CC BY
3Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2023. Том 30, № 2
УДК 517.938
ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ДВУХ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ КОЛЬЦЕВЫХ ГЕННЫХ СЕТЕЙ Н. Б. Аюпова, В. П. Голубятников
Аннотация. Для двух динамических систем кинетического типа, четырехмерной и пятимерной, моделирующих кольцевые генные сети с нелинейной деградацией компонент, получены условия существования периодических траекторий и построены инвариантные области, содержащие все такие траектории. Внутренность каждой из этих областей гомеоморфна тору и содержит на своей границе единственную стационарную точку соответствующей динамической системы. Б01: 10.25587/SVFU.2023.54.12.001
Ключевые слова: модели кольцевых генных сетей, фазовые портреты нелинейных динамических систем, стационарные точки, инвариантные области, периодические траектории.
В соответствии с общими принципами построения моделей генных сетей мы рассматриваем нелинейные динамические системы относительно вектор-функции X = X (£) с неотрицательными координатами х^- (£), которые описывают концентрации взаимодействующих между собой компонент генной сети посредством положительных и отрицательных регуляторных связей (см. [1-4]). Уравнения в таких системах имеют кинетический тип, в них положительные связи описываются монотонно возрастающими гладкими функциями, а отрицательные — монотонно убывающими гладкими функциями. Основная наша задача состоит в нахождении условий существования периодических режимов функционирования моделируемых генных сетей.
Рассматривается четырехмерная динамическая система, моделирующая функционирование кольцевой генной сети:
Работа выполнена в рамках Государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-
0009.
Введение
1. Математические модели
<1x1 1х3
(1)
© 2023 Аюпова Н. Б., Голубятников В. П.
Во всех уравнениях положительные слагаемые описывают скорости синтеза веществ, участвующих в реакциях, а вычитаемые — скорости их разложения; неотрицательные переменные Xj обозначают концентрации этих веществ. Скорости их разложения описываются монотонно возрастающими гладкими ограниченными функциями Ij такими, что Ij(0) = 0. Здесь и далее j = 1, 2, 3,4. Такая модель генной сети с линейными функциями Ij рассматривалась в [1].
Скорость синтеза компоненты с концентрацией xi(t) описывается монотонно убывающей положительной гладкой функцией G1(x4). Это означает, что ре-гуляторная связь между компонентами с концентрациями X4 и x1 отрицательна. Скорости синтеза остальных компонент моделируемой генной сети описываются монотонно возрастающими гладкими функциями 7s, здесь и далее s = 2, 3,4; соответствующие им регуляторные связи положительны (см. [1, 2, 5]).
Аналогичная пятимерная модель кольцевой генной сети — молекулярного репрессилятора
= LiiVs) -ri(yi), ^ = L2(yi) - Г2(у2), ^ = L3(y2) - Г3(у3),
dy4 dy5 (2)
— = Ь4(Уз) -Г4(у4), — = Ь5{у4) -Т5(у5)
рассматривалась в [6-9]. Здесь также неотрицательные переменные yi обозначают концентрации веществ, участвующих в реакциях. Монотонно убывающие гладкие функции Li, i = 1, 2, 3, 4, 5 описывают отрицательные регуляторные связи, а монотонно возрастающие гладкие функции Ii, как и в случае системы (1), описывают деградацию компонент генной сети. Для обеих систем (1) и (2) предполагается, что все функции Ii, Ij ограничены сверху, как ив [5], где были описаны подобные динамические системы, у которых Ij (xj) = ■
Стационарные точки систем (1) и (2) находятся из уравнений
x4 = L4(x4) := Г4-1(74(Гз-1(7з(Г2-1(72(Гг1(С1(х4)))))))) (3)
и соответственно
у5° = L5(y0) := r5-1(L5(r4-1(L4(r3-1(L3(r2-1(L2(I1-1(L1(y0)))))))))). (4)
Для того чтобы правые части равенств (3), (4) были определены при всех неотрицательных значениях своих аргументов необходимы дополнительные предположения: для системы (1) sup Г, > sup js при всех s = 2, 3,4 и sup Г1 > G1(0), для системы (2) sup Ii > Li(0).
