CC BY
32
Н. А. Вавилов, В. Г. Казакевич ЕЩЕ ОДНА ВАРИАЦИЯ
НА ТЕМУ РАЗЛОЖЕНИЯ ТРАНСВЕКЦИЙ*
В 1987 году Алексей Степанов [1] предложил метод разложения унипотентов для полной линейной группы GL(n, R), вскоре первый автор и Евгений Плоткин перенесли его на другие группы Шевалле [2, 3]. Этот метод осуществляет редукцию структурных результатов к группам меньшего ранга и (для коммутативных колец) дает явные полиномиальные формулы, выражающие унипотентные элементы группы в виде произведения унипотентных элементов, лежащих в собственных параболических подгруппах.
В [3, 4] можно найти детальные изложения этого метода и многочисленные обобщения. С тех пор были найдены еще более простые геометрические доказательства основных структурных теорем, см. [5, 6] и содержащиеся там ссылки. Тем не менее, недавняя работа [7] показывает, что возможности метода разложения унипотентов далеко не исчерпаны.
Напомним основные используемые в дальнейшем обозначения. Пусть R — ассоциативное кольцо с 1, GL(n, R) —полная линейная группа степени n над R. Как обычно, e обозначает единичную матрицу, а eij — стандартную матричную единицу. Для £ £ R и 1 < i = j < n через tij (£) = e + £eij обозначается соответствующая элементарная трансвекция. По определению (абсолютная) элементарная группа E(n, R) порождается всеми элементарными трансвекциями tij (£), 1 < i = j < n, £ £ R.
Обозначим через Rn свободный правый R-модуль, состоящий из столбцов высоты n с компонентами из R, а через nR — свободный левый R-модуль, состоящий из строк длины n с компонентами из R. Стандартные базисы Rn и nR обозначаются через ei,..., en и fi,..., fn соответственно.
Трансвекция — это матрица вида e + uv для некоторых u £ Rn, v £ nR таких, что vu = 0. Лемма Уайтхеда утверждает, что если у u или v есть хотя бы одна нулевая компонента, то трансвекция e + uv принадлежит элементарной группе E(n, R)
В простейшей ситуации и в простейшем варианте «тема» работы [4] метод разложения унипотентов выглядит следующим образом. Несмотря на простоту и кажущуюся техничность формулировки, мощь этого результата невозможно переоценить. Из него сразу, в несколько строк, вытекают стандартные коммутационные формулы, описание нормальных подгрупп в GL(n, R) и другие классические результаты.
Тема. Пусть R —коммутативное кольцо, g £ GL(n, R), n > 3. Тогда элементарная группа E(n, R) порождается трансвекциями e + uv такими, что как v, так и vg-1 имеет хотя бы одну нулевую компоненту.
В действительности, доказательство этого результата в [4] состоит в явной полиномиальной формуле, выражающей корневой элемент gtij (£)g-1 как произведение n сомножителей, каждый из которых лежит в (максимальной) параболической подгруппе типа Pi.
* Первый автор благодарит EPSRC EP/D03695X/1 (first grant scheme Рузби Хазрата) за финансовую поддержку и университет Белфаста за гостеприимство. Кроме того, его работа была выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №08-01-00756) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-8464.2006.1).
© Н.А.Вавилов, В.Г.Казакевич, 2008
Однако для доказательства более трудных структурных результатов часто недостаточно уметь попадать в максимальную параболическую подгруппу. Типичным примером является доказательство центральности К2, когда для проверки корректности модели ван дер Каллена [8] необходимо представлять корневые элементы как произведения элементов лежащих в субмаксимальных параболических подгруппах (или других попарных пересечениях максимальных параболических подгрупп). Обсуждение этого вопроса можно найти в [4, 6].
Вот типичный результат в таком духе, «вариация 1» работы [4].
Вариация 1. Пусть К —коммутативное кольцо, д € СЬ(п, К), п > 4. Тогда элементарная группа Е(п, К) порождается трансвекциями е + пго такими, что V имеет хотя бы одну нулевую компоненту, а vg-1 имеет хотя бы две нулевые компоненты.
