Энергосберегающее управление технологическимипроцессами нагрева (на примере установки отжига магнитопроводов) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3

ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ НАГРЕВА (НА ПРИМЕРЕ УСТАНОВКИ ОТЖИГА МАГНИТОПРОВОДОВ)

© С.В. Артемова, А.А. Артемов

Ключевые слова: оптимальное управление; энергосберегающее управление; множество состояний функционирования; синтезирующие переменные.

Излагается метод решения задачи энергосберегающего управления (с ограничениями на управление) нелине й-ным объектом, динамика которого описывается дифференциальными уравнениями первого и второго порядка с разрывной правой частью. В основу метода положены леммы о существовании решения задачи оптимального управления, классах функций энергосберегающего управления на множестве состояний функционирования и синтезирующих переменных базовой задачи.

ВВЕДЕНИЕ

При создании новых и совершенствовании существующих технологических процессов разработчики зачастую недостаточно внимания уделяли рациональному расходу энергии. Известно, что уровень полезного использования энергоресурсов составляет около 42 %, а конечного полезного использования топлива - 16 %. В целом около 15 % всей мощности, потребляемой промышленностью, расходуется на цели электротермии. В настоящее время в мире сокращаются запасы высокоэнергетического сырья, и растет стоимость производства энергии, отсюда острота вопросов модернизации производственных процессов и управления ими по энергетическим показателям в энергоемких отраслях промышленности. Актуальной становится задача ресурсосберегающего управления энергоемкими процессами нагрева в тепло-технологических аппаратах и создания системы управления с использованием несложных и доступных по цене микропроцессорных устройств, которые наряду с традиционными функциями автоматического регулирования могут в реальном масштабе времени синтезировать управляющие воздействия, минимизирующие затраты энергии в динамических режимах. Применение подобных систем в промышленности позволит не только сократить энергозатраты на 10-30 %, но и продлить срок эксплуатации технологического оборудования, а также повысить качество выпускаемой продукции [1].

Использование математического аппарата [1-3] позволяет описывать объект на множестве состояний функционирования (МСФ) и значительно сократить размерность задачи. Это дает возможность управляющему устройству работать в реальном времени.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ

Задача оптимального управления (ЗОУ) формулируется как задача с закрепленными концами траекто-

рии изменения фазовых координат и фиксированным временным интервалом управления (1) для минимизируемых функционалов затрат энергии и расхода топлива (5).

Наложим следующие два вида ограничений на скалярное управление: для каждого момента времени (см. (3)) и интегральные для всего интервала управления (4).

Данную ЗОУ математически можно записать в следующем виде, см. [3]. Нелинейный объект, описываемый системой дифференциальных уравнений:

і = / (і, и, А,В), / є[ґ0, ік ]

(1)

необходимо перевести из начального состояния Zo в конечное Z¿, т. е.

2($ = /0) = і) ^ = ік) = 2к ,

при ограничениях на управление V ЄІА), ]: и(ґ) є[ин,ив],

ґк

|/0(и)Л < одоп ,

г0

и минимуме функционала

ґк

| /о {и)йг ■

(2)

(3)

(4)

о =

(5)

здесь А, В - матрицы параметров; фазовая координата г - для объектов первого порядка и г = (г1, 2$ - для объектов второго порядка; г0, - начальное и конечное

значения фазовой координаты; Г0, 4 - начало и конец

временного интервала управления; и - управляющее воздействие; ин, ив - нижнее и верхнее значения интервала управления; у0(и(Г)) - функция, зависящая от управляющего воздействия; Jдоп - допустимое значение функционала.

Решением задачи будет оптимальная управляющая программа и (•) = (и (Г), Г е [Г0, 4]), удовлетворяющая условиям (2)-(5).

Ключевой в решении задачи (1)-(5) является идентификация модели объекта управления, в качестве которого рассмотрим технологическую установку термообработки магнитопроводов ТОМ-1.

