Эволюционное моделирование при принятии решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Hik 3 7 8 2 1 7 Hik 2 2 3 4 7 8

H'ik 3 1 8 5 1 7 H'ik 2 3 3 4 6 8

Рис.9 Рис.10

Как видно из алгоритмов, реализующих операторы кроссинговера и мутации, оценка их временной сложности имеет вид O(L), где L - длина хромосомы.

Итак, достоинством предложенной структуры хромосомы и принципов ее декодирования является:

1) отсутствие сложных элементов;

2) линейные оценки пространственных сложностей и временных сложностей алгоритма декодирования равняется O(H);

3) хромосомы и гены, расположенные в одних и тех же локусах, гомологичные.

ЛИТЕРАТУРА

1. Handbook of Genetic Algorithms, Edited by Lowrence Davis, Van Nostrand Reinhold, New York, 1991. 385p.

2. Курейчик B.M. Еенетические алгоритмы: Монография. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1998. 242 с.

3. Лебедев Б.К. Методы поисковой адаптации в задачах автоматизированного проектирования СБИС: Монография. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. 192 с.

4. Лебедев Б.К. Методы поисковой адаптации для решения оптимизационных задач // Новости искусственного интеллекта. М., 2000, №3. С.66-79.

УДК.621.3.342

В.В. Курейчик, О.В. Смирнова1 ЭВОЛЮЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ

Основой для возникновения ЭМ считается модель биологической эволюции и методы случайного поиска [1]. В [1] отмечено, что случайный поиск (СЛП) возник как реализация простейшей модели эволюции, когда случайные мутации моделировались случайными шагами оптимального решения, а отбор - устранением»

.

[2-4] -

кусственных системах (ИС) - это последовательное преобразование одного конечного нечеткого множества промежуточных решений в другое. Само преобразова-

, ( ). Основная задача генетических алгоритмов оптимизировать целевую функ. , , комбинацию элементов из некоторого множества, и оптимизирует функцию F(n).

n - . . -

ские алгоритмы манипулируют популяцией хромосом на основе механизма натуральной эволюции.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №02-01-01-275

Моделирование эволюции может предоставить алгоритмические средства для решения комплексных задач принятия решений (с использованием хаотических возмущений, вероятностного подхода, нелинейной динамики), которые нельзя было решить традиционными методами. В общих чертах эволюция может быть описана как многоступенчатый итерационный процесс, состоящий из случайных изменений и последующей затем селекции. Таким образом, достаточно просто обнаружить взаимосвязь между таким определением эволюции и оптимизационными алгоритмами [5,6].

, , -ритм начинает свою работу с создания начального множества конкурирующих между собой решений. Затем эти «родительские» решения создают «потомков» путем случайных и направленных изменений. После этого оценивается эффективность

. ( ), -« »,

« », .

Традиционные оптимизационные алгоритмы для нахождения лучшего решения используют большое количество допущений при оценке ЦФ. Эволюционный же подход не требует таких допущений. Главная задача ЦФ сравнить, какое из решений в каком-то аспекте лучше другого. Этот факт значительно расширяет класс

, . существующим исследованиям [1-3,5,6], , -

ды и ГА позволяют решать те проблемы, с которыми традиционные алгоритмы не .

ГА дает много преимуществ при решении реальных задач принятия решений (ПР). Одно из таких преимуществ - это приспособление к изменяющейся окру. , изначально, может претерпеть изменения в процессе своего решения. При использовании традиционных методов все вычисления придется начать сначала, что приводит к большим затратам машинного времени. При эволюционном подходе попу-

( ), , -изменять применительно к изменяющимся условиям. Для этого не требуется пол.

быстрой генерации достаточно хороших решений.

ЭМ при решении задач ПР, состоит из четырех предварительных этапов:

1) выбор представления решения;

2) разработка операторов случайных изменений;

3) ;

4) создание начальной популяции.

Как только это сделано, эволюционный алгоритм начинает генерировать решения. Для представления любого решения в компьютерном представлении требуется такая структура, которая может кодировать любое возможное решение, которое требуется оценить. Математически доказано, что не существует идеальной

, -, . -ния должен определять различные варианты перестановок. Теперь надо определить ЦФ для оценки решений. Рассмотрим это выбор случайного оператора (или ) . .

