Энергетический спектр заряженных скалярных частиц во Вселенной Гёделя Текст научной статьи по специальности «Физика»

Физика

УДК 621.378.826.535.8

Энергетический спектр заряженных скалярных частиц во

вселенной Гёделя

Г. Н. Шикин*, Л. П. Ющенко^

* Кафедра теоретической физики

^ Кафедра общей физики Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Изучение решений классических волновых уравнений в искривлённом пространстве-времени представляет интерес по многим причинам, в частности, знание спектра частот классических полей необходимо для изучения квантовых свойств этих полей [1,2]. Особый интерес представляет возможность наблюдения влияния космологической фоновой геометрии и различных внешних полей на волновые процессы во Вселенной [3].

Во Вселенной Гёделя рассмотрено уравнение комплексного массивного скалярного поля, взаимодействующего с электромагнитным полем. Поскольку Вселенная Гёделя являет собой простейшую модель вселенной с космологическим вращением, представляет определённый физический интерес изучение влияния внешнего гравитационного поля такой модели на формирование и устойчивость спектров состояний различных физических полей. В работе рассмотрено влияние гравитационного поля Вселенной Гёделя на энергетический спектр скалярных частиц.

Ключевые слова: энергетический спектр, Вселенная Гёделя, скалярные частицы.

Метрика Вселенной Гёделя определяется выражением [4]

ё 52 = ^2 - ёж2 + 2е2^Пхёу2 + 2 е^ёМу - ё г2, (1)

где П — положительная постоянная, являющаяся угловой скоростью вращения вектора потока Уа идеальной жидкости, заполняющей Вселенную Гёделя.

Для удобства выпишем контравариантные компоненты метрического тензора д 'л " (ж):

д00 = -1, д01 =0, д02 = 2 д03 = 0;

910 = 0, д11 = -1, д12 = 0, д13 = 0; д20 = 2 ед21 = 0, д22 = -2е-2^2Пж, д23 = 0;

д30 = 0, д31 = 0, д32 = 0, д33 = -1, д = ёе1(^ ) =--—.

Лагранжиан скалярного поля, взаимодействующего с внешним электромагнитным полем, имеет вид [5]

Ь = р,ар' -т2рр + 'щ(р,ар -р ,ар) Аа + д2ррАаАа, (2)

где д — заряд скалярной частицы, Аа — потенциал внешнего электромагнитного поля. Из лагранжиана (2) следует уравнение для поля р:

__д_

У—д 9х»

{у-^^Рф) + т2р - 2щр^А„ - д2рА„А» = 0. (3)

Решение уравнения (3) будем искать в виде

ф, у, z, t) = e[(k2,J+k3Z-Mt)v(x). (4)

Система уравнений электромагнитного поля имеет вид:

Faf3-a + F^a-ф + FpT,a = 0, F^f = 0. (5)

Выберем компоненты вектор-потенциала Aw электромагнитного поля во Вселенной Гёделя, зависящие от одной пространственной переменной х = х1: Aq(x), А2(х), Аз(х). В этом случае мы имеем следующие компоненты тензора электромагнитного поля:

Р = 9А0 Р = 9Á2 Р = 9ЛЗ (6)

Fw = дх1, Fl2 = дх^, Fl3 = дх1. (6)

Найдём связь между ковариантными и контравариантными компонентами тензора электромагнитного поля:

Fw = gil gooF10 + gugcaF12, (7)

F12 = gil 92oF 10 + 911922F12, (8)

F13 = 911933F13. (9)

дА о дАз

1. Рассмотрим случай, когда F10 = = 0, F13 = = 0, А2(х) = 0

F12(x) = 0. В этом случае из (8) имеем

Р12 = - 920 р 10. (10)

922

Равенство (10) показывает, что магнитная компонента поля Р12 (х) индуцируется электрической компонентой поля Р10 за счёт вращения Вселенной.

