Энергетический спектр -центра в полупроводниковой квантовой точке при наличии внешних электрического и магнитного полей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.23; 539.216.1

В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Прошкин

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР £2 -ЦЕНТРА В ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ КВАНТОВОЙ ТОЧКЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ

Методом потенциала нулевого радиуса в приближении эффективной массы исследована эволюция термов примесного молекулярного иона £>" в квантовой точке с параболическим потенциалом конфайнмента с изменением внешних электрического и магнитного полей. Показано, что внешнее магнитное поле стабилизирует £" -состояние, а внешнее электрическое поле инициирует вырождение термов £" -центра в квантовой точке.

Введение

Проблема управления энергией связи примесных состояний является традиционной для физики полупроводников. В связи с развитием нанотехнологии эта проблема приобрела особый интерес вследствие новой физической ситуации, связанной с эффектом размерного квантования [1, 2]. Действительно, как показывают эксперименты [3, 4], энергия связи примесных состояний существенно зависит от характерного размера наноструктуры и параметров ограничивающего потенциала. С другой стороны, наличие внешнего магнитного поля, как известно [5], приводит к усилению латерального геометрического конфайнмента наноструктуры. Поэтому варьируя В, можно изменять эффективный геометрический размер системы и, следовательно, изменять энергию связи примесных состояний. Наложение размерного и магнитного квантования приводит к эффекту гибридизации спектра примесного магнитооптического поглощения, который несет ценную информацию о зависимости энергии связи локализованного носителя от магнитного поля, параметров наноструктуры и типа дефекта [6-8]. В последние годы наблюдается возрастающий интерес к исследованию влияния эффектов электрического поля на свойства полупроводниковых систем с пониженной размерностью. Этот интерес обусловлен тем, что в таких системах имеется высокая степень свободы в управлении зонной структурой и оптическими свойствами с помощью внешнего и внутреннего встроенного электрического поля. Так, в случае квантовой ямы (КЯ), электрическое поле, направленное вдоль оси размерного квантования, модифицирует электронный спектр и волновые функции, что приводит к появлению максимумов в зависимости вероятности оптических переходов от электрического поля. Эксперименты по влиянию внешнего поля на вероятность оптических переходов в КЯ на основе 1пхОа1-хЛ8 / ОаЛ8 подтвердили сильные и нетривиальные изменения вероятности оптических переходов под действием электрического поля, что открывает определенные перспективы для создания приборов оптоэлектроники с управляемыми характеристиками. В экспериментах по исследованию спектров фотолюминесценции и фототока самоорганизованных квантовых точек (КТ) 1пОаЛ8 / ОаЛ8, выращенных на подложках с высоким индексом Миллера, в зависимости от величины электрического поля наблюдалось индуцированное встроенным электрическим полем красное смещение энергии оптических переходов, полу-

чившее название квантово-размерного эффекта Штарка. Модификация примесных состояний в наноструктурах во внешнем электрическом поле открывает новые возможности для исследования квантово-размерного эффекта Штарка в спектрах примесного электропоглощения низкоразмерных систем. Это актуально, поскольку эффект Штарка в легированных полупроводниковых наноструктурах представляет собой новое физическое явление с потенциальными возможностями приборных приложений. В данной статье методом потенциала нулевого радиуса теоретически исследуется динамика термов

примесного молекулярного иона £2 в сферически-симметричной КТ при изменении внешних электрического и магнитного полей.

1 Термы примесного молекулярного иона в антипараллельных электрическом и магнитном полях

Рассматривается полупроводниковая сферическая КТ радиусом Я 0

при наличии внешних магнитного и электрического полей. Последующие вычисления проводятся в цилиндрической системе координат с началом в центре КТ. Для описания одноэлектронных состояний в КТ используется параболический потенциал конфайнмента:

т*оу^ (2 + г2)

¥0 (р, г) =--------------------------^(1)

где т * - эффективная масса электрона; ю0 - характерная частота удерживающего потенциала КТ; р, ф, г - цилиндрические координаты; р< Я о; - Я о < г < Я о.