Поскольку правая часть L4(x) уравнения (3) является композицией одной монотонно убывающей и семи монотонно возрастающих функций, она сама монотонно убывает, и ее график имеет в точности одну точку пересечения с прямой £ = x. Правая часть L5 уравнения (4) также монотонно убывает по у, тем самым и это уравнение имеет единственное решение (рис. 1, где пунктиром обозначен график линейной функции £ = <^(x) := 2x4 — x при 0 < x < 2x4). Для x > 2x4 полагаем ^(x) = 0. Поскольку ^(^(x)) = x при 0 < x < 2x4, точки пересечения (а1; ^(а1)) и (Ь1; ^(b1)) прямой £ = 2x0 — x с графиком функции
ч \ \ _чО-1
\\ \ \ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \ N Х.61 \
Хо X
Рис. 1. Построение инвариантной области О4 .
£ = ^(ж) лежат также и на графике итерации £ = ^(^(ж)). Здесь 2ж0 > ^(0); это условие выполняется для неустойчивых стационарных точек систем вида (1), см. ниже неравенства (7).
Такие наблюдения о монотонности композиций были сделаны во многих работах, посвященных геометрическому анализу фазовых портретов подобных динамических систем произвольных размерностей (см., например, [1,5,8]).
Если ж = ж° — решение уравнения (3), то остальные координаты ж^, ж2 и ж3 стационарной точки ^4 системы (1) имеют вид
ж? = ГГ1(С1(ж°)); ж2 = Г2-1(72(Г-1(С1(ж°)))); ж0 = Г3- (74(ж0)). (5)
Аналогичным образом решение у = у0 уравнения (4) единственным образом определяет стационарную точку системы (2) (см. [10]).
Обозначим через к,, к вычисленные в стационарных точках производные функций Г,- и Г»; производные убывающих функций С? и вычисленные в стационарных точках, обозначим через — д? и соответственно —р», и производные функций 73 обозначим через
Устойчивость точек ^4 и определяется корнями характеристических многочленов матриц линеаризаций М4 и соответственно М5 систем (1) и (2):
М4 =
( —к1 0 0 —д1
ТО2 —к2 0 0
0 тз —к3 0
К 0 0 ТО4 — к4
М5 =
( —к1 0 0 0
—Р2 —к2 0 0
0 —Рз —к3 0
0 0 —Р4 — к4
К 0 0 0 —Р5
—Р1\ 0 0 0 —к5
(6)
Эти характеристические многочлены приводятся к виду
£
Р4(Л) = (Л + к?)(Л + к2)(Л + кз)(Л + к4) + 91ТО2ТО3ТО4,
соответственно
Рб(А) = (Л + кх)(А + к2)(А + кз )(А + кб)(А + ) + Р1Р2Р3Р4Р5.
Отметим, что в стационарных точках производные убывающих функций ^4 и имеют вид
_ д1т2т3тА _ Р1Р2РЗР4Р5
¿ж к1к2к3к^ ¿ж к1к2к3^4к5
В интересующем нас случае неустойчивых стационарных точек произведение д1то2то3то4 достаточно велико по сравнению с к1к2к3к4, а р1р2р3р4р5 достаточно велико по сравнению с к1к2к3к4к5, точные оценки можно получить из критерия Рауса — Гурвица [11]. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что
д1т2т3т4 ^ ^ Р1Р2РЗР4Р5 > 1
В этом случае производная функции £ = ^4(^4 (ж)) при ж = ж0 и производная функции £ = ^5(^5(у)) при у = у0 строго больше единицы.
Лемма 1. Каждое из уравнений ж = ^4(^4(ж)), у = ^5(^5(у)) при выполнении неравенства (7) имеет по крайней мере три положительных решения а4 < ж0 < 64 и соответственно а5 < у0 < в5.
На рис. 1 изображены пересечения графиков £ = ж4 и £ = ^4(ж4). Подобные геометрические построения, использующие итерации монотонно убывающих функций, проделывались и при анализе фазовых портретов моделей генных сетей других размерностей (см. [2,12]).
