CC BY
9Применяя лемму 3 к функции g(t) = f (x+t) и учитывая условие (3), получаем, что ^ 0 равномерно
по x при min{ni,n2} ^ Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-00169) и программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-979.2012.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of Л-bounded variation // Stud. math. 1976. 55, N 1. 87-95.
2. Саблин А.И. Л-вариация и ряды Фурье // Изв. вузов. Математика. 1987. № 10. 66-68.
3. Бахвалов А.Н. Суммирование методами Чезаро рядов Фурье функций из многомерных классов Ватермана // Докл. РАН. 2011. 437, № 6. 731-733.
Л
заметки. 2011. 90, № 4. 483-500.
5. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. М.: Мир, 1965.
6. Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы теории тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1993.
Поступила в редакцию 12.03.2012
УДК 515.12
ФАКТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РАЗМЕРНОСТИ (m,n)-dim
Н. Н. Мартынчук1
Доказывается факторизационная теорема для размерности (m, n)-dim.
Ключевые слова: размерность (m, n)-dim, обратный спектр, факторизационная теорема.
( m, n )
( m, n )
1. Введение. В работе [1] были введены классы GС-простргнств и m-GС-пространств, где G — класс конечных симплициальных комплексов, am — целое чи ело ^ 2. Частные случаи этих классов — классы (m,n)-С-пространств (m ^ n ^ 1), введенные в [2]. Классы (m,n)-С-пространств являются промежуточными между классом wid = (2,1)-С всех слабо бесконечномерных пространств в смысле СС
(m, n)
(m,n)-diml < оо X € (m,n)-С, (2,1Цт X = dimX.
(m, n)
Дополнительную информацию о теории размерности и покрытиях можно найти в [6].
Все пространства считаем нормальными (T4 + T1), все отображения — непрерывными. Через cov(X) обозначим множество всех открытых покрытий X, а через covm(X) — множество всех открытых покрытий из ^ m элементов. В выражении (U\,... ,Um) € covm(X) некоторые множества Uj могут быть пустыми.
Пусть и и v — семейства подмножеств множества X. Говорят, что v вписано в и, если каждый элемент V € v содержится в некотором элементе U € и. Семейство v комбинаторно вписано в и, если существует такая биекция i: v ^ и, что V С i(V) для любо го V € v. Если v комбинаторно вписано в и, мы пишем v >- и. Если v = (Vi,..., Vm), то через [v] мы обозначаем замыкание семейства v, т.е. [v] = ([Vi],..., [Vm])-
1 Мартынчук Николай Николаевич — студ. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mnick45Qbk.ru.
Пусть /: X ^ У — отображение, а и = (и^..., ит) — семейство подмножеств пространства У. Через /-1и обозначим прообраз семейства и при отображении /, т.е. /-1и = (/-1и^..., /-1ит).
Под порядком семейства множеств и (обозначение огс1(и)) мы понимаем наибольшее число и, такое, что и содержит и множеств с непустым пересечением. Если такого натурального числа не существует, то полагаем порядок и равным сю. Очевидно, огс1(и) ^ 1 тогда и только тогда, когда и — система попарно непересекающихся множеств.
2. Предварительные сведения. Напомним основные определения и предложения, связанные с размерностью (т, и)-сЦт.
Определение 1. Пусть и = (и1,..., ит) € соут(Х), и пусть ф = (Ф1,..., Фт) — семейство замкнутых подмножеств X, таких, что
Ф, С и,, з = 1,..., т; огё(ф) ^ 1.
Тогда (ф, и) называется т-парой в X. Множество всех т-пар в X обозначается через т(Х).
Определение 2. Пусть (ф, и) — т-пара в X, И пусть v = (У1,..., Ут) — семейство открытых подмножеств X,таких, что
Ф] С V] С и?-, з = 1,..., т; огё^) ^ и.
Тогда тройка (ф, V, и) называется (т, и)-тройкой в X. Очевидно следующее
Предложение 1. -Белы (ф, v,u) есть (т,и)-т,ройка в У и /: X ^ У — отображение, то (/-1ф; //- 1и) является (т, и)-тройкой в X.