Пусть вектор напряженности электрического поля Ео направлен противоположно оси г цилиндрической системы координат, а вектор магнитной индукции В - вдоль оси г, тогда оператор Гамильтона Н^)£ можно представить в виде

- Й2 (1 Э ^ э ^ 1 э 2 ^

нао -- *

2 т

рЭр! РЭр

1 Э

+

2 з 2

Р Эф

іЙюв Э т

-----—— + —

2 Эф 2

( 2 ^ 2 Ю—

ю2 +—В 0 4

V

р 2 + HzQD , (2)

где ю— - |е| — / т * - циклотронная частота; |е| - абсолютное значение электрического заряда электрона; В - абсолютное значение вектора В; HzQD —~Й'1 (т )2/Эz2)т ю^5 z2/2-еЕ0 z .

Собственные значения Еп т и соответствующие собственные функции Vп т п (р, ф, z) гамильтониана (2) даются выражениями вида:

ЙюВт ^ ( 1 .

2 ——2—+о І п2 + 2I+

+ЙЮо4|1 Ю—2 (п + |т| + 1)-- 0 ■

4 ю2

* 2 2т Юо

(3)

V

Пі, т, п

(р, ф, z )—-

к2П2 \(п 1 + |т |)

X

( 2 ' 2 " (

р ехр

2 а 2

_ V

р

2 I \2 ^

2 (z - z0 )

- + -

4а

2а

X

ехр (гаф)

(4)

- маг-

где а 1 = а 2 /^2^1 + а 4 /(4а В)^; а = /( *Ю о) ; ав = ^Й/( *Ю в )

, . / * 2 нитная длина; ЙИ2 (х) - полиномы Эрмита; го = еЕо/ т Ю .

Потенциал £2 -центра моделируется суперпозицией потенциалов нулевого радиуса мощностью у« = 2 лЙ 2 /( (« т *) (« = 1,2):

V) = 2Уг5(г - К«■ )[1 + (г - К«)уг ]. (5)

/=1

В приближении эффективной массы волновая функция )(Р,Ф,г;Ра,Фа, га ) связанного £2 -состояния в КТ с параболическим

потенциальным профилем, находящейся в электрическом и магнитном полях, удовлетворяет уравнению Шредингера

(Е( - НаБ ) ) (^ф,г;Ра,Фа,га ) =

= ф, г;Ра,Фа, га ) (,Ф,г;Ра ,Фа ,га ),

где Е^ =-Й 2Х2/ (т *) - собственные значения гамильтониана Й5

(6)

(в£)

= ЙQD ^ ^§(р,Ф,г; ра, Фа, га ).

Одноэлектронная функция Грина О (, Ф, г; Р1, Ф1, г1; Е ^) к уравнению Шредингера (6), соответствующая энергии Е ^ и источнику в точке г 1 = (Р1, Ф1, г1), запишется в виде

1

1

т

С ( ф, z, Рl, Фl, zl;Е я)-

Х-1 Vn 1, т, п 2 (р1, ф1, z1 )'^п 1, т, п 2 (р,ф,z) ,_ч

— ^ ----------------КЕ--. (7)

п 1, т, п 2 \ЕХ Еп 1, т, п 2 /

Уравнение Липпмана-Швингера для D- -состояния в КТ имеет сле-

дующий вид:

+го 2К+^ )(р, ф, z; ра, фа, Za)— III р1 й р1^ ф^б (р, ф, (, р1, ф1, Zl; Е А)х -^ о о

Х^(рЪ фl, zl; ра, фа, ^а ^ірі, фЬ zl; ра, фа , zа ). (8)

После подстановки выражения (5) для потенциала нулевого радиуса в (8) получим

^ ф, (; Рa1, фаЪ zal; ра 2, фа 2, za 2 ) — ) (р, ф, z, раЪ Фa1, zal; Еі)х

X(T1V1QD ^, z; Ра1, фа1, ра 2, Фa2, ^ 2 ) 2 С (р, Ф, z, Рa2, фа 2, za 2;Е х)х

Х( ) ) (Р^ ^, z; Ра1,фа1, za1; Ра2, фа2, za2 ) , (9)

где

Ті — ііш _1 + (г - Яі ) ] . (1о)

г^кі

Действуя оператором Т на обе части соотношения (9), получим систему алгебраических уравнений вида

|С1 — Уіа11С1 +Ї2 a12c2, (11)

1С2 — У^іС + У 2а 22е 2,

здесь с — (Т1ТЯ) (,К!,Я2); С2 - (Т^) (К!,Щ); ау — (ВД(г,К,;Ех).

