Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Моделирование процессов в приближении Фоккера-Планка

в них токи легко выражаются через новые неизвестные функции ф(р, z) 90 (р, z) и a(z). Например:

Уп = е — рп (р, z)= e—P0- |П(Р, z, 9V9 x = —Po Ф(р^ и т. Д. moY mo Y_„ mo Y Va(z)

На основе полученной системы уравнений были проделаны вычислительные эксперименты по расчету параметров транспортировки электронных пучков в модельных средах и внешних магнитных полях различной конфигурации. Полученные результаты дали хорошее согласие с проведенными ранее исследованиями [6] на основе многомоментной системы уравнений для сильноточных пучков релятивистских электронов.

Статья поддержана грантом РФФИ 04-01-00830.

Список литературы

1. Арсеньев Д.Н., Грудницкий В.Г., Комов А.Л., Рыгалин В.Н.. Численые методы моделирования РЭП // Коллективные методы ускорения и пучково-плазменные взаимодействия: Сб. научн. тр. // РТИ АН СССР, 1980. С. 131 — 140.

2. Квитко Г.В. Математическое моделирование потоков релятивистских заряженных частиц / / Доклады международного математического семинара, посвященного 140-летию Д Гильберта. Калининград: Изд-во КГУ, 2002. С. 291 —298.

3. Квитко Г.В., Буздин А.А., Латышев К.С. Метод «крупных частиц» в задачах моделирования процессов эволюции релятивистских электронных пучков / / Проблемы математических и физических наук: Материалы постоянных научных семинаров. Калининград: Изд-во КГУ, 2000. С. 3 — 8.

4. Александров А.Ф., Богданкевич А.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1988. С. 48.

5. Edward P. Lee. Phys. of Fluids, T.19, №1, 1976.

6. Грудницкий В.Г., Комов А.Л., Буздин А.А., Квитко Г.В. Взаимодействие электронного пучка с газовой струей в устройстве вывода / / Отчет МРТИ АН СССР, №В-266/501, 1983, С. 20.

Об авторах

Г.В. Квитко — ст. преп., КГу.

К.С. Латышев — д-р физ.-мат. наук, проф., КГу.

65

УДК 550.388.2

Н.М. Кащенко

ФАКТОРИЗАЦИЯ В ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИОНОСФЕРНОЙ ПЛАЗМЫ

Рассмотрены построение численного метода интегрирования вырожденных эллиптических уравнений на основе факторизации дифференциального оператора этих уравнений и вари-

Вестник КГУ. 2005. Вып. 1—2. Сер. Информатика и телекоммуникации. С. 65 — 70.

анты прогонки без разностей для решения одномерных конечноразностных уравнений.

Constructing a numerical method of integration of degenerated elliptical equations by a factorization of the differential operator of the equations, and variants of a factorization without differences due to solution of one-dimensional finite-difference equations are considered.

ближениях малости инерционных сил для заряженной составляющей плазмы и квазипотенциальности силовых линий магнитного поля Земли уравнения переноса заряженных частиц имеют вид [3]:

В этих уравнениях п, — концентрация частиц, qi — источники и потери, И, — матрица коэффициентов диффузии, имеющая только продольные компоненты, V,, — скорость переноса частиц. Аналогичный виц имеют уравнения теплопроводности.

Часто удобно решать уравнения таких моделей конечно-разностным методом на прямоугольных сетках в сферической системе координат. При этом возникает проблема решения вырожденных эллиптических уравнений со смешанными производными. Разностная аппроксимация таких уравнений приводит к разностным схемам, для которых не выполнено условие монотонности даже при аппроксимации в терминах потоков. Запись этих уравнений в дипольной системе координат после аппроксимации по переменной t приводит к уравнениям вида:

Здесь дифференцирование проводится по продольной координате, которую обозначим р.

Для решения таких уравнений предлагается в (2) факторизовать дифференциальный оператор (дифференциальная прогонка), затем факторизованную запись преобразовать в сферическую систему координат и решать факторизованные уравнения в этой системе по схеме бегущего счета. После факторизации уравнения (2) получаем систему

Здесь е и 2 являются вспомогательными функциями. Первое и второе уравнения интегрируются в направлении возрастания р, а третье ин-

1. Численный метод интегрирования вырожденных эллиптических уравнений

66

В предположении обычных при моделировании ионосферы при-

—f + div(-ZD iVni + niVi) = qi. dt

(1)

(-Au' + Ви)' + Си = D, A > О, С ^ 0, D ^ 0.

