CC BY
16Эволюция электрон-ионного облака в конце трека торможения отрицательного мюона в благородных газах
Батурин А.С., Горелкин В.Н., Растунков В.С., Соловьев В.Р.( vicsol@mail.cnt.ru)
Московский физико-технический институт
1. Введение
Метод анализа состава среды с помощью поляризованных мюонов (ц^Я-метод) основан на том, что при распаде мюона на лептон (электрон или позитрон, в зависимости от знака мюона) и соответствующее нейтрино лептон вылетает преимущественно в направлении (по или против) спина мюона. Регистрация этих быстрых лептонов пространственными датчиками позволяет измерить частоту и амплитуду прецессии спина мюона во внешнем магнитном поле. Частота прецессии характеризует локальное состояние мюона, т.е. является ли мюон свободным или взаимодействующим с частицами среды (захваченным ядром атома среды, прорекомбинировавшим с электроном и т.д.). Амплитуда прецессии, или амплитуда поляризации, характеризует количество мюонов в соответствующем состоянии. Таким образом, измеряя зависимость от времени амплитуды поляризации мюона на разных частотах, мы получаем информацию об участии различных компонентов среды в протекающих процессах и о скоростях этих процессов [1].
При торможении в исследуемой среде мюон образует цепочку электрон-ионных пар (трек мюона) вследствие ионизации атомов среды им самим и рожденными вторичными электронами, если их энергия выше потенциала ионизации атомов среды. Если мюон отрицательный, то на конце этого трека образуется облако электрон-ионных пар из-за захвата мюона атомом среды и ионизации среды высвободившимися при этом электронами Оже.
Атом, захвативший мюон, проявляет свойства атома с зарядом ядра на единицу меньшим. После серии каскадных переходов, сопровождающихся «выбросом» электронов Оже, захваченный мюон в итоге достигает основного 1 s состояния. Поскольку масса мюона в 207 раз больше массы электрона, в этом состоянии он локализуется намного ближе к ядру, чем электроны, и, тем самым, экранирует для них заряд ядра на единицу. Такой атом называется мюонным атомом и обозначается соответствующим символом таблицы Менделеева с нижним прединдексом ц. Например, при захвате отрицательного мюона атомами аргона и неона Аг превращается в цС1, а №, соответственно, - в
Изменение состояния мюонного иона или атома (рекомбинация, захват электрона, трансформация в ион-атомных процессах) и, тем самым, результат измерений в цБЯ-эксперименте, зависят от концентрации электронов в месте остановки мюона.
Существующие модели трека мюона и оценки влияния величины плотности электронов на поведение поляризации мюона [2-7] страдают одним общим и существенным недостатком -они не учитывают самосогласованность электрического поля в электрон-ионном облаке. Такое приближение в некоторой степени оправдано для случая торможения положительного мюона, когда число электронов в заряженной области невелико, а то и просто равно единице. В случае захвата отрицательного мюона, самосогласованное поле может сильно
видоизменить характер разлета электронного облака, пространственное распределение концентрации электронов и, как следствие, зависимость поляризации мюона от времени.
Цель данной работы - численное моделирование эволюции электронной концентрации в месте локализации отрицательного мюона в благородных газах с учетом самосогласованного электрического поля для определения степени влияния плотности электронов на результаты ^.БЯ-эксперимента в различных условиях и выявления физических процессов, которые можно было бы исследовать дБЯ-методом.
2. Постановка задачи и основные уравнения
Как было отмечено во введении, на конце трека отрицательный мюон захватывается атомом среды в возбужденное состояние, а затем за счет серии каскадных излучательных и оже-переходов попадает в ^ состояние. Такие переходы в № или Аг пройдут за время тц к 10-14 -10-11 с [8].
Так как мюон находится существенно ближе к ядру, чем электроны атома, то энергия мюона в этом состоянии может быть оценена по водородоподобной модели Еъ = Яуп22 / 2, где Яу =
27.2 эВ - постоянная Ридберга, г/ = 207 - отношение массы мюона к массе электрона, а 2 -заряд ядра атома. Для неона Ен к 270 кэВ, а для аргона - Ен к 900 кэВ. Для величин 2,
характерных для этих атомов, 2=10 в № и 2=18 в Аг, около 90% энергии Еъ выделяется в виде электромагнитного излучения (мезорентгена), а оставшиеся 10% передаются оже-электронам [8], то есть суммарная энергия оже-электронов Еил к 0.1Еи к 20 (90) кэВ для №
(Аг), а средняя энергия одного электрона аАиг к Еы /2 к 2 (5) кэВ.
Цена ионизации (средняя энергия, затрачиваемая электроном на рождение одной электрон-ионной пары) приблизительно равна удвоенному потенциалу ионизации и составляет weiк 40 эВ для №, и wei к30 эВ для Аг. Число порожденных одним оже-электроном вторичных электронов будет порядка еАиё/ wei к 50 - 100, а полное число электрон-ионных пар в сферической области на конце мюонного трека 2е. к 2аАи&/ wei к 500 для №, и 2^ к 3000 для Аг.
Исходя из этих оценок, во всех нижеследующих расчетах число электрон-ионных пар в ионизованной области, образовавшейся в зоне локализации мюона, принято равным 2^ = 1000.
