CC BY-NC-ND
50
Факторная идентичность траекторных индексов, порождаемых конструкциями Дивизиа и Монтгомери, как определяющее свойство логарифмических индексов
цен и количеств
Ершов Э.Б.
Предлагается аксиоматическое решение проблемы выбора динамической конструкции индексов и траекторий цен и количеств. Доказывается существование траекторий цен и количеств товаров и услуг, для которых идентичны индексы, порождаемые предложенными Дивизиа и Монтгомери альтернативными конструкциями индексов. Получаемые и рекомендуемые для практического применения индексы Дивизиа - Монтгомери, известные также как логарифмические индексы и индексы Монтгомери - Вар-тиа(1), обладают аксиоматическими свойствами одновременно индексов Дивизиа и индексов Монтгомери. Они однозначно характеризуются постоянными на траекториях и равными долями вклада каждого фактора в изменение стоимости и логарифма индекса стоимости для рассматриваемого набора товаров. Это свойство индексов соответствует принимаемому в статистической практике предположению об однородности изучаемого процесса совместного изменения цен и количеств в соседних состояниях. Предлагаемый подход распространяется на расчет сцепленных индексов для последовательности сравниваемых состояний-периодов.
Ключевые слова: индексы цен и количеств, скользящие периоды, средняя для периода цена товара, траектории цен и количеств, конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери, логарифмические индексы, индексы Монтгомери - Вартиа(1).
1. Введение
В 1925 г. Франсуа Дивизиа предложил новую для того времени конструкцию индексов цен и количеств, определяемых наборами этих показателей для двух сравниваемых периодов времени [20]. Индексы Дивизиа определяются, если выбраны дифференцируемые траектории цен и количеств для скользящих периодов или состояний изучаемой системы, описывающих процесс перехода или преобразования ее базового состояния в конечное. Джон Монтгомери в 1929 г. [24] ввел в рассмотрение
Ершов Э.Б. - к.э.н., профессор кафедры математической экономики и эконометрики Государственного университета - Высшей школы экономики, e-mail: emborer33@gmail.com
Статья поступила в Редакцию в декабре 2009 г.
альтернативную конструкцию траекторных индексов, которая многие годы, фактически до появления обзорной статьи Балка [15] оставалась вне поля зрения специалистов по теории индексов.
Сторонники так называемых статистического и экономического направлений в теории индексов критиковали индексы Дивизиа на том основании, что по статистическим данным невозможно идентифицировать определяющие их траектории цен и количеств. Существование двух различных конструкций траекторных индексов, выбор из которых не был теоретически обоснован, усиливал позицию, отрицающую возможности практического их применения. Предложение использовать линейный путь, соединяющий цены и количества в граничных состояниях, приводящее к так называемым нормальным индексам Дивизиа - Фогта [32], не получило по ряду причин поддержки ни у теоретиков, ни у практиков [4; 5; 10; 15; 19; 29]. Индексы Дивизиа и индексы Монтгомери было предложено использовать в виде их дискретных аппроксимаций, т.е. индексных формул, не требующих задания траекторий цен и количеств. Известны и применяются две такие аппроксимации, а именно индекс цен Торнквиста вместе с имплицитным ему индексом количеств и логарифмические индексы, или индексы Монтгомери - Вартиа(1) [4; 5; 10; 25; 28; 30; 33].
Аксиоматическое определение индексов Дивизиа было дано Рихтером [26]. Из него следует, что они не могут быть независимыми от выбора путей, т.е. траекторий цен и количеств. Содержательная интерпретация индексов Дивизиа предложена в PhD-диссертации Меланея [23]. Ее краткое изложение приведено в [15]. С позиций экономического направления теории индексов конструкция индексов, предложенная Дивизиа, рассматривалась в целом ряде работ, в том числе в [12; 15; 19; 31]. Конструкция индексов, предложенная Монтгомери, с таких позиций не характеризовалась, хотя она и индексные формулы Монтгомери - Вартиа(1) оказались теснейшим образом связанными с проблемой разделения прироста стоимости товара или группы товаров на слагаемые, соответствующие вкладам факторов цен и количеств [6; 7; 8; 9; 17; 24].
Аксиоматическое решение проблемы факторного разложения прироста стоимости предложено автором данной статьи в 1965 г. [9, с. 34-41], но было опубликовано существенно позднее [1; 2]. Оно основывается на Аксиоме постоянства всех долей вкладов факторов в приросте стоимости вдоль пути, состоящего из траекторий цен и количеств и определяющего ей искомое факторное разложение. Эта Аксиома интерпретируется как формализация предположения об однородности процесса перехода из начального (базового) состояния в любое промежуточное состояние между ним и конечным состоянием, включая последнее. В статистической практике однородность такого процесса трактуется как отсутствие необходимости учитывать и использовать какую-либо информацию о ценах и количествах в состояниях, реализующихся в переходном процессе между сравниваемыми граничными состояниями.
Основной результат, относящийся к траекторным индексам, который следует из принятия Аксиомы постоянства долей вкладов факторов, состоит в том, что она определяет семейство путей, для которых конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери порождают идентичные индексные формулы, и последние совпадают с индексами Монтгомери - Вартиа(1). Заметим, что индексы, являющиеся одновременно индексами Дивизиа и индексами Монтгомери, обладают важными с позиций теории и практики свойствами, присущими таким траекторным индексам по отдельности. Например, как частный случай индексов Дивизиа они согласованны относительно агрегирования, тогда как этим свойством в общем случае не обладают индексы Монт-
гомери [4; 10; 11; 13; 14; 15; 18]. Как частный случай индексов Монтгомери они дают ясное решение проблемы факторного разложения изменения стоимости набора товаров.
Но этот результат не мог пониматься как окончательное решение проблем выбора путей в конструкциях индексов Дивизиа и Монтгомери. Оставалось неясным, существуют ли другие системы путей, для которых конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери порождают совпадающие индексные формулы. Для таких путей, если бы они существовали, могли бы не быть постоянными доли вкладов факторов.
