Энтропийный подход к анализу надежности технических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭНТРОПИЙНЫЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ

ОБЪЕКТОВ

Лицкевич А.П., к.т.н., профессор, ФГБОУ ВО «Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф. Ушакова», г. Новороссийск, Лобов Б.Н., д.т.н., доцент кафедры «Электромеханика и электрические аппараты» Южно-Российского государственного политехнического университета (НПИ) имени М.И. Платова Лицкевич С.А., к.т.н., преподаватель, ФГБОУ ВО «Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф. Ушакова», г. Новороссийск,

e-mail: [email protected].

В статье рассматривается энтропийный подход к анализу работоспособности технических систем и оборудования, при воздействии совокупности дестабилизирующих факторов, в основе которого лежит принцип максимального производства энтропии. Приводится физическая интерпретация результатов применения к задачам надежности принципа максимального производства энтропии, включающего понятие энтропии.

Ключевые слова: надежность; энтропия; необратимость; вероятность; физическая и информационная энтропия.

ENTROPIC APPROACH TO THE ANALYSIS OF RELIABILITY TECHNICAL

OBJECTS

Litskevich A., Candidate of Technical Sciences, professor, Federal State Educational Institution of higher vocational training «Admiral Ushakov

Maritime University», Novorossiysk Lobov B., Ph. D., associate Professor, Department «Electromechanics and electric devices», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI) Litskevich S., Candidate of Technical Sciences, lecturer, Federal State Educational Institution of higher vocational training «Admiral Ushakov

Maritime University», e-mail: [email protected].

The article discusses the entropic approach to the analysis of operability of systems and equipment, with the combination of destabilizing factors, which is based on the principle of maximum entropy production. Provides a physical interpretation of the results apply to the problems of reliability of the principle of maximum entropy production, including the concept of entropy.

Keywords: reliability; entropy; irreversibility; likelihood; physical and informational entropy.

В процессе эксплуатации технической системы происходит взаимодействие её с окружающей средой, которая представляет собой потоки вещества и энергии, вызывающие необратимые изменения. Результатом является потеря работоспособности системой и возникновение отказов. Для предотвращения отказов технических систем требуется определить главные из многообразия воздействующих факторов и не только их количественные значения, но и их физический смысл.

При такой постановке задачи необходимо исследовать такие аспекты как неравновесность, нестационарнось и необратимость процессов, содержащихся в понятии энтропии. Понятие необратимости и энтропии, являются понятиями современной науки, и рассмотрение задач надежности под таким углом зрения, представляет интерес не только в плане поисков физического смысла, но и с точки зрения получения новых результатов.

В целях понимания предлагаемого подхода к анализу процессов, происходящих при потере работоспособности технических систем, рассмотрим путь формирования основных принципов и понятий термодинамики, как науки об обратимых и необратимых процессах.

Понятие энтропии впервые было введено Р. Клаузисом и дано было его количественное выражение в виде T [1]. С введе-

нием понятия энтропии появилась возможность исследовать направленность процессов. Было установлена неэквивалентность прямого и обратного процессов в реальных условиях, что составило основу второго начала термодинамики. Дальнейшим развитием второго начала термодинамики, как отмечает Я. М. Гельфер, стал принцип Томпсона - Клаузиуса, который формулировался как принцип рассеяния энергии [1]. Такая формулировка выводила теорию за рамки теории тепловых машин как самостоятельный универсальный принцип.

Л. Больцман внес в термодинамику принципиально новые статистические идеи, в развивающуюся термодинамическую теорию, это было не только совершенствование математического аппарата, но и создание новой молекулярно-кинетической теории термодинамических процессов. Интерпретация энтропии Л. Больцманом, позволила установить связь энтропии с вероятностью и открыла дорогу созданию новых научных теорий и применений понятия энтропии в других науках. Известный французский исследователь истории развития поня-

H = f f • ln f • d Q

тий термодинамики П. Шамбадаль в своей монографии отмечает, что выражение явилось отправным пунктом

доказательства H - теоремы, как основной теоремы статистической теории Больцмана. Впоследствии Л. Сциллард в своем исследовании «демона Максвелла». использовал для определения энтропии выражение [2]:

HS;ilarä =-k 'lüg P

,=1 , <D

к = 1.38-10

-23 ДЖ

О

где К .

# = -|>log/>

К. Шеннон в теории сигналов, использовал выражение i=1 , как величину устраненной неопределенности в

сообщении [3,4]. Различие между энтропией физической и информационной показано в работе Ю. П. Петрова [3].