Лемма 1. -Белы и1 ^ и2 м (ф, v,u) есть (т,и{)-тройка в X, то (ф, V,и) является (т,и2)-тройкой
в X.
Доказательство леммы непосредственно следует из определений.
Лемма 2 (об ужатии) [6]. Пусть и = (и1,...,ит) € соут^). Тогда существует семейство ^ = (^1,..., Гт) замкнутых подмножеств X, т,аких, что
т
С и?, з = 1,..., т; и^, = X.
]=1
Лемма 3 (о раздутии) [6]. Пусть ^ = ,..., Рт) — семейство замкнутых подмножеств X. Тогда, существует семейство и = (и1,..., ит) открытых подм,но жесте X, т,а,ких, что
Fj С и,, з = 1,..., т; огё([и|) = огё(ф).
Из леммы об открытом раздутии легко вытекает
Лемма 4. Каждая, т-пара, в X может быть включена, в (т, 1)-тройку (ф, v,u) в X. Определение 3. Пусть (ф, и) € т^). Замкнутое множество Р С X называется и-перегородкой т-пары (ф, и) (обозначение Р € Рай(ф, и, и)), если существует (т,и)-тройка (ф, v,u) в X, такая, что
р = X\и v.
По лемме 4 каждая т-пара (ф, и) в X имеет и-перегородку Р.
Определение 4. Пусть (ф^и^) € m(X), г = 1,..., г. Последовательность {(ф1 ,и1),..., (фг , иг)} называется и-несущественной в X если существуют перегородки Р^ € Раг^ф^и, и), такие, что
Р1 П ... П Рг = 0.
Определение 5 [5]. Пусть т,и € М,и ^ т. Каждому пространству X приписывается размерность X — целое чиело ^ — 1 ми ю. Размерностная функция (т,и)-сЦт определяется следующим
образом:
1) X = — 1 тогда и только тогда, когда X = 0;
2) (т, и^ёш^ ^ к, где к = 0,1,..., если каждый набор {(ф1, и1),..., (фк+1, ик+1)}, где ^, и) € т^), и-несуществен в X;
3) (т, иЦmX = оо, если (т, и^ЛX > к для всех к = —1, 0,1,....
3. Факторизационная теорема. Этот раздел посвящен доказательству факторизационной теоремы
(т, и)
Определение 6. Семейство В открытых подмножеств пространства X называется большой, базой X если для каждого замкнутого множества Р С X и любой его окрестности ОР найдется множество и € В, такое, что Р С и С ОР. Большой вес пространства X обозначается через WX. Известно, что wX = ^^ ^^^ ^^^^го бикомпакта X.
любых г,
Положим Р] = 0Р] и Ф]. Тогда
Предложение 2. Семейство всех копуль-подмпожеств X является большой базой в X.
Предложение 3. Пусть В — произвольная большая база в X. Последовательность (ф», м») € т(Х); г = 1,..., г, п-несущественна в X тогда и только тогда, когда существуют наборы V» = (У/,..., Ут) открытых подмножеств в X, т,акие, что
1) (фг, V», м») — (т, п)-тройка в X, г = 1,..., г;
2) У/ € В, г = 1,..., г; ; = 1,...,т;
3) IIГ=1 V» € covX.
Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость.
Пусть (фг, ) = {(Ф1, Ц),..., (Фт, Цт)} € m(X), г = 1,..., г, — п-несущественная последовательность в X Тогда существуют наборы ш» = (^7,..., Жт), г = 1,..., г, открытых подмножеств X, такие, что
(фг,шг, Мг) — (т,п)-тройка в X; (1)
ш = {Ж]: г = 1,..., г; ; = 1,...,т}€ cov(X). (2)
По лемме об ужатии существуют замкнутые в X множества 0Р-, такие, что 0Р] С Ж», и 0Р; = X для
о р» и ф; Тогда
Ф] С р; С Ж]; (3)
: г = 1,... ,г; ; = 1,..., т} = X. (4)
Поскольку В — большая база в X, условие (3) влечет существование € В, таких, что
р С У/ С Ж], г = 1,..., г; ; = 1,...,т. (5)
Положим V» = (У11,...,Утт)• Из (1), (3) и (5) следует, что огс^-и») ^ п, (ф», м») € m(X), а значит, (ф», V»— (т,п)-тройка в X. Условия (4) и (5) влекут п. 3 предложения.