При решении ЗОУ на МСФ можно выделить два основных случая: разогрев печи и ее догрев при смене типо-размера магнитопровода. К последнему случаю относится и смена температурных режимов. Этим двум случаям соответствуют два семейства моделей: М1 -для разогрева и М2 - для догрева, описываемые различными дифференциальными уравнениями вида (1). Поэтому задача энергосберегающего управления процессами нагрева в печи предполагает определение «рабочей модели» из семейств М1 и М2, а затем решение ЗОУ (1)-(5).

Решая ЗОУ, необходимо найти оптимальную программу управления для рабочей модели, оптимальную траекторию изменения вектора фазовых координат, а также оценить функционал затрат.

Приведем постановку задачи идентификации моделей из семейств М1, М2.

Для идентификации рабочей модели задаются: совокупность экспериментальных данных динамики объекта, которая отражает связь входных воздействий и и выходных переменных у, т. е. {и(Г,) = и,-; у(Г,) = у,; , = 1,

2....}; множество базовых моделей, для которых решены задачи полного анализа на МСФ М = Мр Р = 1,

2..} (здесь каждая модель Мр содержит дифференциальное уравнение г = / (г, и, t) и отображающую функцию ~ (Г) = ф ■ (~(^) ); постановка решаемой ЗОУ.

На основе особенностей ЗОУ и функционирования объекта определяются требования к точности и сложности модели. Требования к точности могут формулироваться в виде условия на величину допустимой

ошибки Efa ) = y(tt)-у (t,), т.

е. max

і

или минимизации функционала E от ошибки E(t): E = | q(E(t ))dt^ min , при ограничении на сложность

модели. Здесь у - расчетное значение выходной переменной по модели, Едоп - допустимая величина ошибки, q - функция ошибки, обычно квадратичная.

Задача идентификации модели M = (Д ф0) поставлена таким образом, чтобы полученная модель была пригодна для решения ЗОУ и удовлетворяла требованиям точности. В свою очередь, требования точности определяют структуру модели, оценку ее параметров и адекватность модели на МСФ.

2. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ

Обозначим через Н множество состояний функционирования (МСФ). Будем искать решение ЗОУ на Н. Исследования режимов установки ТОМ-1 показывают, что «рабочие модели» динамики на МСФ могут быть многостадийными и представленными в кусочнолинейной форме, при этом одна или несколько стадий представляют собой инерционный объект первого порядка, называемого (в теории оптимального управления) апериодическим звеном:

z = ahz(t) + bhu(t)

(6)

где ак и Ък - параметры объекта управления в состоянии к.

Исследования были проведены по методике, предложенной в [3] и состоящей из этапов: получение условий существования решения ЗОУ; определение возможных видов функций ОУ ик(ґ), к є Н; введение базовой задачи; введение синтезирующих переменных; построение и анализ областей существования видов ОУ в пространстве синтезирующих переменных базовой ЗОУ; разработка алгоритмов расчета параметров ОУ.

Решение задачи (6), (2)-(5) в состоянии к є Н существует, если существует ик(ґ), которое одновременно удовлетворяет ограничению (3) на управление для массива исходных данных

и условию достижения конечного состояния zkh

(7)

tkh

f eah(tkh-t)uh(t)dt = — (zkh - z0heah(tkh -t0h)). (8)

J bh

При этом возможные виды функций ОУ на МСФ определяются следующей леммой.

Лемма 1. Если в задаче (6), (2)-(5) минимизируемый функционал есть затраты энергии, т. е.

J э =

kh

f uh (t )dt

(9)

и для состояния h е H решение существует, то существует и единственное ОУ и (t), принадлежащее к одному из следующих классов функций:

u(t) е (ц(мгр) v |ac(exp) v ц.н (exp, мгр) v V Ц’н (игр ,exP) >

где |i(ujp) - класс постоянных функций, равных игр(ин или ив); |ic(exp) - класс строго монотонных экспонен-

циальных функций; цн(ехр, игр) - класс нестрого монотонных функций: убывающая (возрастающая) экспонента до времени переключения и постоянная функция после времени переключения; ^(и^, ехр) - класс нестрого монотонных функций: постоянная функция до времени переключения и убывающая (возрастающая) экспонента после времени переключения.

