CC BY
27
УДК 517.93
ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ ДОПУСТИМЫХ ПАР УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ПО УПРАВЛЕНИЮ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
© А.И. Булгаков, Е.А. Панасенко, А.О. Сергеева
Ключевые слова: допустимые пары; продолжаемость; априорная ограниченность; управляемая система с запаздыванием.
Для управляемых систем с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием рассмотрены вопросы продолжаемости допустимых пар.
Пусть Rn — n-мерное пространство с нормой | ■ |, comp[Rn] (conv[Rn]) — множество всех непустых (непустых выпуклых) компактов пространства Rn; Cn[a,b] — пространство непрерывных функций x : [a, b] ^ Rn с нормой ||x||c«[a,b] = max {|x(t)| : t € [а, b]} ; L^ [a, b] — пространство измеримых по Лебегу ограниченных в существенном функций x : [a, b] ^ Rn с нормой ||x||l^[а,ъ\ = vraisup {|x(t)| : t € [а, b]} .
Пусть заданы непрерывная функция f : [a, b] х Rn х Rm ^ Rn и непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображение U : [a, b]xRn ^ conv[Rm]. Рассмотрим управляемую систему с запаздыванием
x(t) = f (t,x[p(t)],u(t)), x(t) = ^>(t), если p(t) < a, t € [a,b], m
u(t) € U(t,x[g(t)]), x(t) = ^(t), если g(t) < a, ( )
x(a) = xo (xo € Rn), (2)
где непрерывные функции <p : (-то, a) ^ Rn, ф : (-то, a) ^ Rn ограничены, а непрерывные функции p : [a, b] ^ R, g : [a, b] ^ R для любого t € [a, b] удовлетворяют неравенствам p(t) ^ t, g(t) ^ t.
Пусть т € [a, b]. Определим непрерывные операторы PT : Cn[a, т] ^ L^[a, т] и GT : Cn[a, т] ^ L^[a, т] равенствами
(P x)(t) = J x[P(t)], если P(t) € Кт] (3)
(PTx)(t) \ <^[p(t)], если p(t) < a , (3)
(Gtx)(t) = ( x[?<f если 9<t! € [<*’т] (4)
I ф[#^)], если g(t) < a .
Под допустимым управлением на отрезке ^,т] (т € (a, b]) управляемой системы (1) будем понимать такую измеримую по Лебегу функцию u : [a, т] ^ Rm, для которой существует абсолютно непрерывная функция x : [a, т] ^ Rn, что при почти всех t € [a, т] выполняется включение
u(t) € U(t, (GTx)(t)) (5)
1645
и при этом управлении функция х : [а, т] ^ К” при почти всех і Є [а, т] удовлетворяет уравнению
Х(і) = /(і, (Ртх)(і),и(і)) (6)
и начальному условию (2). Пару (и, х) будем называть допустимой на отрезке [а, т]. Систему (1) будем называть управляемой системой с фазовыми ограничениями по управлению, поскольку выбор управления зависит от состояния управляемого объекта.
Отметим, что в силу теоремы об измеримом выборе (см. [1-3]) управляемая система (1) с начальным состоянием (2) эквивалентна задаче Коши с начальным условием (2) для дифференциального включения
Х Є / (і, (Рт х)(і), и (і, (Ст х)(і))), і Є [а, т ],
где операторы Рт : Сп[а, т] ^ [а,т], Ст : Сп[а, т] ^ Ц^[а,т] определены равенствами
(3), (4), соответственно.
Допустимую пару (ио,хо) на отрезке [а, то] (то Є (а, Ь)) будем называть продолжаемой, если найдется такая допустимая пара (иі,Хі) на отрезке [а, ті] (ті Є (т, Ь]), что и = ио и хі = х0 на [а,то].
Будем говорить, что (и, х) — допустимая пара на интервале [а, с) (с Є (а, Ь)), если функция и : [а, с) ^ Кт измерима по Лебегу, функция х : [а, с) ^ Кп абсолютно непрерывна на каждом отрезке [а, т] (т Є (а, с)), для каждого т Є [а, с) при почти всех і Є [а, т] выполняется включение (5), равенство (6) и х удовлетворяет начальному условию (2).