2. Геометрические построения в фазовых портретах
Для нахождения условий существования циклов рассматриваемых динамических систем (1) и (2) построим компактные инвариантные области в их фазовых портретах. Область & называется инвариантной, если траектории ее точек не покидают эту область при 4 ^
Рассмотрим подробно случай системы (1), все описанные ниже построения почти дословно воспроизводятся и для пятимерной системы (2).
Будем искать такие а4 < 64, а4 < ж0 < 64, что ^4^4) = 64 и ^4(64) = а4.
Пусть а4 < ж0 <64 — ближайшие к ж0 решения уравнения ж = ^4(^4 (ж)), т. е. а4 = ^4(64), 64 = ^4(а4).
На грани ж4 = 64 для наших построений нужно неравенство ж4 = 74 (ж3) —
ад) < 0.
На грани ж4 = а4 нужно неравенство ж4 = 74(ж3) — 14(а4) > 0.
Значит, 7—1(Г4(а4)) < ж3 < 7—1(Г4(64)) — это ребро [а3,63] инвариантного параллелепипеда системы (1).
На грани ж3 = 7—1(Г4(64)) = 63 нужно неравенство ж3 = 73(ж2) — Г3(63) < 0.
На грани ж3 = 7—1(Г4(а4)) = а3 нужно неравенство ж3 = 73(ж2) — Г3(а3) > 0.
Значит, 73-1(Гз(74г1(Г4(а4)))) < ж2 < 7з-1(Гз(т4-1(Г4(Ь4)))) — это ребро [о2,62] параллелепипеда О4.
Из определения
а4 = Г4г1(74 (Гзг1(7з(Г2г1(72(Г1г1(С1(Ь4))))))))
следует, что
а2 = 7Г1(Гз(7Г1(Г4 (04)))) = Г2г1(72(Г1г1(С1(Ь4)))),
Й2 = 7зг1(Гз(7зГ1(Г4 (&4)))) = Г2Г1(72(Г1г1(С1(04 )))).
Аналогично находится ребро [о1,Ь1] параллелепипеда О4.
Всюду в этой работе изучается только Случай Общего Положения [13], когда графики всех рассматриваемых функций пересекаются трансверсально.
Лемма 2. Параллелепипед О4 = [о1; Ь1] х [о2, 62] х [оз, 6з] х [04, 64] является инвариантной областью системы (1). Описанная уравнениями (3) стационарная точка системы (1) лежит во внутренности О4.
Подобным же образом строится и инвариантный параллелепипед О5 динамической системы (2): Пусть а5 < у0 < в5 — корни уравнения у = ^5(^5 (у)) такие, что ^5(а5) = в5 и ^5(в5) = а5. Отрезок [а5, в5] — это ребро инвариантного параллелепипеда
О5 = [0:1,^1] х [0:2,^2] х [аз,вз] х [а4,в4] х [0:5,^5]
системы (2). Остальные его ребра строятся точно так же, как и у инвариантного параллелепипеда О4. Стационарная точка системы (2) лежит во внутренности области О5.
При моделировании генных сетей произвольных размерностей с целью локализации положения циклов в фазовых портретах соответствующих динамических систем подобные инвариантные области вида [0, 61] х [0, 62]... х [0, 6П], у которых половина граней лежит на координатных плоскостях, конструировались и ранее (см. [14-17]). Построенные инвариантные параллелепипеды О4, О5 расположены во внутренностях положительных октантов пространств М4 и М5.
Плоскости ж1 = ж0, ж2 = ж°, жз = жз, ж4 = ж° разбивают О4 на 16 более мелких параллелепипедов, которые будем называть блоками и, следуя [1, 5] (см. также [6, 8]), будем нумеровать бинарными мульти-индексами |е1е2езе4} по правилу: е, = 0, если для всех точек блока выполнены неравенства о, < ж, < ж0, и е, = 1, если для всех его точек ж0 < ж, < .
