Энергетические критерии расслоения полимерных волокнистых композитов (ПКМ) Текст научной статьи по специальности «Физика»

2012 Механика № 3 '

УДК 539.4: 678.067

А.Н. Полилов, Н.А. Татусь

Институт машиноведения им А.А. Благонравова Российской академии наук,

Москва, Россия

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ РАССЛОЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ (ПКМ)

Расслоение по границе между слоями и расщепление вдоль волокон - основные механизмы разрушения волокнистых композитов с полимерной матрицей, сопровождающие любые виды разрушения и являющиеся причиной потери несущей способности композитных элементов конструкций.

Традиционные критерии прочности по максимальным напряжениям или деформациям не позволяют описать условия возникновения и развития расслоений и расщеплений.

Изложенный энергетический подход типа Гриффитса в качестве необходимого условия разрушения использует превышение начального значения упругой энергии над конечным значением на величину работы расслоения.

В данной статье на некоторых простых примерах изгиба, кручения и сжатия композитных пластин показано важное следствие энергетического критерия - масштабный эффект, т.е. зависимость критических напряжений (прочности) от абсолютных размеров элемента конструкции.

Новые результаты связаны с анализом условий расслоения композитных пластин под действием комбинации изгибающего и крутящего моментов и «равнопрочных» балок при изгибе и кручении.

Дан обзор методов экспериментального определения удельной работы расслоения.

Ключевые слова: волокнистые полимерные композиты, разрушение, изгиб, кручение, сжатие, методы испытаний, энергетический критерий прочности, расслоение.

A.N. Polilov, N.A. Tatus

Institute of Machines Science of Russian Academy of Sciences,

Moscow, Russia

ENERGY CRITERIA FOR FRP DELAMINATION

Delamination (along ply interfaces) and splitting (along the fiber-matrix interfaces) are the main modes of FRP fracture. This modes follow all types of fracture and they lead to bear capacity lose for composite elements of construction.

Traditional strength criteria in term of maximum stresses or maximum strains cannot describe exactly the conditions of delamination or splitting onset, start and propagation.

The energy approach in this paper, uses as the necessary condition of delamination (in according with Griffith-type criterion) the excess of the initial value of the elastic energy over the value of final energy (stored after fracture) by the value of the work of delamination which is proportional to square of crack and to specific work of delamination.

Some simple examples for bending, torsion and compression of composites plates demonstrate an important consequent of energy criterion: scale effect, critical stresses (strength) dependence on absolute sizes of structure elements.

Some new results are connected with analysis of composite plates delamination under the combination of bending and torsion moments and also with the conditions of equi-strength beams delamination under bending and torsion.

Some experimental methods of specific work of delamination estimation are reviewed.

Keywords: fiber reinforced plastics, fracture, delamination, energy strength criteria, bending, torsion, compression, test methods.

Введение

Общий термодинамический критерий разрушения может быть сформулирован в виде равенства притока энергии dA (механической работы, совершаемой над телом) и суммы приращений накопленной упругой энергии dU, работы разрушения dR и диссипации энергии dr:

dA > dU + dR + dT. (1)

Дифференцирование может проводиться по времени или по некоторому параметру разрушения, например по площади трещины s (в плоском случае - по длине l).

Энергетический критерий расслоения может быть построен в упрощенном виде по схеме типа Гриффитса, но не в дифференциальной, а в разностной форме - путём сравнения начального U 0 и конечного

U1 уровней упругой энергии в образце. При пренебрежении диссипацией T : тепловыми эффектами, энергией волн, кинетической энергией осколков и т.п. критерий (1) сводится к утверждению, что необходимым условием разрушения служит превышение начального уровня энергии деформации над конечным на величину работы разрушения R , пропорциональной площади поверхности разрушения, R = у •S , где у - удельная работа разрушения. За время разрушения, которое принимается весьма кратким, дополнительная механическая работа A обычно считается равной нулю. В этих предположениях критические напряжения находятся из условия

U о = U1 + R. (2)

Ограничимся замечанием, что использование уравнения (1) не в дифференциалах, а в конечных приращениях (2), строго говоря, некорректно, так как не рассматривается вопрос монотонности изменения упругой энергии при разрушении, то есть преодоления возможных энергетических барьеров. Если моделировать задачу разруше-

ния движением шарика из положения неустойчивого равновесия на вершине горки, то согласно дифференциальному критерию (1) шарик покатится, если есть начальный наклон, и ему энергетически выгодно двигаться в направлении наибольшей крутизны, а следуя критерию в разностной форме (2), шарик покатится, если он в конце движения окажется ниже, чем в начале. Но при этом неясно, существуют ли энергетические барьеры (углубления, возвышения) на пути этого шарика.