В статье предлагается постановка и решение этой центральной для теории тра-екторных индексов проблемы. В разделе 2 показывается, что индексы Дивизиа и индексы Монтгомери имеют различные свойства, и поэтому проблема выбора конструкции траекторных индексов требует решения. В разделе 3 доказывается идентичность индексов Дивизиа и Монтгомери для путей с постоянными долями вкладов факторов и их совпадение с индексами Монтгомери - Вартиа(1). В разделе 4 доказывается, что требование равенства во всех точках искомого пути индексов, порождаемых конструкциями Дивизиа и Монтгомери, однозначно определяет траектории цен и количеств. Получаемые таким образом индексы цен и количеств имеют постоянные доли вкладов факторов. Их предлагается называть индексами Дивизиа - Монтгомери. В традиционно используемых названиях «логарифмические индексы» и «индексы Монтгомери - Вартиа(1)» отражаются только особенности функциональной формы индексов или авторство конкретной дискретной аппроксимации траекторных индексов, в то время как эти индексные формулы являются единственным случаем индексов, порождаемых двумя разными конструкциями индексов. В разделе 5 статьи анализируются свойства сцепленных индексов Дивизиа - Монтгомери, определяемых для последовательности состояний изучаемой системы цен и количеств.
2. Определения и свойства индексов, порождаемых конструкциями Дивизиа и Монтгомери
Предложенные Дивизиа и Монтгомери траекторные конструкции индексов исходят из следующих, общих для них предположений. Начальное и конечное состояния рассматриваемой системы цен pi и количеств аЦ = 1,...,п) п товаров представле-
, о а о оч , 1 к ,1 1 ч, ны положительными точками (р ,д ) = (р i; а ), (р ;% ) = (р i; % ) 2п-мерного вещественного пространства Я . Задается или ищется путь р°,д°;р1,%1) = {р1 (0, д,(Х)}, соединяющий граничные точки и описывающий переход системы из начального состояния ^ = 0) в конечное состояние ^ = 1) с помощью траекторий цен и количеств, являющихся дифференцируемыми функциями от параметра t^ о [0;1]).
Если граничные состояния характеризуются количествами товаров и их средними ценами для периодов единичных продолжительностей, начальными моментами которых являются моменты времени t = 0 и t = 1 соответственно, то количества с() и цены рI (Г) при 0 < t < 1 определяются как соответствующие показатели для «скользящих» периодов времени с т о [^ t + 1], начинающихся с моментов т = t. Рассмотрение изменяющихся во времени количеств % (0 и средних цен р^ ($) товаров для скользящих периодов, характерное для траекторных или динамических индексов, соответствует предположению о непостоянстве цен, наблюдаемых для моментов времени, и о существовании взаимосвязанных тенденций в динамике цен, количеств и стоимостей товаров.
Тогда при выбранном пути п(1) и t о [0;1] выполняются тождества
V (?) - V (0)=е р> (1 ж) - е Рг ш (0) -
(1)
г 0 г 0
=е д )) -д pV (1)+а V (1),
(2) ыщ - 1пГ(0) = ет ^ ^ &х + еТ РФ &х -
; 0 & Ф) ; о &Х У(Х) - Др1пГ(?) + Д1пК(0,
где еА ), еАд.у(1) - вклады факторов цен и количеств в изменение (прираще-
г г
ние) стоимости У(1), а ДР 1nV(t) + 1пК(1) - вклады факторов в логарифм индекса стоимости (1пГУ(1) = 1пК(0 - 1пК(0)) вдоль пути п(1).
Дивизиа [20], используя формулу (2), предложил определять траекторные индексы цен ГРП и количеств или индексы Дивизиа, равенствами
(3) 1пГРп = ДР 1п^1) - 1пГРД = Д? 1п^1) - 1п^£>.
Монтгомери [24] ввел свою конструкцию траекторных индексов ГРП и
(4) 1пГРП = Др1п^1) / L(V(0),V(1)) - 1п1РМ,
= Д,,1п^0 / L(V(0),V(1)) - 1п^М,
в которой 1п1РМ, 1nIQM - индексы Монтгомери; L(x,y) - непрерывная и симметричная функция (¿(х,у) = L(y,x)) положительных переменных х,у, определяемая следующим образом: L(x,y) = (х - у) / 1п(х/у), если х Ф у, и L(x,x) = х.
Функцию L(x,y) называют логарифмическим средним. Она изучена и обладает следующими свойствами: L(kx,ky) = кЬ(ху) при к > 0, тш(х,у) < L(x,y) < тах(х,у), (х,у)1/2 < L(xy) < (х + у)/2. Если V(1) ф ^0), то 1п1РМ = [Др^1) / Д^1)]1пГУ, 1nIQM = [Д^(1) / ДР(1)]1пГУ и логарифм индекса стоимости (1п^ - 1пК(1) / К(0)) разделяется на слагаемые 1пГРМ и 1nГQM с помощью долей факторов цен и количеств в ДV = V(1) - ^0). Если ^1) = ^0), то 1пГРМ = Др^1) / ^0), 1nГQM = ДД1) / ^0)).
В обозначениях индексов Дивизиа и Монтгомери используются набираемые курсивом буквы ^ и М, поскольку индексы ГРД и ГРМ, ГQM - это не конкретные индексные формулы, а именно конструкции индексов, включающие задаваемый путь п(1). Именно выбор семейства SП путей ж(1;р°,д°;р[,д[) о элементы которого определяются парами граничных точек (р°,д0) и (р1,^1), представляет собой центральную проблему траекторной или динамической теории индексов. Заметим, что в литературе по теории индексов логарифмическими индексами, индексами Монтгомери - Вар-тиа(1) или даже индексами Монтгомери называют индексные формулы, предложенные Монтгомери [25] и позднее другими авторами, исходя из различных соображений.
Эти индексы, обозначаемые в дальнейшем 1РМ и ^М, в течение многих лет трактовались как аппроксимации траекторных индексов Дивизиа или Монтгомери, не требующие задания траекторий цен и количеств.
Необходимо иметь в виду, что для фиксированного пути
кф - к(П р°,с°; рУ) - {р0ф,с0ф; p1(t),с1(t)}
значения индексов, получаемых в конструкциях индексов Дивизиа и Монтгомери, в общем случае различаются. До тех пор пока путь к({) не выбран, это различие «скрыто» в определяющих такие индексы конструкциях. Поэтому продемонстрируем, как индексы Дивизиа и Монтгомери могут различаться на примере случая линейных траекторий цен и количеств:
(5) р,(0 = р°, + t(р\ -р0,), Сг(0 = с0 + t(с1, - с0,), t о [0;1].
