CC BY
29
А.Ю. Шерман
ЭВОЛОЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ
Известно, что как источники оптического излучения, так и световоды подвержены случайным воздействиям [1]. Влияние флуктуаций диэлектрической проницаемости на эволюцию излучения, в том числе и нелинейную, достаточно подробно рассмотрено в [2-1)]. Остановимся на исследовании эволюции коротких случайных импульсов по оптическому волокну, описываемому нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) .
В работах [5,6] методом интегрирования по траекториям в приближении заданного канала рассматривается нелинейное распространение коротких детерминированных импульсов гауссовской формы как при наличии слабого гауссовского шума (например, спонтанного лазерного излучения или его неполной синхронизации мод), так и при случайной фазовой модуляции стационарным гауссовским процессом, и анализируется эволюция их корреляционных характеристик.
Самовоздействие светового импульса типа "шумовой вспышки" вида
Ф0(т) = £ (т) и (т) (1)
с гауссовской регулярной огибающей и(т) = ехр(-та/2) и мультипликативным гауссовским шумом Е(т) рассмотрено различными методами в [7"9] на коротких расстояниях. В частности, в [7] показано, что с ростом пик мгновенное распределение решение НУШ все больше отличается от гауссовского.
Асимптотические характеристики решения НУШ на основе метода обратной задачи рассеяния для начальных условий типа солитон + шум Ф0(т) = эесЬ т + ЕСт) рассмотрены в [ю], где отмечалась близость распределения решения НУШ к гауссовско-му при сохранении односолитонного режима распространения (при малых флуктуациях), и отход от гауссовости с ростом флуктуаций, что объясняется нарушением односоли-тонности.
Статистические характеристики связанного состояния нескольких солитонов рассмотрены в [11,12] .
Ограничиваясь односолитонным режимом распространения, рассмотрим статистические характеристики сигнала на выходе оптического волокна, описываемого НУШ
+ 1!Л! + н|ф|аф = О, (2)
Эп Эх*
когда на вход его подается случайное воздействие ф(0,т) = Ф0(т) произвольного вида. Для этого определим статистику решения уравнения (2) при некотором значении г|. Аналогичная задача решалась в [13] применительно к уравнению Навье-Стокса.
Обозначим и(гьт) = Кеф(п,т), V (п»т) =1шф(п»т) и рассмотрим вектор г = (и,у) . 8 этих обозначениях уравнение (2) с начальным условием ф(0,т) = Ф0(т) переписывается в виде
|£ + А 0 ♦ х А | г | аг = *о(т)6(л), (3)
где. А - а го(т) = (и(0,т), у(0,т))Т. Таким образом, по известной ста-
тистике *0(т) требуется отыскать статистику решения г(г|,т) в точке которую
удобно описывать в терминах характеристического функционала векторного аргумента 6(т)
00
ф[е(т);п] = <ехр{1 / ет (т) г Сп,т)с1т}> (4)
— со
ИЛИ
ф[в(т);п] = <ехр{т(в-г)} > , (5)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение.
Характеристический функционал дает полное статистическое описание процесса г(п # т). Так, п-мерная плотность распределения вероятностей
р (г ,...,г гп) = П 1 п
= —/" ... 7 ехр[иеХ + ... + е^Ые,.....еп,-п]с1е1...аеп,
(2п) 1
= г (п.-с^ , в1 = вСт^ .
Через характеристический функционал можно также выразить и все моменты г(п»т)
[Н].
Продифференцируем обе части уравнения (5) по п:
12 = <1 (в • |£) ехр{Нв-г)} > и подставим вместо Эг/Эп ее выражение из (3):
= Ив-{-А < ^ е1(в'2> > -НА < |2|22 еИ0-г> > + б(п) < г0(т)еИв-2>>}) Эп Эт» 0 1).
п 1(в-2)
поскольку е не зависит от т, то последнее уравнение можно переписать в
виде
= т (в - {-А -- ОФ + к А I О I а РФ + б (п) < г„(т)е1 (е"2)» , (6)
Эп Эта о
где й = (в1/0а>т/ |0|а = О* + Х>\, а = 6/<5ва(т) ат, а = 1,2 - оператор вариационного дифференцирования ['*•]• Заметив, что
<Ив-г0Ст)еИв'г)б(п)> = <1(в-г0)еив'го)6(п)> - ^ ®г [в],
получаем, что характеристический функционал решения НУШ в точке л является решением уравнения
^ = (е-{-А ОФ + к А | О I 2 ЙФ} ) <7>
ЭЛ Эх
с начальным условием ф[б(т);0] = Ф [в], где Ф [в] - характеристический функ-
о о
ционал случайного сигнала в начале эволюции (при п = 0) .
