CC BY
92
УДК 530.145
ЕЩЁ РАЗ О СИММЕТРИЯХ ВОДОРОДА (К 80- И 90-ЛЕТИЮ СТАТЕЙ ФОКА И ПАУЛИ)
Я.И.Грановский
ONCE AGAIN ON THE H-SYMMETRIES (DEVOTED TO THE 80th AND 90th ANNIVERSARY OF FOCK'S AND PAULI'S PAPERS)
Ya.LGranovskп
Донецкий физико-технический институт им. АА.Галкина НАН Украины, yagran1931@gmail.com
Атом водорода представляет собой удобную лабораторию для рассмотрения явных и скрытых симметрий. Он прошел длинный путь от наглядной изотропии — О(3) симметрии — до предельно широкой конформной группы О(4,2). Именно ей предстояло стать группой динамической симметрии, включающей все преобразования возможных решений кулоновой проблемы.
Ключевые слова: квантовая теория; кулонова проблема; симметрия
Hydrogen atom represents a very suitable laboratory for describing evident and hidden symmetries. It has gone a long way from the visible isotropy - O(3)-symmetry - to the extremely wide conformal group O(4,2). It was to become the group of dynamical symmetry that includes all the transformations of possible solutions of the Coulomb problem. Keywords: quantum theory, Coulomb problem, symmetry
Введение
Литература о водородных симметриях столь обширна, что еще одна статья вряд ли необходима. Однако подходы различных авторов давно затмили исходную простоту идей Паули и Фока, обнаруживших алгебраическую и групповую структуру кулоно-вой проблемы. Моя цель — вернуться к истокам, максимально выделив их основной мотив.
В.Паули установил связь гамильтониана с оператором Казимира 4-мерной группы вращений, а В.А.Фок показал, что волновые функции гармоничны. Оставалось выйти за рамки задачи о собственных значениях и тем самым найти полную динамическую группу. Ею оказалась конформная группа О(4,2), но чтобы сделать этот шаг, понадобилось еще 30 лет...
Важным элементом явилось использование импульсного представления вместо первоначальной постановки задачи в координатном представлении. Впервые особую простоту импульсного подхода обнаружил 75 годами ранее У.Гамильтон [1]. Он построил постоянный вектор h = р + Qeф, эквивалентный вектору Лапласа К = h х L, но явно более простой. К сожалению, эта работа ирландского гения осталась незамеченной, и не только современниками.
Удобство импульсного пространства состоит в том, что движение в нем — свободное. Геодезическая линия свободного движения — окружность, годограф Гамильтона! Вместо силы «работает» кривизна 4-сферы, на которой находится частица.
Развитие идеи
Первоначально кулонова проблема (движение электрона вокруг ядра под действием электрических сил) сводилась к определению энергетического спектра.
Осенью 1925 г. В.Паули по просьбе своего друга В.Гейзенберга разработал созданную им матричную механику атома водорода (статья [2] опубликована весной 1926 г.). Он ввел квантовую поправку в формулу В.Ленца Н = -те4/2й2(К2 +12 +1) и показал, что
К2 +12 = п(п + 2). Это привело к формуле Бора для энергии. На этом автор счел свою задачу выполненной.
С позиций сегодняшнего дня ясно, что он
прошёл мимо важного открытия: сумма К2 +1 это квадрат 4-мерного орбитального момента. Следовательно, имеет место симметрия относительно ортогональных преобразований четырех координат. Тем более обидно, что коммутационные соотношения, составляющие суть алгебры О(4), были им написаны в явном виде. Собственные функции гамильтониана, о которых тогда еще не было и речи, были получены четырьмя годами позже Б.Подольским и Л.Полингом [3]. Ими оказались известные полиномы Гегенбауэра.
Фактически основная работа была проделана В.А.Фоком в 1935 г. [4]. Решая уравнение Шрединге-ра в интегральной форме, он ввел 4-мерные координаты, показал инвариантность уравнения относительно группы ортогональных преобразований О(4) и сформулировал теорему о 4-мерной симметрии атома. Его работа стала классической, хотя и здесь не обошлось без просмотра: указав, что волновая функция подчиняется 4-мерному уравнению Лапласа, Фок мог, по примеру Кэннингхема и Бейтмена, заявить о конформной инвариантности атомной задачи.