Исключив из системы (11) коэффициенты Сі, содержащие неизвестную функцию, получим уравнение, определяющее зависимость энергии связанного состояния Е^ электрона от параметров КТ и координат D0 -центров:

У1а11 + у2а22 -1 — у1у2 (а11а22 - а12а21). (12)

В случае, когда у — Уі -У2, а D0 -центры расположены симметрично относительно начала координат, уравнение (12) распадается на два уравнения:

Уа11 -1 -уа12 при с2 = сі, (13)

и

Уа11 -1 + Уа12 при с2 = - сі,

(14)

определяющих симметричное (^-терм) и антисимметричное (м-терм) состояния электрона соответственно.

Используя выражение для одночастичных волновых функций (4) и энергетический спектр (3), для функции Грина будем иметь

С ( Ф, (, Ра, фа, za'; Е я)

р

-ехр

2к 2 аа 2 Е^

4а

| йі ехр

(

Л

( - і ^п 2 н е

п 2 - о

2а

^а - z0 ] н ( Z - Z0

ПоІ I По,

2 I а ) 2 V а

п 2!

X ^ ехр_-\т\м]ехр (і(ф-фа)-Ра* 2і|

т

т---

П

т

п ? о (п 1 + Іт|)! П 1

_Ра 2а і

Ll

2а і

ехр

( ^ 1т1 Ра Р

о 2 2 а і

_-2пі^і],

X

(15)

где Рі - Я 0/ ^ 4 ); Я 0 - 2 я о/аа ; Ц* - Ц)/Еа ; ^ - Ы /Ей ;

2 2 I * 2

/ а^; И0 - е Ео/2т Юо ; а^ и Ей - эффектив-

/ї і о 2 * — 4 *

д/1 + р а ; а - а—-

ный боровский радиус и боровская энергия соответственно.

Выполняя в (15) суммирование по квантовым числам п 1, п 2 и т посредством формул Мелера и Хилле-Харди, функцию Грина можно записать в виде

С (,ф, (, ра , фа , za; Е0 Я — ) 3

(2к) 2 Л/рЕйа3

(р2 +Р2 ) + (zа - z0 )2 +( - z0 )2

X ехр

| йі ехр

(

о 2 Ща 1

рЛ2 + ™ - Е0 р + -2.

Л

1

(і-е - 21) 2 (і — ехр\-2wi])_1 X

X ехр

2(а - z0 ) - z0 )е і -((za - z0 )2 +(z - ^ )2 )е"

2 і

2Ра2(

1 - е

■ 2 і

X

X ехр

-ехр [-2^ ]

+ ехр

2Ра^ (-ехр\-2wt])

-«(Ф-Фа ) + Ра* 2t

ехр

ехр

«(-Фа )-Ра* 2t

рар^ ехр [-wt ] (1“ехр —2^ ])

(16)

После выделения в (16) расходящейся части при помощи интеграла Вебера

2 . / • • \2 / \2

(рСОЭ Ф - Ра СОЭФа ) ) + (р8Ш Ф- ра 8Ш Фа ) ) + (- га ) '

4Ра^ t

о 2 Щ) о 1

РЛ2 + ™-Р + -Еа 2

2л/^

I 2 " 2

л/(рсо8Ф-ра СО8Фа) ) + (тФ-ра 8тФа) ) + (г-га)'

гХ

X ехр

\

2Р^2 + 2^ +1

2Ра2

/ 2 2 Х/(РСО8Ф- Ра СО8Фа ) ) + (рвШ Ф- Ра 8ШФв ) ) + (( )

функцию Грина в (17) можно представить следующим образом:

(17)

О (, Ф, ( Ра, Фа, га;Е я)