Средняя энергия вторичных электронов приблизительно равна половине потенциала ионизации атомов среды [9]. В данной работе не учитывалось распределение вторичных электронов по энергиям. Считалось, что все электроны обладают одной и той же начальной энергией е0 = 1.5 эВ.
Как теория, так и эксперимент показывают, что вероятность выхода электрона Оже быстро растет с уменьшением его энергии [8], поэтому основная часть из Ъ оже-электронов обладает энергией еАиё к 1 кэВ, и лишь единичные электроны вылетают с энергией ~ 10 кэВ. Сечение ионизации электронным ударом Qi при энергии е к 1 кэВ близко к своему максимальному значению и составляет Qi к 0.6х10-16 и 2.5х10-16 см2 для № и Аг, соответственно [9]. Процесс ионизации при е к 1 кэВ сопровождается заметным разворотом импульса электрона [9], то есть носит диффузионный характер. В связи с этим, средний квадрат радиуса сферически симметричной ионизованной области определяется соотношением
(/¿ю) = 2Д.2 2Л, (1)
с длиной ионизации
Л = —. (2)
Электроны с энергией ~ 1 кэВ имеют скорость
¥е « 2-109 см/с, поэтому время образования облака электрон-ионных пар составит топ « в^ШдУ^г, ~ 10-14 - 10-13 с при N
22 3 13 12
^10 см . Приблизительно за такие же времена, техсн ~
10 - 10 с, многозарядный мюонный ион, образовавшийся из-за вылета оже-электронов, превратится в однозарядный М1+ за счет процессов резонансной перезарядки на окружающих атомах, так как сечение
14 2 22 3
резонансной перезарядки порядка 10 см [9]. Кроме того, при N ^10 см за время тсопу « 10-11 с [9] атомарный мюонный ион I+ конвертирует в молекулярный или кластерный ион в реакции
„I ++ 2 А ^ А! ++ А.
М М
Особенность реализации ^БЯ эксперимента не позволяет регистрировать процессы, протекающие быстрее, чем А^МЖ «0.5 нс, что определяется шириной канала счетчика.
Поскольку
А^ж >>тМ,тюп,техскТоот, процесс формирования электрон-ионного облака в конце трека
отрицательного мюона завершается задолго до момента получения результата мБЯ эксперимента по величине поляризации мюона. Таким образом, в качестве начального момента времени для задачи эволюции рассматриваемой заряженной области применительно к анализу мБЯ эксперимента можно взять момент времени, когда электрон-ионное облако уже сформировалось, а мюонный ион имеет заряд +1 и уже конвертировал в молекулярный ион: АгмС1+ или КеМБ+ для случаев Аг или №, соответственно.
В соответствии с диффузионным законом ионизации (1) начальное распределение электронов и ионов имеет форму распределения Гаусса, нормированного на полное число электрон-ионных пар 2еи и в используемой цилиндрической системе координат принимает вид
, \ Г *2+^21
П (,)(*, г) = п0ехР--т— , (3)
0
4 3
-3/2
т 0 =( г2) = 3 ад2, (4)
(5)
п) (2Д)3Д/
где * - расстояние вдоль оси цилиндрической симметрии, по которой направлено внешнее поле ЕоШ, г - расстояние от оси *. Центр распределения находится в точке * = 0, г = 0.
Дисперсия пространственного распределения в произвольный момент времени определяется как удвоенное среднее значение квадрата одной из декартовых компонент радиус-вектора частицы и в используемой цилиндрической системе координат описывается выражением
А = 2( *2) = | (*, г, I)2жгёгё*, (6)
^ге 3
величина А0 обозначает дисперсию начального распределения заряженных частиц (одинакового для электронов и ионов).
За характерный линейный размер облака частиц в момент времени I примем величину
, (7)
соответственно, г0 = ^А0 / 2 - размер начального электрон-ионного облака.
Поскольку отношение длины пробега электрона 1е = 1 / NQm к начальному размеру г0
ионизованной области 1е / г0 « Qi / QmZei «1/ 2е{ << 1, для описания динамики разлета
электрон-ионного облака применимо гидродинамическое приближение. Здесь Qm -транспортное сечение рассеяния электрона на атомах среды.
Уравнения переноса электронов и ионов в гидродинамическом приближении имеют вид дп
—+ = -агпеп1, J г = - + пКЕ, (8)
дХ дп
+ divJе =-агпеп1, Je =-БеУпе -пеКеЕ, (9)
дХ
и должны быть дополнены уравнением Пуассона для потенциала р электрического поля Е Е = -Ур, (10)
Ар = -4жв(п1 - пе), (11)
и уравнением изменения энергии электронов е
^ = (е) Ге-3 Т 1. (12)
дХ М е \ 2 )
Здесь е, т - заряд и масса электрона, М - масса атомов среды, Т - температура среды, De(е) и Di - коэффициенты диффузии электронов и ионов, Ке(е) и К - подвижности электронов и ионов, аг(е) - коэффициент рекомбинации электронов и ионов, уе = NQm (е)\12е / т -транспортная частота электрон-атомных столкновений.