Упомянем о работе Э.Хиллерааса [5], который привел уравнение Шредингера к виду Д4%(р) = р). Автор не заметил, что в левой части уравнения стоит 4-мерный лапласиан Д4, однако собственные функции его он нашел. Естественно, ими оказались полиномы Гегенбауэра СП (0, что подтвердило результат Б.Подольского и Л.Полинга. Хиллераас нашел энергию атома Е = - Ry|n2, но вывода о 4-мерной симметрии так и не сделал.
Все авторы единодушны в том, что волновая функция есть собственная функция 4-мерного лапласиана. В этом утверждении содержится вся теория атома водорода! И это есть основная идея.
Волновая функция
Соображения, изложенные выше, носят качественный характер и не касаются кропотливой работы вокруг строения волновой функции. Осветим этот вопрос, попутно упрощая расчеты.
Уравнение Шредингера запишем в виде
г(р2 + k2)у = 2те2ц1, полагая k2 =-2те . Ввиду отсутствия углов можно считать их отделенными от радиальной части и рассматривать у как функцию одного переменного у(р). Благодаря этому оператор
„ „ 1 5
г можно представить в виде г = ¡п — ~5рР, а уравнение записать как
1 д ,2,2^ 2me2
- -dpPiP + k )у = .h
-у.
(1)
Это уравнение 1-го порядка, оно легко решается, однако предварительно перейдем от импульса к углу р = ^(ю/2), в результате чего оно примет вид
cos3(rn/2) д sin(rn/2) sin(ra/2) дю cos3(ra/2) с очевидным решением
me
C с^3(ю/2) -юь V sin(ra/2) '
(2)
(3)
Мы оставим в этом решении регулярную при ю = 0 часть и, по предложению В.А.Фока, рассмотрим
функцию x(ro) =
У
sin(ra^)
cos4(ra/2)_ sinю
. Однозначность
при замене ю ^ ю + 2л налагает на кулоновский параметр 4 требование быть целым числом. Это квантует
энергию: E = - meл|2h Е2 — получается формула Бора.
Волновая функция %(ю) == ^ПЮ^ нормирована условием ||х|2 dD.4|2■к2 = 1 (интегрирование ведется по 4-мерной сфере) и задает распределение вероятностей на ней.
Вырождение
Фактически мы нашли энергию ^-состояния, однако вывод нетрудно обобщить: достаточно заметить, что %(ю) подчиняется уравнению
_д_
да2
- + 2
cos а д L
sin а да sin2 а
х = (i-^2)x.
Слева стоит угловая часть лапласиана, ее собственной функцией является полином Гегенбауэра
Хп1 (ю) = д1 Хио(ю)/3(со8 ю)1, а собственным значением
число -п(п + 2), причём п = пг +1. Приравняв его к
1-|2, получим Е,= п + 1. Формула Бора сохраняет силу благодаря тому, что изменение 1 компенсируется противоположным изменением пг .
Таким образом, энергия атома водорода вовсе не зависит от квантовых чисел углового момента («случайное» вырождение)*. Этот факт наглядно свидетельствует о наличии двух не коммутирующих интегралов движения, т.е. о наличии в задаче скрытой симметрии. Поскольку один из них — орбитальный момент — известен, то другой должен быть, как минимум, вектором. В рамках О(4) это вектор Лапласа.
Характерной чертой вырожденных систем является разделение переменных в несовпадающих системах координат. В любой изотропной системе радиальная координата г отделяется от углов 6, ф:
\y = Y^aCa(г)Хд(6,ф). В качестве можно выбрать собственные функции орбитального момента Y1m (6, ф) (сферические функции), у которых
Ь2^ =!(! +1)^ и = mYlm.
Скрытая симметрия атома водорода проявляется в том, что его волновая функция может быть представлена иначе: у = 'Zbfb(Qgb(ц), где | = г + г, так называемые параболические координаты**. В этом выражении проявляется не центральная, а осевая симметрия, обусловленная наличием «оси» вдоль вектора Лапласа.
Эта же причина может быть сформулирована абстрактно: алгебра О(4) распадается в прямое произведение двух алгебр вращения О(3)хО(3) с генераторами J1,2 = Ь + iK. Несколько неожиданной оказыва-
*В частности поэтому в водороде имеет место линейный эффект Штарка.