Из уравнения (5) определяем Р10 (х) и Р13 (х):

Р10 = = со^2е-^Пх, (11)

V —

F13 = = C3V2e-V2nx. (12)

v-g

Постоянные интегрирования со и С3 выражаются через напряжённости полей Рх и Ну в плоском пространстве-времени, переход к метрике которого можно получить

из (1), полагая Q = 0 и введя новые координаты t' = t+у, х' = х, у' = —= у, z' = z.

v 2

В этом случае имеем:

F10 = coV2 = PX1 F13 = C3V2 = -Hy. (13)

Из (7) с учётом (10) получаем F10(x):

F10 = 911

9оо - — (920)2 F10 = Рхе-^2Пх. (14)

922 J

Из (9) получаем F13:

F13 = -Ну е-^2Пх. (15)

Из (14) находим А0(х):

А0(ж) = -т (1 - ). (16)

Из (15) находим А3(х):

А3(1) = т! (<^Х - О . (17)

В (16) и (17) постоянные интегрирования выбраны так, чтобы при П ^ 0 был переход к выражению для потенциалов в плоском пространстве-времени (в старых координатах).

Рассмотрим движение заряженной скалярной частицы во внешнем электромагнитном поле, описываемом потенциалами А0(х) и А3(х). Подставляя в уравнение (3) р(х,у,х, ■£) из (4), А0(х) из (16) и А3(х) из (17), получаем уравнение для у(х):

, . 2 , ,2 , 2 , о Е*Ш + НУкз . 2 (■Ех)2 + (Ну )2 Ъх - <; ш + к3 + т + 2д-^--+ д -—2-} V-

vxx + y/2üvx -{ш2 + к2 + ш2 + 2qкз + д2 }

- е^ х |2 к,ш + 2д^ - кз - 2д2| „-

- е-2^ х [2^2к2ш + 2к2 - ^ + д2 {Exf^ } « = 0 (18)

В уравнении (18) перейдём к новой функции u(£) = v(x), £ = для

которой получаем уравнение

и" - -2 А + + D^2) u = 0, 0 то, (19)

где

+ kl + m2 + 2 q ^"t^3 + q2^*^)2

Ai =--^-, (20)

2k2U + 2qE*fc2-E*rHyfc3 - 2q2 (E^)22+2Hy)2 В1 =--»-, (21)

2-2*2" + 2Л2 - 2д^ + Я2(Е*)22+2Ну)2 Б1 =--^-. (22)

Уравнение (19) является уравнением обобщённого гипергеометрического типа [6].

2. Рассмотрим случай, когда А0 = 0, Р10 = 0, Р12 = 0, Р13 = 0. Имеем чисто магнитное поле, содержащее компоненты Р^(х) и Р^(х).

В этом случае из (7) имеем:

р10 = - 902 р 12. (23)

9оо

Как и в предыдущем случае, равенство (23) показывает, что электрическая компонента поля Р10 индуцируется магнитной компонентой поля Р12 (х) за счёт вращения Вселенной. Из уравнения (5) определяем Р12 (х):

Р 12(х) = = с2^2е-^~2Пх. (24)

Постоянная интегрирования С2 выражается через напряжённость поля Нг в плоском пространстве-времени при О = 0 и переходе к новым координатам ¿', х', у',

г'.

^12 = с2У/2 = -Н2.

Из (8) с учётом (23) получаем Е12(х):

р12 = 911^

12

(920)2

9оо

+ 922

= _ Н = 2 6 .

Из (26) находим А2(х):

А2(Х) =

2^20

I- е

лДПа

(25)

(26)

(27)

Постоянная интегрирования выбрана так, чтобы при О ^ 0 выражение А2(х) переходило в соответствующее выражение в плоском пространстве-времени (в старых координатах).