К середине XX века получили развитие не только информационные методы, стимулированные работами по термодинамике, но и развивалась неравновесная термодинамика, которая позволила ответить на вопрос о том, с какой скоростью система из неравновесного состояния возвратиться в равновесное состояние. Работами в этом направлении, в 30 годах XX века успешно занимался Л. Онзагер. Но, еще до работ Онзагера, в 1911 году, австрийский ученый Яуманн писал, что классическая термодинамика не способна описать необратимые процессы с возрастающей энтропией он предложил обобщить принцип энтропии Клаузиуса в форме принципа производства энтропии и количественно представить принцип возрастания энтропии в виде [1,2]:

TRANSPORT BUSINESS IN RUSSIA | №3 2017 | 107

Iё ■ Л */(

) + ]

■ (т

д(р ■ ^ )

У

дг

+ (IV (р ■ £ ■ V) = 0

или . (2)

В этом выражении слева стоит изменение энтропии в некотором объеме, справа - сумма энтропий, перенесенной в данный объем и возникающей в этом объеме.

В процессе дальнейшего развития в неравновесной термодинамике были сформулированы новые принципы, для исследования неравновесных процессов, к которым мы относим и процессы, исследуемые в теории надежности. Для наших целей представляет интерес принцип максимума производства энтропии Г. Циглера [6,7]. Идея принципа Г. Циглера заключалась в утверждении, что природа устроена так, чтобы при заданных термодинамических силах и законе диссипации энергии максимизировать производство энтропии.

Чтобы воспользоваться этим принципом рассмотрим марковский процесс, изменения состояний определяющего параметра исследуемого оборудования (переходное сопротивление контактов), которое подвержено дестабилизирующему влиянию внешних факторов. Примем фиксирование изменения сопротивления во времени в дискретные моменты времени с интервалом в 4000 часов. Поскольку наработка контактов составляет более 20000 часов, то разобьем её на пять интервалов, в каждом из которых может оказаться случайная величина сопротивления контактов. Возрастающее сопротивление контактов переходит в случайные моменты времени из I - го состояния в (I +1) - ое, где состояние I это один из интервалов. При изменяющейся интенсивности отказов, возрастающей при переходах в последующие состояния, в соответствие с теорией марковских процессов, система дифференциальных уравнений, описывающая такой процесс, имеет вид [8]:

I = 2 ■ ■■ п -1

^=- а )1 ■ р(г) (г

(ад

(г

(ЗД

(г

= X (г )ы- р-1(г) - X (г )гр (г) = - (г )п-1 ■ Рп-1(г)

(3)

р(0) = 1, р2(0) = 0- ■ ■ рп (0) = 0

Начальные условия имеют вид 12 п .

Приведенная выше система дифференциальных уравнений, описывает неоднородный марковский процесс чистого размножения с дискретным числом состояний и непрерывным временем [8,9]. Энтропия как, функция времени, производимая или создаваемая внешними факторами, вычисляется по формуле:

г

н (г )к =-1 рк (и )■ рк (и ))■ (и

рк (г)

(4)

где к - - - вероятность нахождения сопротивления контактов в к - ом состоянии в момент времени г. Необходимые, для составления системы дифференциальных (3) уравнений, численные значения интенсивностей отказов, определены из экспериментальных данных. Их аналитические выражения, аппроксимированные полиномами, имеют вид:

л-6 , 1 гс 1Л-13.5 .2

X(г)1 = 1.56 10-6 +1.55 10-135 ■г2 + 22.540

-26 ■г5

X(г)2 = 3.120 ■ 10-6 +1.955 ■ 10-135 ■ г2 + 2.839 ■ 10-25 ■ г5 X(г)3 = 4.680 ■ 10-6 + 2.933 ■ 10-135 ■ г2 + 4.258 ■ 10-25 ■ г5 X(г)4 = 6.24040-6 + 3.912 10-135 ■г2 + 5.67840-25 ■г5

(5)

0.004

0.0032

Мх)1 Цх)2 0.0024

Мх)3 _ 0.0016

1(х)4

— - -4

8-10

1 ) /1 1— 1 ;

// 1 1 ■ X ■ /

7

О 7/ / >

М--'

6000 1.2-10 1.8-10 2.4 10 3-10

Рисунок 1 - Графическое представление аппроксимированных полиномами функций интенсивности отказов

электрических контактов

X (г )1......X (г )4

108 ТКАШРОЯТ ВиЗШЕББ Ш Я^БТА | №3 2017 |

Система дифференциальных уравнений представлена в Mathcad выражениями

-А ^ )1 ■ Р

А(t)1 ■ р - А^)2 ■ Р2 р) = к(t)2 ■ р2 - А^)3 ■ Р3 А (t)з ■ Р3 - А (t)4 ■ Р4 А(t)4 ■ Р5

р?(0) = 1, Р2(0) = 0, Рз(0) = 0, Р4(0) = 0, Р5(0) = 0 2 = rkfixed (Р, 0,3 ■ 104,8 ■ 104, Б)

(6)

Рисунок 2 - Графики решений системы дифференциальных уравнений для вероятностей состояний

Р^ )к = 2

(к)

Составим из решений дифференциального уравнения функцию, представляющую скорость изменения энтропии 2(т) \r\ni т)

^ (к ■ х) =■

■ 1ОЕ(2 (т) х)

1ОЕ(2)

т = 2......5, х = 0.....3-10

0.6

0.48

Р(к-х)!

