CC BY
48
УДК 629.78.015
ЭВОЛЮЦИИ ВО ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИ АСИММЕТРИЧНЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ В АТМОСФЕРЕ
© 2006 В.В. Любимов Самарский государственный аэрокосмический университет
Рассматривается нерезонансное движение динамически асимметричных космических аппаратов (КА) в атмосфере. Малая асимметрия этих аппаратов включает массовую, аэродинамическую и инерционную. При совпадении двух частот в системе уравнений движения КА может произойти реализация длительного резонанса, который приводит на практике к увеличению угла атаки до недопустимо больших величин. Основное внимание в работе сосредотачивается на изучении нерезонансных эволюций вращательного движения аппарата, вызванных влиянием резонанса. Эти явления известны как вторичные резонансные эффекты. Их исследование производится по усредненным в нерезонансном случае уравнениям движения КА. Аналитическое исследование вращательного движения динамически несимметричного аппарата сопровождается численными расчетами, результаты которых приводятся.
Несмотря на значительное число работ отечественных и зарубежных ученых по проблеме резонансов и их устойчивости при движении неуправляемого КА в атмосфере, в настоящее время некоторые вопросы остаются мало изученными. В частности, это относится к вторичным резонансным эффектам и связанной с ними внешней устойчивостью резонансов. Данные явления изучались также в работах Ю.А. Садова при рассмотрении двухчастотных систем с медленно изменяющимися переменными [1]. Кроме того, при анализе устойчивости главного резонанса в работе [2] Заболотновым Ю.М. было обнаружено нарастающее вращение КА с малой массовой и аэродинамической асимметриями (динамически симметричный аппарат) в атмосфере. Удалось показать [3], что указанное вращение аппарата вызвано влиянием вторичного резонансного эффекта. В представленной работе исследуется влияние вторичных резонансных эффектов на эволюции угловой скорости и угла атаки при движении динамически асимметричного КА в атмосфере.
В качестве исходных уравнений движения КА рассматривается нелинейная "низкочастотная" система, полученная из полной нелинейной системы с помощью
известного асимптотического метода [4]. Кроме того, можно показать, что данные уравнения можно получить методом интегральных многообразий [5]. Она существенно проще исходной системы и описывает эволюции во вращательном движении КА в атмосфере. Эта система имеет следующий вид:
—- = -в^- sш(в + в 2) + А 1х
+ в
Д 2 -2
т т12 sm а
I
^(2в + 2в3), (1)
Аа А
2тДтат12 sinа
в-!-х
F„
х
®х +
2 sin а
2т,
2тАт,
F„
^(2в + 2в3) -
^(в + в1) +
+ в
3 4т2пта 81
(2)
в
de dt
= ax - a12 cosa
(3)
Здесь е - малый параметр, характеризующий величину малой асимметрии аппарата и медленность изменения параметров движения центра масс (д = dq / dt = 0(е )-
при входе в атмосферу влияние изменения скоростного напора на угол атаки слабее
влияния асимметрии), Сх - угловая скорость КА относительно продольной оси, а = ап - пространственный угол атаки,
в = (рп — К / 2, (рп - аэродинамический
угол крена, тх, тА , т Л - обобщенные параметры асимметрии,
тА =^(тХл )2 + (тХс2 )2 ,
.A
2
m'x\ =-CyiAya tga/mz
A 2 /
mx2 =-cylAza tga/m. sin e =
mXl / mA
r\ A / A
cose2 = mx2 / mx ,
m
A
(mf )2 + (m2A )2
ml4 = -(m ® - cx1 Az)c 2tga / m.
m
A
-(m® + cx1 Az )c2 tga/ m.
A A A A
sin e1 = m1 / m , cose1 = -m2 / m ,
m A=V (Zyz )2 + (A/ )2, sin2e3 = A/ / m A, cos2e3 =-/y. / m A, Az = Az / L,
Ay = Ay /L - массовая асимметрия, mf, mf - аэродинамические коэффици-
енты
асимметрии
формы,
/ = (/y + /z )/2 ,
A/ = (/z - /y )/2, A/ = A///, /yz = /^ //
m.
- динамическая асимметрия, сх1, С^ .
- коэффициенты лобового сопротивления, подъемной силы и восстанавливающего момента, ю12 = (IхСх /2 ± са) / соб а -частоты "прямой" и "обратной" прецессий,
I—2 2 2 2 ca a =д// x® x /4 + a , ® =- m zn qSLctg a / / , q
- скоростной напор, S и L - характерные размеры аппарата,
m<anqSL 2 0 Fa =--/-+ ®1,2 - 2®a®2,1 C0sa .
