CC BY
16
УДК 537.311.33
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В УЗКОЩЕЛЕВЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
П. В. Ратников1, А. П. Силин
В приближении хаотических фаз проведен аналитический расчет корреляционной энергии электронного газа в узкощелевых полупроводниках в магнитном поле. Полученные результаты позволяют рассчитать энергию основного состояния и определить концентрацию электронов, соответствующую минимуму энергии.
Газ ультрарелятивистских электронов в магнитном поле. В настоящей работе рассматривается холодный электронный газ (Г << Ер) в узкощелевых полупроводниках в достаточно сильных магнитных полях таких, что расстояние между низшим и ближайшим вышележащим уровнями Ландау превосходит энергию Ферми, поэтому можно считать, что все носители тока находятся на низшем уровне Ландау.
Релятивистский электрон в магнитном поле Н описывается уравнением Дирака [1,2]
|ааих - + а2^±Р2 + а3ицРз + /?д| Фс = (1)
где - собственные волновые функции с определенной проекцией спина С = ±1 на ось, вдоль которой направлено магнитное поле (ось г)] Д = Ед/2 - полуширина запрещенной
• д * 1 зоны; рк = —г—--операторы импульса, п = 1;
ох к
где сгк - матрицы Паули, / - единичная матрица.
1 Московский физико-технический институт (МФТИ).
Величина и - матричный элемент скорости для межзонных переходов (квазискорость света), которая в случае осевой симметрии кристалла является тензором [1,2]
и
1 = ифР + и±(8{ -
где 1к - компоненты единичного вектора, направленного вдоль оси симметрии; г/ц и и± - кейновские матричные элементы скорости вдоль этой оси и перпендикулярно ей соответственно. Ниже рассматривается случай анизотропии величины и. Энергия электрона в магнитном поле имеет вид [3]:
ЕК(р2) = уД2 + гф2 + £Яи1(2/ + 1-С), (2)
где I - номер уровня Ландау.
Все носители тока находятся на низшем уровне Ландау (/ = 0, £ = 1), когда выполняется условие
и\р2Р < 2-Ни\, (3)
где импульс Ферми электронов в магнитном поле
= 2тг 2Ь2нп, (4)
электронов; Ьн = \l~77 ~ магнитная длина. Условие (3) можно записать V еН
п - плотность в виде
ё1 > оТ< (Ч
п2 Ч^х
В ультрарелятивистском пределе Д << щрр, которым мы в дальнейшем ограничимся, закон дисперсии линеен ЕРг = иц|р2| и Ер = и\\рр.
Мы рассматриваем электронный газ в сильном магнитном поле как систему независимых "нитей", направленных вдоль магнитного поля [4]. Двумерная плотность числа "нитей" в плоскости ху равна (2ттЬ2н)~1 [5]. В приближении, когда не учитываются переходы электронов между нитями, номер нити является хорошим квантовым числом и полный поляризационный оператор всей системы равен сумме одномерных поляризационных операторов.
Ограничения на концентрацию электронов п и магнитное поле Н. Мы проводим расчет корреляционной энергии ЕСОГГ(п) в приближении хаотических фаз (высокой плотности), которое применимо, когда энергия Ферми много больше энергии кулоновского взаимодействия [5-7]
Ег » Ех0 = |д, (6)
где величина с*о =--полупроводниковый аналог постоянной тонкой структуры (£о
£о и
- статическая диэлектрическая проницаемость; здесь и далее для простоты и = иц),
е2 1
которая для ряда полупроводников существенно превосходит обычную а = — = -
ч г с 137
(1 > а0 » а) [8, 9].