Помимо термина энергии электрона е будет использоваться термин температуры электронов, определяемой как
Те = 3 е. (13)
В уравнении (12) не учитывается изменение энергии электронов в электрическом поле, и, тем самым, ее изменение по пространству. Это справедливо, если набор или потеря электроном энергии в поле на длине пробега много меньше средней энергии, теряемой в одном упругом столкновении
^ << 2т (Те - Т). (14)
NQm М
22 3
Оценки показывают, что для N ^10 см и используемых в дБЯ экспериментах полях до 50 кВ/см условие (14) выполняется практически во всей области, кроме зоны двойного заряженного слоя на границе разлетающегося облака. В работе [10] отмечается, что неточность вычисления энергии электронов в области двойного заряженного слоя из-за пренебрежения взаимодействием электрона с полем и вызванная этим неточность используемых коэффициентов переноса De(е), Ке(е) не дают существенного искажения результата по разлету облака. В связи с этим, использование приближенного уравнения (12) представляется вполне допустимым.
Начальными условиями для уравнений (8)-(12) являются начальные распределения концентраций электронов и ионов в виде (3) и условие Е = ЕоиХ для электрического поля.
Граничные условия включают условие цилиндрической симметрии при г = 0:
дг
= 0,
дц дг
= 0,
др дг
= - E„ = 0,
условие отсутствия потоков частиц при г ^го, 2 ^ ±оо :
JeZ = Л = 0 2 ^±го , Jer = Л = а г , и равенство электрического поля значению внешнего поля при г ^го, г ^ ±оо :
E = Eo
z ^ ±Ж, г ^ ж .
(15)
(16) (17)
3. Метод решения
Система уравнений переноса (8) - (9) решалась численно методом переменных направлений с дополнительными итерациями, разрешающими нелинейность по электрическому полю. Для решения уравнения Пуассона (11) были реализованы два метода: метод продольно-поперечных прогонок и метод установления с ускорением итераций с помощью полиномов Чебышева [11]. Второй метод оказался предпочтительнее из-за меньшего времени счета без потери точности.
Относительная точность для вычисления концентраций и потенциала электрического поля была принята равной 10-4
Тестирование программы проводилось на расчетах для конфигураций зарядов с известными аналитическими решениями для электрического поля и на проверке режимов простой и амбиполярной диффузии. Режим амбиполярной диффузии реализуется, если начальный размер ионизованной области много больше (в 50 и более раз) дебаевского радиуса для электронов.
4. Результаты и их обсуждение
4.1 Различные режимы разлета электрон-ионного облака
Для иллюстрации возможных режимов эволюции электрон-ионного облака в средах с положительной подвижностью электронов была проведена серия расчетов в гипотетическом приближении независящей от энергии электрона транспортной частоты столкновений ve и в
пренебрежении процессами электрон-ионной рекомбинации. Внешнее электрическое поле также предполагалось равным нулю: Eout = 0. Таким образом, рассматривалась динамика разлета облака в результате одних только процессов диффузии и дрейфа частиц в самосогласованном электрическом поле с учетом охлаждения электронов в упругих столкновениях с атомами среды.
Частота столкновений предполагалась постоянной и равной ее значению в Ne при некотором промежуточном значении Te = 3200 K, составляющем приблизительно 1/3 от начальной температуры электронов Te0 = 11600 К: ve = const = ve(г0/3)= 1.093x10nN/N0 c-1, N0 = 2.69х1019 см-3. Начальная энергия электронов s0 = 3Te0/2 = 1.5 эВ, плотность Ne принимала
20 3 22 3
значения от N = 3х10 см при Т = 300 К до плотности жидкой фазы N = 6.58x10 см при Т = 20 К.
В соответствии с приближением ve = const , подвижность электронов была постоянной
No
Ke0 = 1.61 -104 N см7(Б-с),
а коэффициент диффузии - прямо пропорциональным энергии электронов:
De (t) = ■
2 KB0s(t)
3 е
Результаты расчета отношения плотности электронов и ионов в центре области к их начальным значениям в этой точке представлены на рис.1. Рисунок 2 иллюстрирует зависимость от времени пространственной дисперсии электронного распределения А(^) в
единицах дисперсии начального распределения А0, а на рис.3 показано, как изменяются во
времени отношения дебаевского (го) и онзагеровского (гоП2) радиусов к текущей полуширине
электронного распределения г( = ^А^) / 2 и относительная энергия электронов в/в0.
Дебаевский радиус го(0, характеризующий пространственный масштаб разделения зарядов, определяется соотношением
(t) = j6 2S (t00t) ' О8)
]j 6ne ne (0,0, t)
а онзагеровский радиус ronz(t), равный расстоянию от центра области, на котором потенциальная энергия электрона в самосогласованном электрическом поле сравнивается с тепловой энергией среды, - как решение уравнения
3
вфош, t) = 2 T, (19)
где (p(r,t) - потенциал самосогласованного электрического поля электрон-ионного облака, а ne (0,0, t) - значение плотности электронов в центре области в момент времени t.