Напомним, что в таком случае Фогт [32] получил формулы для индексов Ди-визиа, названных им нормальными индексами. Для таких траекторий стоимость
¥(£) = Х.р^ЖО является квадратичной функцией времени. Поскольку цены и количества в граничных состояниях (при t = 0 и t = 1) предполагаются положительными, то положительны и траектории цен и количеств между ними. Но стоимость ¥(() в формулах индексов Дивизиа используется в качестве знаменателя, и поэтому формулы для соответствующих неопределенных и определенных интегралов, определяющих эти индексы, распадаются на три случая в зависимости от того положителен, отрицателен или равен нулю дискриминант квадратного уравнения
V® - [X, (р\ - р0,)(С1, - С0,)] г2 + [X, (р\ - р0,) С0, + Хр° (С1, - С°,)]г + Х,р°,С°, - аг2 + Ьг + с = 0.
Формулы для нормальных индексов цен и количеств Дивизиа - Фогта в этих трех случаях приведены, например, в [5, с. 90]. К сожалению, в формуле для дискриминанта (Ь2 - 4ас) там допущена очевидная ошибка.
Для индексов Монтгомери, порождаемых линейными траекториями (5) и называемых индексами Монтгомери - Фогта, следующие простые формулы получаются без труда:
(6) IPMV = X,(р\ -р0,)(С1, + С0,) / 2L(V(0),V(1)), IQMV = X, (р\ + р0,)(С1, - С0,) / 2L(V(Q)У(\)У
Формулы для индексов Монтгомери - Фогта не только не распадаются на три варианта, но и существенно проще, чем формулы для индексов Дивизиа - Фогта.
Важным представляется то, что конструкции индексов, порождаемые конструкциями Дивизиа и Монтгомери, в общем случае имеют разные свойства. Особенностью таких динамических индексов является проявление их свойств на различных множествах сравниваемых состояний (что характерно для моментных или статических индексов) и на различных семействах путей. Последнее характерно именно для траекторных или динамических индексов и не отмечается в большинстве работ, анализировавших свойства индексов 1Р0, и ГРМ, ^М. Поэтому рассмотрим такие свойства более подробно, используя при этом работы [4; 11; 13; 14; 15; 16; 18; 21; 22; 27].
Свойства семейств индексов Дивизиа ГРО, и Монтгомери ГРМ, ГQM будем анализировать, определяя такие свойства для:
A) фиксированного пути при заданных граничных состояниях (р0,д0), (р\д:) и траекториях цен и количеств {р, (1), д^ (1)};
B) путей, получаемых некоторым преобразованием траекторий {р,(1), д(1)} в траектории {р,(1) , д^(1) } = F({pi(1), д^(1)};а), где а - параметры преобразования F({...};a) при фиксированных граничных состояниях;
C) путей, состоящих из преобразованных траекторий {р, (1) ,д, (1) } с изменяющимися граничными состояниями (р ,д ) № (р ,д ), k = 0, 1.
Индексы {ГРО, ^О} и {ГРМ, ^М} для определяемых таким образом трех классов траекторий цен и количеств будем называть множествами индексов, обозначая такие множества соответственно D(A), D(B), D(C) и М(А), М(В), М(С). Нашей целью не является доказательство того, что индексы из этих множеств имеют одни и в общем случае не имеют другие свойства, поскольку многие такие утверждения содержатся в упоминаемых выше работах. Однако формулировки не встречавшихся в них утверждений и их доказательства будут приведены.
Индексы Дивизиа из D(A) удовлетворяют аксиомам стоимости, обратимости состояний, обратимости факторов, транзитивности (циркулярности), монотонности, согласованности при агрегировании и идентичности; их значения не изменяются при невырожденных преобразованиях параметризации пути (1 = £(х), х = g~1(t)) и при изменении единицы измерения стоимости; но для них не выполняется аксиома среднего (т1п(р1, / р0,) < ГР < тахр / р0,)).
Индексы Монтгомери из М(А) обладают почти теми же свойствами, что и индексы из D(A), но для них не выполняются аксиомы транзитивности, согласованности при агрегировании и идентичности. К формулировке свойства транзитивности для индексов Дивизиа и индексов Монтгомери, которое может пониматься неоднозначно, мы обратимся в разделе 4 данной статьи.
Для того чтобы анализировать свойства динамических индексов из множеств D(B) и М(В), необходимо задать множество путей, состоящих из траекторий {р(1) ,д© }, индексы для которых сравниваются с индексами для траектории {р(1),д(1)}. Такое преобразование траекторий зададим в виде соотношений
(7) р,(1)* = Щр,(1), д,(1)* = д,(1), ! = 1,...,п, 0 < 1 < 1,
где непрерывная функция к(1) удовлетворяет условиям к, (1) > 1, к, (0) = к, (1) = 1.
Тогда для путей л и индекса количеств Дивизиа, используя (2), имеем
(8) = ет
р,(1 ж?)/v(? ж?)
т
& = 1п^£>
и поскольку 1п(^1) / V(0) ) = 1п(к(1Ж1) / к(1Ж0)) = 1п(^1) / ^0)), то 1пГР0 = 1пГР0. Таким образом, при пропорциональном увеличении цен в интервале между граничными моментами времени (0 < 1 < 1) и при неизменяющихся количествах индексы Дивизиа не изменяются.
Для путей л* и индекса количеств Монтгомери ^М аналогичным образом получаем
(9) 1п!0М * = 1(?) рг (?) ^ А / L(V(0),V(1)') =
' 0
= {!{1(?) рг(?) Я| / L(V(0),V(1)) > 1nIQМ,
поскольку ^ 1, Ъ(0) = Ъ(1) = 1, но функция не равна тождественно единице. Следовательно, 1п1РМ * < 1п1РМ и 1РМ * < 1РМ.
Более общее преобразование траекторий {р(?),С(0} в траектории {р(0 ,с(t) } зададим в виде
(10) р, (0* = Ъ (0р, (О, С, (О* = С, (О, , = 1,.,п, 0 < t < 1,
где непрерывные функции Ъ (t) удовлетворяют условиям X,- (t) > 1, X,- (0) = Ъ (1) = 1. Тогда для индекса количеств Дивизиа
ь^*=е/
р1(?)1, (?)/е V. (? )1. (?)
не удается получить какое-либо неравенство или равенство, если не принимать дополнительные предположения о динамике отношений цен pi (?) / Pi (t) - Ъ (t).