Уравнение (7) линейно относительно искомого функционала ф[в(т);т|], что удобно для численных расчетов и, кроме того, для него справедлив принцип суперпозиции, то есть если начальное условие есть сумма элементарных сигналов, то суммарный характеристический функционал равен сумме характеристических Функционалов, соответствующих отдельным начальным сигналам.
Решение уравнения (7), как и в других аналогичных задачах, будем искать в
/
виде функционального степенного ряда вида
Ф.,+Ф3 « С8>
ф=е (1 + £ Ф„)/
п = 3
где 4>п - однородные степенные функционалы степени п:
Ф1 = фДеЫгп] = / ет (т)ф, (т;пНт,
Ф3 = Ф2[в(т);л] = //вт(т)фа(т,5;п)в(з)с)тс15/ ...
Этот ряд аналогичен ряду Грама-Шарлье для функций распределения вероятностей [15]. Экспоненциальный множитель в (8) представляет собой характеристический функционал гауссовского случайного процесса, имеющего те же первые и вторые моменты, что и рассматриваемый сигнал, а ряд в скобках описывает его отклонение от гауссовости.
Учитывая, что вариационное дифференцирование уменьшает, а скалярное умножение на 6(т) увеличивает на единицу степень функционала ®п, после подстановки (8) в уравнение (7) и приравнивания друг другу функционалов одинаковой степени, получается бесконечная система вариационных уравнений. Для замыкания системы воспользуемся гипотезой Миллионщикова о том, что четвертые моменты распределения можно выразить через вторые. Такое допущение справедливо для гауссовских случайных процессов и на практике выполняется для реальных полей, рассматриваемых, например, в статистической гидромеханике [ 13], и в данном случае влечет за
собой равенство Ф =0.
ч
Пренебрегая членами Фз и более высокого порядка в указанном приближении получается следующая замкнутая система уравнений
= (0. {-А ОФп + на[(СЬ^Ф,)а + (0,®,)^®,+ Э т
+ 201Ф1D, 0Фа + 2Da®1DaD®a + IDI3®^®, + ID|2D®3]})
(9)
ЭФ
а а
¿ = (е- {-А СФ2 + HAtCCD,*,)2 + (Djf,) )!>Фа +
(10)
(11 )
Эт-
♦ 2(01Ф,В1Фа + Da®1Da®a)D®i + 2(0^,0^3 + Da®1DaD®3) + + 2(D1®aD1D®a + Da®aDaD®a) + |0|2ФаВФа + IDI2Ф3D®,]})
ЭФ й2 г 2 2
g^p = (в- {"A 0Фз + ^[((D,®,) + (ОдФ,) )офз +
Э х
+ 2(0,0,0^, + 0аФ1ВаФа)0Фз + ((D^j)2 + (0аФа)2)0Ф1 + + 2(01®1D1®3 + 0аФ1 t>a®3) 0Ф1+ гСО^зО^Фз + 0аФаВаВФ3) + + |0|2Фа0Ф3 + 2(0.^,0^3 + 0аРФа0аФ3) + I D I 2Ф3 ВФ3] } ) .
Система уравнений (9-П) позволяет записать уравнения для первых трех мо-ментных функций, которые допускают только лишь численное решение, однако один очень важный вывод из них следует сразу. Если входной сигнал z0(t) является гауссовским с нулевым математическим ожиданием, что справедливо, например, для шумовой вспышки вида (1), то из уравнений (7"9) следует Ф1 Е 0, Ф3 =0 и
ЭФ2 а2 2
- = (в-{-А -- 0Ф_ + чА | 0 I Ф_0Ф „ +
Эг1 Эт2 2 (12)
+ 2xA(Di®aDiD®2 + 0аФа020Фа)}),
то есть сигнал на выходе оптического волокна, описываемого нелинейной моделью (3) с точностью до членов порядка ®s, подчиняется гауссовской статистике, корреляционная функция которой cpa(r,s;Ti) удовлетворяет уравнению в частных производных, которое можно записать из (12). В этом приближении оказывается обосно-
ванным использование гауссовской модели, примененной, например, в [16] при анализе распространения шума.