Дисперсия пространственного распределения электронов для гипотетических случаев их свободной диффузии без учета самосогласованного поля (пунктирные кривые на рис.2) или амбиполярной диффузии (штрих-пунктирная кривая на рис.2) вычислялась по формуле
t
Аf(a) =А0 + 4JDe{a)(t)dt . (20)
0
с использованием либо De, либо Da. Коэффициент амбиполярной диффузии равен
Da(t) = . (21)
Ke0 + K
Результаты расчета показывают, что даже в чисто иллюстративной модели ve = const
эволюция электронного облака имеет сложный неоднозначный характер. При достаточно больших плотностях среды (кривые 1, 2 на рис.1-3), когда начальная плотность электронов настолько велика, что изначально дебаевский радиус для электронов меньше размера ионизованного облака (сплошная кривая 2 на рис.3), электроны сначала разбегаются и оголяют ионный остаток, а затем возвращаются и полностью восстанавливают квазинейтральность заряженной области. Дальнейшая динамика электрон-ионного облака подчиняется закону амбиполярной диффузии.
При меньших плотностях среды (кривые 3, 4 на рис.1-3) первоначально разбежавшиеся электроны через некоторое время начинают возвращаться, о чем свидетельствуют участки увеличения ne(0, 0, t)/n0 и уменьшения А / А0 на соответствующих зависимостях, но затем
снова разлетаются со скоростью, близкой к скорости свободной диффузии. В итоге, в центре области остается, в зависимости от величины плотности среды, полностью или частично некомпенсированный заряд ионного остатка.
time, ns
Рис.1 Зависимость от времени нормированных плотностей электронов (сплошные линии) и ионов (пунктир) в центре области при разных плотностях Ne в приближении ve = const и
22 3 22
отсутствии электрон-ионной рекомбинации; 1 - N = 6.58x10 см при Т = 20 К, 2 - N = 10 см-3 при Т = 100 К, 3 - N = 1021 см-3 при Т = 300 К, 4 - N = 3х1020 см-3 при Т = 300 К.
1E+1 •
О
3
1
free diffusion
ambipolar diffusion
IIIIIIIJ IIIIIIIJ llllllll| llllllll| IIIIIIIJ Illing llllllll| I I IIIIII
1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 0.1 1 1E+1 1E+2
time, ns
Рис.2 Зависимость от времени относительной дисперсии пространственного распределения электронов; сплошные кривые - расчет для реального распределения, пунктир - для случая свободной диффузии электронов, штрих-пунктир - для случая амбиполярной диффузии; цифровые обозначения те же, что на рис.1_
2.5
1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 10 1E+2 1E+3 time, ns
Рис.3 Зависимость от времени (сплошные линии), гоп2/гх (пунктир) и в/в0 (штрих-пунктир); цифровые обозначения те же, что на рис.1
На начальной стадии разлет электронов происходит со скоростью свободной диффузии (рис.2). Из-за охлаждения электронов и соответствующего уменьшения коэффициента диффузии в совокупности с возрастающим действием возвращающей силы, обусловленной разделением зарядов, скорость разлета уменьшается и, в итоге, при достаточно больших плотностях среды, может поменять знак (кривые 1, 2, 3 на рис.2). Сравнение результатов, представленных на рис.2 и 3, показывает, что смена режима разлета электронов на режим их возвращения происходит при заметном снижении энергии электронов (при s « s0/4 для штрих-пунктирной кривой 2 и при s « 0.1s0 для штрих-пунктирной кривой 3 на рис.3), но электроны при этом еще не являются термализованными.
Основной причиной образования режима возврата электронов является уменьшение кинетической энергии электронов из-за потерь в упругих столкновениях с атомами среды. Возврат начинается, если кинетическая энергия электрона s становится меньше его потенциальной энергии eç в самосогласованном поле облака. Назовем это значение энергии электрона sret. По определению оно является корнем уравнения
sret (t ) = eç(t ) (22)
Если sret > 3T/2, то есть электрон к моменту выравнивания его кинетической и потенциальной энергии удалился от центра облака на расстояние меньше радиуса Онзагера, то он притягивается обратно к ионному остатку. Если sret < 3T/2, то есть электрон вышел за радиус Онзагера, то он продолжает диффундировать прочь от центра, и режима возврата не возникает.
Следует отметить, что реализация режима возврата электронов, а при возвращении всех электронов, как в случаях 1 и 2, и реализация в итоге режима амбиполярной диффузии электрон-ионного облака, не связана однозначно с величиной отношения дебаевского радиуса к текущему размеру ионизованной области rD/rt.
В случае 2, например, rD/rt < 1 уже для начального распределения электронов, но режим разлета электронов не амбиполярный, а диффузионный, и становится амбиполярным только после завершения фазы возврата, когда rD/rt ~ 0.05 << 1. В случае 3, действительно, фазе первоначального разлета соответствует rD/rt > 1, затем, из-за уменьшения энергии электронов, rD падает, и фазе временного возврата электронов соответствует rD/rt < 1, но с момента времени t « 10 нс снова начинается разлет электронов, хотя сохраняется соотношение rD/rt < 1.