Но для индекса количеств Монтгомери 10М удается доказать неравенство ^М > IQМ, если количества не убывают со временем. В этом случае
(11) 10М * = {е/1 (?) рг (?) &?| / L(V(0),V(1)) > 1nIQМ,
поскольку Ъ (?) ^ 1.
Для индексов из множеств D(С) и М(С) траектории {р(0 ,с(t) } определим следующим образом:
р,(/)* = Ъ(0р,(/), С,(О* = ЦС,(t), , = 1,.,п, 0 < t < 1,
принимая, что выполняются неравенства Ъ (t) ^ 1, Ц > 0 и граничные условия Ъ,(0) = Ъ0, Ъ (1) = Ъ1, но случай Ъ (0) = Ъ (1) = 1 не рассматривается.
Очевидно, что по тем же причинам, как для индексов из D(B), для индексов из D(С) какие-либо утверждения получить не удается. Но для индекса количеств ^М* Монтгомери при ^1)* - ^0)* - ^{Ъ1 К(1) - ЪУ(0)} № 0 имеем
lnIQм * = Ы (?) р, (?) ^ л [ / ь(у(0)*,у(1)*) =
' 0 1
= цме [1-(?)р(?)&П/L(V(1)*,V(0)*).
1 г 0
Поскольку е "" 1 (?)Р1 (?) ^ ) Ж >е (" Р1 (?) ^ ) то для того, чтобы в пред-
Ж ; Ж
положении, что lnIQM > 0, выполнялось неравенство ^М > ^М, достаточно выполнение неравенства
д / L(V(1)*,V(0)*) > 1 / L(V(1),V(0)). Это неравенство представляется в виде
(12) ln[V(1)/V(0)] + 1п[1 /10] ^ ln[V(1)/V(0)]
( ) IV (1) -IV (0) V (1) - V (0)
и в случае положительных знаменателей оно преобразуется в неравенство
[^1) / V(0) - 1]1п[^1) / ^0)] > [X1 - X0] / [X1 - 1].
При заданном индексе стоимости IV = V(1) / V(0) неравенство (12) определяет пары коэффициентов (X1, X0), для которых ^М > ^М. Если знаменатели в (12) положительны, то при сделанных предположениях
^М > ^М ■ у = ^М ■
Ж 1n[V(1)/V(0)] + 1п[11/10]Ц ^ IV (1) - IV (0)
1п[У (1) / V (0)] V (1) - V (0)
> IQМ.
Но из неравенства ^М > IQМ не следует неравенство ГРМ < IPМ, так как IV № IV. Однако из тождества
ж Ж Ж 1 А
1пРУ = ШРМ + 1nIQМ = 1пГРМ+ 1nIQM+ 1n(X1 / X0)
следует неравенство
1nIPМ * = ШРМ + 1п^М + 1n(X1 / X0) - 1п^М* < 1nIPМ + 1п(^ / X0) + (1 - у) ■ 1nIQМ,
в котором (1 - у) < 0 и 1п^М > 0. Поэтому при ^М > 1 независимо от значений индекса ГРМ система неравенств (12) и X1 / X0 < 1 определяет значения параметров X1 > 1, X0 > 1, при которых для индексов Монтгомери №М и ^М удовлетворяются неравенства
№М* < ¡РМ, IQМ* > IQМ.
Этим же способом можно получить аналогичные утверждения для индексов из множеств D(B), М(В), D(C), М(С), предполагая, что выполняются условия 0 < X,- < 1. Очевидно, что анализ свойств индексов Дивизиа и Монтгомери можно выполнить, если в определениях траекторий (р(/) ,д(0 } рассматривать количества как изменяющиеся по законам (/) = X,- (/)д,(0 при ценах р, (/) = др,(/).
Таким образом, показано, что конструкции индексов, предложенные Дивизиа и Монтгомери, порождают индексные формулы, обладающие как общими, так и различными свойствами. Поэтому в рамках траекторного направления теории индексов требуется корректно сформулировать и решить проблему выбора не только траекторий цен и количеств, но и выбора самих конструкций таких индексов.
3. Идентичность индексов Дивизиа и Монтгомери с постоянными долями вкладов факторов
Автором данной статьи было доказано [1; 2], что в случае V(1) Ф К(0), существует такой путь п'(?;р0,С0;р1,С1), для которого постоянны доли 2п факторов цен р, и количеств С,(, = 1,...,и) в изменении стоимости AV(t) = У(?) - К(0). Доли не изменяются вдоль пути (при 0 < ? < 1) и определяются формулами
(13) Ыр1 (?) -Д р¥ (?)/ДV (?), Ыс1 (?) -Дс (?)/ДV (?).
При этом предполагалось, что стоимость У(?) на искомом пути является монотонной функцией от некоторой переменной-параметра 5 = £(?). Это позволяет выбрать параметризацию пути так, что У(?) представляет собой линейную функцию от ?:
(14) п?) = ^0) + ?^(1) - К0)].
Такой выбор параметризации траекторий приводит к тому, что в периоде между значениями параметра ? и (? + 1) суммарная стоимость рассматриваемых товаров У(?) изменяется по сравнению со стоимостью - 1) при любом ? е [0;1] на величину [К(1) - К(0)]. Поэтому периоды с т е [?; ? + 1] уже не имеют равные продолжительности во времени. Последние зависят от динамики суммарной стоимости товаров, поскольку параметр ? является монотонной функцией /5) времени 5. Но, как отмечалось в разделе 2, свойства индексов, порождаемых траекторными конструкциями, инвариантны относительно выбора невырожденных параметризаций определяющих их путей.
Из постоянства долей факторов (13) и из (14) следует существование искомого пути п'(?;р0,С0;р1,С1) и его траекторий, определяемых формулами
(15) 1п р, (?; р0,С0;р1,С1) = 1пр0, + а,, (р)1п[у, (?) / V, (0)], 1п с, (?; р0,С0;р1,С1) = 1п С0, + а&М^*) / V, (0)],
в которых = р0,С0, + ?(р1,С1, -р0,С0,) - Л а(р) + а,(с) = 1 и а,(р) = 1п(р\ /р0,) / 1п(у\/ V0,), а, (С) = 1п(С1, / С0,) / Ь^1, / V0,).
Постоянные доли факторов также находятся:
V1 - V0 V1 - V0
(16) ир =-1-1-а, (р), иС =-!-1— а, (с) .