Другим камнем преткновения в энергетических теориях типа Гриффитса является невозможность описания условия возникновения трещин в тех же терминах, что и описания условия роста уже существующей трещины. Однако на простых примерах можно проиллюстрировать важные качественные выводы, следующие из применения энергетического подхода, в частности, масштабный эффект - зависимость критических напряжений от размера тела.

Представим себе модельный хрупкий стержень длиной Ь с площадью сечения Я, равномерно растягиваемый напряжением а. Накоп-

о- 2 • Ь * Я

ленная в нем упругая энергия и =---------, где Е - модуль Юнга в на-

2 * Е

правлении растяжения. За счет накопленной упругой энергии при неподвижных захватах (А = 0) в нем за малое время т происходит разрушение в виде разделения на 2 части по площади Я и работа разрушения Я = у- Я. Принимая, что вся накопленная энергия расходуется на разрушение ( и0 = Я в (2)), получаем нижнюю оценку прочности

о = ^, (3)

которая справедлива, если Ь <т*с1, где с1 - скорость распространения упругих волн, т.е. наибольшая возможная скорость передачи упругой энергии. Тот факт, что упругая энергия пропорциональна объему тела, а разрушение происходит по поверхности, приводит к неизбежной зависимости прочности хрупкого материала от абсолютных размеров тела.

1. Расслоение балок при изгибе

1.1. Консольный изгиб балки постоянного сечения

При консольном изгибе балки силой P возникает прогиб v, и накопленная упругая энергия равна работе силы:

ТТ 1 2P2 • L3 v2 • E• t• h3 ...

U 0 -- P • v -----------------------------------r - -, (4)

0 2 E • t • h3 8L

где h,t, L - толщина, ширина и длина (пролет) балки.

После расслоения, разделяющего балку на две полосы толщиной соответственно a-h и (1 -а)h, упругая энергия при том же прогибе v

складывается из энергий двух полос. Условие минимума энергии приводит к а-1/2, то есть энергетически выгодно расслоение по нейтральной оси. Действительно, из (4) при v - const

U1 -U0(a3 +(1 -a)3); U - 0

a

2-(1 -a)2 -0 =-a-i; U.-U

aa (5)

11

2 1 4

Аналогично можно показать, что при изгибе энергетически выгодно расслоение именно на 2 части (посредине) с образованием одной трещины расслоения площадью Я = Ь * ^.

Предположим, что балка расслоилась на т равных слоев. Тогда

3 Н3

разность между и0 и оставшейся упругой энергией и 1 »Н---------------,

т

а работа разрушения Я = у*?*Ь(т-1). Наибольшее отношение высво-

_ _ и0 - и, т +1

божденной энергии к работе расслоения —0-------1» —— соответствует

Я т

т = 2, и это отношение убывает с ростом т .

При этом энергетический критерий (2) принимает форму

3

^и 0 =У* t * I, (6)

а зависимость критической нагрузки имеет вид Р = ^' ^'к • Если

от силы перейти к наибольшим касательным напряжениям, критическое значение которых обычно принимают за условную сдвиговую межслойную прочность,

3Р

2і - к

(7)

то получим

к 3Е -у

2к

(8)

и межслойная прочность окажется зависящей не только от отношения

пролета к толщине балки —, но и от абсолютных размеров. С ростом

к

толщины балки к при сохранении подобия размеров — критическое

к

напряжение (8) существенно снижается, что может привести к опасным последствиям, если при расчете изгибаемых композитных конструкций (например, стеклопластиковых листовых рессор) использовать значение условий сдвиговой прочности (7), определенное по стандартной методике при изгибе короткой балки с сечением бхб мм.

1.2. Расслоение при изгибе балки с переменными размерами сечения

В достаточно общем виде можно принять степенные законы изменения ширины ?(2} и толщины к(2) прямоугольного поперечного сечения консольной балки:

І ( 2 ) = Ь 0 к(г) = к(

V

У

Условие «равнопрочности» при этом имеет вид

бР( — ~ 2) = бР ' — г (г)'к 2 (г) Ъ 0'к",

откуда

а + 2р = 1.