Определение 7. Отображение /: X — У называется (т, п, г)несущественным,, если для любой последовательности {(ф1, м1), ..., (фг+ь мг+1)} с (ф^м») € т(У) последовательность {(/-1ф1,/-1м1),..., (/-1фг+ъ/-1мг+1)} п-несущественна в X.
Пусть В — большая база простр анства X, (ф, м) € т^). Если семейства ии открытых подмножеств X состоят из элементов данной большой базы В, причем ф = [и], то мы пишем (ф,м) € т(В).
Заметим, что в силу предложения 3 и леммы о раздутии имеет место
Предложение 4. Размерность X ^ г тогда и только тогда, когда любая последователь-
ность {(ф», м»)}^1, г(9е (ф^м») € т(В), п-несущественна в X.
Предложение 5. Пусть /: X — У — отображение и В — большая база в У. -Белы последовательность {(/-1ф1,/-1м1),..., (/-1фг+ъ/-1мг+1)} п-несущественна для любых (ф», м») € т(В), то / есть (т, п, г)
Доказательство. Пусть (ф», м») € т(У), г = 1,...,г + 1. Тогда из леммы об ужатии вытекает существование таких покрытий ш», состоящих из элементов В и комбинаторно вписанных в м», что (ф»,ш») € т(У), г = 1,... ,г + 1.
Из леммы о раздутии следует, что найдутся такие семейства ф замкнутых подмножеств У, что ф» >- ф» и (ф»€ т(В).
По нашему предположению последовательность {(/-1фь /-1ш1),..., (/-1фг+1, /-1шг+1)} п-несущественна в X. Но тогда и последовательность {(/-1ф1, /-1м1),..., (/-1фг+1, /-1мг+1)} п-несущественна в X в силу комбинаторной вписанности ш» >- щ, / -1ф» >- / -1ф»-
Лемма 5. Яусшь 5 = {X¿,/i+1} есть обратная последовательность из бикомпактов, и пусть X = Б. Если каждое отображение /¿+1 (т, п, г)-несущественно, то (т,п^mX ^ г.
Доказательство. Нужно показать, что произвольная последовательность {(ф1 ,м1),..., (фг+1,мг+1)} с (ф», м»)) € m(X) является п-несущественной в X. По определению предела обратного спектра существуют номер г € N и тары (ф], м]) € т^»), j = 1,..., г + 1, такие, что
ф; ^ /-1(м;) ^ м, ; = 1,...,г + 1; (6)
/»(ф;) ^ ф], (7)
где fi: X ^ Xi — предельные проекции спектра. Поскольку есть (m, п, ^-несущественное отображение, последовательность {(/+1 )-1 (Ф1, u1),..., (fi+1 )-1(ФГ+1, U.+1)} n-несущественна в Xi+1. Но тогда последовательность {(fi+1)-1(fii+1)-1(01, Ц),..., (fi+1)-1(fii+1)-1(^r+1, К+1)} n-несущественна в X. Так как, согласно (7), (fi+1)-1(fii+1)-V} j то {(ф1,и1),..., (0r+1,ur+1)} n-несущественна в X в силу (6).
Определение 8. Пусть т — бесконечное кардинальное число. Обратный спектр S = {Xa,nf, A} с сюръективными проекциями называется т-спектром, если
1) все Xa бикомпактны и имеют вес ^ т;
2) индексное множество A т-полно, т.е. для каждой цепи B С A с |B| ^ т существует supB в A;
3) система S непрерывна, т.е. для каждой цепи B С Ac |B| ^ т и supB = в диагональное произведение А{пв: а € B} есть гомеоморфизм между X^ и lim S|B — пределом обратного спектра S|B = {Xa, nf, B}.
Лемма 6. Пусть S = {Xa,п^,А} есть т-спектр, и пусть X = limS. Если (т,пЦmX ^ r, то для каждого ß € А найдется а € А, ß ^ а, такое, что п^ — (m, n, r)-несущественное отображение.