р V (1) - V (0) 4 V (1) - V (0)
Для семейства путей Sп., заданных формулами (15), индексы 1РМ, ^М Монтгомери находятся с использованием их определений [1; 2] и оказываются равны индексам Монтгомери - Вартиа(1):
(17) 1РМП. = 1РМ = [ ^1) / V(0)f(p), = IQM = [ ^1) / ^0)]т (с), для которых т(р) + т(с) = 1 и
(18) т(р) = е ^•* ^ р°), т(с) = е •
(1) - V (0) 1п(у1/ V") ^ (1) - V (0) 1п(у1/ у°)
В случае равенства стоимостей ^1) и ^0) или V1, и V0,- при каких либо г отношение ^[^1) / V(0)] / [^1) - V(0)] или аналогичные отношения для товаров заменяются в (17) и (18) на средние логарифмические, т.е. на ^0) = ^1) и V0, = V1,.
Приведем простое доказательство того, что и индексы Дивизиа №.0, ^Д для путей п,(/;р0,д0;р1,д1) также оказываются равными индексам (17). Из постоянства долей факторов цен имеем
'ДЛО = Жр^) Ж Ж
(19) V -^Ч (?) = ир1 [V (1) - ^0)], , = 1,...и.
Тогда, используя (19), получаем
, 0 Л V(т) V.......0 V(0) + t[У(1) - V(0)]
и, следовательно,
(20) ЫРДП. = е и 1пV1j - ШМ
П V р V(0)
Аналогичным образом доказывается, что
(21) 1п^д.= е иЧ11п ^ = ^М.
Рассмотрим доли факторов цен р{ и количеств д= 1,...,п) для индексов Дивизиа как функции от ? вдоль пути п(?;р0,д0;р1,д1). Доли факторов в этом случае естественно определять по отношению к разности Рп^/) - ^^0)] с помощью следующих формул, аналогичных формулам (13):
(22) wp¡ (?) - Др 1п V(?)/[1nV(?) - 1п V(0)], wq¡ (?) - Дд 1nV(?)/[1nV(?) - 1nV(0)].
Тогда для траекторий (15), т.е. для путей л*(/; р°,д°; р\д:), из (20) и (21) следует, что доли факторов (22) постоянны (не зависят от и равны долям факторов (16) для индексов Монтгомери - Вартиа(1).
Таким образом, доказано равенство индексов Дивизиа и Монтгомери, порождаемых путями с постоянными долями вкладов факторов и совпадающих с индексами Монтгомери - Вартиа(1).
4. Единственность факторно-идентичных индексов Дивизиа
и Монтгомери
Проанализируем существование других семейств путей кроме (15), для которых полностью совпадали бы индексы, порождаемые конструкциями Дивизиа и Монтгомери. Для этого необходимо определить то, как предлагается понимать полное совпадение траекторных индексов.
Во-первых, такие индексы определены в каждой точке пути, соединяющего граничные состояния, конечно, кроме точки начального состояния. Поэтому индексы цен и количеств, порождаемые двумя конструкциями для пути п из искомого семейства, естественно считать совпадающими не только при фиксированных начальной и конечной точках, но и для всех пар состояний (р° г,с° ,) и (р(?),с(?)) при 0 < ? < 1, т.е.
при (р(?) ,,с(?) ,) е п(?;р0,с0;р1,с1).
Во-вторых, индексы Монтгомери и Дивизиа по своему построению представляются в виде суммы вкладов 2п факторов в конечное приращение стоимости [У(Г) - К(0)] или в [1пК(?) - 1пК(0)] вдоль пути, соединяющего граничные состояния. Для путей (15) равными являются не только индексы Дивизиа и Монтгомери как функции от ? на этих траекториях, но и соответствующие этим конструкциям индексов вклады каждого из 2п факторов. Поэтому распространим эти свойства логарифмических индексов, порождаемых путями (15) с постоянными долями факторов, на искомое семейство путей Sп, считая, что для его дважды непрерывно-дифференцируемых траекторий цен и количеств выбрана параметризация (14).
Факторно-идентичными индексами Дивизиа - Монтгомери назовем индексы Дивизиа 1РОп, IQDп и индексы Монтгомери 1РМп, ^Мп, порождаемые общим для них семейством путей Sп, если для этих индексов при 0 < ? < 1 выполняются равенства
(23) Др¥(1) - Д р11п V (?), Дс, V (?) = Дс, 1п V (?), г = 1,...,п,
т.е. требования идентичности вкладов факторов вдоль пути п е Sп. Из (23) следует, что IPDп(t) = 1РМп(?), IQDп(t) = ^Мп(?) и на семействе путей Sп идентичны сами индексы Дивизиа и Монтгомери.
Докажем, что при сделанных предположениях системе уравнений (23) удовлетворяет только семейство путей (15). Для этого, предполагая, что при 0 < ? < 1 У(?) Ф У(0) и используя (14), представим (23) в виде системы интегро-дифференциальных уравнений (г = 1,...,п):
<24> '(V(')-V(0))^Vi-t = 1nVD^,(t),t,
Продифференцируем уравнения (24) и (25) по параметру ?. Тогда из уравнения (24) при фиксированном получим
?' Фг(х) С, (х) , , т„тч Ф,(?) С,(?)
(V (?) - V (0)){ ^ К^) йх + ? (V (?) - V (0))
(26)
йх V (х) й? V(t)
V(1) - V(0) 'г йр, (х)
V(t) 0 йх
гйрСх) (х), + -С г (х)йх +
1п ™
V (0)
йрг (?)
й?
Сг (?).
Уравнение (26) с помощью (24) представим в виде
(27)
11п V(г) V(1) - V(0)
t V(0)
V (0)
(х)д (х)0х &(t) д а)
~Чг (х)ах-1——д1 (t)
0х
Ж
В (27) сомножители представляют собой непрерывные и даже дифференцируемые функции параметра-переменной t е (0;1]. Но первый сомножитель
11п V(t) V(1) - V(0)
t V(0)
V (0)
(
1п(1 + г
V (1)
V (0)
Л
-1
(
- г
V (1)
V (0)
V
-1
не равен нулю при г ф 0, что следует из очевидного неравенства 1 + х < е , в котором х = ^(1) / V(0) - 1) ф 0. Следовательно, выполняются уравнения
(28) т
йрг (Х (х)йх- ^ дг (г) = 0, 0 < г < 1, 1 = 1....П
йх
Ж
Из (25), поступая аналогичным образом, получаем уравнения
(29)
■<°д1 (х)
Лг (г)
Рг (х)йх- г^^Рг (г) = 0, 0 < г <1, г = 1, ах а
,п.