Адекватным критерием реализации режима полного или частичного возврата электронов в область ионизации является выполнение условия превышения радиусом Онзагера размера электронного облака к моменту времени термализации электронов t = tT
ïsJtr) > 1 . (23)
rt (tT )
В случаях 1 и 2 ronz/rt >1 для всего диапазона изменения времени (пунктирная кривая 2 на рис.3), - электроны возвращаются и полностью компенсируют заряд ионов. В случае 3 ronz/rt « 1 и часть электронов безвозвратно покидает зону локализации ионов. В случае 4 ronz/rt < 1, и, по-видимому, большая часть электронов не возвращается. Вычисление доли вернувшихся в итоге электронов, а именно, асимптот, на которые выходят кривые 3 и 4 на рис.1, требует слишком больших ресурсов памяти ЭВМ и времени счета, и поэтому не было сделано в данной работе.
К сожалению, без проведения численного расчета невозможно предсказать выполнимость условия (23). Аналитическая оценка этого условия возврата (23), сделанная в работе [6] с
77 2
вычислением гош для кулоновского поля некомпенсированного заряда Е0 = ——, дает
^ г
заниженный результат величин и плотности среды, требуемых для выполнения условия (23), поскольку поле Ео много больше реального самосогласованного поля (рис.4).
1.0 Езри 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
2 'Л 4 ' * \ ' » \ ' » \
<Г\ *
\ 4» '
\ * ' \ * ' \ х'
0
Рис.4 Распределение электрического поля по радиусу в различные моменты времени для случая 1 на рис .1,2 (жидкая фаза, N = 6.58х1022 см-3 при Т = 20 К ), Ерк = 207 кВ/см, г0 = 6.67х10-6см;
1 - г = 10-4нс, 2 - г = 10-3нс, 3 - г = 10-2нс; 4 -поле некомпенсированного заряда = 1000 .
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6
10
Рис.5 Распределение электрического поля по радиусу в различные моменты времени для случая 3 на рис .1,2 (газообразная фаза, N = 1021 см-3 при Т = 300 К ), ЕрН = 388 В/см, г0 = 4.39х10-4см;
1 - г = 0.1 нс, 2 - г = 1 нс, 3 - г = 10 нс, 4 - г = 100 нс.
2
На рис.4 для различных моментов времени представлены распределения самосогласованного электрического поля вдоль оси симметрии облака для случая 1, когда все электроны в итоге возвращаются в область ионизации, а на рис.5 - для случая 3, когда временная фаза возврата электронов снова сменяется фазой разлета. Для сравнения, на рис.4 показано также поле некомпенсированного заряда Ео (кривая 4). Значения поля нормированы на величину ЕрЬ, -
то есть на величину поля, получающуюся на границе равномерно заряженной с плотностью п0 сферы радиуса га:
4
ЕрН = 3пеп0гв • (24)
Максимальное значение поля наблюдается в зоне разделения зарядов, на краю
г
некомпенсированного ионного остатка, и оказывается порядка Езрк, если г0/г0< 1, и Ей —,
гп
если г^/г0>1.
В случае 1 (рис.4) сначала, на стадии разлета электронов, поле возрастает и достигает максимума к моменту времени 10 нс, когда их разлет сменяется возвратом. После этого поле уменьшается из-за компенсации заряда ионов зарядом вернувшихся электронов. Кроме того, максимум поля смещается в сторону периферии области, где остается дебаевское разделение зарядов.
В случае 3 (рис.5) начальная стадия изменения поля такая же, как в предыдущем случае. Начинающийся с момента времени г « 1 нс возврат электронов слегка уменьшает величину
электрического поля (кривые 2 и 3 на рис.5). Поскольку в случае 3 гоп1/гх « 1 (см. рис.3), то даже небольшого уменьшения поля достаточно, чтобы электроны снова стали разлетаться из-за ослабшего притяжения к ионному остатку. Установившееся в итоге поле (кривая 4) мало отличается от максимального (кривая 2) и является полем ионного остатка, частично компенсированным вернувшимися электронами.
4.2 Разлет электрон-ионного облака в Ые и Аг
В этом пункте представлены результаты расчета динамики разлета электрон-ионного облака в № и Аг с использованием реальных зависимостей от энергии коэффициентов подвижности и диффузии электронов. Выбор этих сред для анализа продиктован тем, что в неоне подвижность электронов положительная во всем диапазоне энергий электрона, а в аргоне может наблюдаться эффект отрицательной подвижности из-за хорошо выраженного минимума Рамзауэра в зависимости транспортного сечения рассеяния электронов на атомах Qm от энергии (рис.6).
В используемом уравнении переноса электронов коэффициенты подвижности и диффузии определяются выражениями [12]
^ 2е 5/0 , ^ 2 г -Ше . ,
Ке =-4" ] ^гп Г Л* ё8, Пе = 3т ] , , /0 ^ (25)
3т 0 V 2NQm (е) да 3т ^2Щп (г)
где /0(е) - сферически симметричная часть функции распределения электронов по энергиям,
го
с условием нормировки /0(е)ёе = 1.