Из (10) получаются уравнения, определяющие матрицу корреляций квадратурных компонент огибающей случайного сигнала. Если нет необходимости в полной статистике, а требуется найти только корреляционную функцию процесса на выходе волокна, описываемого моделью (2), то можно воспользоваться иными методами. Так, в работе [5], используя метод интегрирования по траекториям исследована корреляционная функция отклика на входной сигнал вида ф (т) = е Т + п(т), где п (т) -гауссовский шум с нулевым средним, показано, что на начальном этапе эволюции форма гауссовского импульса не искажается: изменяются лишь его длительность и время корреляции, а влияние шума сводится к дополнительному расплыванию импульса. В [6] тем же методом исследованы корреляционные функции огибающей и интенсивности сигналов с начальной случайной фазовой модуляцией.
Непосредственно из НУШ с затуханием g в [9] с использованием известных методов анализа самовоздействия случайных волн в нелинейных диспергирующих средах [1,17] и ограничиваясь гауссовским приближением для В (х r s;п) = <Ф(п»т)ф*(л/s) > получено уравнение
.ЭВ(т,s;л) . 32B(T,s;n) _ 32B(T,s;n) Эп ЭТ2 3s2
+ 2к[В(т,т,п) " BCs,s;n)]B(T,s*n) + (13)
+ 2i ¡3B (т , s ;п) = О,
подробный анализ которого проведен в [9,18] для входного импульса вида (1).
ЛИТЕРАТУРА
1. А х м а н о в С.А., Дьяков Ю.Е., Ч и р к и н А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981.-6^0 с.
2. Р ы т о в С.М., Кравцов Ю.А., Тарарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 2. Случайные поля. М.: Наука, 1978, ЬбЬ с.
3.Безиерис И. Солитоны в среде со случайными неодлюродностями. В кн.: Нелинейные электромагнитные волны / Под ред. П. Усленги. М.: Мир, 1983, С. 70-91.
А. Z h а о Y. Soliton propagation in optical fiber with random perturbations II Optics Communications, 1988, Vol. 68, N 1, P. 21-2«.
5. Фаттахов A.M., Ч и p к и н A.С. Влияние шума на распространение световых импульсов в оптических волокнах // Квантовая электроника, 1983, Т. 10, N" 10, С. 1989-1996.
6. Фаттахов А.М., Ч и р к и н А.С. Нелинейное распространение Фазово-модулированных световых импульсов II Квантовая электроника, 198^, Т. 11, № 11, С. 23^9-2355.
7. Фаттахов А.М., Ч и р к и н А.С. Распространение шумовых сверхкоротких импульсов света в диспергирующих нелинейных средах // Известия АН СССР. Сер. Физическая, 1985, Т. ^9. № 3, С. 553-557-
8. Кандидов В.П., Ш л ё н о в С.А. Статистика частично-когерентного излучения в среде с кубической нелинейностью // Известия вузов. Радиофизика, 198, Т. 27, № 9, С. 1 1 58- 1 167.
9. Кловский Д.Д., С и с а к я н И.Н., Шварцбург A.B., Ш и-роков С.М. Статистические характеристики нелинейной эволюции случайного импульса в волоконном световоде // Радиотехника и электроника, 1987, Т. 32, 1С С. 7'»0-7'»6.
10. В ы с л о у х В.А., Иванов A.B., Чередник И.В. Статистика флуктуаций односолитонных решений нелинейного уравнения Шредингера // Известия вузов. Радиофизика, 1987, Т. 30, 1С 8, С. 980-990.
11 . В ы с л о у х В.А., Иванов A.B. Статистические характеристики оптических солитонов // Известия АН СССР. Сер. Физическая, 1988, Т. 52, " 2, С. 359-363.
12. В ы с л о у х В.А., Сухотскова H.A. Самосжатие и автомодуляционная неустойчивость случайномодулированных многосолитонных импульсов в волоконных световодах // Письма в ЖТФ, 1988, Т. 11», Вып. 9, С. 818-823.
1 3 • М о н и и A.C., Я г лом А.М. Статистическая гидродинамика. М. : Наука, 1967. Ч. 2.-720 с.
1Ь. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967.
15. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. - 624 с.
16. А х м а н о в С.А. Статистические эффекты в резонансной нелинейной оптике. - В кн.: Нелинейная спектроскопия / Под ред. Н. Бломбергена. М.: Мир, 1979, С. 3*17-368.
17. Л а с н а и и к Г.А. Самовоздействие пучков некогерентного света // 1ЭТФ, 1971), Т. 66, К 2, С. 1(90-500.
18. Ш е р м а н А.Ю., Широков С.М. Исследование нелинейного волоконно-оптического канала. * В сб.: Оптическая запись и обработка информации. Куйбышев: КуАИ, 1988, С. 52-62.