Продифференцировав уравнения (28) и (29) по t и учитывая, что t е (0;1], получим уравнения
(30) (г) + = 0, а!М1рг (г) + ¿рШШ! = 0, г = х,...Л
а2
Ж
а2
Ж Ж
которые по непрерывности распространим на значение г = 0.
В [3] было показано, что пути (15) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений второго порядка (30). Наша задача заключается в том, чтобы найти все решения этой системы, для которой выполняются граничные условия
(31)
Рг(0) = р0„ дг(0) = д0г, р(1) = р\, д(\) = д\, г = 1,...,и
с задаваемыми положительными значениями цен и количеств. Такие решения найдем, рассматривая уравнения (30) для пар переменных р(), д(). Суммируя эти уравнения при выбранном , получаем
а2Рг (г) д {{) + 2+ а2дг (г) р. {{) = а2[р г (г)д г (г)] = 0
а2
а2
а2
и стоимости v1(t) являются линейными функциями от t. Используя граничные условия (31), находим эти функции:
(32)
Рг(0дг(0 = р\д0г + -р\д0г), г = 1,.. п
Уравнения (30) представим в виде йр, (?)
& 1п
&
С (?)
- 0, & 1п
йс (?) &
р. (?)
- 0,
что позволяет получить соотношения
йр. (?)
(33)
С, (?) - аг, ^^ рг (?) - Ьг, . = 1,...,И, й?
в которых аг, Ь. - константы, подлежащие определению и в силу (32) удовлетворяющие условию а. + Ь. = р\с\ -р°.С° ..
Уравнения (33) с помощью (32) преобразуются в дифференциальные уравнения, содержащие только по одной переменной:
й 1п р. (?) &
рс + ? (р1с1 - р0с0)
й 1п Сi (?) &
Ь
р0с0 + ?(р\с\ - р.с.)
а
решения которых легко находятся:
(34) р,(?) - с,[р0с0 + ?(р1с1 - р?С?)]А(0, С(?) = й.[р0с0 + ?ш -р°С°)]'(г),
где с., &, h(i) = а,- / (а. + Ь,), k(г) = Ь. / (а. + Ь) - константы. Они находятся из граничных условий (31) единственным образом.
Получаемые траектории переменных р,-(?), с .(?), г = 1,---,и,
р. (?) - р0[ р0с0+? (р1с1 - р0с0)/р0с0]1п( р1/р0)/1п( р]с]/рС-\ с, (?) - с0[ р0с0 + ? (рс - р0с0)/р0с0]1п(с1/с0)/1п( р1с1/р0 с0)
совпадают с траекториями (15). Последние порождают индексы Монтгомери - Вар-тиа(1), логарифмические индексы или траекторные индексы с постоянными вдоль путей и равными (для индексов Дивизиа и Монтгомери) долями вкладов факторов цен и количеств.
Таким образом, постоянство долей вкладов факторов в точках путей, порождающих индексы Дивизиа или Монтгомери, оказывается эквивалентным факторной идентичности этих индексов. И индексы Дивизиа - Монтгомери, определяемые траекториями (15), имеют два эквивалентных аксиоматических определения.
5. Сцепленные индексы Дивизиа — Монтгомери для последовательностей состояний
В теории индексов постоянно обсуждаются целесообразность и обоснованность применения индексных формул для сравнения состояний системы цен и количеств в двух достаточно далеко отстоящих друг от друга периодах. Такие граничные периоды будем различать по их начальным моментам времени: ? = 0 - для начального периода с параметром времени т е [0;1], ? = Т - для конечного периода с т е [Т;Т + 1].
Традиционно признается необходимым рассматривать дискретную последовательность промежуточных состояний с начальными моментами времени ?1 < ?2 <...< _ 1 (0 < ?ь ?Т - 1 < Т) и рассчитывать по данным для этих состояний цепные и сцепленные индексы цен и количеств. Для упрощения используемых обозначений примем, что
4 = к, k = 1,...,Т - 1.
Для соседних состояний рассчитываются цепные индексы 1Р(к - 1;к), ^(к - 1;к), а затем соответствующие им сцепленные индексы
1Р [0;к] = П!Р(* -1;5), Щ[0;к] -1;*), к = 1,...,Т.
,5-1 5-1
При расчетах цепных индексов фактически используется предположение об однородности процесса перехода от к-го состояния в (к + 1)-е. Однородность предлагается понимать как отсутствие необходимости иметь и использовать данные о ценах и количествах для периодов с такими начальными моментами времени ?, что (к - 1) < ? < к. Это предположение в траекторной версии теории индексов формализуется в виде постулата постоянства долей вкладов факторов цен и количеств рассматриваемых товаров в приросте стоимости - для индексов Монтгомери и в индексе стоимости -для индексов Дивизиа. Неизменность этих долей вдоль пути, характеризующего переход из к-го состояния в (к + 1)-е, интерпретируется как признание информационной равноценности точек искомого пути. Такой путь существует, определяется формулами (15) и порождает индексы Монтгомери - Вартиа(1) или индексы Дивизиа - Монтгомери.
Факторная идентичность индексов Дивизиа - Монтгомери IPDM, IQDM при общем семействе определяющих их путей Sп. имеет следствием то, что эти индексы обладают всеми свойствами, присущими индексам, порождаемым двумя различными конструкциями траекторных индексов. Из сведений, приведенных в разделе 1 статьи, следует, что индексы IPDM, IQDM удовлетворяют аксиомам стоимости (IV = 1Р ■ обратимости состояний и факторов, монотонности, согласованности при агрегировании и идентичности, не изменяются при невырожденных преобразованиях параметра ?, функциями от которого являются цены р,-(?) и количества с,(?).
Из постоянства долей вкладов 2п факторов р., с выводится инвариантность доли суммарного вклада любого подмножества таких факторов при невырожденном преобразовании соответствующих переменных [1; 2]. Очевидны также те свойства этих индексов, проявляющиеся при их сравнении с индексами из множеств D(B), D(C) и М(В), М(С), которые были рассмотрены в разделе 2 статьи.