Прогиб профилированной балки V отличается от прогиба прямоугольной V 0 с теми же размерами корневого сечения г 0, к 0:

—

VО)=Р[

“Е^ 0 I1 - —

а+3р

& ( 2 ) = V 0 '8 V,

где

г ' к3 10 = , 8 = 0 12 v

'1 -а-Г

3 О

Выражение для накопленной упругой энергии имеет вид (4) с точностью до коэффициента формы по прогибу:

2Р2' —

и = и0 '8V =--8,,•

(9)

Е' г' к3

При расслоении посредине балки площадь поверхности расслое

ния

« =1г 011-

г

—

& =

г 0 '— 1 + а

где коэффициент формы по площади 8 5 = (1 + а) 1.

Из энергетического условия (б) сила, необходимая для возникновения расслоения,

Р =

г' к —

2Е'Ук'85 = р

— рп . .

0

3

Из условия равнопрочности

5 1---Р 3+

5, = з р = 3 + а

5 у 1 + а 6(1 + а)

Например:

0) для прямоугольной балки а = Р = 0 ,

Р = Р •

1 1 0;

1) для треугольной балки а = 1, Р = 0 ,

Р = АР тз-

2) для параболической балки а = 0, Р = 2 ,

р=А-

Р >¡2 -

3) для балки констэра (сошіагеа) а = -1, Р = 1,

Р = да.

«Равнопрочность» балок по нормальным напряжениям отнюдь не обеспечивает их «равнопрочность» по энергетическому условию расслоения, поэтому возможен выбор оптимальной формы из «компромисса» условий различных видов разрушения.

Замечание: выражение для прогиба балки при расчете упругой энергии должно быть уточнено с учетом поправки от межслойных сдвигов.

ґ -4 \ 6 Е, к

1 + -

V 5

где v0 - прогиб, расчитываемый по гипотезе плоских сечений. Однако это уточнение при сохранении основных выводов приводит к достаточно громоздким выкладкам, и поэтому в данной статье опущено.

2. Расслоение композитных пластин при кручении

При кручении труб или пластин [1, 2, 3] возникают касательные напряжения, достигающие наибольших значений на границах сечения. Сравнивая их величину со сдвиговой прочностью композита, которая относительно невелика, можно оценивать критический крутящий момент. Другим необходимым условием разрушения является накопле-

ние в материале упругой энергии, достаточной для совершения работы расслоения. Силовой и энергетический критерии дают разные результаты, но тот и другой необходимы для оценок несущей способности, тем более что именно энергетический критерий позволяет объяснить масштабный эффект.

2.1. Рост трещин расслоения в плоских элементах

На основе энергетического критерия (2) можно описать зависимости предельного крутящего момента от длины и глубины залегания сквозного непроклея при кручении полосы из слоистого полимерного композита, в частности углепластика [2]. Рассмотрим плоский орто-тропный образец длиной Ь , с постоянными шириной t и толщиной Ъ (рис. 1) с межслойным сквозным непроклеем длиной I, расположен' о

ным на глубине а-Н

а < —

V 2у

. К полосе приложен крутящий момент

М0, и накопленная упругая энергия может быть оценена простым

суммированием по расслоенной и целым частям:

и о =

V

(10)

где крутильная

жесткость t

сечения в

С,

у

полосы без расслоения . Для Р(с) применима аппрок-

симация

Р(с) = 0,33-

0,21

(11)

Крутильная жесткость двух частей сечения расслоенной полосы

с 1 = схг • і • Н

Г с > г

Р а3 +Р

Vа^ V

1 -а

(1 -а)3

(12)

Работа расслоения Я = у-^(Ь-1) пропорциональна площади поверхности разрушения.