Будем говорить, что допустимая пара (и, х) на интервале [а, с) (с Є (а, Ь)) непродолжа-ема, если не существует такой допустимой пары (иі,хі) на интервале [а, сі) (сі Є (с, Ь]),
что иі = и и хі = х на [а, с).
Допустимую пару управляемой системы (1) на [а, Ь] будем называть непродолжаемой.
Используя результаты работ [4-6], можно доказать следующие утверждения.
Теорема 1. Существует т Є (а, Ь], для которого найдется допустимая пара на отрезке [а, т].
Теорема 2. Пусть (и, х) допустимая пара на интервале [а, с) (с Є (а, Ь)). Тогда
эта пара непродолжаема в том и только в том случае, когда ііш |х(і)| = то.
і^с—о
Теорема 3. Любую допустимую пару на отрезке [а, т ] можно продолжить до непродолжаемой.
Пусть Н(хо,т) — множество всех допустимых пар на отрезке [а, т] (т Є (а, Ь]) управляемой системы (1) с начальным состоянием (2).
Будем говорить, что множество допустимых пар управляемой системы (1) с начальным состоянием (2) априорно ограничено, если найдется такое число г > 0, что для всякого т Є (а, Ь] не существует допустимой пары (и, х) Є Н(хо,т), для которой выполняется неравенство ||х||с[а,т] > г.
Теорема 4. Пусть множество всех допустимых пар управляемой системы (1) с начальным состоянием (2) априорно ограничено. Тогда для любого т Є (а, Ь] множество Н(хо,т) = 0 и существует такое г > 0, что для каждых т Є (а, Ь], (и, х) Є Н(хо,т) выполняется неравенство |х|С[а,т] ^ г.
Определим отображение ^ : [а, Ь] х Кп х Кп ^ сошр[Кп] равенством
^ (і,х,у) = / (і, х, и (і, у)). (7)
Определение. Будем говорить, что отображение ^ : [а, Ь] х Кп х Кп ^ сошр[Кп],
определенное равенством (7), обладает свойством А, если найдется непрерывное отоб-
ражение I : [а, Ь] х [0, то) ^ [0, то) неубывающее по второму аргументу, что для любых
1646
t € [a, b],x,y € Rn выполняется неравенство
|F(t,x,y)| < 1(t |x| + |y|) и множество всех локальных решений задачи
y(t) = 1(t,y(t)+ m), y(a) = |xo|, априорно ограничено, где m = ma^ sup |^(t)|, sup |ф(^)^.
t€(-ro,0) t€(-ro,0)
Теорема 5. Пусть отображение F : [a, b] x Rn ^ comp[Rn] обладает свойством А. Тогда для любого т € (a, b] множество H(x0^) непусто и существует такое r > 0, что для любой пары (u, x) € H(x0^) выполняется неравенство ||x||c[a,T\ ^ r.
ЛИТЕРАТУРА
1. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. и мех. 1959. № 2. С. 25-32.
2. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
3. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, II. // Екатеринбург УГТУ-УПИ, 2010.
4. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Части I-VI // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1275-1313.
5. Machina A., Bulgakov A., Grigorenko A. Generalized Solutions of Functional Differential Inclusions // Abstract and Applied Analysis Volume 2008, Article ID 829701, 35 p.
6. Григоренко А.А., Панасенко Е.А. Асимптотические свойства множеств решений дифференциальных включений. Тамбов: Издательский Дом ТГУ имени Г.Р. Державина, 2009. 141 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-97503); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.1.1/1131); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственные контракты № П688, № 14.740.11.0349, № 14.740.11.0682); темплана 1.5.10.
Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.
Bulgakov A.I., Panasenko E.A., Sergeeva A.O. Extendability of admissible pairs for controllable system with phase constrains on control and with delay.
For controllable systems with phase constrains on control and with delay there are investigated the questions of extendability of admissible pairs.
Key words: admissible pairs; extendability; a-priori boundedness; controllable system with delay.
1647