1

| А ехр

о 2 Щ0 1

РЛ2 + Р + Т

Е<Л 2 у

X

2л/2

(га-го )2 +(г-го ) 4Р“2

X ехр

2 (а -го )(г-го )е t -((га -го )2 +(г-го )2 ) е

2\„-2 I

X ехр

2Ра2 (- е- 2 t

(р2а +Р2 )(1 + ехр —2 V t] 4Ра2 (1 —ехр —2 V t])

X

X ехр

2(ехр «(Ф-Фа )-Ра* ^ + ехр -«(Ф-Фа ) + Ра* ^])Р ехр[ ^

ра2 (1-ехр\~2wt])

+

-і 2 ехр

2 2 2 (рС08 ф- ра 008 фа ) ) + (р8ІИ ф- ра 8ІП фа ) ) + (^а )

4райі

2д/Кра

/ 2 2 д/(рС08ф- Ра 008фа ) ) + (рвШф- Ра ЯПфа ) ) + ( -(а )

т

X ехр

2Рл2 + 2ы +1

2Ра2

X

І 2 2 ^(р008ф-Ра С0вфа ) Ы + (р8ІПф-Ра ЯПфа ) ) + (- zа )

Действуя оператором Ті на функцию Грина (18), получим

аіі ----------------------3-

23 к 2ТРЕаай

| йі ехр

(

о 2 Щ а 1

рл2 +^- Е- р + -2

Л

X

2л/2

(zі-z0 ) 2Рай

(і-е 2 1) 2 (і-ехр[-2wі]]

-1

X ехр

Рай(

1 + е

- і

ехр

X ехр

>(р

сЬ (а 2 і

- 2 Л 2Рі2Ыєхр []

р2 ы (і + ехр [-2^і ]) 2Рай (і-ехр[-2^і])

3 ^ і---------

2

ач 3

23 к 2Л/рЕйай

| йі ехр

)

(

о 2 Щ0 о 1

рЛ2 +Ы- Е£р + 2 2

Л

2л/ї

(і-^ )2 + (Zj-Zо ) 4Ра 2

(і-е 2 і ) 2 (і-ехр[-2wі] )

X ехр

2(і-^ ))zj-z0 )е і - ((і -^ )2 + ( -^ )2

-2 і

[1-е

- 2 і

X ехр

2Ра2(

(2 + р2 ) (1 + ехр] 4ра2 (!-ехр -мі ])

X

+

(18)

, (19)

1

X

X ехр

(ехр і( -фj)-Ра

-2.

+ ехр

■I \ ,р *-2.1\ РіР^ехр(-»і)

-(-ф' ) + Ра і ]) 2ра2 (ехр -2», ] _

-і 2 ехр

( рі 8ІП фі - р j 8ІП ф j | » + ( рі 8ІП фі - р j 8ІП ф j ) » + ( (і - Zj )

4Ра2і

^д/крй

/2 2 у(рі 8ІП фі -р j 8ІП ф j ) ) + ( 8ІП фі -р j 8ІП ф j ) ) + (~ Zj )

X ехр

V

2р^'2 + 2» +1

2ра2

X

. (20)

3

3 Термы примесного молекулярного иона D— в КТ в скрещенных электрическом и магнитном полях

Пусть теперь вектор напряженности электрического поля направлен вдоль оси х, а вектор индукции магнитного поля по-прежнему вдоль оси z. Тогда решение уравнения Шредингера удобно представить в прямоугольной системе координат

Нп

(( ^ z)--

( х - хо ^ а1

Нп

( у ^ а1

Нп I -

п 1+п 2 + п 3 9,11

2 1 2 3 к2п і!п2!п 3^

-X

X ехр

(I \2 . 2 2 ^

(х-х0) + У +

4 а!

2 а

(21)

Одноэлектронная функция Грина О(,(а,Е^2) для уравнения Шредингера (6) после выделения расходящейся части запишется в виде

3

О

(,(а,Ея2)--(2к)-2 р2Ей 1айЪ X

X

| йі ехр

-І рл2+»-— р+1

V 2 Ей 2

(і-е-2і)

2 X

1

а1

X ехр

(ха - х0 )2 + ^ ^ + (х - х0 )+ у2 +

2а2

2 , „2 , z2

X ехр

2 (ха-х0 )(х-х0 )е - (ха-х0 ) +(х-х0 )