Доказательство. Так как WX^ = wX^, то существует большая база B в X^ с |B| ^ т. Пусть
а = {(ф, Ui) = {(Ф1, U1),..., (Фт, um)} : i = 1,..., r + 1} € (m(B))r+1. Поскольку (т,пЦmX ^ r, последовательность п— n-несущественна в X. Из предложений 2 и 3
вытекает, что существуют конуль-множества Wj С X, i = 1,...,r + 1; j = 1 wi = (W1,..., Wm) имеем
Ввиду того что S есть т-спектр и Wj
множества ^ из Xa(CT), такие, что
, m,
(8) (9)
^-множества, существуют а(а) € А в ^ а(а), и открытые
(п- wi, п- 1ui) есть (m, п)-тройка в X
r+1
(J Wi € cov(X).
i=1
п-d) r Vji) = w- (10)
Так как A т-полно, найдется такое а € А, что а(а) ^ а для любого а € (m(B))r+1. Для а = {(^1,^1), ..., (фг+1,иг+1)} € (m(B))r+1 положим
Vi = (<И)-1ГVi), j = 1,..., m;
Vi = (V/,...,Vm), i = 1,...,r + 1. Из соотношения па(ст) = п^) ◦ па, а также из (10) и (11) следует, что
(11) (12)
W = п^) Г Vi) = п-1«^) )-Т j = п--1(^).
Значит, согласно (12), Из (8) и (13) получаем А из (9) следует, что
--1< _« vi^
-1 ^Т ji\
wi = п-1Ы.
((па) 10i,vi, (п^) 1ui) есть (m,n)-TpoftKa в Xa.
r+1
(J Vi € cov(X«).
i=1
(13)
(14)
(15)
Из условий (14) и (15) вытекает, что прообраз (па)-1ст и-несуществен в X« для любо го а € (т(В))г+1. Таким образом, отображение п^ (т, и, г)-несущественно по предложению 5.
Теорема. Пусть /: X — У есть сюръективное отображение бикомпактных пространств. Тогда, существуют бикомпакт ^ ^ ^^^^ражения д: X — Z м Н: Z — У, т,акие, что / = Н о д, (т,и)-Шт^ ^ X и wZ = -шУ.
Доказательство. Пусть wX = Л > ^ = wY ^ w0 (если Л ^ ^ или пространство Y конечное, то утверждение теоремы очевидно). Положим Ao = {а С Л: |а| = Множество Ao частично упорядочено по включению. Пусть IT — тихоновский куб. Пусть p^: I5 — I7 есть проекция I5 на I7 для y С S С Л. Пусть ао € Ao, Ло = Л \ ао и Iл = Ia° х Iл°. Тогда существуют вложения i: X — I\ j: Y — Iа°, такие, что f = j-1 о p0,° ◦ i- Действительно, пусть j: Y — Iа° и k: X — Iл° — некоторые вложения пространств Y в Ia° и X в IЛ° соответственно. Положим i = (j о f)Дк: X — IA, где через (j о f)Дк обозначено
j о f k
j-1 о р0° о i(x) = j-1 о Ра°(j о f (x) k(x)) = j-1 0 j 0 f (x) = f (x)-
Положим A = {а € A0: а0 ^ а} Xa = p^ о i(X) и определим п^: Xa — X^ как п^ = p^X •
С учетом вышесказанного и того факта, что тихоновский куб !л является пределом ^-спектра S1 = {Ia,pa, A} из тихоновских кубов веса ^ < Л, имеем следущее утверждение:
S2 = {Xa,Пз, A} есть ^-спектр и i(X) = S2.
Применяя это утверждение и лемму 6, можно построить возрастающую последовательность ао < а1 < • • • < а^ < а^+1 < ... индексов из A, таких, что п^1 являются (m, n, ^-несущественными, i € w.
Положим а = suр{а^: i € w} € A и S0 = {Xai , пО^1, i € w}. Поскольку S2 — непрерывный спектр, бикомпакт Xa гомеоморфен jim S0. Следовательно, согласно лемме 5, Xa ^ r.