Снова доказательство этого результата в [4] состоит в явной полиномиальной формуле, выражающей корневой элемент дЬц (£)д-1 как произведение п(п — 1)/2 сомножителей, каждый из которых лежит в пересечении двух параболических подгрупп типа Рь
В настоящей работе мы доказываем еще одну вариацию в таком же духе, совмещающую сформулированную выше вариацию 1 с вариацией 7 работы [4]. В вариации 7 мы попадали в собственные параболические подгруппы симплектической группы Яр2г. Однако в то время мы не заметили, что в действительности это вычисление можно провести и без предположения симплектичности сопрягающей матрицы.
А именно, размышляя над доказательством стандартности автоморфизмов групп Шевалле над коммутативными кольцами, мы пришли к выводу, что в нем естественно использовать именно унипотентные элементы. В то же время подавляющее большинство имеющихся работ с немногими исключениями, среди которых нужно особо отметить замечательные работы Ефима Зельманова [9] и Игоря Голубчика [10], основаны на использовании полупростых элементов. Обдумывая доказательство Голубчика [10], мы заметили следующий вариант метода разложения трансвекций.
Теорема. Пусть К — коммутативное кольцо, д € СЬ(п, К), п > 4. Тогда элементарная группа Е(п, К) порождается трансвекциями е + им такими, что V, ди и vg-1 имеют хотя бы по одной нулевой компоненте.
Заметим, что именно оценка п > 4 в этом результате объясняет, почему метод Голубчика [10] работает для групп СЬ„>4 и не работает для группы СЬз. В следующей работе мы намереваемся применить этот результат для такого упрощения доказательства Голубчика в духе [4], в котором вообще не используется локализация. Вместо нее с использованием нашей теоремы происходит непосредственная редукция к группе СЬ„_2 в духе работы Василия Петечука [11].
Что касается доказательства теоремы, оно основано на редукции к элементам типов
1 * * * 1 0 0 0
0 * * * 0 * * *
0 * * * и 0 * * *
V0 0 0 1 0 * * *
Заметим, что элементы первого типа содержатся в параболической подгруппе типа Р^п-ь являющейся нормализатором корневой подгруппы — именно это обстоятельство является основой доказательства сохранения корневых подгрупп при автоморфизмах. Сама же редукция использует элементы (абелева) унипотентного радикала максималь-
1 0 * л
0 1 * *
0 0 1 0
0 0 0 1
Для профессионала сказанного достаточно, чтобы воспроизвести явные формулы. Все же приведем детали вычислений.
Доказательство. Пусть д = (дг2), д-1 = (д2). Зафиксируем четыре произвольных попарно различных индекса г, у, к, к — именно здесь используется предположение п > 4. Зафиксируем, кроме того, произвольные индексы г, в и произвольный элемент £ € К и положим
и = и(г) = дгзд2г.а - дГ1д'зге2, V = о(в) = £дзкдкзЬ - £дзкд'нзек.
Ясно, что такое о удовлетворяет первому условию, так как VI =0 для всех I = к, к, в частности, VI = 02 = 0. Так как, в свою очередь, ит = 0 для всех т = г, у, и ои = 0 по выбору г, у, к, к. Таким образом, мы получаем корректно определенную трансвекцию
х(г, в) = е + ио = е + и(г)о(в).