В уравнениях (1)-(3) учитывается главный резонанс, которому соответствует условие: ®x - ®12 cosa = 0. Главный резонанс оказывает наибольшее влияние на эволюцию медленных переменных по сравнению с резонансами высших порядков. Из решения последнего уравнения находится резонансное значение угловой скорости
a
r .
®x =±
a
(4)
Знак в выражении (4) совпадает со знаком угловой скорости Сх.
Система (1)-(3) является стандартной системой для применения метода усреднения. Она относится к классу систем с несколькими медленными переменными и одной быстрой фазой в . В стандартной форме она имеет следующий вид:
| = е (г>в, в), (5)
dв , ч
т = С(2). (6)
Здесь г = (юх, а} - вектор медленных
переменных,
((г) = (х — (
Z(2,0, £) - вектор-функция правых частей уравнений (1) и (2).
Усредняя систему (5)-(6) по быстрой фазе в нерезонансном случае (окрестность
резонанса (х — (12
можно по-
лучить уравнения, описывающие эволюцию медленных переменных:
dt
еА1( г0) + е 2 А2( г0) +
+ е3 А3( г0) + ..., (7)
где функции А/, /=1,2,3,... - находятся с помощью известного метода [6].
Усредним систему (5)-(6) на нерезонансных участках движения с учетом высших приближений. Для описания нерезонансных эволюций, связанных с резонансом, во вращательном движении динамически симметричного КА достаточно учесть первые два приближения метода усреднения [3]. Причем эволюции проявляются во втором приближении (при нулевом первом приближении) и являются результатом действия возмущающих моментов от сочетания массовой и аэродинамической асимметрий.
При усреднении системы (1)-(3), влияние инерционной асимметрии на нерезонансные эволюциях системы определяется членами третьего приближения метода усреднения. При этом первые два приближения должны быть равны нулю.
Анализ усредненных уравнений для динамически несимметричного КА показывает, что здесь возможны два частных случая по сочетаниям действующих возмущений.
Первый частный случай. Имеется аэродинамическая и инерционная асимметрия, а массовая асимметрия отсутствует, т.е.
тА =0
Второй частный случай. Имеются все
три типа асимметрий, однако, сочетание массовой и аэродинамической асимметрий
таково, что обобщенный параметр тА =0.
Рассмотрим подробнее эти два случая. Первый частный случай. Усредняя уравнения (1) и (2) на нерезонансных участках движения КА с учетом первых трех приближений метода усреднения при
тХА =0, получим:
dt
тА/з £
)
А2
да
+
„ .А г дА.
;Аг г д(т £з —)
+
т Л Л
—А
А3
да
да' + 3(т /3)2 х * . х
А4
х (А
дА/ — ^
да да
кда у
х
тА ^[2(61 — в3)] 8
х
(8)
тА/з Л А3
х
х
д - А . дА —А д2 А
—(т — — т /3~2
да да да
т1А ± (т7з А)А +
А3 да да
+
х
А
А2
'д- (тА/3) да
2 — т А/2 £ А3 дюх
х
' д - А А дА
— (т /3)А + 2т /3 — да да
2
3
е
3
е
"А 2
(т )2fз д/ д/
А2
да да
+
+
+
(тА)2/з2 дА
2А
—А
4
'гдА д/2
7 /2--4А —
да да
+
(т )2/з2
2А
4
2А
2 д 2 /
да'
- /1
^ 2 уда у
> х
тА cos[2(в1 -в3)] 3г
х-^-— + е3 /13. (9)
где
о • 2-2
2сaсl2sm а с^^т а
/1 _-^-(сх + —-),
/2 =
F„
со12 sm а
I
/з
2с
2с ас
F„
1/8 >
/7 +
8/
13
т А cos(2в1 - 2в3)
, 10)
_ 4т2ПЩа^ . /13 _ ~ ч.
а
Из уравнений (8) и (9) следует, что скорости эволюций медленных переменных
сх и а в данном частном случае прямо пропорциональны величинам обобщенных параметров асимметрии. Кроме того, резонанс А =0 приводит к этим эволюциям посредством вторичных резонансных эффектов, поскольку, все члены уравнений (8) и (9) содержат в знаменателях расстройку частот А .