0
В решаемой задаче об эволюции электронного облака число электронов невелико, их взаимодействием можно пренебречь, таким образом, фактически решается задача о перераспределении в пространстве отдельно взятых электронов, то есть в каждой точке пространства есть только один электрон с энергией е(Х). Этому случаю естественным образом соответствует функция распределения электронов по энергиям
/0 (е') = -тЦ ¿(е'-е(О). (26)
\е
Для такой функции распределения, в соответствии с определением (25), коэффициенты подвижности и диффузии равны
Ке (е) = 2 -7111 - 7П~Л О] • Де (е) = ТТпЫёгП. <27>
3 пУе(е) I ^(е) де ] 3л/пNQm (е)
В случае достаточно больших положительных значений дQm / де, подвижность электронов
становится отрицательной, что и наблюдается в Аг в диапазоне энергий электрона от 0.35 до 3 эВ (рис.6). В этом случае электроны дрейфуют не против, а по направлению поля.
Данные для транспортных сечений рассеяния электронов в Аг и № взяты из работы [13]. Эти данные представлены на рис.6 сплошными линиями. Рассчитанные по ним с помощью соотношения (27) зависимости подвижности электронов от энергии при нормальной
19 3
плотности N = Ы0 = 2.69x10 см показаны на рис.6 пунктиром.
Результаты расчета нормированной плотности электронов в центре области для реальных зависимостей коэффициентов подвижности и диффузии электронов от энергии в № и Аг представлены на рис.7 для жидкой и газообразной фазы неона и жидкой фазы аргона.
Основной объем расчетов выполнен для случая отсутствия внешнего электрического поля, Еом = 0, в двух вариантах: без учета (сплошные кривые 1) и с учетом электрон-ионной рекомбинации (пунктирные кривые с треугольными или ромбическими символами 2).
4
з -2 1 -0
Е
о
-1 --2 --з
-4 -5
Аг ,
0.1
1.0
епегду, еУ
10.0
4 1.1
3 1.0
2 0.9 -0.8 -
1 и > о С 0.7 -
0 Е О сэ II 0.6 -
-1 ? ф -2* о" II 0.5 0.4 -
-3 0.3 -
-4 0.2 -
-5 0.1 0.0
11Ш1П| 11М1№| 1ИМ111|
1Е-5 1Е-4 1Е-3 1Е-2
Рис.6 Зависимость транспортного сечения рассеяния электронов [13] (сплошные линии) и подвижности электронов при нормальной плотности N = N = 2.69х1019 см-3 (пунктир) от энергии электронов в Аг и №.
ш1| 111
0.1 йте, пб
11М1№| 11М1№| МИШ
1 1Е+1 1Е+2 1Е+3
Рис.7 Зависимость от времени нормированной плотности электронов в центре области в № и Аг; сплошные кривые 1 - без учета рекомбинации, Еои1 = 0, символы 2 - с учетом рекомбинации, ЕоШ = 0, кружки - с учетом рекомбинации, ЕоШ = 80кВ/см ; Аг, Ц - для жидкой фазы аргона N = 2.1 х1022 см-3 при Т = 87 К), №, Ц - для жидкой фазы неона ^ = 6.58х1022 см-3 при Т = 20 К), ТМе, gas - для газообразной фазы неона ^ = 1021 см-3 при Т = 300 К)._
При описании рекомбинации учитывались как тройная рекомбинация с участием атома или электрона в качестве третьей частицы, с коэффициентами рекомбинации ага [14] и аге [15], соответственно, так и диссоциативная рекомбинация, поскольку мюонный ион при
21 3
рассматриваемых плотностях среды выше N = 10 см является молекулярным или кластерным ионом.
Коэффициенты тройной рекомбинации рассчитывались по формулам [14,15] а _ 32УП е6К (Т) а - 8пУ2П е10ПеЛ
аа 3 т72 м ' а т:12 , (28)
где Л « 0.3 - кулоновский логарифм для связанных состояний. Приведенное численное значение для Л подобрано так, чтобы обеспечить совпадение теоретического аге с экспериментальными данными [15]. Выражения (28) дают следующие расчетные формулы для вычисления ага и аге:
N(ст-3) Т(еУ)бт (10-16ст2) ст3 ^ Те7/2(еУ) М^.е.) ' s
ага _ 1.83-Ю-3'^^ ^ ^ ч-^,-, (29)
= 5.4 -10-
пе (ст-3) ст3
Т/'2^ s
(30)
Для коэффициента диссоциативной рекомбинации использовалось выражение, качественно описывающее увеличение коэффициента рекомбинации вследствие конверсии иона из молекулярного в кластерный с повышением плотности среды [16]
= 2-10-
V
300
Те (K )
1 + 5
(
1 - exp
-0.01*
N.
Х\
0))
ст
(31)
Верхним пределом для суммарного коэффициента рекомбинации принята величина дрейфового коэффициента рекомбинации Ланжевена в плотных средах:
СгЬ ='
4пе
ШУ„
(32)
то есть, если выполняется неравенство аг = ага + аге + агЛ> агЬ, то принимается аг = а
гЬ •
При давлении 40 атм = 1021 см-3, Т = 300 К) основным механизмом рекомбинации является рекомбинация диссоциативная, тройная рекомбинация на атомах сравнивается с ней по скорости только при Те « Т. В более плотных средах (жидкая фаза) основной при Те « Т становится тройная рекомбинация на электронах, поскольку их начальная концентрация п0 ~ (см. (2) и (5)), но для начальной и средней стадий разлета, когда в « в0 >> Т, по-прежнему основной остается диссоциативная рекомбинация.