Следующая кольцевая диаграмма описывает переходы траекторий системы (1) по восьми блокам разбиения параллелепипеда О4:
{1111} ; {0111} -> {0011} -> {0001}
' (8) {1110} <- {1100} <- {1000} <- {0000}.
Обозначим через объединение перечисленных в диаграмме (8) блоков и рассмотрим пересечения «соседних» блоков этой области:
= {1111} П {0111}, ^ = {0111} П {0011}, ... , = {1110} П {1111}.
Из монотонности функций С1, , Г, так же, как ив [1,8], где рассматривался случай линейных функций Г,, следует, что для любой внутренней точки блока {1111} ее траектория выходит из него только через трехмерную грань ^о — в блок {0111}, согласно стрелке диаграммы (8). Через все остальные грани блока {1111} траектории системы (1) могут только заходить в него. Точно таким же образом для любой внутренней точки любого из восьми блоков, перечисленных в диаграмме (8), ее траектория выходит из него только в тот соседний блок, в который указывает соответствующая стрелка этой диаграммы.
Объединение оставшихся восьми блоков разбиения параллелепипеда О4 обозначим через ЭДз. Комбинаторика поведения траекторий точек этой области выглядит сложнее, например, из блока {1011} траектории системы (1) могут выходить в один из трех блоков: {1111}, {0011} и {1001} (см. [6]). Здесь нижний индекс 3 указывает на возможность выхода из блока через три его грани, а индекс 1 в означает единственность направления выхода из блока.
Подобным же образом плоскости у» = у0 разбивают инвариантный параллелепипед О5 на 32 блока, занумерованных бинарными мульти-индексами {е1е2езе4е5}, как и выше, см. также [7,9,10], где для пятимерных динамических систем вида (2) с линейными функциями Г» и гладкими либо ступенчатыми монотонно убывающими функциями Ь» была построена диаграмма переходов траекторий из блока в блок:
{10101} -> {00101} -> {01101} -> {01001} -> {01011}
' I (9) {10100} <- {10110} <- {10010} <- {11010} <- {01010}.
Для каждого из перечисленных здесь пятимерных блоков траектории его внутренних точек выходят из него только в один соседний блок — в тот, в который указывает соответствующая стрелка диаграммы (9). Из блоков {11111} и {00000} этого разбиения траектории системы (2) могут выходить в любой из пяти соседних блоков. Для оставшихся двадцати блоков разбиения области О5 диаграмма переходов траекторий из блока в блок описана в [7].
Аналогичные диаграммы для других моделей кольцевых генных сетей с линейными функциями Г, конструировались в [1,14,15,17] с целью доказательства существования циклов в объединениях блоков, образующих такие диаграммы.
3. Существование циклов
Траектории всех точек грани после восьми шагов по диаграмме (8) возвращаются на эту грань. Композиция Ф4 : ^ всех этих восьми сдвигов
вдоль траекторий системы (1) является отображением Пуанкаре цикла, существование которого установим ниже.
Введем, как и выше, обозначения
= {10101} П {00101}, = {00101} П {01101},... , #9 = {10100} П {10101}.
Траектории всех точек четырехмерной грани после десяти шагов по диаграмме (9) возвращаются на #0. Обозначим через Ф5 : ^ композицию десяти сдвигов по блокам диаграммы (9) вдоль траекторий системы (2). Отметим, что Ф4(^4) = и Ф5(^5) = ^5, поскольку точки ^4 и стационарны.
В целом ряде публикаций [5,10,18,19] и др. доказательства существования циклов у динамических систем, подобных (1) и (2), выводятся из теоремы Боля — Брауэра о неподвижной точке — «принцип тора» (см. [20]). Однако во всех этих рассмотрениях стационарные точки указанных систем являются неподвижными для соответствующих отображений Пуанкаре. Поэтому для доказательства существования цикла, состоящего более чем из одной точки, из граней и т. п. приходится вырезать окрестности и(^4), и(^5) стационарных точек так, чтобы при отображениях Пуанкаре усеченные грани = \ и(^4), = \ и(^5) и др. отображались в себя.