"Уравнение эллипса в этих координатах линейно §/ Гр + |/ га = 2.
ется возможность свернуть ряд по Ь и записать у в простом виде ехр[/'&(| + г|)]Ф('у;1'г|) (V = me 2/м — кулоновский параметр).
Расширение
Классическое понятие симметрии сконцентрировано в теореме Нётер: симметрия это все, что коммутирует с гамильтонианом. Иначе говоря, это свойство уравнения. Начальные условия не входят в рассмотрение, хотя они определяют величину интегралов движения, тех самых, которые образуют алгебру симметрии. Если дополнить уравнение движения начальными условиями, то следует говорить об алгебре решений (а не только их интегралов). Мы будем по-прежнему называть ее симметрией, понимая под этим преобразования решений. Такое расширенное множество преобразований образует динамическую группу рассматриваемой задачи.
То, что группа Фока О(4) может быть расширена, было показано в 1970 г. Ю.Б.Румером [6]. Он построил группу О(2,1), которая изменяла энергию боровских состояний, т.е. не коммутировала с гамильтонианом. Эта группа действовала на дискретном спектре, однако вскоре были найдены преобразования связанных (финитных) состояний в инфинит-ные. Для этого потребовалась расширить группу О(4) до О(4,2).***
Заключение
Кулонова проблема — это по существу реинкарнация задачи Кеплера на квантовом уровне. Их аналогия состоит не только в совпадении потенциалов, но и в совпадении классических скобок Пуассона с квантовыми коммутаторами (Дирак). Вместе с тем вопросы симметрии не могли возникнуть в небесной механике вплоть до работ С.Ли. Только после этого новые идеи начали проникать в теорию, так что в настоящее время большинство авторов предпочитают начинать работу с задания необходимой группы симметрии.
Работа над кулоновой симметрией не может считаться законченной, пока не установлено место группы О(4,2) в системе симплектических преобразований Sp(6) фазового пространства — ведь даже действие оператора Лапласа нельзя понять, ограничиваясь рамками только координат или только импульсов.
Во всяком случае, то, что самая широкая симметрия водорода это только подгруппа канонических (или унитарных) преобразований гамильтонова потока — факт неоценимой важности.
1. Hamilton W.R. Hodograph, a new method of expression the Newtonian law of attraction // Proc. Irish Acad. 1847. V.3. P.344-353.
2. Pauli W. Über das Wassenstoffspektrum // ZS. Phys. 1926. V.36. P.336-363.
3. Podolski B., Pauling L. The momentum distribution in hydrogenlike atoms // Phys.Rev. 1929. V.34. P.109-116.
4. Fock V.A. Zur Theorie des Wassenstoffatoms // ZS. Phys. 1935. V.98. P.145-154.
***В общем случае переход от О(п) к О(п,2) рассмотрен в
книге [7].
5. Hilleraas E. Die Wellengleichung des Keplerproblem im Im-pulsraum//ZS. Phys. 1932. V.74. P.216-223.
6. Румер Ю.Б., Дмитриев В.Ф. Алгебра О(2,1) и атом водорода//ТМФ. 1970. Т.5. С.276-280.
7. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М. : Наука, 1986. 760 с.
1.
References
Hamilton W.R. Hodograph, a new method of expression the Newtonian law of attraction. Proceedings of the Royal Irish Academy, 1847, no. 3, pp. 344-353. 2. Pauli W. Über das Wassenstoffspektrum. Zeitschrift für Physik, 1926, vol. 36, pp. 336-363.
3. Podolski B., Pauling L. The momentum distribution in hydrogenlike atoms. Physical Review. 1929, vol. 34, pp. 109-116.
4. Fock V.A. Zur Theorie des Wassenstoffatoms. Zeitschrift für Physik, 1935, vol. 98, pp. 145-154.
5. Hilleraas E. Die Wellengleichung des Keplerproblem im Impulsraum. Zeitschrift für Physik, 1932, vol. 74, pp. 216-223.
6. Rumer Iu.B., Dmitriev V.F. Algebra O(2,1) i atom vodoroda [O(2, 1) Algebra and the hydrogen atom]. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika - Theoretical and Mathematical Physics, 1970, vol. 5, iss. 2, pp. 1146-1149.
7. Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. Sovremennaia geometriia [Modern geometry]. Moscow, "FizMatLit" Publ., 1986. 760 p.