Из представленных на рис.7 результатов следует, что для газообразной фазы № =1021см-3, Т = 300 К, р « 40 атм) зависимости от времени плотности электронов в центре области с учетом и без учета рекомбинации совпадают, что свидетельствует о пренебрежимо малой скорости рекомбинации при этой плотности № и о независимости поляризации мюона от плотности электронов. По этой причине остальные расчеты были сделаны для на порядок более плотных сред - неона и аргона в жидкой фазе.
В жидком неоне учет рекомбинации существен и приводит к монотонному уменьшению концентрации электронов в центре. Динамика разлета облака меняется качественно: хорошо выраженные в отсутствии рекомбинации стадии разбегания и возврата электронов пропадают при учете рекомбинации.
В жидком аргоне, напротив, учет рекомбинации практически не меняет характера разлета электронного облака: кривые пе(0, 0, г)/п0 с учетом и без учета рекомбинации почти совпадают. Это обстоятельство является результатом проявления эффекта отрицательной подвижности электронов в Аг. При в < 1 эВ подвижность электронов в Аг не только отрицательная, но и по абсолютной величине заметно больше, чем в № (рис.6). В результате электроны выталкиваются полем на периферию области быстрее, чем происходит их рекомбинация, и на порядок быстрее, чем происходит диффузионный разлет в неоне. В отличие от кривой пе(0,0,г)/п0 в монотонное падение пе(0, 0, г)/п0 в Аг вызвано не рекомбинацией, а быстрым выталкиванием электронов из центра области вследствие их отрицательной подвижности.
7
4.3 Особенности поведения поляризации мюона в N и Аг
Об относительной роли рекомбинации и разлета электронов в снижении их концентрации в центре области можно непосредственно судить по величине поляризации мюона, если рекомбинация мюонного иона приводит к изменению частоты прецессии мюона или его деполяризации. На рис.8 представлены результаты расчета величины Р^ - вероятности того,
что к моменту времени г ион в центре области не прорекомбинирует с электроном. По определению эта величина равна
1 г
Р (г) = 1 —\агпе (0, г)щ (0, г)йг (33)
п0 0
и совпадает с вероятностью сохранения первоначальной поляризации мюона.
^-5 ^-4 ^-3 0.01 0.1 1
time, ns
Рис.8 Вероятность мюонному иону в центре области остаться ионом (не прорекомбинировать); сплошная линия с треугольниками - для жидкой фазы Аг, Е = 0; сплошная синяя линия (без символов) - для жидкой фазы N6, Еоиг = 0; кружки - для жидкой фазы №, ЕоШ = 80кВ/см.
В жидком неоне центральный ион прорекомбинирует практически с единичной вероятностью к моменту времени 1 нс, а в жидком аргоне к моменту времени г « 0.1 нс Р, выходит на асимптоту Р, « 0.8 из-за эффекта отрицательной подвижности. Таким образом, в Аг с вероятностью около 20% электрон в итоге прорекомбинирует с центральным ионом и с вероятностью 80% уйдет из области ионизации.
4.4 Влияние внешнего электрического поля на поляризацию мюона
Как отмечалось в пункте 4.1, характерные значения вызванных разделением зарядов электрических полей в электрон-ионном облаке порядка ЕрЬ, или ЕррЬгй / гв , в зависимости
от соотношения гв и г0. При захвате отрицательного мюона в жидком № ЕрЬ « 200 кВ/см.
Естественно ожидать, что во внешних полях Еоиг, заметно меньших величины Е^^, не будет
существенных изменений в динамике разлета электронного облака, и, соответственно, в зависимости поляризации мюона от времени. Этот вывод подтверждается результатами расчета для жидкого № во внешнем поле Еоиг = 80 кВ/см, максимальном из обычно используемых в ^БЯ-эксперименте.
Вычисленные значения пе(0, 0, г)/п0 и Р, представлены символами-кружками на рис.7 и 8, соответственно. Полученные результаты практически не отличаются от результатов расчета для случая без внешнего поля.
Чтобы увидеть вызванное сносом электронов влияние электрического поля на поляризацию отрицательного мюона в жидком №, необходимо прикладывать поля больше 200 кВ/см. Для
менее плотных сред потребуются, естественно, меньшие величины напряженности поля, так как, согласно (24), (18) и (5), Езрк ~ Щ2 ~ Nъ¡2• Однако, с понижением плотности намного
быстрее уменьшится частота рекомбинации уг ~ агп^ ~ N6, или даже уг ~ N9, в случае тройной рекомбинации на электронах. В результате поляризация мюона не будет зависеть от плотности электронов и, соответственно, величины электрического поля.
Таким образом, в экспериментах с отрицательными мюонами применяемые электрические поля напряженностью до 50 - 80 кВ/см не должны влиять на поведение поляризации мюона либо из-за того, что они меньше внутренних полей в облаке (жидкая фаза), либо по причине пренебрежимо малой частоты рекомбинации (газообразная фаза).
5. Заключение
В данной работе численно исследовался разлет электрон-ионного облака, образованного при захвате отрицательного мюона в № и Аг. Плотность среды изменялась в диапазоне от величины плотности газовой фазы, N = 1021 см-3, Т = 300 К, р « 40 атм, до величин, соответствующих плотности жидкой фазы.