Из уравнений (8) и (9) следует, что характер эволюций переменных сх и а относительно резонанса А =0 определяют также выражения, стоящие в этих уравнениях в фигурных скобках. Так, при выполнении условий (10)
\/б\>1 /5\,
Г тЛ/3 д - А д/2 где /5 _—2Г^(т /3^> + А2 да да
—А
+
3(т /3)2Л'^2
А4
дА
уда у
/ _ / ± т/ ^)+
А3 да да
-А , 2
+
3(т /3)2 дАд/2
А3
да да
/7 _- тА/3 — (тА/3)/ + А2 да да
+
/ А2
'дТ (тА/3) да
т А/2 д/3
А2 дюх
тА/3)
да
—А 2
(т )2/3 / / А2 да да
+
—А
(т )2/32 дА
+
+
2А4
(тА )2 /32
дшл
7 /2 £
да
+
А4
А
2 д2/1 /1 ГдА^
да'
2
да
/8
тА/3 /1
А3
' д - А ЯА
—(т /3) —
да да
2
2
-л , а2 а " т /3 а^
тЛ/2 а/3
—А 2
(т /3)2 ЭАЭ/х
а3 аюх
А3
2тЛ /3 —
аа
аа аа
2(тЛ)2/32 аА
а3 аюх аа
а/2
(11)
1/5 I >1/6
1/7 I >
/8 +
8/
13
.А
(11)
т~ еов(2^1 - 203) влияние резонанса А =0 на эволюцию переменных сох и а определяется тем, с
какой стороны по отношению к нему происходит эволюция. Например, при выполнении первого условия (11), если при А >0
-1
(В , с
X
60 т-
резонанс А =0 сохраняет тенденцию своего влияния на переменные сх и а в пределах нерезонансных участков движения ("притягивает" их к себе или "отталкивает" от себя) вне зависимости от того, с какой стороны по отношению к нему происходит эволюция ( А >0 или А <0).
Напротив, при выполнении условий
резонанс А =0 "притягивал" значения уг-
»-» /Г
ловой скорости сх (сх ^ сх на нерезонансных участках), то при А <0 он будет "отталкивать" значения сх и наоборот.
На рис.1 представлены эволюции медленных переменных шх и а, вызванные
влиянием резонанса А=0 в данном частном случае. Кривая 1 на данном рисунке показывает изменение со временем резонансных значений угловой скорости шх . Кривые 2 и 3 описывают поведение, соответственно, усредненной и не усредненной
угловой скорости шх, а кривые 4 и 5 - определяют изменение усредненного и не усредненного угла атаки а .
Из рис. 1 следует, что усредненные значения данных медленных переменных, качественно, повторяют эволюции этих переменных до их усреднения. Кроме того, на рис. 1 прослеживается увеличение скорости изменения переменных шх и а при
приближении к резонансу А =0 . Такое поведение медленных переменных характерно при вторичных резонансных эффектах.
Второй частный случай. Аналогично, усредняя уравнения (1) и (2) на нерезонансных участках движения КА с учетом первых трех приближений метода усреднения
при тА =0 получим:
а, град
80 х
40
20
25
50
40
^ с
25
^ с
50
Рис. 1. Эволюции медленных переменных Шх и а :
Исходные данные для построения -
—А тхт
А
= 0.005 ■ Щ - 2в3 = 0.
а
б
5
0
0
- е\тЛх )2тАсos[2(в2 - в3)] х
х <
/а2 дА
16 А4 да
„ дА г лд/\ к 7-/ - А
+
/2
16 а4
2А
дшл
2 д 2 /2
дшл
/ \ 2 ' дА л
+
дшл
\дшх у
/2
/А2 а " дА
8А3 дшх дшх
/2
(12)
^ - е\тЛх )2 т А cos[2(в2 - в3)] х
х <
/а2 /1
8А4
д 2 А дш^. 2
А-3
2
дА
Удшх у
+
Из уравнений (12) и (13) видно, что скорости эволюций переменных С0х и а
прямо пропорциональны обобщенному параметру асимметрии
^тХ ^ т А cos(202 - 203).
Характер поведения этих медленных переменных относительно резонанса А =0 определяют также выражения, стоящие в фигурных скобках в уравнениях (12) и (13). Например, при выполнении условий (14)
\Л\ <1 /lo|,
/11 +
8/13
тА (тАх )2^(2в2 - 2в3) (14)
<1 /1
12
где
/9 =
/а2
2А4
п дА дА г 7--/1 +
дшх да
+
/а
8А3
^ А
дшх дшх
дшл
У +
+ 2А
2 д 2 /2
2
' дА л
дшл
\дшх у
/2
+ е
3 4т2пша 81
ч.