Следствие леммы 1. Если решение ЗОУ с массивом исходных данных (7) существует, то функция ОУ может иметь один из следующих видов: в классе ц(игр)

ui* (t )=ин,t е [to, tk ]; u* (t)=-ив,t e[to, tk 1 в классе цс(ехр)

_/iff_f \ %

u3(t) = u0 + d3e ( o); u0 <u3(t0) <u3(tk),

* __a(t____________________________t ) * з

u4(t) = u0 + d4e ( 0); u4(tk) <u4(t0) <u0,

u* (t) = u0 + d5e~a(t_t0); u0 < u* (tk ) < u* (t0 ), u*(t) = u0 + d6e~a(t_t0); u*(t0) < u*(tk) < ^;

в классе |i„(exp, игр)

\d7e-a(‘_‘0) + u0, t e[t0 = t7 )=

At

(10)

*3 (t )=

t е [t7 ’ tk I

3 _(Л_ a(t t0) + u0,t е [t0,t8)=

u8 =(t)=^ Uн, t efc,tk]

в классе ц„(игр, exp)

;(t )=

t e[t0,t9)=

""в, * е Lf0,^

^9)

d9e a(t t9) + u0,t е [t9,tk]

; [t0,*10)

*10(t) |di0e-a(t_tl0) + uoi e[ti0,tk];

здесь uQ = ■

2

С целью оперативного определения вида функции и (Г) и расчета ее параметров вводится базовая (нормированная) ЗОУ (БЗОУ) и синтезирующие переменные. В БЗОУ временной интервал и область допустимых управлений постоянны, т. е.Ук е Н, нормированное время Т е [0, 2] а нормированное управление -1 < |и(Т)| < 1.

Лемма 2. Если для инерционного объекта первого порядка и исходной задачи (2)-(5), с функционалом (9) введена БЗОУ

Z = AZ(T) + BU(T) + B0, T е [0;2], U(T) е [_1;1],

2

J = [и2(T)dT ^ min , (11)

J и

где A = ah —, B = bh AtAu/ 4, B0 =

At = tkh t0h , Au = u-ah uvh ■

+ uEh)/ Au ,

и в качестве синтезирующих переменных используются A и

L = (Zkh _Z0he2A)/B_B0(e2A _1)/AB v

2

v L=JeA(2_T)U(T /h)dT 0

то: 1) решение ЗОУ существует, если

Lmin (A) — L — Lmax (A),

(12)

(13)

где Lmin (A) = _

(e 2A _1)

A ’

Lmax( A) =

(e2A _1) .

A ;

2) значения синтезирующих переменных А и Ь однозначно определяют вид функций и (Т) оптимального управления (ОУ) и их параметры;

3) между функциями ОУ исходной задачи и, (Г), , = 1,..., 10, и функциями и1 (Т) БЗОУ имеется однозначное соответствие, т. е. задачи (2)-(5) и (11) являются эквивалентными.

Определение. Множество значений (Ь, А) (см. (12)) в плоскости синтезирующих переменных, для которых имеется место функция и1 (Т) ОУ, образует область существования ,-го вида ОУ. Обозначим ее к,.

Следствия леммы 2. Если выполняются условия лемм 1 и 2, то к, и их границы I, задаются следующими соотношениями: области к! и к2 есть линии ¡х и 12, причем ¡1 = Ьтах при А е (-<х; +а), а ¡2 = Ьпри А е (-<х; +<х); область к3,..., к10 есть участки плоскости (Ь 0 А), причем к3 ограничена линией ¡3 = (в44 - 1)/2А, отрезком оси Ь е [0, 2] и полуосью А е (-<х; 0); к4 - линией ¡4 = -(е4А - 1)/2А, отрезком оси Ь е [-2; 0] и полуосью А е (-а; 0); к5 - линией ¡5 = (е2А - е~2А)/2А, отрезком оси Ье [0; 2] и полуосью А е (0; +а); к6 - линией ¡6 = -(е2А -е-2А)/2А, отрезком оси Ье [-2; 0] и полуосью А е (0; +а); к7 - линиями ¡1 и ¡3 при А е (-а; 0); к8 - линиями ¡2 и ¡4 при А е (-а; 0); к9 - линиями ¡1 и ¡5 при А е (0; +а); к10 - линиями ¡2 и ¡6 при А е (0; +а). Причем линии ¡3, ¡4, ¡5, ¡6 принадлежат соответственно областям к3, к4, к5, к6. Области существования к,, границы областей и виды функций ОУ и, (Т) изображена: на рис. 1.

