°, б) удалением из нее строки 1, а из ее строки 2 — символа 5++.
Подслучай 1.6.4: и2 = 0. Сепаратриса отсутствует. Для взаимного расположения сепаратрис 5°, 5°, 5++ и возможны те же 13 вариантов, что
и в подслучае 1.6.3, откуда следует что подслучай 1.6.4 распадается на 13 подподслучаев 1.6.4k, k = 1,13. V k £ {1,..., 13} табли ца 1.6.4k (ФП для под-подслучая 1.6.4k) получается из таблицы 1.6.3k о) заменой в ней O2 па O0, б) удалением из нее строки 7, а из ее строки 6 — символа S-.
Литература
1. Андреев А. Ф. Введение в локальную качественную теорию дифференциальных уравнений. СПб.: Изд. С.-Петербург, ун-та, 2003. 160 с.
2. Андреев А. Ф., Андреева И. А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре. I // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2007, N 4. С. 17-26.
http: / / www.math.spbu.ru / user / diffjournal
3.Андреев А. Ф., Андреева И. А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре. II // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2008, N 1. С. 1-13.
http: / / www.math.spbu.ru / user / diffjournal
4. Андреев А. Ф., Андреева И. А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре. III // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2008, N 3. С. 39-53.
http: / / www.math.spbu.ru / user / diffjournal
5. Андронов A.A. и др. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.
Андреев Алексей Федорович — профессор кафедры дифференциальных уравнений математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета;
Дом. телефон: 271-64-27 раб. телефон: 428-69-59, местн. 3059
Андреева Ирина Алексеевна — доцент кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета;
Дом. телефон: 271-64-27 E-mail: irandr@inbox.ru