В приближении постоянной частоты столкновений показано, что при отсутствии электрон-ионной рекомбинации в средах с положительной подвижностью в зависимости от величины плотности среды, начальной энергии электронов и начального числа электрон-ионных пар в ионизованном облаке динамика его разлета качественно меняется. В плотных средах стадия первоначального разлета электронов со скоростью близкой к скорости свободной диффузии сменяется стадией возврата электронов к ионному остатку с полной итоговой компенсацией заряда ионов и дальнейшим амбиполярным режимом разлета плазменного образования в целом.
Режим амбиполярной диффузии реализуется, если дебаевский радиус электронов не просто меньше, а много меньше (~ 50 раз) текущего размера электрон-ионного облака.
В менее плотных средах за фазой первоначального разлета следует стадия временного возврата части электронов, за которым вновь идет фаза разлета со скоростью близкой к скорости свободной диффузии. При этом лишь часть электронов остается в ионизованной области, остальные ее покидают.
Основной причиной описанной сложной динамики разлета электрон-ионного облака является охлаждение электронов в столкновениях с атомами среды, сопровождающееся уменьшением коэффициента диффузии, и нелинейность взаимодействия электронов с порожденным разделением зарядов самосогласованным электрическим полем. Без учета самосогласованного поля невозможно предсказать реализуемость какого-либо из режимов разлета.
Моделирование разлета облака с использованием адекватных для № и Аг зависимостей коэффициентов подвижности и диффузии электронов от энергии показало, что ^БЯ-эксперимент с отрицательными мюонами в жидком Аг может дать экспериментальное подтверждение существования режима отрицательной подвижности. Из-за этого режима с момента времени г « 0.1 нс в жидком Аг должна наблюдаться остаточная поляризация отрицательного мюона, поскольку электроны выталкиваются полем на периферию области. В жидком № такой эффект отсутствует и поляризация мюона исчезает из-за рекомбинации к моменту времени г« 1 нс.
Вызванное разделением зарядов электрическое поле внутри области пропорционально N/2 и достаточно велико для среды с плотностью жидкой фазы (« 200 кВ/см). Если приложенное поле имеет напряженность заметно меньшую этой величины, например, 80 кВ/см, то его влияние на поляризацию мюона из-за смещения электронного облака и изменения частоты
рекомбинации не заметно по причине малости этого смещения. При меньших плотностях среды, поскольку частота рекомбинации пренебрежимо мала, влияние электрического поля на поляризацию мюона отсутствует, даже если электронное распределение сильно смещено во внешнем поле. Таким образом, независимо от плотности исследуемой среды в экспериментах с отрицательными мюонами не должно быть влияния величины электрического поля на результат при использовании полей до 50 - 80 кВ/см.
Благодарности
Данная работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 02-02-16370-а, 02-02-16881-а), которому авторы выражают свою благодарность.
Литература
1. В.П. Смилга, Ю.М. Белоусов. Мюонный метод исследования вещества. -М: «Наука», (1991) 344 с.
2. V.N.Gorelkin, A.M.Konchakov, L.P.Kotova, Hyp. Int. 87 (1994) 997-1004.
3. V.N.Gorelkin, A.M.Konchakov, L.P.Kotova, Hyp. Int. 87 (1994) 1005-1010.
4. V.N.Gorelkin, V.R.Soloviev, A.M.Konchakov, Yu.P.Dobretsov, Hyp. Int. 105 (1997) 265.
5. В.Н. Горелкин, В.Р. Соловьев, А.М. Кончаков, Ю.П. Добрецов. В сб.: Физика атомного ядра и элементарных частиц: Материалы XXX зимней школы, т.2. - ПИЯФ РАН, С.-П., (1996) с.267-294.
6. В.Р. Соловьев, А.С. Батурин, А.И. Гаврилов, В.Н. Горелкин, А.М. Кончаков. В сб.: Физика атомного ядра и элементарных частиц: Материалы XXXII зимней школы. -ПИЯФ РАН, С.-П., (1998) с.402-411.
7. V.N.Gorelkin, V.R.Soloviev, A.M.Konchakov, A.S. Baturin, PhysicaB 289-290 (2000) 409-413.
8. А.О. Вайсенберг. Мю-мезон. - М: «Наука», (1964).
9. Б.М. Смирнов. Ионы и возбужденные атомы в плазме. - М: «Атомиздат», (1974) 12, 27, 180, 188 c.
10. А.В. Филиппов, В.Е. Фортов, А.Ф. Паль, А Н. Старостин, ЖЭТФ 123 (2003) 775-786.
11. Н.Н. Калиткин. Численные методы. - М.: Наука, (1978).
12. T. Holstein, Phys. Rev. A 70 (1946) 367.
13. M.Hayashi, Nagoya Institute of Technology, IPPJ-AM-19 (1981).
14. Л.П. Питаевский. ЖЭТФ 42 (1962)1326.
15. Л.М. Биберман, В.С. Воробьев, И.Т. Якубов. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. - М: «Наука», (1982) 192 c.
16. Б.М. Смирнов. Комплексные ионы. - М: «Наука», (1983) 71 c.