Но анализ выполнения Аксиомы транзитивности (циркулярности) для индексов Дивизиа - Монтгомери должен базироваться на строгом определении этого свойства для траекторных индексов. Ограничимся рассмотрением такого определения для трех состояний, характеризуемых известными значениями п цен и количеств:
(р0,С0), (р1,с1) (р2,с2).
Индексы Дивизиа и индексы Монтгомери превращаются в индексные формулы, если при любых положительных значениях переменных (р ,С ) и (р ,с ) определен соединяющий эти два состояния положительный и дифференцируемый путь п(?;р ,с ; р ,С ). Такие пути образуют семейство путей Sп. Для путей из такого семейства будем использовать следующие упрощающие обозначения:
п(?; р0,с0; рУ) = п0;1, п(?; р°,с°; р2,С2) = п0;2, п(?; р1,с1; р2,С2) = п1;2.
Траекторные индексы 1Р, порождаемые семейством путей Sп, удовлетворяют аксиоме транзитивности, если для любых допустимых состояний (р°,д°), (р1,д1) (р2,д2) выполняются соотношения
(35) 1Р(п0;1) ■ 1Р(п1;2) = 1Р(п0;2), ^(п0;1) ■ ^(п1;2) = ^(п0;2).
В общем случае, т.е. для семейства путей Sп, не удовлетворяющего специальным ограничениям, равенства (35) не выполняются. Это доказывается построением достаточно простых примеров таких семейств. Но можно ограничиться рассмотрением
только транзитивных семейств путей, для которых путь л0'2 является объединением пу-00** * * 2 2 * * 0'2 тей р ,д ; р ,д ) и р ,д ; р ,д ), если точка-состояние (р ,д ) принадлежит пути п ' .
Тогда условия транзитивности (35) будут выполняться для индексов Дивизиа, порождаемых семейством транзитивных путей, при условии, что состояние (р1,д1) не
0 0 2 2 0'2
произвольно, а принадлежит пути р ,д ; р ,д ) = п ' . Такую транзитивность тра-екторных индексов можно называть условной транзитивностью относительно семейства транзитивных путей Sп. В то же время необходимо иметь в виду, что индексы Монтгомери не являются условно транзитивными относительно транзитивной системы путей. Балк в [15] фактически использовал именно определение условной транзитивности индексов, не формулируя такое определение явно.
Очевидно, что семейство путей (15) транзитивно. Поэтому индексы Дивизиа -Монтгомери, являясь частным случаем индексов Дивизиа, условно транзитивны относительно этого семейства. Однако сцепленные индексы ГР[0;Т], ^[0;Т], получаемые из индексов Дивизиа - Монтгомери IPDM(k' k + 1) и IQDM(k' k + 1) и обозначаемые IPDM[0'T] и IQDM[0'T], не являются индексами Дивизиа, поскольку в общем случае последовательность состояний (рк,дк + k = 0,1,.,Т не принадлежит пути
0 0 Т Т
р ,д ; р ,д ). Именно для таких последовательностей и конструируются сцепленные индексы. Формулы для таких индексов
т т
1п 1РПМ [0; Т] = е 1п 1РПМ (k -1; k), 1п ^ПМ [0; Т] = £ 1п ^ПМ (k -1; k)
k=l k=l
базируются на тождестве
1п ^^ = £ 1п V(k) = £ 1п ^П"' (k -1; k) + У 1п ^П71' (к -1; k) = V(0) £ V^ -1) k=l k=l
= 1РПЛ' [0;Т] + [0; Т],
в котором используются пути ж (г; р-1, дk-1; рк, дк ), генерирующие индексы Дивизиа -
Монтгомери. В нем реализуется конструкция индексов Дивизиа, применяемая к поТ 0 0 11 Т Т
следовательности состояний } = (р ,д ),(р ,д ),...,(р ,д )}, соединяемых путями ж* (г; р1с-1, gk-1' р1с, д). Поэтому индексы IPDM[0' Т] и IQDM[0' Т] можно называть также сцепленными индексами Дивизиа и обозначать ^ [0; Т], ^ [0; Т]. Но для той же последовательности состояний и путей конструкция индексов Монтгомери базируется на другом тождестве
V(Т) - V(0) = е (V(к) - V(к -1)) = е (А* V(к) + е А* V(к) = А* (V(Т)) + Д* (V(Т)).
4=1 к=1 к=1
Следовательно, индексы Монтгомери 1РМ [0;Т], IQM [0;Т] для последовательности состояний {К0Т} вводятся по аналогии с формулами (4):
1п 1РМ * [0;Т ] = А*' (V (Т = е 1РМ * (к -1; к) V (к) - V (к -1) .* V ) - * V (0),
р V(T) - V(0) LnV(к) - 1пV(к -1) V(Т) - V(0)
1пдм*■ [0;Т] = А(V(Т»ЬГСТМПШ = е дм* (к -1;к) К(к)- К(к -1) .
^ ¥(Т) - 7(0) к"! Ьи¥(к) - 1п7(к -1) 7(Т) - ¥(0)
в которых индексы Дивизиа - Монтгомери IPDM(k - 1; к) и IQDM(k - 1; к) суммируются с весами Ь(к) = ¿(V(к -1), V(к))/¿(V(0), V(Т)).
Следовательно, конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери, идентичные при использовании путей (15) для соседних состояний, в случае их распространения на
0 0 11 Т Т
последовательность состояний {(р ,д ),(р ),...,(р )} определяют различные пары сцепленных и взвешенных сцепленных индексов цен и количеств, а именно индексы
^М[0;Г] = ^^[0;Т] ф ШМ^[0;Г], ^М[0;Г] = ^^[0;Т] ф ^М^[0;Г].
Но взвешенно-сцепленные индексы Монтгомери 1РМ [0;Т], IQM [0;Т] для последовательностей {Я 0Т} не удовлетворяют Аксиоме условной транзитивности, формулируемой по отношению к последовательностям ^0Т(1)}, ^Т(1)Т(2)} и ^0Т(2)}. Эта Аксиома требует, чтобы последовательности состояний ^0Т(1)} и ^Т(1)Т(2)} включались в последовательность ^0Т(2)}. В то же время сцепленные индексы Дивизиа - Монтгомери ^М[0;Г], ^М[0;Г] или сцепленные индексы Дивизиа ^^[0;Т], ^^[0;Т] удовлетворяют Аксиоме условной транзитивности. Поэтому применение в рассматриваемых ситуациях индексов IPDM[0;T] и IQDM[0;T] следует считать более обоснованным.