(2)

z' + — z = D, А

(3)

Au' + (B + e)u = z.

Факторизация в численных методах интегрирования

тегрируется в направлении убывания р. Систему (3) можно решать на прямоугольной сетке исходной системы координат, используя соответствующие разностные аппроксимации и схемы бегущего счета.

Пусть (х, у) — исходная система координат, а (а, р) — новая система и пусть для формул перехода справедливо соотношение:

І(х,у) _Г н-

0(а, Р) ^— V ц

„955 дх дх

Тогда — = v-+ ц—, поэтому — и — аппроксимируются разно-

др дх ду дх ду

п дм

стями назад при V > 0 и разностями вперед при V < 0, а — — разно-

дх

стями в обратном порядке. Аналогичные аппроксимации применяются и для производных по переменной у. Тогда суммарная погрешность аппроксимации имеет вид Дх + (ЛДм)' - мДе - еДм, где Дх, Дм, Де — погрешности аппроксимаций в уравнениях для х, м и е соответственно.

В зависимости от аппроксимации недифференциальных членов системы (3) получается семейство разностных схем с разными величинами суммарной погрешности аппроксимации. Параметры семейства следует подбирать для получения нужного свойства разностной схемы, например, для получения аппроксимации второго порядка. В ионосферных моделях для дополнительного уменьшения погрешностей аппроксимации область интегрирования делится пополам и применяется встречная дифференциальная прогонка с условиями гладкости решения на границе деления [3]. Описанная схема реализована на языке программирования Бойгап в рамках численной модели ионосферы.

2. Некоторые варианты скалярной прогонки

Решение трехточечных разностных уравнений методом прогонки основано на неявной факторизации соответствующего разностного оператора. В [2] рассмотрены некоторые варианты решения трехточечных разностных уравнений, но, как указано в [1], анализ вычислительной устойчивости проведен не полностью. В работе [1] показано, что классическая запись прогонки даже при диагональном преобладании имеет погрешность порядка 0(п3), и там же приведены примеры, показывающие, что при количестве узлов порядка 300 и использовании обычной точности могут получаться большие погрешности (десятки процентов и более). Там же указаны способы уменьшения этих погрешностей, в частности, с помощью преобразования прогонки к без-разностному виду.

Рассмотрим некоторые варианты прогонок без разностей. В этом случае, как указано в [1], погрешности округлений накапливаются со скоростью не более чем 0(п2), а при некоторых условиях на коэффициенты — 0(п). Приведем несколько вариантов безразностных прогонок.

1. В = 0. Этот случай рассмотрен в [1], а разностная схема для (2) имеет вид:

67

68

(Ь-1 + С-^УУ-^ — - ^1/

- а1У1—1 + (ь- + а- + С- )у — С-У-+1 - / - - 2, п — 1/

—я„У„—1 + (Ьп + а„ )Уп - ,

я, > О, Ь, ^ О, с, > О, й, ^ О.

В этих уравнениях выполнено условие диагонального преобладания. Прямой ход прогонки:

е.-т^~- /1 ^ ^

^1 + С1 ^1 + С1

-_ь±а±—^, /-_^±а/-^, - - 2, п — 1,

Ь- + С + а1е1—1 Ь- + С- + а1е1—1

У - йп + ап/П—1

п

Ьп + апеп — 1

При этом 0 < в- < 1.

Обратный ход прогонки:

У - (1 — в, )У*+1 + /-, I - п —1,2.

С

Здесь 1 — в, ------------< 1.

ь- + С- + а-в-—1

Следовательно, формулы обратного хода можно записать в безраз-ностном виде:

С

у- - т+Л—у-+1+/>. ь- + С- + а-в-—1

Кроме уменьшения порядка роста погрешностей этот вариант прогонки доказывает однозначную разрешимость соответствующих разностных уравнений.

2. В ф 0. В этом случае разностная схема имеет вид:

Ь + а1)У1 — С1У2 - ^1,

— а-—1У-—1 +(ь- + а- + С-—1)У- — С-У-+1 - , - - 2, п — 1,

—ап—1уп—1 + (ьп + Сп—1)Уп - йп,

Щ > 0, Ь; ^ 0, С; > 0, ^ 0.

В этих уравнениях условие диагонального преобладания в общем случае не выполнено.

Прямой ход прогонки:

в,-7-^, /1 - —

1 - / /1 ----------------- /

ь1 + а1 ь1 + а1

в. - Ь- + С-—1в-—1 , / - + а-—1 /-—1 , - - 2, п — 1,

а- + ь- + С-—1в-—1 а- + ь- + С-—1в-—1

Факторизация в численных методах интегрирования

У - йп + ап—1 /п—1

п 1 , •

Ьп + Сп—1вп—1

При этом 0 < в- < 1.