Заметим теперь, что из коммутативности К вытекает, что
(ди)г дтгдт3 д2 г — дг3 дтгд2 г 0, (од )з £дзк дк здН з — £дзкдН здк з °'
Таким образом, второе и третье условие на трансвекцию х(г, в) также выполнены. Воспроизведем для наглядности получающуюся трансвекцию для случая п = 4, г =1, у = 2, к = 3, к = 4:
(1 0 дг2д2 г£дз4д4 з -дт2д2 т £дз4д3 з\
0 1 —дг1д>2т £дз4д4 з дт1д2т £дз4д3з
10 01
00
00
Нам осталось лишь показать, что получающиеся трансвекции порождают Е(п, К). Для этого заметим, что
х(г, в) ¿гН (дтз д3 т £дзк д2 з^гк (-дт2 д2 т £дзк дН з)^2Н (-дтгд2 т £дзкдкз)^'2к (дтгд2 т £дзкдН з) ■ (1)
Так как трансвекции ¿ги(*), ¿гк(*), 2(*), ¿2к(*) попарно коммутируют,
п п / п п \ / п п \
пп х(г, в) = ин ЕЕ дтз д2т £дз к д2з ) к дт2 д2 т £дз к дН з ) Х
т=1 з=1 \т = 1 з = 1 / \ т=1 з = 1 /
п п п п
X 12Н дтгд2т £дз к дкз I ^2 к ЕЕ дтгд2т£дзкдНз I ■ (2)
т = 1 з = 1
т=1 з=1
Снова, воспользовавшись коммутативностью К, мы видим, что это произведение равно ¿гн(£). Так как г, к и £ в этом вычислении совершенно произвольны, построенные нами трансвекции х(г, в) порождают элементарную группу Е(п, К).
Замечание 1. Построенное в доказательстве разложение tih(£) = Пx(r, s) как раз и дает разложение произвольного корневого элемента gtih(£)g-1 в произведение n2 множителей gx(r, s)g-1, 1 < r, s < n, каждый из которых лежит либо в (являющейся нормализатором корневого элемента) параболической подгруппе типа Pi,n-i (при r = s), либо в регулярно вложенной подгруппе GL(n — 1, R) (при r = s). Сама теорема обобщается на достаточно широкие классы некоммутативных колец. Но как приведенное выше доказательство, так и подобные явные формулы самым существенным образом опираются на коммутативность кольца R.
Замечание 2. В действительности, точно также доказывается и чуть более общий факт, состоящий в том, что для любого идеала I < R соответствующая относительная элементарная группа E(n,R,I) порождается трансвекциями e + u£v, где столбец и и строка v удовлетворяют тем же требованиям, что в нашей теореме, а £ £ I. Однако для тех применений, которые мы имеем в виду, подобное обобщение не является необходимым.
В заключение, авторы благодарят Алексея Степанова и Рузби Хазрата за полезные обсуждения.
Литература
1. Степанов А. В. Условия стабильности в теории линейных групп над кольцами. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Л., 1987.
2. Вавилов Н.А., Плоткин Е.Б., Степанов А. В. Вычисления в группах Шевалле над коммутативными кольцами // Докл. АН СССР. 1990. Т. 40. Вып. 1. C. 145-147.
3. Vavilov N. Structure of Chevalley groups over commutative rings // Proc. Conf. Nonasso-ciative Algebras and Related Topics (Hiroshima, 1990). London, et al.: World Sci. Publ., 1991. P. 219-335.
4. Stepanov A., Vavilov N. Decomposition of transvections: a theme with variations // K-Theory, 2000. Vol. 19. P. 109-153.
5. Вавилов Н. А., Гаврилович М. Р., Николенко С. И. Строение групп Шевалле: доказательство из Книги // Зап. научн. сем. ПОМИ. Т. 330. 2006. C. 36-76.
6. Vavilov N. An Аз-proof of structure theorems for Chevalley groups of types Еб and E7 // Int. J. Algebra Comput. 2007. Vol. 17. Issue 5-6 P. 1283-1298.
7. Вавилов Н.А., Степанов А. В. Стандартная коммутационная формула // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2008. Вып. 1. C. 9-14.
8. van der Kallen W. Another presentation for Steinberg groups // Indag. Math. Vol. 39. Issue 4. 1977. P. 304-312.
9. Зельманов Е. И. Изоморфизмы полных линейных групп над ассоциативными кольцами // Сиб. Мат. Журн. 1985. 26. 4. C. 49-67.
10. Golubchik I. Z. Isomorphisms of the general linear group GLn(R), n > 4, over an associative ring // Contemp. Math. 1992. Vol. 131. 1. P. 123-136.
11. Петечук В. М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами // Мат. Сб. 1983. 45. C. 527-542.
Статья поступила в редакцию 18 мая 2008 г.