6. Заключение
Предложено согласованное аксиоматическое и интерпретируемое в рамках принимаемых в прикладной статистике предположений решение проблемы выбора путей и проблемы выбора конструкции индексов среди траекторных конструкций индексов Дивизиа и Монтгомери. При расчетах индексов непосредственно для пар состояний цен и количеств, а также и для соединяющих их последовательностей состояний, у индексов, рекомендуемых для теоретического и практического применения, сохраняются свойства, признаваемые теорией индексов необходимыми и присущими индексам, порождаемым двумя этими конкурирующими конструкциями.
Для рассматриваемых периодов-состояний теория и статистическая практика полагают известными количества и средние для периода цены товаров и услуг. Это принимаемое в классической теории индексов цен и количеств без обсуждения допущение оправданно, если со временем в каждом из периодов цены не изменяются. В ситуациях, когда цены не постоянны, средняя для периода цена товара зависит
от динамики его количества, которая, как правило, не наблюдаема статистически. Поэтому в практических расчетах индексов традиционно используются эвристические, не имеющие обоснования и не связанные с динамикой количества оценки средней для периода цены товара. В дальнейшем предполагается дать практически реализуемое и согласующееся с индексами Дивизиа - Монтгомери решение проблемы определения по доступным статистическим данным средних цен для предполагаемых однородными периодов с непостоянными ценами товаров.
* * *
список литературы
1. Ершов Э.Б. Вступительная статья к монографии [4].
2. Ершов Э.Б. Индексы цен и количеств Фишера и Монтгомери как индексы Дивизиа / / Экономика и математические методы. 2003. № 2.
3. Ершов Э.Б. Линейные связности в пространствах цен и количеств, индуцируемые индексами Фишера и Монтгомери / / Экономика и математические методы. 2005. № 4.
4. Кевеш П. Теория индексов и практика экономического анализа. М.: Финансы и статистика, 1990.
5. Ковалевский Г.В. Индексный метод в экономике. М.: Финансы и статистика, 1989.
6. Федоров В., Егоров Ю. К вопросу о разложении прироста на факторы // Вестник статистики. 1977. № 5.
7. Хумал А. Разделение прироста произведения // Известия АН ЭССР. Сер. физ. мат. и техн. наук. 1962. № 1.
8. Шеремет, А.Д., Дей Г.Г., Липовецкий С.С. Логарифмический метод экономического анализа многофакторных показателей хозяйственной деятельности // Вестник МГУ. Сер. 6, экономика. 1984. № 1.
9. Экономическое обоснование структуры сельскохозяйственного производства. М.: Экономика, 1965.
10. Allen R.G.D. Index Numbers in Theory and Practice. London and Basingstoke: Mac-millan Press Ltd., 1975. Русский перевод: Ален Р. Экономические индексы. М.: Статистика, 1980.
11. Blackorby C, Primont D. Index Numbers and Consistency in Aggreganion // Journal of Economic Theory. 1980. 22. Р. 87-98.
12. Balk B.M. Changing Consumer Preferences and the Cost of Living Index: Theory and Nonparametric Expressions // Zeitschrift für Nationalökonomie. 1989. № 2.
13. Balk B.M. Axiomatic Price Index Theory: A Survey // International Statistical Review. 1995. 63. № 1.
14. Balk B.M. Consistency-in-aggregation and Stuvel Indices // Review of Income & Wealth. Series 42. 1996. № 3.
15. Balk B.M. (2005). Divisia Price and Quantity Indices: 80 Years After // Statistica Neerlandica. № 2.
16. Balk B.M. Price and Quantity Index Numbers: Models for Measuring Aggregate Change and Difference. Cambrige University Press, 2008.
17. Cyhelsky L, Matejka M.K Rozklad absolutnich rozdilü a indexü // Statistika. 1976. № 8.
18. Diewert W.E. Superlative Index Numbers and Consistency in Aggregation // Econo-metrica. 1978. № 4.
19. Diewert W.E. Basic Index Number Theory. Ch. 15 // Consumer Price Index Manual: Theory and Practice. Geneva: International Labour Office, 2004.
20. Divisia F. L'monétaire et la théorie de la monnaie // Revue D'Economie Politique. 1925-1926. Vol. 39. № 4-6; Vol. 40. № 1.
21. Gorman W.M. Notes on Divisia Indices // C. Blackorby, A.F. Shorrocks (eds.). Separability and Aggregation. Collected work of W.M. Gorman. Vol. 1. Oxford: Clarendon Press, 1970.
22. Hulten C.R. Divisia Index Numbers // Economertrica. 1973. № 6.
23. Malaney P.N. The Index Number Problem: A Differential Geometric Approach. Ph.D, Thesis, Harvard University, Cambridge, MA, 1996.
24. Montgomery J.K Is There a Theoretically Correct Price Index of a Group of Commodities? Private edition. Rome: International Institute of Agricalture, 1929.
25. Montgomery J.K The Mathematical Problem of the Price Index. L.: P.S. King et Sons, Ltd., 1937.
26. Richter M.K. Invariant Axioms and Economic Indexes // Econometrica. 1966. № 4. P. 739-755.
27. Samuelson P.A., Swamy S. Invariant Economic Index Numbers and Canonical Duality: Survey and Synthesis //American Economic Review. 1974. № 4.
28. Törnqvist L. The Bank of Finland's Consumer Price Index // Bank of Finland Monthly Bulletin. 1936. Vol. 10. P. 1-8.
29. Triplett J.E. Price Index Research and its Influence on Data: A Historical Review. Bureau of Economic Analysis of the U.S. Department of Commerce, 1988.
30. Vartia Y.O. Ideal Log-change Index Numbers. University of Helsinki, Department of Economics. Discussion Papers № 18. 1975-06-01. 1975.
31. Ville J. The Existence-conditions of a Total Utility Function // The Review of Economic Studies. 1951-1952. Vol. 19. P. 123-128.
32. Vogt A Divisia Indices on Different Paths // W. Eichhorn, R. Henn, O. Opitz, R.W. She-phard (eds): Theory and Applications of Economic Indices.Würzburg: Physica-Verlag, 1978.
33. Consumer Price Index Manual: Theory and Practice. Geneva. International Labour Office, 2004.