X

-2і

а2 11-

X

(о.. .. - /..2 , 2\-2г Л (- —і I 2 , 2\-2і Л

X ехр

2УаУе 1 -(Уа2 + У2 )е

V

_3 -і 2

а211-

і 2 ехр

(

ехр

) V 2 / \2

2zaze 1 -(zа + z2)

(х-ха ) + (У - Уа ) , (z-za)

(е-2і)

2 Л

4а^

К

^л/Кр

X ехр

у/(х-ха )2 + (У - Уа )2 +(z-za )/ ай ~^р ^2 + »-Щ Р + ^ (Х-Ха )2 + (У - Уа )2 +(z-za )2/ ай

(22)

/* 2 0 га Юо , ха, Уа, za - координаты £ -центра.

Применяя изложенную выше процедуру метода потенциала нулевого радиуса, получим уравнение, определяющее зависимость энергии связи

17 ) п0 п0

Е Я электрона, локализованного на £2 -центре, от координат £ -центров,

параметров КТ и величины напряженности внешнего электрического поля:

У1а11 + у2а22 - 1 - у1у2 (а11а22 - а12а21), (23)

где аі- -

((О)(,(,ЕЯ^);і,) - 1,2.

При заданном расположении £ -центра (£0 -центры расположены симметрично относительно центра КТ вдоль оси z), вместо уравнения (23) будем иметь систему уравнений вида (13), (14). Для рассматриваемой ситуации коэффициенты ац и а^-, запишутся в виде

3

- - (4к) 2 р 2Ей1а/

3 _3

22 (і -е_2і) 2 X

X ехр

(аі- хо )2 + Уа

2а2

л " 3 '

т (/2) Ч 2

) _

-2Ік (р,2 + »,-Ю ц+ 2

Л

; (24)

3

сіу =-(4я) 2 р 2Е— Ой х

3 _3

22 (1- е'2/) 2 х

х ехр

2 ^,,2 „2 Л

_________________сі

4с2 ^ 2с2

(хсі — х0) + >'2* г:

Л "

1 о ехр

Р Л2 + ™ — Е^Р + -Ей 2

((—х0 )2+у2,■+4 ]с1к (?)

х ехр

— 2 ехр

2е 1 (с ( ) ( Х2І Х0 ) + Ущ Усі + г2 ]гсї )

с2 (і- е —2Г)

(сі хс]) (усі ус]) +(гсі гс^)

2с 2ґ

+ 2^/лР

х

ехр

о 2 ^0 0 і

рЛ2 + ^— Р + -

Е^ 2

)2 + (Усі — Ус] )2 + (гсі — гс] )2 /2-

хсі хс]

)2 + (Усі — Ус] )2 + (сі — гс] )2 /с

с лс/

. (25)

3

х

4 Динамика термов примесного молекулярного иона

Как показал численный анализ дисперсионных уравнений (13), (14), энергия связи £2 -центра существенно зависит от величины внешних магнитного и электрического полей. На рис. 1 приведена зависимость энергии связи £2 -центра в полупроводниковой КТ от расстояния

между £0 -центрами (в боровских единицах) и величины индукции приложенного магнитного поля. Как видно, в магнитном поле происходит

стабилизация 0— -состояния (ср. кривые 1 и 2 на рис. 1). Из рис. 2 видно, что в условиях внешнего электрического поля наблюдается штарков-ский сдвиг g- и м-термов (ср. кривые 1 и 2). На рис. 3 показана зависимость величины расщепления между g- и м-термами от расстояния между £0-центрами (рис. 3,а) и от величины внешнего электрического поля (рис. 3,б).

Результат численного анализа дисперсионных уравнений (13) и (14) для случая скрещенных полей представлен на рис. 4. При одинаковой напряженности электрического поля смещение термов в случае скрещенных полей оказывается меньше, а область, где возможно существование связанных состояний, значительно увеличивается.