Р(к-х)2 036 Р(к-х)3-2

к - х)4-10

0.24

0.12

* г » г • } * Л

* // П 1 \ \ ^ Л

е ■ X г Г * 1 \Ч

' //

6000

1.2 -10 4 1.8 -10 4 2.4 -10 4 3 -10 4

Рисунок 3 - Графики скоростей изменения энтропии для вероятностей состояний, представленных решениями системы

дифференциальных уравнений

Р^ )к = 2(к)

Исходя из представленных на рис. 3. графиков максимум скорости производства энтропии наблюдается (с учетом вероятности сот =18000

стояния в этой точке) на временной оси при значении часов, которое мы называем критической точкой необратимости

процесса. Эта точка соответствует времени, которое интерпретируются как предельное значение времени наработки, при котором недопустима дальнейшая эксплуатация оборудования, в связи с неизбежностью отказа. Воспользовавшись теорией нестационарных марковских

ТЯАШРОЯТ БШШЕЗЗ Ш ЯШЗГА | №3 2017 | 109

_ . м [X (г)] _

процессов, определим математическое ожидание случайного числа попаданий в интервалы возможных значений сопротивле-

[8]М м [X(г)] й й й X(г)

ния электрических контактов [8]. Математическое ожидание числа попаданий случайной величины 4 ' сопротивления

контактов, определяется выражением

г

а(г) = м [X(г) = п] = IX(и)4 ■ (и

0

г

X г = 6.240' 10-6 +3.912' 10-13'5' г +5.678' 10-25' I5 1X (и)4 (

Подставим функцию 4 в интеграл , получим, что

а(г) = 4.092 _ г = 18000 п

4 ' при наработке V V V . Вычисленное значение подтверждает, ранее полученные результаты вычисленной нара-

ботки, определенной с помощью принципа максимального производства энтропии.

Выводы

Разработан, способ вычисления времени наработки до отказа морского оборудования (нахождения критической точки необратимости), с использованием принципа максимального производства энтропии (принципа Г. Циглера). Предложенный способ основан на физическом принципе, который включает фундаментальный физический закон - второе начало термодинамики. Определено новое значение времени наработки часов, соответствующее максимально наблюдаемой скорости изменения энтропии, которая отличается от средней наработки до отказа часов.

Изложенные результаты по нахождению времени наработки электрических контактов до отказа, при воздействии на них морской многофакторной среды, (как системы с системообразующей связью, в виде энтропии), подтверждают, что использование в качестве критерия наработки, принципа максимума производства энтропии, соответствуют реальным значениям наработки аппаратов, а сам принцип дает физическое представление о происходящих процессах.

Литература:

1. Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики. Том 1. М. «Высшая школа», 1969.

2. Петров Ю.П. Информация и энтропия в кибернетике: Учеб. пособие. Л. 1989.

3. Шамбадаль П. Развитие и приложение понятия энтропии М.: Наука, 1967.

4. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: Изд. иностр. лит. 1963. 830 с.

5. Лицкевич, С.А., Лобов Б.Н. Вероятностностная модель постепенных отказов электроконтактов морских причальных питающих колонок при действии дестабилизирующих факторов. // Изв. высших учебных заведений. Электромеханика. 2016 г. №1. С. 42-47.

6. Мартюшев Л.М. Принцип максимального производства энтропии в физике и смежных областях / Л.М. Мартюшев, В.Д. Селезнев. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 83 с.

7. Г. Циглер. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механики сплошной среды. М.: Мир,1966.

8. Клемин А. И., Емельянов В.С., Морозов В.Б. Расчет надежности ядерных энергетических установок. Марковская модель/ А. И Клемин, В.С. Емельянов, В.Б. Морозов.- М.: Энергоатомиздат. 1982. - 208 с.

9. Вентцель Е.С.,Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её приложения. - Учебное пособие для вузов. - 2-ое изд. стер. - М.: Высш. Шк., 2000 - 353 с.

110 ТКАШРОКГ ВШШЕББ Ш КИББТА | №3 2017 |