CC BY
15
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
УДК 539.2:544.2:678.01:519.7:539.3:517.958
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ СХЕМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ. Часть 2. Метод асимптотической сходимости для нелинейных сжимаемых сред в условиях малых деформаций
АЛЬЕС М.Ю.
Институт механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Исследуются эволюционные схемы численного решения систем нелинейных проекционно-сеточных уравнений неупругого поведения полимерных изделий в условиях малых деформаций и сжимаемости среды.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: эластомерные композиты, нелинейное механическое поведение, сжимаемая среда, краевые задачи, метод конечных элементов, эволюционные численные схемы.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Запишем рассматриваемую задачу [1, 2] в форме, не имеющей особенностей при любой объемной сжимаемости материала (постановка: перемещения - среднее напряжение)
V .а9 = 0
ау = 2^Эеу + ^ - 2 ^ЭК3 ^ аgy - гЭ
0 = К-1 а, е. = 0,5 +V)
А \ *
=/, и, =и
(1)
к
где а. - тензор напряжений; е. - тензор деформаций; gj■ - метрический тензор; а, 0 - среднее напряжение и относительное изменение объема; ui - вектор перемещений;
р - плотность; g1 - единичный вектор массовых сил; f1 - заданное распределение вектора
*
внешних поверхностных сил на ; и* - заданное распределение перемещений на ,и;
и ,и = ,; П ,и =0 ; ¡лЭ, КЭ - эффективные (кажущиеся) модули сдвига и объемного
растяжения-сжатия; Г- - тензорная функция. Различные представления нелинейных
функций ¡лЭ,КЭ,Г- для высоконаполненных эластомеров рассмотрены в [1]. В отличие от
алгоритма, представленного в [3] и ограниченного случаем простых режимов нагружения, рассмотрим случай сложных режимов, включающих участки активного нагружения и разгрузки и реализующих в конструкции существенную пространственно-временную неоднородность решения.
АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ СХОДИМОСТИ
В продолжение идей, изложенных в [4 - 6], и в развитие подхода для нелинейных уравнений ползущего течения [7], заменим модели для сдвиговых
и объемных
- 2дЭЭу - Гу
0 = К-1а
(2) (3)
характеристик напряженно-деформированного состояния следующими эволюционными уравнениями
3/ - 2д+ 2дэЭ/ - Г|, д, > 0 (4)
0-К-1д£/ а + К^ст, Кг > 0, ^ - 0, Эу - 0, а-0, (5)
где 3/, Э/ - девиаторы тензоров напряжений а у и деформаций 8/; 3(0 - частная производная по (•); £/ - фиктивное безразмерное время; д/, К/ - параметры алгоритма, размерность
которых совпадает с размерностью модулей упругости д , К. Нижними индексами у
тензоров и набла операторов обозначены ковариантные компоненты, верхними -контравариантные.
Уравнениями (4), (5) введен некоторый переходный процесс "изменения" связи между напряжениями и деформациями (2), (3). Физический смысл имеет только стационарное решение.
Аппроксимируя (4),(5) по явной схеме с шагом Д£/ > 0, запишем следующий итерационный алгоритм решения задачи (1)
в+1 в+1
V / + V, а+ pgl - 0,
в+1 ( в+1
- 2 д
ЧГ
( в + 1
- К
-1
У
в + 1
Э/ -
( в+1 л
КЭ
V у т
в + 1
Vя и - К /
а л/
в+1 в+1
(+ а &„)п1
э - э
31/ 31/
в в в в
+ 2Дэ 3/-ГЭ
Vl и / + V / и I
в + 1 ч\ 1 в + 1
1 ^ а
1 +
/
( в + 1 Л -1
т
V У
--V" и я
3 а ° 1
а,
^в + 1 Л'
ехр
( в + 1 Л а а
" т
( в + 1 в + 1 Л ( в + 1 К-1 Л
а т +1 -а +
т э
V У V У
в + 1
а
- / ,
в + 1
и
-и
(6)
где д/ -д/Д/ К// - К/Д£/. Индексом т обозначены итерации внутреннего цикла,
введенного для обеспечения сходимости разностного аналога уравнения (5) к решению уравнения (3) на (в + 1)-м шаге решения системы (6). Из условия локальной сходимости внутреннего цикла
5+1 в+1
1 - К// да (КЭ1 а)
< 1