2

с

с

Из баланса энергии следует, что рост трещины расслоения при кручении, начавшись, распространяется на всю длину Ь , и после полного расслоения упругая энергия двух полос толщиной а • Ъ и (1 - а) Ъ

м 2 • ь 2С1

(13)

Если угол закручивания считается неизменным в процессе быстрого разрушения (жесткое нагружение), то

і Ь - і С

Ь+ Ь С1

Из энергетического критерия (2) находим

М о -

2С0 •у • і• к

у ( к -1)(1 -в + к •в)

(14)

і , С 0

где в = —; к = —-. Ь С,

При отсутствии начального расслоения є = 0 для широких сечений (і ^ Н ) р « 3, к « 4, и приближенная формула из (14) приобретает вид

м 00 = 3 ' •Н

(15)

Для «мягкого» нагружения, когда крутящий момент создаётся подвешенным «мертвым грузом», М1 = М0, и в баланс энергии (2)

надо добавить работу А момента М0 на дополнительном (после начала расслоения) угле закручивания 01 -0 0, и0 + А - и 1 = Я.

При этом

0 0 = м 0 • і , 01 = м 0 •1 •к

Сп

расслоения М0 =,

Сп

а = М 0 (0,-0 0) ,

момент при начале роста трещины

2С0 •у і ' к -1

. При отсутствии начального расслоения

8 = 0 для широких сечений р = к = 4, М0 = — X • к\Г^Х2 ^ . Как

видно из сравнения (15), критический момент при мягком нагружении

но такое сильное различие связано с очень грубым предположением, что вся работа приложенного момента за время роста угла закручивания расходуется на работу расслоения. Предположение о быстром разрушении (жесткое нагружение) только за счет накопленной упругой энергии лучше согласуется с экспериментом.

Для фиксированной длины 10 наиболее опасен непроклей, расположенный в середине по толщине ( а = 0,5 ), а при отсутствии первоначального дефекта энергетически выгодно расслоение на 2 части по срединной плоскости |_у| = 0, которое должно начаться при критическом моменте М 00 из (14):

Сравнивая (14) с (16), можно для известной длины непроклея 10 указать глубину его залегания (или для известной глубины а Ф 0,5 указать его безопасную длину 10), когда он не будет развиваться, так как при кручении вначале произойдет расслоение посредине при моменте М00 < М0, как для бездефектного материала. Таким образом,

сравнение (14) и (16) может служить основанием для отбраковки дефектных элементов, работающих на кручение.

Отметим, что уравнения (14)—( 16) описывают масштабный эффект, т.е. зависимость критических напряжений от абсолютных размеров сечения. Действительно, сравним (15) с выражением для наибольших касательных напряжений:

М0 значительно, в 4к раз (~ в 2 раза), меньше, чем при жестком М00,

(16)

(17)

где К1, К 2 - безразмерные табулированные функции [1]. Для вытянутых сечений при — ^ 0 они быстро стремятся к своим предельным

*

значениям, не зависящим от анизотропии. Величина т ^ для изотропного случая служит верхней оценкой для любого ортотропного материала при той же форме сечения.

Рис. 1. Схема нагружения образца на изгиб и кручение

Из (14), (17) следует, что в момент разрушения от расслоения наибольшие касательные напряжения в точках А и В на серединах сторон сечения (см. рис. 1) зависят не только от свойств материала 0Х2, у и от безразмерных величин, но и от абсолютного размера сечения к. С ростом толщины прочность (в традиционном смысле - критическое напряжение) снижается, что согласуется с опытными данными и должно учитываться в расчетах.

2.2. Расслоение стержней переменного сечения при кручении

Используя энергетический критерий расслоения, можно рассчитать критический момент при закручивании балки переменного сечения, что практически важно, например, для композитных автомобильных однолистовых рессор, которые разрушаются при натурных испытаниях именно в результате расслоения, вызванного сравнительно небольшими углами закручивания.

Начальная эффективная крутильная жесткость С0 для консольной балки длиной Ь с переменными размерами прямоугольного сечения X (2}, к( 2} (см. рис. 1) найдется из выражения

а остаточная крутильная жесткость из выражения

— = _________—___________. (19)

с 1 г (г )• к3 (г )-р( 2с (г))

Считается, что расслоение происходит посредине вдоль широкой стороны г (г), и работа разрушения

I

R = Jy-1 ( z )d z. (20)

0

Чтобы получить наглядные результаты в замкнутом виде, будем считать балку достаточно широкой t ^ к, что позволяет положить

Р »3 = const. Действительно, для рессор, например, t « 80 мм ,

кmax = 20 мм, кmin = 10 мм , при этом интегральная погрешность вычисления жесткости с учетом (11) не более 10 %.