В общем случае для ИС можно применить операции, которые не используются в ЕС. Например, использовать материал от трех или более родителей, проводить голосование при выборе родителей. Фактически не существует пределов в исполь-

зовании различных операторов. Успех ЭМ во многом зависит от того, как хорошо взаимодействуют между собой: схема представления, операторы случайных изменений и ЦФ. Различные операторы более целесообразно использовать для определенного класса задач. Тоже можно сказать и о представлении, т.е. не существует

, .

На третьем шаге задаются правила выживания решений для создания потомства. Так же, как и со случайными операторами, существует множество способов проведения селекции. Простейшее правило - это выживание сильнейших, т.е. когда только лучшие решения выживают, а все остальные погибают.

Последний предварительный этап создает начальную популяцию. Если у нас недостаточно знаний о проблеме, то решения могут случайным образом выбираться из всего пространства возможных решений. В нашем случае это означает генерацию случайных перестановок, где каждая перестановка представляет собой оп-. , задаче при создании начальной популяции.

Отметим, что популяция обязательно является конечным множеством. В каждой генерации получение новых хромосом, является результат применения некоторых генетических операторов (ГО). Далее выполняется оператор (функция) ре-( ). , из родителей и потомков.

Эволюционный поиск, согласно [1-3], - это последовательное преобразование одного конечного множества промежуточных решений в другое. Само преобразование можно назвать алгоритмом поиска или алгоритмом эволюции.

Величину отношения / , (х ) / называют вероятностью выбора ко-

/X

/ X / , (х )

/ , = 1

( ) [2,5] :

р, (ГА) = /'(Х} , (1>

X (х)

,=1

X

где ^(х)- значение ЦФ 1-ой хромосомы в популяции, X (х) - суммарное значе-

,=1

. (1) -

ной величиной. Ожидаемое число копий 1-ой хромосомы после оператора репро-( )

п = р , (ГА) • N, (2)

где N число анализируемых хромосом.

Для количественной оценки шаблонов в ГА введены две характеристики [1,2]: порядок шаблона - О(И); определенная длина шаблона - Ь(И). Порядок шаб-

- ( - ), представленных в шаблоне.

В течение репродукции хромосомы копируются согласно их ЦФ или, более точно, хромосома Р1 получает выбор с вероятностью, определяемой выражением (2). После сбора непересекающихся популяций размера N с перемещением из популяции Р4 (здесь ^означает номер поколения или условный параметр время) мы ожидаем получить т(Щ+1) представителей схемы И в популяции за время 4+1. Тогда выражение т(ИД+1) определится по формуле:

X

т(И,1+1)=т(И,1) N ДИ)/1 / (х), (3)

1=1

где f(И) - среднее значение ЦФ хромосом, представленных схемой И за время 1

Если обозначить среднее значение ЦФ всей популяции как / (х ) = (х )/Н

1=1 1

ТО

т(И,4+1)=т(И,4) ДИ)/ / ( х ). (4)

Правило репродукции Д.Холланда запишется так схема с ЦФ выше среднего

, [1]. Очевидно, что нижняя граница вероятности выживания шаблона после применения генетического оператора кроссинговера (ОК) может быть приближенно определена для любой популяции. Так как шаблон в ГА выживает, когда точка ОК попадает вне «определенной длины», то вероятность выживания для простого ОК записывается так [1]:

Р!(8)=1-0(И)/(Ь-1), (5)

где Ь - длина хромосомы, т.е. входящих в нее генов.

Если ОК выполняется посредством случайного выбора, например с вероятно-Р( ), :

Р2(8)>1-аР(ОК) Ь(И)/(Ь-1), (6)

где а -коэффициент, определяющий применение модифицированных ОК, а«1-4. Допуская независимость ОР и ОК, получим [1,2,5,6]:

т(ИД+1) > т(Щ) ДИ)/ / (х) [1-аР(ОК) Ь(И)/(Ь-1)]. (7)

(7) , -

роткой Ь(И) имеют возможность экспоненциального роста в новой популяции [1,6].