Как будет показано ниже, интервал концентраций, в котором верно используемое приближение, становится менее широким по сравнению с интервалом концентраций, где верно нерелятивистское приближение сильной анизотропии Ех0 << Ер << шр, шр
- плазменная частота. Это обусловлено характерной зависимостью поляризационного оператора от импульса и частоты в ультрарелятивистском пределе:
АлН « п
«А2Н5'\ (7)
или
В1П4/5 « Н « В2п,
а20 еД „ а1/4 {А\ф /е\5'4 п л_4/5 „ 4 , ^ где А\ = —^ — и А2 = -ттт — - , Вх = А2 , В2 = А^. Отметим, что 27г2 си 7Г ' \и / \с/
условие (5) при выполнении неравенств (7) удовлетворяется автоматически. В зависимости от типа полупроводника плотности и магнитные поля, для которых справедливы наши предположения и удовлетворяется условие (7), изменяются в широких пределах. Так, для 1пБЬ допустимыми значениями магнитного поля и концентрации электронов являются 5 • 104 Гс и 1013 см-3, а для ЪпТе требуются магнитные поля и концентрации не ниже 107 Гс и 1018 см-3 (параметры некоторых узкощелевых полупроводников приведены в табл. 1).
Поляризуемость ультрарелятивистского электронного газа. При наложении достаточно сильного магнитного поля электронный газ можно считать одномерным. Как
было показано в работах [5-7], основной вклад в корреляционную энергию вносит взаимодействие электронов, находящихся на разных нитях. В сильном магнитном поле нити "плотно упакованы", поэтому электроны на разных нитях могут достаточно близко подходить друг к другу, что не запрещено принципом Паули (частицы, относящиеся к разным нитям, имеют разное квантовое число - номер нити).
Таблица 1
Численные значения параметров А\ и А2 для некоторых узкощелевых
полупроводников
Кристалл Д, мэВ т*/т0 £о Аъ Ю10 см_3/Гс А2, Ю10 см-3/Гс5/4
ЬгёЪ 118 0.014 17 0.35 5.00
СаЯЬ 406.5 0.047 15 1.93 9.49
СаАэ 705 0.068 12.53 2.92 12.21
1пАэ 212.5 0.023 14.5 0.71 6.76
1пР 708 0.082 14 2.82 12.75
АШЬ 1160 0.09 11.5 3.02 14.72
ЪпТе 1150.5 0.2 10 12.8 20.54
Корреляционная энергия электронного газа дается известной формулой [6]:
1 ) [ ¿3Ыш
Есогг(п) = —] — ] -щ;
о 4 '
А2
—* —» —. —» —* ^ _
поляризуемость равна 47гх(&,^) = — У(А;)П44(А;||, го;), где У(к) = ——, П44(А;г,га;)
Еок2
компонента полного поляризационного оператора, связанного с поляризационным оператором одной нити соотношением ш) = (2жЬ2Н)~1 ППри выполнении условия (6) можно положить А) ~ х^(к, гш; Л), т.е. использовать выражение ,ш) нулевого приближения поляризационного оператора, интересующая нас компонента которого равна [10-12]
п(оь, * (¿рО{рЕ-\р\) Щ2-^
п44 (*»,") = 16 у ^ щ О
Мы не учитываем вакуумный поляризационный оператор, который дает перенормировку параметров закона дисперсии (2). Процедура перенормировки сводится к условию
—*
47гх(Ма;; А)
1 + 4тгх(к,ш- А)
-4тгх(0)(^г'и;;А)
(8)
Вещественная часть П«^,^) ПРИ Я >> Р^ и ш >> Ер равна
с»)
Вычисление корреляционной энергии. Переходя в выражении для корреляционной энергии (8) к четырехмерным сферическим координатам и обезразмеривая, получим
F - UÁ
J-^corr -
32тг3п
J sin2xdx J J dr] 0 0 0
_ln Л + .Jl + {I
t](£2 sin x + cos2^)2 J t¡(£2 sin x + cos2x)2
16a0 A2 fupF\
где A =--ZTo~Arsh I —— I. На нижнем пределе по безразмерному четырехмерно-
7г u2L¿H \ Д /
му импульсу Т] этот интеграл логарифмически расходится, поэтому он обрезается при Р4
г]р = ——, то есть там, где нарушается используемое нами приближение (10). После J\
преобразований получаем
- щР* '' (5 (*•=£)) ■ («)
функция 1(х) определяется интегралом
I(x) = / f ((1 + М1 + П " l) = \ ~ \bog{ 1 + х) - ±±£ln(l + х),
о
х
где Log(x) = f dt--. Воспользовавшись соотношением Log(x) + Log i—\ = —-ln2x и
J 1 t \ x J 2
i
откидывая логарифмически малые члены, можно упростить выражение (11): „ а0 А2 , f 0иЬ2„п\ , , /а0 А2 \
(12)
причем аргумент логарифма довольно велик в области концентраций электронов и характерных магнитных полей Н = 104 — 106 Гс.