Рассмотрим приближенные решения для практически используемых профилей равнопрочных балок.

а) Параболическая рессора: t = 10, к = к0^1 -L (координата z отсчитывается от заделки консольной балки):

L 3 L dz 6L

t • к3

I 0 к 0

(21)

C, = 4C0; R =y-• L; M00 = |f„ • .

б) Треугольная балка с линейным изменением ширины и с постоянной толщиной к = к 0, на концевом участке длины £ - £1, ширина

постоянная t1 = t 0

1 - L.

V L J

1-----, г < Ь1,

Ь 1

1

3

1 -Ь г > Ь1 С° 0x2 ‘і° ‘к°

Ь 1

1 - 1п

С =1С Я = Уі °'Ь С1 ^С °> л 2

( Ь > 11 - ^ 2

1+

V Ь У

2

м ° = з і °• к °

в -у Хг і " ( Ь 1 + І1 - Ь1 _ V ЬУ V2 " /

к О п

Ь 1 1

(22)

в) Балка с постоянной площадью сечения: ?(г) • к(г) = ?0 • к0, с постоянными размерами 115 к1 на конце длиной X - Ь1

Р(Ь - г)_ Р • Ь

из условия равнопрочности при изгибе а

і • Н‘

і • к

I ° к °

^ - г У

V Ь У

г Ь Л -1 1 - ^

V Ь У

1

при г < Ь1,

при г > Ь1,

к

кп

1 - Ь при г < Ь15

1 - Ь;1 при Ь1 < г < Ь,

С° 4С1 0Я • і ° • к °

2 2

м ° = зі ° •к °

ь+Ь1 (ь - Ь1).

; Я = у • і ° • Ь • 1п

0„ • у(Ь - Ьх)

к ° [ Ь1 + Ь]

1п

(23)

Сравнивая выражения (21)-(23) (или более точные зависимости предельного крутящего момента, полученные без допущения о постоянстве Р), можно выбрать профиль рессоры, обладающий свойствами «равнопрочности» и наилучшего сопротивления кручению.

і

і

°

і

і

°

1

3

з

3. Энергетический критерий расслоения при совместном действии крутящего и изгибающего моментов

При совместном действии изгиба и кручения (см. рис. 1) балка накапливает упругую энергию и 0, которую можно представить суммой энергии от действия изгибающей силы и крутящего момента. Как показано выше, в п. 1 и 2, после быстрого расслоения на 2 части без дополнительных смещений и поворотов, то есть без добавления работы внешних сил, упругая энергия при изгибе и при кручении уменьшается примерно в 4 раза, и 1 _ —и 0. Важно отметить, что разрушение и

при изгибе, и при кручении происходит по одному механизму - путем образования межслойной трещины по нейтральному сечению. Значит,

3

всё высвобождение упругой энергии «—и 0 расходуется на работу

Я _ у • Ь • г, необходимую для появления одного расслоения. Оценить совместное действие изгиба и кручения по напряжениям непросто -и в вычислительном, и в смысловом аспектах. Наибольшие значения касательных межслойных напряжений при изгибе достигаются на нейтральной оси, а при кручении - на внешней поверхности. Их, разумеется, нельзя складывать. Необходимо построить точное решение для определения напряжений, найти координаты достижения и само значение максимума суммарных напряжений и затем сравнить с критическим напряжением, т.е. с условной прочностью, понятие которой для градиентных полей напряжений строго не определено.

Энергетический подход основан на том, что высвобождение упругих энергий изгиба и кручения расходуется на один и тот же процесс разрушения - на расслоение балки по нейтральной плоскости. Поэтому энергии, расходуемые на разрушение, можно суммировать. Тонкий момент состоит в том, что удельные работы расслоения при изгибе и при кручении не обязаны быть одинаковыми (так же как трещиностой-кости при различных модах роста трещины). Если этим различием пренебречь, то энергетическое условие примет вид

3

-и 0 _у-Ь • г, (24)

где

и 0 = ии + и к = 1Р - V + 1М-0.

0 и к 2 2

(25)

Если учесть различные удельные энергии расслоения при изгибе у и и при кручении у к, то энергетическое условие (23) можно выразить

в виде

3

8і2 - Н3

4Р2 - Ь2

+

М

Ег ’Уи -ук-Р(4

или

р 2 - Ь зм2

= і

Е -1

С

= 8уя • І,

(26)

(27)

где Е2 • I, С0 - жесткость сечения балки данных размеров при изгибе и кручении; Р • Ь, М - изгибающий и крутящий момент.