Рассмотрим движение заряженной скалярной частицы во внешнем магнитном поле, описываемом потенциалами А2(х) и Аз(х). Подставляем в уравнение (3) ср(х,у,х,1) из (4), А2(х) из (27) и Аз3(х) из (17) и получаем уравнение для у(х):

+ у/2Оух - ^2 + к2 + т2 + 2д^укз + д2

— е

{ 2к2Ш + ^ Нгк2 ~Нук3 -- 2/2к2Ш + 2к2 - —12д + д2

(Н )2 + (НуТ

402 + 202 (Н)2 , (Ну)2

202

+

О2

V—

V—

Н)2 , (Ну)2

402

+

202

V = 0 (28)

В уравнении (28) перейдём к новой функции и(£) = у(х), £ = е для которой

получаем уравнение:

и" - ^ {А2 + В2£ + Р2^2) и = 0, 0 < £ < то,

где

¿2 =

/2П 202

В2 =

2 к2Ш + 2Я

Н^—Н^-Нукз _ 2 \(Нг )2 , (Ну )2 ] Ч [ 2П2 + П2 ]

202

Р2 =

2-2к2. + 2к2 - 2дН22 + Я2 [+ ^]

202

(29)

(30)

(31)

(32)

Уравнение (29) так же как и уравнение (19) является уравнением обобщённого гипергеометрического типа [6]. Свойства решений этих уравнений определяются величинами и знаками постоянных А1,2, В1,2, ^1,2. Физический интерес представляют ограниченные решения, монотонно убывающие при £ ^ то. При этом полученные решения можно нормировать таким образом, что полная энергия Е будет равна частоте ш:

ш = Е = ! (33)

(в (33) интеграл берётся в конечных пределах по у и г).

V

Проверим возможность существования ограниченных, убывающих, квадратично интегрируемых решений уравнений (19), (29).

При £ ^ то имеем:

и" - 01у2и = 0, и(0 и , Б1у2 > 0, (34)

при £ ^ 1 имеем:

и"£2 - А^и = 0, и(0 и ^Г(35)

Из (34) и (35) следует, что представляющие физический интерес решения существуют.

В общем виде уравнения (19) и (29) запишутся так:

и" - 1 (А + В£ + Б^2) и = 0, (36)

где А, В, Б = А1,2, В12, Б^. С помощью подстановки

и(£) = £2. у(г), г = 2/в$, (37)

перейдём от уравнения (36) к уравнению для у (г):

гу"(г) + (Ь - х)у'(г) - ау(г), (38)

где

Ь = 1 + /1 + 4А, а = /ТО (/ГГ4Л + + В .

Уравнение (38) является вырожденным гипергеометрическим уравнением. Его решение представляется в виде

у(х) = слР(а, Ь, х) + С2г1-ъР(а - Ь +1, 2 - Ь,х),

где С1 и С2 — произвольные постоянные, а Р(а, Ь, г) есть функция Похгаммера, ограниченная при всех значениях х. Уравнение (38) с краевыми условиями, требующими ограниченности решения при г ^ 0 и его возрастания не быстрее некоторой конечной степени г, приводит к задаче на собственные значения. При этом оно имеет дискретный спектр собственных значений а = -п и набор собственных функций, являющихся обобщёнными полиномами Лагерра

уп(г) = ВпР*(х), а = Ь - 1, (39)

где Вп — нормировочная постоянная. Функции

ип(0 = Вп£1 ^^^ • К(2/Ё0

образуют ортонормированную систему на интервале 0 ^ £ ^ то.

Выпишем энергетический спектр полученных решений в случае, когда к2 = 0. Для этого заменим а на - п в выражении (38). Тогда, учитывая явный вид выражений (19)—(21), в случае уравнения (18) для ш получим следующее выражение:

ш ={ К • (2п + 1) - Ь ± 02(2п + 1)2 + М(2п + 1) + N Р, (40)

} ^

где

2—2Ех 4 ЕхНук3

К =-, „ „, Ь у

Пу/щ + Щ' п2(Е2 + яу)'

м = 16дЕ% 16 д у/Щ+Щ 16-2Нук3

Ыу/щ + щ п4 пз-я| + яу'

* = 8^ . 16НУк2 +8Е1 (2к1+2ш2) 8 ( 2 + 2-,

* = П (щ + Щ) + п + Щ) - п2 ^ + 2к2 + 2т )

Р

4Е1 4\-1

п2(Е2 + Яу2) п2

В случае уравнения (28), с учётом выражений (30)—(32), для ш получается (в предположении к2 = 0) выражение, совпадающее с выражением (40), в котором

нужно заменить Рх на Яг, а скобку (£Х + Щ) — на + Н^.