Энергия основного состояния. Энергия основного состояния, приходящаяся на одну частицу, определена как сумма трех вкладов:
Е(п) = Е0{п) + Eexch(n) + ЕСОТТ{п). (13)
Первое слагаемое - средняя кинетическая энергия
Д2
Е0(п) =
Л г. (иРЛ , иРг.11 , и2р1
2 ирр
Второе слагаемое - обменная энергия - дается выражением
ирг » Д, Д + ирр << Д.
(14)
= (15)
т } /л А Кр(а\х - у\) Д где ,/ = / / ¿хду , , а = ¿яРк, о =-■
./ ./ -у/ж2 + ¿2-\/г/2 + ¿2 «рг
-1 -г
Численное значение параметра а мало в области плотностей (7), где применимо наше приближение. В случае а « 1 в интеграле J можно перейти к асимптотике функции Макдональда К0(а\х — у\) и 1п-, тогда 3 — 4АгвК2 и для двух предельных случаев получаем:
д2 1 / 1п2 (I) , ирр » Д,
Еехсн = -~-7Г- 1п--< у ' (16)
27т ггЬ^п а ^ ир^ << Д.
В нерелятивистском пределе (16) совпадает с результатом, полученным в работе [5].
Используя выражение для корреляционной энергии (12) и откидывая обменную энергию из-за ее малости, можно определить минимум энергии основного состояния электронного газа в узкощелевом полупроводнике в магнитном поле. Уравнение на концентрацию электронов, при которой достигается этот минимум, имеет следующий вид
= (17)
а о Д
7Г
■V1/4 41/2
где Ь = I — I I —-р- 1 , откуда с логарифмической точностью получаем
\аъ) \ д ;
Видно, что концентрация электронов (18) попадает в интервал (7) рассматриваемых нами концетраций электронов.
Заключение. Полученное нами аналитическое выражение для корреляционной энергии в сильном магнитном поле (12) позволяет рассчитать энергию ультрарелятивистского электронного газа в широком интервале концентраций электронов и магнитных
полей, к которому относится и концентрация электронов (18), соответствующая минимуму полной энергии.
Работа выполнена при поддержке Фонда некоммерческих программ "Династия", Научной школы К: 4464.2006 г., Учебно-научного комплекса ФИАН и Целевой программы Президиума РАН поддержки молодых ученых.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Б. А. Волков, Б. Г. Идлис, М. Ш. Усманов. УФН 65, 799 (1995).
[2] А. П. Силин, С. В. Шубенков. ФТТ 40, 1345 (1998).
[3] А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика (Наука, М., 1969).
[4] Б. Т. СЬш. РЬув. Иву. 76, 2433 (1973).
[5] Т. А. Онищенко. Труды ФИАН 123, 7 (1980).
[6] Ь. V. КеЫуэЬ. Онйетр. РЬув. 27(5), 395 (1986).
[7] Е. А. Андрюшин, В. С. Бабиченко, Л. В. Келдыш и др. Письма в ЖЭТФ 24, 210 (1976).
[8] Е. А. Андрюшин, А. П. Силин, С. В. Шубенков. Краткие сообщения по физике ФИАН, N0. 7-8, 22 (1995).
[9] А. П. Силин, С. В. Шубенков. ФТТ 42, 25 (2000).
[10] Л. Е. Печеник, А. П. Силин. Краткие сообщения по физике ФИАН, N0. 5-6, 72 (1996).
[11] Е. С. Фрадкин. Труды ФИАН 29, 7 (1965).
[12] А. Е. Шабад. Труды ФИАН 192, 5 (1988).
Поступила в редакцию 26 декабря 2006 г.