Для простоты в (27) считается, что удельная работа расслоения по моде 2 одинакова для изгиба и для кручения: уя _уи _ук.

Предельная кривая (27) в осях «нагрузка-момент» Р - М или «прогиб-угол поворота» имеет вид эллипса, ограничивающего допустимые состояния по критерию расслоения от совместного действия изгибающей силы и крутящего момента.

Условие прочности при кручении также можно определять через критические напряжения (16). Соответствующие условные значения критического крутящего момента показаны прямыми линиями 3, 4 на рис. 2.

Рис. 2. «Эллипс прочности» при совместном действии изгибающей силы и крутящего момента: 1, 2 - критические силы по нормальным и по касательным напряжениям при изгибе; 3, 4 - критический крутящий момент по критериям максимальных касательных напряжений (17); 5 - энергетический критерий (27) при совместном изгибе и кручении; А - допустимая область, за пределами которой происходит разрушение

Для наглядности на рис. 2 представлены силовые и энергетические критерии для балки выбранных размеров. Прямые линии, соответствующие силовым критериям, могут проходить как вне, так и внутри энергетического «эллипса прочности».

4. Выщелкивание полосок при сжатии слоистых композитов

При сжатии слоистых композитных труб [4, 7] или пластин [5] возможны различные механизмы потери устойчивости: 1) выпучивание образца как целого (по Эйлеру), 2) отслоение и выщелкивание полосок характерной толщины, 3) расщепление на несколько частей (в частности, пополам) с их выпучиванием. Поэтому для оценки критических напряжений необходимо сравнивать условия различных механизмов разрушения с целью нахождения наименьшей нагрузки. Еще более усложняется картина при наличии начальных трещин расслоения длиной I.

Рассмотрим энергетическое условие (2) для выщелкивания полоски (рис. 3) на всю длину Ь и всю ширину пластины t, когда упругая энергия полоски после выщелкивания состоит из энергии сжатия и с и энергии изгиба ии.

U0 -^ ^ = Uс + Uи. (28)

а

Ь

Рис. 3. Характер выщелкивания слоев над дефектом при сжатии

В исходном состоянии упругая энергия U 0 полоски толщиной h,

_ Т а2 • t • h • L

длиной L при сжатии напряжением а равна ------. В процессе

2E

быстрого выщелкивания полоски элемента считаются неподвижными, дополнительного смещения не происходит, поэтому внешние силы не совершают работы, и при большой общей толщине H - h ^ h изменением упругой энергии в оставшейся части стержня можно в первом приближении пренебречь. После отслоения с одновременным выпучиванием напряжение в полоске равно эйлеровому:

а. ^, (29)

22 % %

где 'п = — = 0,822 - свободное опирание; п =— = 3,29 - жесткое за-12 3

щемление; п = 1,68 - защемление с одного края. Упругая энергия вы-

ТТ тт аэ •t•h • L

пученной полоски U1 слагается из энергии сжатия Uc =—э-------------------------- и

2 E

энергии изгиба Uи.

ТТ 1Г 2 A E ^ t ^ h % ^ V 0 í \t •L • h /"2 АЛ

Uи = 2E• 7J(v) 02 = ~J2-L^~= аэ(а-аэ)~Y~’ (30)

7 t • h3

где момент инерции I =-.

12

f z Л

Форма прогиба балки принята в виде v = v0 • sin2 %— , z е (0,L) -

V L J

для балки с защемленными концами; для других граничных условий результаты совершенно идентичны с точностью до значения ^ (заметим, что на эйлерово напряжение ^ влияет очень сильно, а на окончательный результат (34) - незначительно). Укорочение полоски от изги-

1 L % 2 v 2

ба А = — T(v') dz =-—, но при этом из-за снижения сжимающего

2 0 4 L

напряжения с а до аэ уменьшается деформация сжатия, и полоска удлиняется на эту же величину А . Считается, что концы полоски не сме-

стились: CT-L = ст 3 L +Д . Это условие равенства смещений от изгиба E E

и от сжатия позволяет определить неизвестную амплитуду прогиба: 2 = 4L (ст-ст 3 )