имеем следующее неравенство для оценки области допустимых значений итерационного параметра К/
1-1
(7)
0 < К# < 2К
т+1 т+1
1 + К£(Iи )па ехр(а а )
I
и
т
*
3
3
сг
и
Докажем сходимость последовательности и, а, определяемой алгоритмом (6),
к обобщенному решению задачи (1). Здесь отметим, что сжимаемость материала зависит от гидростатического давления и сдвиговых деформаций [1]. Для приведенной в [1, 2] модели
Кэ = К (1 + а~1КО(£ и )пеа) материал несжимаем при тех значениях среднего напряжения
а и интенсивности деформаций I и, при которых удовлетворяется соотношение
а + KD(lи )п ехр(^а) = 0. В этом случае К-1 = 0 и напряженное состояние определяется
-1
деформацией только с точностью до среднего напряжения. При К- * 0 среда сжимаема, и тензор напряжений а. полностью определяется тензором деформаций е.. В соответствии с этим доказательство сходимости процесса (6) в классе обобщенных решений проведем в два этапа: для случая К-1 * 0 и случая К-1 = 0 .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ АЛГОРИТМА В СЛУЧАЕ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ ( К-1 * 0 )
Обобщенным решением задачи (1) назовем функцию Ui, для которой выполняются соотношения Коши е. = 0,5^и. +V.и), граничные условия иг |, = и* на поверхности £м ,
определяющие уравнения а. = 2^6. + - 3 и-К-1 - Г-, 0 = К-1о и которая удовлетворяет интегральному тождеству
| [2^ (и)8 (и) + {К- (и) - 2 (и)} 0(и)у. (и)сР = |+ | / V, (8)
V V ^
для всякой достаточно гладкой функции ui, удовлетворяющей соотношениям Коши для е. (и) и однородным граничным условиям на поверхности ,и. Из (8) следуют уравнения
равновесия V. о +pgi = 0 и граничные условия а4 п. = /' на поверхности . Определим скалярное произведение (и, и) и норму ||и||
(и, и) = Iи/^е. (и)8к1 {й)й¥ , ||и|| = (и, и)0,5, (9)
V
где и/ = + (К// - 2 , (10)
= + ) - единичный тензор четвертого ранга.
Введем тензор П/ , обратный тензору и/?1
/ = (2и// )-1 ^1 - (К/ - 3 gi7'
(11)
Из (9) - (11) имеем следующее ограничение для независимых итерационных параметров
К/ - 2 > (12)
5 5
Теорема 1. Пусть существует единственное обобщенное решение и , задачи (1) и параметры д/ > 0, К/ > 0, удовлетворяющие условиям (7), (12) таковы, что выполняются неравенства
0 < т^(с2) < Я/Т -8^ (итиар8ар-гт„ ) С^С/ < т2/1(с2), (13)
(14)
.у -г--------------- -----------г--------- ------г, ~тиар - тензор, определяемый
соотношениями (10), если в последних произвести формальную замену параметров д /, К/ соответственно на эффективные модули дЭ, Кэ ; /1 - первый инвариант.
0 < т1 < т2 < 2,
где С .. - произвольный симметричный тензор; и
Тогда последовательность и., определяемая системой (6), сходится к обобщенному решению и i, задачи (1) со скоростью геометрической прогрессии
т+1 т+1
и - и
< т
т+1
0
и - и
где т3 - тах{|1 -т^,|1 -т2Ц .
(15)
(16)
Доказательство. Эквивалентный итерационному процессу (6) алгоритм для обобщенного решения и имеет вид
|а1 (',+1)8у (и)^ - ^и.dV + | /и.
(17)
V
+
V в
э 'э
в в в+1 в
в+1 в+1 в в в в
а/ ( и ) - ( и - и) + Ц?1 (и)8к, (и) - ГЭ (и) +
в+1 в+1
Кэ ( и )0( и ) - Кэ (и)0(и) - К#0( и - и)
Вычитая из (17) аналогичное рекуррентное соотношение, записанное для в -приближения, будем иметь
в + 1 в Г в в-1
| и/18 к I ( и - и ) 8 / (и) ¿V - Пи/18 к I (и - и )
V V I
в в-1
Ф Э (и )-Ф Э ( и )
в в-1
8к, (и- и ) -
V
в+1 в+1
Кэ ( и )0 ( и )
в в в+1 в
Кэ (и)0(и) - К#0( и - и)
Г
в-1 в-1 в в-1
Кэ ( и )0( и ) - К#0(и- и )
Кэ (и)0 (и) -
^ к/(и)¿V,
в в в в
где ФЭ (и) - (и)8ы (и) - ГЭ (и).
в+1 в
Принимая в качестве вектора и. разность и. - и., с учетом (9) получим
в
в в
s+1 s
u - u
f
V
f
— I
s+1 s+1 s s s-1 s-1
Кэ е-2КЭe+ КЭ e
f s+1 s\f s s-1 Л
s ф Э s-1 ^ - ф aß ф Э
s s-1
S kl " S kl у
s+1 s s-1
f.