Рассмотрим влияние модифицированных операторов мутации (ОМ) на возможность выживания хромосом с лучшей ЦФ на следующих генерациях. Для того, чтобы после ОМ шаблон хромосомы И выжил в следующей генерации, все специфические позиции должны выжить. Следовательно, хромосома выживает с вероятностью (1-Р(ОМ)) и частная схема выживает, когда каждая из Ь(И) закрепленных позиций схемы выживает:

Рз(8)=1-Ь(И) рр (ОМ), (8)

где р -коэффициент, определяющий применение модифицированных ОМ, р~1-3.

, И -

ло копий в следующей генерации после модифицированных ОР, ОК, ОМ:

т(Щ+1)>т(ИД) ДИ)/ / ( х ) [1-аР^К)Ь(И)/(Ь-1)-Ь(И) 0Р(ОМ)]. (9)

Это выражение по аналогии с [45] назовем модифицированная фундаментальная теорема ГА. Вероятность выживания шаблона Н в следующих генерациях после применения оператора инверсии (ОИ) запишем

Р4(5) > 2 фР (ОИ )

Ь Ь

Ь - 1 (Ь - 1)2

(10)

где Ь - длина шаблона Н; Р(ОИ) - вероятность выбора хромосомы, соответствующей шаблону Н из популяции на заданном шаге генерации; ф -коэффициент определяющий применение модифицированных ОИ, ф~ 1-3.

Тогда фундаментальная теорема ГА (9) с учетом ОИ запишется:

т(ИД+1)>т(ИД) Д(И)//(х) [|1-аР(ОК)ЦИ)/(Ь-1)-ЦИ)рР(ОМ))-Р4(8)|]. (11)

Выражение (11) перепишем в упрощенном виде:

т(И,4+1)>т(И,4) ДИ)/ /(х) [|Р2(з)- Р3Ф- Р4(з)|] . (12)

При использовании оператора сегрегации (ОС) вероятность выживания шаблона на следующей генерации определяется по формуле

Р5(8)>[1-уР(ОС) ЦИ)/(Ь-1)Щ (13)

где у -коэффициент, определяющий применение модифицированных ОС, у~1-3.

Для оператора транслокации (ОТ) вероятность выживания запишется

Рб(8)>[1-аР(ОК) Ь(И)/(Ь-1)]фР(ОИ). (14)

При использовании оператора удаления (ОУ) вероятность выживания шаблона на следующей генерации определяется по формуле

Р7(8)>[1-5Р(ОУ) Ь(И)/(Ь-1)Щ (15)

где 5 - коэффициент, определяющий применение ОУ, 8—1-2.

При использовании оператора вставки (ОВ) вероятность выживания шаблона на следующей генерации определяется по формуле

Р8(8)>[1-ХР(ОВ) Ь(И)/(Ь-1)Щ (16)

где X - коэффициент, определяющий применение ОВ, X—1-2.

Тогда модифицированная фундаментальная теорема ГА с учетом всех рассмотренных ГО для решения 03 САПР примет вид

т(И,1+1)>т(И,1) Д(И)/ /(х) [|Р2(в)- Рэ®- Р4^)- Р5^)- Р^) - Ртф- Р8^)|]. (17)

Основная теорема ГА, приведенная ДХолландом, показывает асимптотическое число схем, «выживающих» при реализации ПГА на каждой итерации [1].

(17) ,

число хромосом, «выживающих» при реализации модифицированных ОК, ОМ,

, , , . , -.

или иного ГА. Особенное влияние на число «выживающих» и «умирающих» хро-

мосом при реализации ГА оказывает значение ЦФ отдельной хромосомы и всей популяции и знания о конкретной решаемой задаче ПР.

Лемма 1. Если на некотором шаге генерации ГА Р](ГА)есть вероятность того,что хромосома Р, определяет потомка на этом шаге и Р2(ГА)есть вероят-ность,того,что Р, уничтожается в течение этого шага,то ожидаемое число потомков хромосомы Р, есть Р](ГА)/Р2(ГА).

Основная теорема ГА показывает асимптотическое число схем, «выживающих» при реализации простого ГА (ПГА) на каждой итерации. Очевидно, что это число конечно - приблизительное. Оно меняется в зависимости от вероятности применения ГА. Особенно сильное влияние на число «выживающих» и «умираю»

.