Если стационарная точка такой системы устойчива, описанное построение невозможно, поскольку с каждым обходом соответствующей диаграммы траектории будут экспоненциально приближаться к стационарной точке.
Если же стационарная точка неустойчива и гиперболична, т. е. в этой точке матрица линеаризации системы не имеет мнимых корней, то в силу теоремы Гробмана — Хартмана [21] в некоторой окрестности стационарной точки такую динамическую систему можно линеаризовать с помощью непрерывной замены переменных, и тогда усеченные грани будут переводиться в себя соответствующим отображением Пуанкаре.
В частности, если у системы (1) стационарная точка гиперболична, то из принципа аргумента следует, что матрица М4 имеет два комплексно-сопряженных собственных числа А1 = Л2 с положителными вещественными частями и два собственных числа А3 = А4 с отрицательными вещественными частями (см. [11]). Так же, как и в [18], проверяется, что в линеаризующей системе координат теоремы Гробмана — Хартмана у стационарной точки ^4 существует такая окрестность и4 = О2 х что двумерный диск О2 лежит в плоскости, порожденной собственными числами А1, А2, и его граница лежит во внутренности области ^4, а диск лежит в плоскости, порожденной А3 и А4, и его граница лежит во внутренности области ЭДз.
Через поверхность О2 х дО|, лежащую на границе ди4 окрестности и4, траектории системы (1) входят в окрестность и4, а через поверхность дО2 х они из этой окрестности выходят. Если диск О2 достаточно мал, то все блоки, образующие инвариантную область ^4, пересекаются с границей ди4 только в точках поверхности дО2 х О|. Следовательно, траектории точек усеченной грани \ (^Ъ П и4) при обходе вдоль стрелок диаграммы (8) не попадают
в окрестность U4, и при отображении Пуанкаре Ф4 эта грань переходит сама в себя. Поскольку Fo компактна и гомеоморфна шару, из теоремы Боля — Брауэра следует существование точки P0 G Р0 такой, что Ф4 = P0, и, значит, траектория точки P0 является циклом.
Все эти построения подобным же образом воспроизводятся и для случая динамической системы (2).
Теорема. 1. Если стационарная точка динамической системы (1) гиперболична, то у этой системы существует по крайней мере один цикл, проходящий по блокам, образующим диаграмму (8) согласно ее стрелкам.
2. Если стационарная точка динамической системы (2) гиперболична, то у этой системы существует по крайней мере один цикл, проходящий по блокам, образующим диаграмму (9) согласно ее стрелкам.
Полученные результаты допускают обобщения на модели генных сетей других размерностей, у которых окрестности неустойчивых стационарных точек (в том числе и неединственных) допускают разбиения на блоки и построение диаграмм вида (8) и (9), а также на динамические системы с правыми частями более общего вида, моделирующие генные сети с посттранскрипционной регуляцией (см. [19,22]).
Благодарность. Авторы искренне благодарны Ю. Г. Матушкину за полезные обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Glass L., Pasternack J. S. Stable oscillations in mathematical models of biological control systems // J. Math. Biol. 1978. V. 6. P. 207-223.
2. Likhoshvai V. A., Kogai V. V., Fadeev S. I., Khlebodarova T. M. On the chaos in gene networks //J. Bioinform. Comput. Biol. 2013. V. 11. Article ID 1340009.
3. Gedeon T., Pernarowski M., Wilander A. Cyclic feedback systems with quorum sensing coupling // Bull. Math. Biol. 2016. V. 78, N 6. P. 1291-1317.
4. Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Существование и устойчивость релаксационного цикла в математической модели репрессилятора // Мат. заметки. 2017. Т. 101, № 1. С. 58-67.
5. Hastings S., Tyson J., Webster D. Existence of periodic solutions for negative feedback cellular control system //J. Differ. Equ. 1977. V. 25. P. 39-64.
6. Ayupova N. B., Golubyatnikov V. P. On two classes of non-linear dynamical systems: the four-dimensional case // Sib. Math. J. 2015. V. 56, N 2. P. 231-236.