Рассмотрим спектр (40) при П ^ 0. Тогда выражение для ш принимает вид:

Ехкз , 1 г, 2 /тгй , тт2\2 , ^2^2 /ей , тт2

ш = ^ ± -щ{к2 (РХ + Н2)2 + т2Р2х (Р2Х + Н2У) +

3 1 2

+ (2 п +1)9НУ Р + Ну2) 3} . (41)

Требование ш > 0 приводит к ограничению на п

: к2 (Е2Х +Яу2) +ш2Е2х 1

П ^ 2дЩ^Ш+Щ 2. (42)

Из (42) следует, что при малых П значение п ограничено сверху. При П ^ то выражение (40) принимает вид

_ п

ш = Щ

(--2(2п + 1)^( Рх)2 + ( Ну)2 ±

±

2 Р2 Р + Ну2) +2(2п + 1)2 (рх + Ну2)2 -

- 4 (1 + 2 к2 + 2т2)Ну2 Р + Ну2)2] Отсюда получаем неравенство для п (с учётом ш > 0)

1

п> 2

2 Ну (1 + 2 к2 + 2т2) -

Я2

(^2 + Я2)

1

21

2, (43)

т.е. п ограничено снизу.

В случае, когда внешнее электромагнитное поле отсутствует, т.е. Аа = 0, уравнение скалярного поля имеет вид

__д_

—— дх»

(-=£9 "»р,») +т2р = 0. (44)

Решение этого уравнения будем искать в виде (4), при условии к2 = 0. Тогда после перехода к новой функции и(£) = у(х), £ = е-л^2Пх, уравнение (44) сводится

к уравнению

п," -

д

и" - ди = 0, (45)

с решением

и = МС, (46)

где а > 0: а = 2 ± у 4 + А А = ш2 + к3 + т2, М — произвольная постоянная,

приводящая к непрерывному спектру по ш.

Таким образом, вращение Вселенной Гёделя играет определяющую роль в формировании электрической или магнитной компоненты внешнего электромагнитного поля, наличие которого, в свою очередь, приводит к существованию дискретного энергетического спектра скалярных частиц.

Литература

1. Hiscock W. A. // Phys. Rev. D. — 1978. — Vol. 17, No 6. — Pp. 1497-1500.

2. Leohy D. A. // Intern. Journ. of Theoret. Phys. — 1982. — Vol. 21, No 8/9. — Pp. 703-753.

3. Novello M, Damiao Soares I. // Phys. Rev. D. — 1983. — Vol. 27, No 4. — Pp. 779788.

4. Godel K. // Rev. Mod. Phys. — 1949. — Vol. 21. — Pp. 447-450.

5. Шикин Г. Н. 1985. — // Проблемы теории гравитации и электромагнитных частиц, Т. 15. М.: Энергоатомиздат, С. 98-102. [Shikm G. N. 1985. — // Problemih teorii gravitacii i ehlektromagnitnihkh chastic, T. 15. M.: Ehnergoatomizdat, S. 98102. ]

6. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. — М.: Наука, 1978. — С. 320. [Nikiforov A. F., Uvarov V. B. Specialjnihe funkcii matematicheskoyj fiziki. — M.: Nauka, 1978. — С. 320. ]

UDC 621.378.826.535.8

Energy Spectrum of the Charged Scalar Particles in the Godel

Universe G. N. Shikin*, L. P. YuschenW

* Department of Theoretical Physics t Department of General Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

In the Godel Universe we considered equation of the complex massive scalar field interacting with the electromagnetic field. Since the Godel Universe is a simplest model of the Universe with the cosmological rotation, interest presents the study of the influence of the outer gravitational field of such model on the formation and stability of the energy spectrum of the different physical fields. In this paper we have investigated the influence of the gravitational field of the Goodel Universe on the energy spectrum of the scalar particles.

Key words and phrases: energy spectrum, Godel Universe, scalar particles.