Отметим, что решение основных задач принятия решений (ПР) осуществляется последовательными, итерационными, точными или комбинированными алгоритмами [2,3]. В основном эти алгоритмы выполняют совершенствование начального варианта решения, полученного одним из случайных методов. Такой подход, кроме известных преимуществ, обладает трудноразрешимыми недостатками:

1) , , -, ,

« »;

2)

, ;

3) .

Задачи ПР используют в качестве начального не одно, а несколько альтернативных решений. Причем, в зависимости от сложности перерабатываемой информации исходные решения могут иметь вид стохастических, детерминированных или комбинированных алгоритмов. Далее полученные решения будут обрабатываться адаптированными к решаемой задачи ПР генетическими алгоритмами поис-

( ).

В настоящее время при генетическом поиске решений на графах большой размерности (п>1000) перспективным представляется разбиение популяции на части и параллельная реализация различных моделей эволюции. На рис.1. приведена такая схема поиска, когда популяция разбивается на 4 подпопуляции и каждая исследуется своим простым ГА (ГАГГА4). Далее выполняются различные виды ми-

1- 4 5- 8.

, , квазиоптимальные решения в 03 ПР за время, сопоставимое с временем реализации итерационных алгоритмов. При использовании ЭМ можно уменьшить объем и время вычислений и упростить моделирование функций, сократить число ошибок .

Рис.1.Схема параллельного поиска при ЭМ , -. -

.

получение более перспективных решений. Отметим, что периодически в каждой итерации ГА можно проводить различные изменения в перспективных, неперспективных и в других решениях. Временная сложность таких алгоритмов в основном совпадает со сложностью быстрых итерационных алгоритмов и лежит в пределах 0(К;п) - 0(К^п3), где Къ - коэффициенты, п - число входов алгоритмов. Такая сложность обещает перспективность использования эволюционного моделирования при решении задач ПР.

ЛИТЕРАТУРА

1. Holland John H., Adaptation in Natural and Artificial Systems: An Introductory Analysis with Application to Biology, Control, and Artificial Intelligence. USA: University of Michigan, 1975.

2. Курейчик B.M. Еенетические алгоритмы: Монография. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1998.

3. Батищев ДА. Еенетические алгоритмы решения экстремальных задач. Воронеж: Изд-во ВЕТУ, 1995.

4. Букатова ИЛ. Эволюционное моделирование и его приложения. М.:Наука, 1991.

5. . . ,

решений. Монография. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001.

6. Куре йчик В.В. Курейчик В.М. Об управлении на осно ве генетического поиска// Автоматика и телемеханика РАН №10. М.: Изд-во Наука, 2001.

УДК 681.3.06

Б.К. Лебедев, А.А. Полупанов1

ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ КОМПОНОВКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ САМООРГАНИЗАЦИИ

. -

торных проблем в многоуровневом процессе проектирования СБИС [1, 2].

К настоящему времени разработано большое количество алгоритмов разбие-, , . ., время популярность приобрели алгоритмы, основанные на методах эволюционного

,

задач большой размерности [3-7]. Однако, в силу того, что задача разбиения относится к классу NP-полной, актуальность разработки новых эффективных алгоритмов разбиения сохраняется. Поэтому был разработан новый генетический алгоритм разбиения графа на подграфы с элементами самоорганизации (ГАСЭС), ис-

[8].

разработанного и реализованного на ЭВМ ГАСЭС, был реализован простой гене-

( ) [9].

В работе предлагается новый подход к организации процесса генетического поиска и выполнению ГО, делающий поиск оптимального решения более целенаправленным.

В основе предложенной методики поиска заложен принцип многодетной

,

.

включается в новую популяцию.

Пользователю предоставляется возможность настройки основных параметров , ,

как по качеству целевой функции, так и по временному критерию.

. -

. -

лируется следующим образом: дан гиперграф Н=(Х, Е), где X = {x | i = l, 2, ..., n} -

множество вершин, а Е = {е,- | е, с X, j = l, 2, ..., m} - множество рёбер (каждое реб-

- ).

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №02-01-01-275