Введение базовой ЗОУ и синтезирующих переменных позволило получить простые формулы для расчетов параметров ОУ непосредственно по массиву исходных данных. При оптимальном управлении реальным объектом приходится в ЗОУ вместо модели (6) рассматривать модель с разрывной правой частью. В этом случае массив реквизитов для и-стадийной модели имеет вид:

R = (a1;... ^> h, tk)

2п, b1,..., b„, Z0, Z1,

n_1, zk,

(14)

u

в

u

н

Рис. 1. Области существования управления и виды функций управления и,*(Т)

где а,-, Ъ, - параметры дифференциального уравнения і стадии; ^ - значения фазовых координат в моменты переключения с і на (і + 1)-ую стадию.

Следует отметить, что для различных зон границы ин, ив могут быть различными. При рассмотрении ЗОУ на МСФ могут меняться любые компоненты массива

Я , а также число зон п.

Для решения ЗОУ вида (2)-(5), (9) с массивом исходных данных (14) используется метод синтезирующих переменных, оптимальное управление ищется в виде программы:

у (•) = (у (t), t є [t0, ); у2 (t), t є [t1,t2 ); ^ * *

■■■У (t), t Є^п_^к]),

(15)

где t,*, i = 1,.., n - 1 - моменты «оптимального» переключения стадий; ti* = arg zi*(ti).

Расчет оптимальной программы (15) связан с опре*

делением видов функций иг- (t) , i = 1, 2,..n, расчетом параметров этих функций и моментов переключения ГД Существование решения ЗОУ с массивом (14) определяется следующей леммой.

Лемма 3. Пусть для ЗОУ (2)-(5) для функционала затраты энергии с массивом исходных данных (14) при

условии zk> z0 моменты переключения tj , i = 1,..., n - 1 вычисляются по формуле:

- - 1 , a,z, + bfU-j

U = t,-i + -ln , , и

a a,z,-і + ь,ив,

- - і, az + bu-.f

t,, = t,-i + -ln , , , н ,

a, a,z,-1 + ь,ин,

тогда решение ЗОУ существует, если на интервале времени

п-1

[t0 +^ (ti -1,-1); tk ]

найдется un{t) є [иш «в], для которого выполняется условие:

_ <*t£ ..........

zk - ^-1^"(tk-tn-1) = bn L e Un (t)dt ■

Jtn-1

n (tk-t)

а при zk < z0 - по формуле:

Приведенные леммы положены в основу алгоритма расчета оптимальной программы (15), который заключается в следующем.

Шаг 1. Задаются интервалы возможных значений моментов переключения «стадий»

Т = {[ ¿1н, ^1в ], [/2н/2в ]>--->[ги-1,н , ^ п—1,в ]}

и шаги дґ,- изменения 4,..., іп _ х по стадиям.

Шаг 2. Определяется вид функции и п(ґ) и ее параметры методом синтезирующих переменных и значения функционала для последней стадии при различных

^п - 1 є [^п _ 1,н, Iп _ 1,в].

Шаг 3. Используя идею динамического программирования, рассчитываются составляющие программы

,=1

a

Рис. 2. Температурные зависимости и управляющие воздействия при оптимальном и традиционном управлении процессом нагрева технологической установки ТОМ-1

управления для двух последних стадий и т. д., пока не будет получена программа (15).