Обратный ход прогонки:

У- -^ (1 — в- )У-+1 + /-, - - п —1,2. а-

Здесь 1 — в- -------- --------< 1.

а- + ь- + С-—1в-—1

Следовательно, формулы обратного хода можно записать в безраз-ностном виде:

С

У- - —Г+---------У-+1+/'.

а- + ь- + С-—1в-—1

Как и в предыдущем случае, кроме уменьшения порядка роста погрешностей этот вариант прогонки доказывает однозначную разрешимость соответствующих разностных уравнений.

3. Циклический случай с В - 0. Разностные уравнения имеют вид:

— а-У-—1 +(ь- + а- + С1)У- — С-У-+1 - й-, - -1, п,

Щ > 0, Ь; ^ 0, С; > 0, ^ 0,

Уо - Уп, Уп+1 - У1.

Прямой ход прогонки:

С1 г й-\ а-\ Ъ

в1-, , 1,—, /1 -, , 1,—, §1 -, , 1,—, 21-- 1

Ъ1 + а1 + С1 1 Ъ1 + а1 + С1 1 Ъ1 + а1 + С1 1 Ъ1 + а1 + С1

1 / \ С- г + а-/-—1

ч-- Ъ- +С- +а-(§-—1 +2-—Л в- -— / /- -------------- —/

ч- ч-

—1 Ъ- + а-2-—1 . ^--тт

§1 - 1, 2; - —-L-i—L, - - 2, п — 1.

Вспомогательный ход прогонки:

Г1 - ап + Ъп + Сп , б1 - Сп , и1 - йп , 2п - Ъп,

б- - si—1вi—1, и- - “-—1 + si—1/i—1, 2п - 2п + si—1zi—1, г- - б- + ап + 2п, ; - 2, п — 1.

Вычисление Уп:

у - ип—1 + (ап + Бп—1)/п—1 п 2п + (ап + Бп—1)2п—1 ‘

В этих формулах величинах г;, б;, щ соответствуют уравнениям:

—апУп—1 + Г-Уп — б-У- - м-.

Обратный ход прогонки:

У- - в-У-+1 + /- + §-Уп , - - п — 1, 1

В этом варианте прогонки также отсутствуют разности, что, как и в предыдущих случаях, кроме уменьшения порядка роста погрешностей

69

7D

доказывает однозначную разрешимость соответствующих разностных уравнений.

Список литературы

1. Ильин В.П. Прямой анализ устойчивости метода прогонки // Актуальные проблемы вымислительной математики и математического программирования. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1985. С. 189 — 201

2. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 519 с.

3. Кащенко Н.М., Захаров В.Е. Численный метод интегрирования системы уравнений переноса ионосферной плазмы // Доклады международного математического семинара. Калининград: Издательство КГУ, 2002. С. 287 — 290

Об авторе

Н.М. Кащенко — канд. физ.-мат. наук, доц., КГу.

УДК 519.615.5

АА. Буздин, Е.А. Васильева

ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ МЕТОДА НЕПОЛНОГО БЛОЧНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ

Предлагается метод построения предобуславливателя для решения больших систем линейных уравнений, основанный на неполном блочном разложении блочных трехдиагональных матриц. Метод является обобщением методов, изложенных в работах [1; 2]. Его практическая реализация для модельной задачи сходна с реализацией метода модифицированной матричной прогонки [9]. Этот метод выгодно отличается от последнего своей эффективностью в случае, когда число блоков велико.

А preconditioner /or large systems o/ linear eqMations based on the incomplete block-decomposition /or block-tridiagonal matrices is presented. This method generalizes methods developed by BMzdin and WittMm [1; 2]. Practical realization o/ this method /or the model problem is similar to the realization o/ the method o/ complete matrix /ac-torization [9], bMt mMch more effective i/ the nMmber o/ the blocks is large.

При сеточных аппроксимациях многомерных краевых задач возникают системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка с разреженными матрицами. Одним из наиболее эффективных средств для решения этих задач в последнее время стали итерационные методы, основанные на неполной факторизации матриц, применяемые совместно со спектральными или вариационными принципами ускорения сходимости. Их главными достоинствами являются рекордная

Вестник КГУ. 2GG5. Вып. 1—2. Сер. Информатика и телекоммуникации. С. 7G—76.