Отождествим X с i(X), Y с j(Y) = Xa° и f с па°. Осталось положить Z = Xa, g = па и h = последствие. Пусть X — бикомпакт с (m,n)-dimX ^ r. Если X = lim S, где S = {Xa, п^, A} — т-спектр, то для каждого в € A найдется а € A, в ^ а, такое, что (m,n)-dimXa ^ r.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Федорчук В.В. C-пространства и симплициальные комплексы // Сиб. матем. журн. 2009. 50, № 4. 933-941.
2. Fedorchuk V. V. C-spaces and matrix of infinite-dimensionality // Topol. Appl. 2010. 157, N 17. 2622-2634.
3. Haver W.E. A covering property for metric spaces // Lect. Notes Math. 1974. 375. 108-113.
4. Addis /). /•'.. Gresham J.H. A class of infinite-dimensional spaces. I. Dimension theory ans Alexandroff's problem // Fund. Math. 1978. 101, N 3. 195-205.
5. Fedorchuk V. V. Finite dimensions defined by means of m-coverings // J. Egypt. Math. Soc. 2012. 64, N 4. 347-360.
6. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1972.
Поступила в редакцию 11.03.2012
Механика
УДК 539.3
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА В СЛУЧАЕ ТРАНСЗВУКОВОЙ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ НАГРУЗКИ
А. В. Звягин1, Д. В. Куратова2
Наследуется напряженно-деформированное состояние упругого полупространства под действием подвижной нагрузки штампа. Целыо исследования является получение и исследование аналитического решения в случае трансзвуковой скорости движения штампа.
Ключевые слова: контактная задача, напряженно-деформированное состояние упругого полупространства, трансзвуковая скорость.
The stress-strain state of an elastic half-space under the action of a moving load (stamp) is studied. The purpose is to obtain and analyze an analytical solution in the case of transonic stamp's velocity.
Key words: contact problem, stress-strain state of an elastic half-space, transonic velocity.
Трансзвуковые скорости характерны для рикошетного взаимодействия частиц космического "мусора" с поверхностью защитных экранов летательных аппаратов или с поверхностью самих летающих объектов. Большой вклад в постановку и исследование такого рода задач внесли в статической постановке Н.И. Мусхелишвили [1| и в динамической Л.А. Галин [2|. В монографии [2| помимо постановки и решения целого ряда динамических задач контактного взаимодействия содержится достаточно полный обзор результатов но данной проблеме. Математические методы решения задач контактного взаимодействия заложены трудами многих авторов (см. монографии [3, 4|). В данной работе считается, что движение в системе координат, связанной с жестким штампом, установившееся.
В неподвижной системе координат наблюдателя (ж'о'у'), представленной на рис. 1, плоскопараллельное движение упругой среды удовлетворяет волновым уравнениям для потенциалов продольных <^(ж', у', t') и поперечных ф(ж', у', t') волн:
у х-р у = const
Рис. 1. Движение штампа по границе упругого полупространства
д V W2
9(дV д2^\ д2Ф 1.->[д2ф д2Ф\ г--— ,
Здесь а, Ь — соответственно скорость продольных и поперечных волн; р — плотность среды; А, ^ — упругие модули Ламе; Ь' — время. Поле перемещений выражается через потенциалы формулами Ламе
их = -—: + дж'
(2)
д^> | д^ д^> д^ ду'' у ду' дж'
Подстановка перемещений (2) в выражения для деформаций и закон Гука позволяют найти выражения для напряжений
+ (dV | д'2Ф \
ахх 1 ч дх'2 + ду12; АЧ дх>2 + дх'ду') _ f д2^ д2<^\ f д2^ д2ф \
а,
yy
ду
'2
дх'ду')
(3)
а
xy
М 2
д2 ^ д2 ф д2ф
+
дж'ду' ду '2 дж'2 J
1 Зиянии Александр Васильевич доктор физ.-мат. паук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ,
е-шаП: гувавкаОгатЫег.ги.
2
Куратова Дарья Владимировна daria.v.kuratovaOgmail.com.
асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