Шаг 4. Проверяется выполнение условия

V/ е [1,2,...,п-1] ^ е (^н,^).

Если данное условие выполняется, то оптимальное управление и *(•) получено. Если же для одной или нескольких зон Г, находится строго на границе интервала, то соответствующая граница смещается в сторону расширения интервала и шаги 2, 3, 4 повторяются.

При разработке системы оптимального энергосберегающего управления, предназначенной для использования в реальных производственных условиях, были проанализированы все возможные варианты состояния функционирования технологической установки термообработки магнитопроводов ТОМ-1.

Полученную модель на МСФ можно записать следующим образом:

0 оЫ+(*є[і8;з55)

(16)

а2z(t) + bu(t), z є[355;550);

a3z(t) + b$u(t), z є[550;850].

Приведенная модель получена для одного типоразмера заготовок магнитопровода. Аналогичные модели получены и для остальных.

Массив исходных данных (14) для ЗОУ, которая решается с использованием модели (16), может быть представлен тремя составляющими:

ин ив Г0 Гк 20 2к

Н\. К1 = { 1, 0,045, 0, 350, 0, 6, 18, 355};

к2: Я2 = {-0,1306, 0,2692, 0, 350, 6, 19, 355, 550}; къ\ К3 = {-0,014, 0,0556, 0, 350, 19, 41, 550, 850}.

В результате решения получена оптимальная программа управления, имеющая вид:

г/*0) = <

~ = 122,04 - 7,96t,

. Гі75 + 150,2е~0Д306('-13Д),

~2 = 1 2 1 350,

175 + 139,6e~0>014('-19), 350,

t є [0;13,1), t є [13,1; 14,3), t є [14,3; 19), t є [19; 35,1), t є [35,1; 52].

Здесь функция ~ (t) принадлежит области первого

вида задачи двойного интегратора [3], а и2 (t) и м3 (t) -области k7, представленной на рис. 1.

Полученная программа снижает энергозатраты на 13% по отношению к традиционному нагреву, значения u* и z* приведены на рис. 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований сформулирована и решена задача оптимального энергосберегающего управления процессом нагрева печи технологической установки ТОМ-1 с учетом возможных изменений состояния функционирования. Разработан метод решения задачи оптимального управления нелинейным объектом, динамика которого описывается дифференциальными уравнениями первого и второго порядка с разрывной правой частью. Основу метода составляют леммы о существовании решения ЗОУ, о классах функций ОУ на МСФ, синтезирующих переменных базовой задачи. Разработаны алгоритмы идентификации нелинейного объекта с использованием многостадийной модели. Получена аналитическая модель разогрева промышленной печи сопротивления в технологической установке для отжига магнитопроводов ТОМ-1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Артемова С.В. Информационная система оптимального управления тепло-технологическими аппаратами: монография. Москва; Санкт-Петербург; Вена; Гамбург: Изд-во МИНЦ, 2011. 234 с.

2. Муромцев Ю.Л., Ляпин Л.Н., Попова О.В. Моделирование и оптимизация сложных систем при изменениях состояния функционирования. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1993. 164 с.

3. Ляпин Л.Н., Муромцев Ю.Л. Анализ и оперативный синтез оптимального управления в задаче двойного интегратора на множестве состояний функционирования // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1990. № 3. С. 12-25.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 12-08-00352-а.

Поступила в редакцию 17 октября 2012 г.

Artemova S.V., Artemov A.A. ENERGY-SAVING CONTROL OF TECHNOLOGICAL PROCESSES OF HEAT (ON EXAMPLE OF INSTALLATION OF MAGNETIC CIRCUITS ANNEALING)

The method of solving the problem of energy-saving control (control constraints) by nonlinear object, the dynamics of which is described by differential equations of first and second order of discontinuous is given. The method is based on the existence of the lemma about the problem of optimal control solution, energy-saving control classes of functions on the set of states of operation and synthesizing variables base problem.

Key words: optimal control, energy-saving control; set of functioning states; synthesizing variables.

=

3

2

\