(13)
Г _ /4
" л 3
А3
2 / дА+ д
дшх да дшх
дА дш
/2
С
где
/4 = Г'
1 х
/11 -
Уравнения (12) и (13) описывают эволюцию угловой скорости С х и угла атаки
а в случае тХ =0 на нерезонансных участках движения, вызванную влиянием главного резонанса А =0. Это следует из вида данных уравнений, которые содержат в знаменателях своих правых частей резонансные расстройки частот А . При приближении к резонансу |А| уменьшаются, поэтому скорость эволюций переменных С х и
а увеличивается. Так проявляют себя вторичные резонансные эффекты.
/42
А2
д/
дшх 2
+
/а2 /1
А4
2
' дА л
/12 -
/а2 /1
А
3
д 2 А
дш
2
+
/4
А
3
Удшх у
дА д/1 дшх дшх
резонанс А =0 сохраняет тенденцию своего влияния на переменные С х и а в пределах нерезонансных участков движения ("притягивает" их к себе или "отталкивает" от себя) вне зависимости от того, с какой стороны по отношению к нему происходит эволюция ( А >0 или А <0).
Напротив, при выполнении условий
2
2
3
3
(15)
1/9 I >1 /
10
/11I>
f12 +
8/13
mА (míe )2cos(262 - 263)
(15)
oaí aaí oéy áëëyí éy óag í aí ña А =0 на изменение переменных Cx и а зависит от
того, с какой стороны по отношению к нему происходит эволюция. Например, при выполнении условия (16), если при А >0 резонанс А =0 "притягивал" значения уг-
о. /Г
ловой скорости Cx (cx ^ Cx на нерезонансных участках), то при А <0 он будет "отталкивать" значения C0x и наоборот.
На рис.2 показываются эволюции медленных переменных cox и а, вызванные
влиянием резонанса А =0.
Обозначения кривых полностью соответствует обозначениям рис. 1.
Из рис.2 также следует, что эволюции усредненных значений медленных переменных rnx и а повторяет качественно эволюции этих переменных в не усредненном случае. С другой стороны такое изменение данных медленных переменных характерно для вторичных резонансных эффектов.
Исходные данные для построения
рис 212: тАтД = 0.007, 2в2 - 2вз = п ■
Таким образом, получены усредненные уравнения, которые позволяют изучить влияние различных сочетаний массовой, аэродинамической и инерционной асимметрий на движение динамически несимметричного ТТ относительно центра масс. Эти уравнения позволяют сформулировать некоторые новые условия, отражающие особенности влияния резонанса на эволюции медленных переменных при движении динамически несимметричного ТТ в атмосфере.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Садов Ю.А. Вторичные резонансные эффекты в механических системах // Известия РАН. Механика твердого тела. М: 1990. Вып. 4.
2. Заболотнов Ю.М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией III // Космические исследования. 1994. Т.32. Вып.4-5.
3. Заболотнов Ю.М., Любимов В.В. Вторичный резонансный эффект при движении КА в атмосфере // Космические исследования. 1998. Т36. Вып. 2.
4. БелоконовВ.М., БелоконовИ.В., Заболотнов Ю.М. Ускоренный расчет траекторий снижения в атмосфере неуправляемых КА с учетом их движения относительно центра масс // Космические исследования. 1983. Т.21. Вып. 4.
5. Заболотнов Ю.М. Метод исследования 1999. Вып. 1.
резонансного движения одной нелиней- 6. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы ной колебательной системы // МТТ. нелинейной механики // Наука, 1969.
EVOLUTIONS IN ROTARY MOVEMENT DYNAMICALLY ASYMMETRIC
SPACECRAFTS IN ATMOSPHERE
© 2006 V.V. Lyubimov Samara State Aerospace University
Is considered non resonance movement dynamically asymmetric spacecrafts in atmosphere. The small asymmetry of this vehicles includes mass, aerodynamic and inertial. At concurrence of two frequencies in a system of equations of movement spacecraft realization of a long-duration resonance can take place, which results in practice in a increase of a corner of attack up to inadmissiblly large sizes. Main attention in work give on study non resonance evolutions of rotary movement of a vehicle, called by influence of resonance. These phenomena are known as secondary resonant effects. Their research is made on averaging in non resonance case to equations of movement spacecraft. The analytical research of rotary movement dynamically asymmetric of a vehicle is accompanied by numerical accounts, the results of which are resulted.