7. Golubyatnikov V. P., Gradov V. S. Non-uniqueness of cycles in piecewise-linear models of circular gene networks // Sib. Adv. Math. 2021. V. 31, N 1. P. 1-12.
8. Golubyatnikov V. P., Minushkina L. S. On uniqueness and stability of a cycle in one gene network // Sib. Electron. Math. Rep. 2021. V. 18, N 1. P. 464-473.
9. Ayupova N. B., Golubyatnikov V. P. On structure of phase portrait of one 5-dimensional circular gene network model // J. Appl. Ind. Math. 2021. V. 15, N 4. P. 376-383.
10. Golubyatnikov V. P., Golubyatnikov I. V., Likhoshvai V. A. On the existence and stability of cycles in five-dimensional models of gene networks // Numer. Anal. Appl. 2010. V. 3, N 4. P. 329-335.
11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Физматгиз, 1967.
12. Khlebodarova T. M., Kogai V. V., Fadeev S. I., Likhoshvai V. A. Chaos and hyperchaos in simple gene network with negative feedback and time delays // J. Bioinform. Comput. Biol. 2017. V. 15, N 2. Article ID 1650042.
13. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: МЦНМО, 2009.
14. Гайдов Ю. А. Об устойчивости периодических траекторий в некоторых моделях генных сетей // Сиб. журн. индустр. математики. 2008. Т. 11, № 1. С. 57—62.
15. Казанцев М. В. О некоторых свойствах графов доменов динамических систем // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18, № 4. С. 42—49.
16. Голубятников В. П., Кириллова Н. Е. Фазовые портреты двух моделей генных сетей // Мат. заметки СВФУ. 2021. Т. 28, № 1. С. 3-11.
17. Ivanov V. V. Attracting limit cycle of an odd-dimensional circular gene network model // J. Appl. Ind. Math. 2022. V. 16, N 3. P. 409-415.
18. Кириллова Н. Е. Об инвариантных поверхностях в моделях генных сетей // Сиб. журн. индустр. математики. 2020. Т. 23, № 4. С. 69-76.
19. Golubyatnikov V. P., Likhoshvai V. A., Ratushny A. V. Existence of closed trajectories in 3-D gene networks //J. Three Dimensional Images 3D Forum. Japan. 2004. V. 18, N 4. P. 96-101.
20. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: изд-во Моск. ун-та, 1984.
21. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.
22. Чумаков Г. А., Чумакова Н. А. Гомоклинические циклы в одной модели генной сети. Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 14. C. 97-106.
Поступила в редакцию 22 .марта 2023 г. После доработки 22 .марта 2023 г. Принята к публикации 29 мая 2023 г.
Аюпова Наталья Борисовна
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 ayupova@math.nsc.ru
Голубятников Владимир Петрович
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090;
Новосибирский военный институт им. И. К. Яковлева войск национальной гвардии РФ Ключ-Камышенское плато, 6/2, Новосибирск 630114 golubyatn@yandex.ru
Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2023. Том 30, № 2
UDC 517.938
PHASE PORTRAITS OF TWO NONLINEAR MODELS OF CIRCULAR GENE NETWORKS N. B. Ayupova and V. P. Golubaytnikov
Abstract: For two dynamical systems of dimensions 4 and 5 which simulate circular gene networks with non-linear degradation of their components we find conditions for existence of periodic trajectories and construct invariant domains which contain all these trajectories. Interiors of both domains are homeomorphic to torus, and the boundary of each of them contains a unique equilibrium point of the corresponding dynamical system.
DOI: 10.25587/SVFU.2023.54.12.001 Keywords: circular gene network model, phase portrait of non-linear dynamical system, equilibrium point, invariant domain, periodic trajectory.
REFERENCES
1. Glass L. and Pasternack J. S., "Stable oscillations in mathematical models of biological control systems," J. Math. Biol., 6, 207-223 (1978).
2. Likhoshvai V. A., Kogai V. V., Fadeev S. I., and Khlebodarova T. M., "On the chaos in gene networks," J. Bioinform. Comput. Biol., 11, article No. 1340009 (2013).