Рис. 1 Термы молекулярного иона £>2 ^ в КТ на основе 1и8Ъ для различных значений индукции магнитного поля В

при Я* = 1, и0 = 200, лг- = 8, Е0 = 0: 1 - В = 0; 2 - В = 10 Тл

Рис. 2 Термы молекулярного иона £ в КТ на основе 1и8Ъ для различных значений напряженности электрического поля Е

* * Ч

при Я0 = 1, и0 = 200 , = 8, В = 0: 1 - Е0 = 0; 2 - Е0 = 105 В/м

12

а)

Ео, В/м

б)

Рис. 3 Зависимость расщепления между термами молекулярного иона о2 )

(0) * * от расстояния между О ' -центрами (а) при Е0 = 0, Щ = 1, По = 200, л = 8,

и от величины напряженности электрического поля (б)

при Щ = 1, п0 = 200 , л, = 8, Щ2 = 0,1

Таким образом, в рамках модели потенциала нулевого радиуса аналитически

п(0)

получены дисперсионные уравнения электрона, локализованного на 02 -центре

в КТ с параболическим потенциалом конфайнмента, находящейся во внешних электрическом и магнитном полях, описывающие g- и и-термы, соответствующие симметричному и антисимметричному состояниям электрона. Показано,

что в магнитном поле происходит стабилизация О2 -состояния. В условиях внешнего электрического поля имеет место штарковский сдвиг термов, что сопровождается уменьшением энергии связи 02 -состояния. Рассмотрены случаи

антипараллельных и скрещенных электрического и магнитного полей. Найдено, что при одинаковой напряженности электрического поля смещение термов в случае скрещенных полей оказывается меньше, а область, где возможно существование связанных состояний, значительно увеличивается. Исследована зависимость расщепления между термами от величины приложенного электрического

поля и расстояния между -центрами. Показано, что с ростом расстояния и

напряженности электрического поля наблюдается сближение термов, причем в первом случае примерно по экспоненциальному закону.

Рис. 4 Термы молекулярного иона ' в КТ на основе 1и8Ъ

для различных значений напряженности электрического поля Е

* * с

при Я0 = 1, Щ = 200, "Л; = 8: 1 - Е0 = 0; 2 - Е0 = 105 в/м

12

Список литературы

1. Shchukin, V. A. Theory of quantum-wire formation on corrugated surfaces / V. A. Shchukin, A. I. Borovkov, N. N. Ledentsov, P. S. Kop'ev // Phys. Rev. B. - 1995. -V. 51. - № 24. - P. 17767-17779.

2. Wang, P. D. Optical characterization of submonolayer and monolayer InAs structures grown in a GaAs matrix on (100) and high-index surfaces / P. D. Wang, N. N. Ledentsov, C. M. Sotomayor Torres, V. M. Ustinov // Appl. Phys. Lett. - 1994. -V. 64. - № 12. - P. 1526-1528.

3. Huant, S. Two-Dimensional D- - centers / S. Huant, S. P. Najda // Phys. Rev. Lett. -1990. - V. 65. - № 12. - P. 1486-1489.

4. Huant, S. Well-width dependence of D- - cyclotron resonance in quantum wells /

S. Huant, A. Mandray // Phys. Rev. B. - 1993. - V. 48. - № 4. - P. 2370-2374.

5. Гейлер, В. А. Проводимость квантовой проволоки в продольном магнитном поле / В. А. Гейлер, В. А. Маргулис, Л. И. Филина // ЖЭТФ. - 1998. - Т. 113. -С. 1377-1396.

6. Кревчик, В. Д. Термы и магнитооптические свойства молекулярного иона D2" в квантовой нити / В. Д. Кревчик, А. А. Марко, М. Б. Семенов, А. Б. Грунин,

B. Ч. Жуковский // Вестник МГУ им. М. В. Ломоносова. - 2004. - Вып. 5. -

C. 7-10. - (Серия 3. Физика, астрономия).

7. Кревчик, В. Д. Магнитооптические свойства молекулярного иона D2" в квантовой нити / В. Д. Кревчик, А. А. Марко, А. Б. Грунин // ФТТ. - 2004. - Т. 46. -Вып. 11. - С. 2099-2103.

8. Krevchik, V. D. The magneto-optics of the multi-well quantum structures with D2 -centers / V. D. Krevchik, A. B. Grunin, A. K. Aringazin, M. B. Semenov, Vas. V. Evstifeev // Hadronic Journal. - 2005. - V. 28. - № 6. - P. 649-659.