Uf
mnaß
s-1
V
Ski - s kl V у
s+1
Л
S kl -Ski V у
dV -
Л
e-e
VV
e- e
у V
е- 2 e+ e
s+1 s^s s-A
у
e-e
V у V
e- e
(s+1 sVs s-1^1
e -e
V J
e- e
V J
(s+1 s ^
e -e
dV,
уу
m m
V У
mm
где для краткости выражения типа Фэр(и), 0(и) и т.д. записаны, Ф^3, 0 и т.д.
Воспользовавшись применительно к правой части (18) неравенством Коши -Буняковского, учитывая ограниченность второй производной
d2a
de2
D(l u )Vexp(qa)
fq2
К-1 + D(l u )nq exp(qa)
< M
и пренебрегая величиной
O» ~Oty3), где ||0||= JKfe2dV левой части (18), будем иметь
Mf1
s+1 s
e -e
s s-1
e- e
( Л0'5
Kffe2'
V v
порядка более высокого, чем порядок
s+1 s 2
u - u <
s s-1 s s-1
J Am»iumnaß (s kl - s kl )(Sj - Sj )dV
V
f s+1 s s+1 s
J A ""^ULß ( S kl -Skl)( s j -Sj )dv
0,5
s
где A mni/aßkl _ E^'m^Eaßkl - п/mn Э
f dSkl
Отсюда, с учетом (9), E|/lSklS/ _ ^(s2) и принятых условий (13), (14), получим
s+1 s s s-1
u - u < m3 u - u
(19)
где да3 = max{jl-mj, jl-да2Ц < 1. Теорема доказана.
Сходимость процесса (6) в норме ||о|| =
J КffVdV
0,5
при Кэ1 ^ 0 следует из (19), так
как соотношение (3) при введении интегрального тождества (8) постулировалось. Вычислительная неустойчивость, возникающая при вычислении а по дивергенции Уама —1 —2
при ДзКэ < 10 , при этом, в алгоритме (6) устранена введением вместо (3) эволюционного
2
J
3
X
X
уравнения (5) и организацией вложенного итерационного цикла (m). Численные расчеты показали, что без ущерба для сходимости и точности решения можно в (6) на одну итерацию внешнего цикла (S ) выполнять одну итерацию цикла (m ). Иначе говоря, реализовать в (6) следующую схему
m+1 m+1 m m m
Va и a= K-1( a-a) + K- a , (20)
K-1 = K
f ( и -<J)-TK3
^ m m m Л
1 + a-1 KD(l u )n exp(q a) J.
Практические численные расчёты показали, что предложенный метод решений позволяет получать всегда устойчивое сходящееся решение нелинейных краевых задач немонотонного квазистатического деформирования в условиях, когда реализуется существенная пространственно-временная неоднородность решения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
m
1. Альес М.Ю. Феноменологические описания нелинейного сопротивления деформированию высоконаполненных эластомерных (нано) композитов. Часть 1. Малые деформации // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, № 1. С. 69-77.
2. Альес М.Ю. Эволюционные изотропные схемы численного решения нелинейных краевых задач квазистатического деформирования. Часть 1. Особенности сходимости нелинейного численного решения в условиях малых деформаций // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 3. С. 337-342.
3. Альес М.Ю., Копысов С.П. Конечноэлементный метод расчета напряженно-деформированного состояния двигателей летательных аппаратов с учетом физической нелинейности наполнителя // Известия вузов. Авиационная техника. 1990. № 3. С. 3-6.
4. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М. : Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
5. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений // Доклады АН СССР. 1959. Т. 126, № 4. С. 740-743.
6. Победря Б.Е. О сходимости метода «упругих решений» в нелинейной вязкоупругости // Доклады АН СССР. 1970. Т. 195, вып. 26. С. 307-310.
7. Альес М.Ю. Эволюционные схемы численного решения нелинейных краевых задач неньютоновских ползущих течений // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 2. С. 193-200.
THE METHOD OF ASYMPTOTIC CONVERGENCE FOR NONLINEAR COMPRESSIBLE MEDIA UNDER SMALL DEFORMATIONS
Alies M.Yu.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. We investigate the evolutionary scheme of numerical solutions of systems of non-linear projection-difference equations of the inelastic behavior of polymer products in a small strain and compressibility.
KEYWORDS: elastomer composites, the nonlinear mechanical behavior of a compressible medium, boundary value problems, finite element method, numerical evolutionary scheme.
Альес Михаил Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ИМ УрО РАН, тел. 89128563824, е-та/7:а1/'е5ту@та/7.гм