3. Gedeon T., Pernarowski M., and Wilander A., "Cyclic feedback systems with quorum sensing coupling," Bull. Math. Biol., 78, No. 6, 1291-1317 (2016).
4. Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., and Rozov N. Kh., "Existence and stability of the relaxation cycle in a mathematical repressilator model," Math. Notes, 101, No. 1, 71-86 (2017).
5. Hastings S., Tyson J., and Webster D., "Existence of periodic solutions for negative feedback cellular control system," J. Differ. Equ., 25, 39-64 (1977).
6. Ayupova N. B. and Golubyatnikov V. P., "On two classes of non-linear dynamical systems: the four-dimensional case," Sib. Math. J., 56, No. 2, 231-236 (2015).
7. Golubyatnikov V. P. and Gradov V. S., "Non-uniqueness of cycles in piecewise-linear models of circular gene networks," Sib. Adv. Math., 31, No. 1, 1-12 (2021).
8. Golubyatnikov V. P. and Minushkina L. S., "On uniqueness and stability of a cycle in one gene network," Sib. Electron. Math. Rep., 1, No. 1, 464-473 (2021).
9. Ayupova N. B. and Golubyatnikov V. P., "On structure of phase portrait of one 5-dimensional circular gene network model," J. Appl. Ind. Math., 15, No. 3, 376-383 (2021).
10. Golubyatnikov V. P., Golubyatnikov I. V., and Likhoshvai V. A., "On the existence and stability of cycles in five-dimensional models of gene networks," Numer. Anal. Appl., 3, No. 4, 329-335 (2010).
11. Gantmacher F. R., The Theory of Matrices, vol. 1, Chelsea Publ. Co. (1984).
12. Khlebodarova T. M., Kogai V. V., Fadeev S. I., and Likhoshvai V. A., "Chaos and hyperchaos in simple gene network with negative feedback and time delays," J. Bioinform. Comput. Biol., 15, No. 2, article No. 1650042 (2017).
13. Arnold V. I., Gusein-Zade S. M., and Varchenko A. N., Singularities of Differentiable Maps, Birkhauser, Boston (1985).
14. Gaidov Yu. V., "On the stability of periodic trajectories in some gene network models," J. Appl. Ind. Math., 4, No. 1, 43-47 (2010).
© 2023 N. B. Ayupova, V. P. Golubaytnikov
15. Kazantsev M. V., "On some properties of the domain graphs of dynamical systems [in Russian]," Sib. Zh. Ind. Mat., 56, No. 4, 42-48 (2015).
16. Golubyatnikov V. P. and Kirillova N. E., "Phase portraits of two gene networks models [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 28, No. 1, 3-11 (2021).
17. Ivanov V. V., "Attracting limit cycle of an odd-dimensional circular gene network model," J. Appl. Ind. Math., 16, No. 3, 409-415 (2022).
18. Kirillova N. E., "On invariant surfaces in gene network models," J. Appl. Ind. Math., 14, No. 4, 666-671 (2020).
19. Golubyatnikov V. P., Likhoshvai V. A., and Ratushny A. V., "Existence of closed trajectories in 3-D gene networks," J. Three Dimensional Images 3D Forum, Japan, 18, No. 4, 96-101 (2004).
20. Petrovskii I. G., Lectures on the Theory of Ordinary Differential Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1970).
21. Hartman Ph., Ordinary Differential Equations, 2nd ed., SIAM (1982).
22. Chumakov G. A. and Chumakova N. A., "Homoclinic cycles in a gene network model [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 21, No. 4, 97-106 (2014).
Submitted March 22, 2023 Revised March 22, 2023 Accepted May 29, 2023
Natalya B. Ayupova Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia ayupova@math.nsc.ru
Vladimir P. Golubyatnikov
Sobolev Institute of Mathematics,
4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia;
Novosibirsk Military Institute of Russian National Guard Forces,
4/2 Klyuch-Kamyshenskoe Plateau, Novosibirsk 630114, Russia
golubyatn@yandex.ru