%2 E

которая и подставлена в (30). Тогда условие (28)

с учетом R = у • L • t принимает вид квадратного уравнения

а2 • L • t • h а2 • L • t • h аэ(а-аэ)L • t • h

- э + —^^----+ у • L • t

2E

2E

E

(31)

из которого определяется напряжение при выщелкивании полоски заранее неизвестной толщины h, если только она не связана с наличием на этой глубине непроклея, рост которого определяет разрушение при сжатии:

а = а +,

2E -у

h

(32)

Можно определить характерную толщину полоски h *, соответствующую минимальному критическому напряжению а ш;п. Из (32) по

условию да/ дк = 0.

h * =

и подстановка (33) в (32) дает

* 5

а = —

min 2

' у-L4 V5 8л2 -E,

(33)

3 „,2Л

Л-E -у 2 L2

(34)

Прочность, как видно из (34), оказалась зависящей от длины образца в степени 2/5, и это необходимо учитывать как при постановке экспериментов, так и при создании расчетных схем для работающих на сжатие композитных деталей.

Замечание 1. В задачах о расслоениях с выщелкиванием слоев приходится находить минимум двухчленной функции (32) вида

/(к) - а• кк • ЕП1 -у”2 + Ь• к^ -у”2 ...Сщ ,

5

где а,Ь - константы; показатели п1, т1 - любые; к, б > 0 . Из условия минимума д//дк = 0 нетрудно показать, что он достигается при

і

к * = (5 • Ь • к 1 • а 1 • Ет 1 “ Пі •у т 2 ~п 2 ...Ст‘ ~ п‘ ) к (33) и выражается в ви де одночлена (!) /тіп = В■ Е11 -у ‘2 ...С‘‘ (34), где В =

к • а )

+

5

(к+5) , к • т, + 5 • п.

, ¡1 =----L, т.е. при исключении минимизирующего

к ■ а ) к + 5

параметра к степени каждой входящей в оба члена величины становятся одинаковыми.

Замечание 2. Формула (34) предсказывает довольно сильную зависимость критического напряжения («прочности») от длины Ь~1/5, которая не наблюдается в эксперименте. Одна из причин связана с тем, что выщелкивание не может происходить по произвольной плоскости, в точности реализуя критическую толщину отслоенной полоски к * (33), которая может содержать лишь целое число т монослоев толщиной к 0. Если изменение длины не приводит к изменению числа монослоев в выщелкиваемой полоске, то формула

Е (т,к •) + ^ (35)

Ь \т • кг

*0

из (32) лучше согласуется с экспериментом для «характерного» постоянного числа монослоев т .

Замечание 3. При сжатии композитных образцов без начальных дефектов всегда наблюдается расслоение на несколько полосок примерно равной толщины, что можно объяснить на основе энергетического подхода. Действительно, при выщелкивании одной полоски накопленная упругая энергия расходуется на образование одного расслоения, а при расщеплении, скажем, пополам на одно расслоение расходуется энергия, накопленная в двух полосках, то есть критическое напряжение оказывается меньше.

Множественное расслоение происходит не на монослои препрега, а на полоски определенной толщины, зависящей от свойств материала. В расчетах появляется некоторый характерный размер материала, связанный с толщиной полоски, выщелкивание которой происходит при

наименьшем напряжении. Этот факт, объясняемый с помощью энергетического критерия, важен для оценки опасности непроклеев. Наиболее опасен непроклей на критической глубине h * (32). Критический размер непроклея 10 на глубине h можно оценить из условия a min из

(33)> a(h) из (32) с заменой у на у(1 -10/L).

5. Методы оценки удельной работы расслоения

Простейший способ оценки удельной работы расслоения при от-дирании одного слоя ткани или препрега с пренебрежимо малой из-гибной жесткостью (на рис. 4 при ф и 90° ) состоит в измерении силы

P, и из равенства работы внешней силы Pdv и работы отслоения

у-tdl следует

У = P/t = Pc/1, (36)

где Pc - критическая сила при начале отдирания.

При отдирании достаточно жесткой полоски (см. рис. 4, фи 0°) упругая энергия изгиба в балочном приближении

U =ip-v = E -1 - h \- v", (37)

2 8 -13

и она расходуется на работу расслоения при росте длины l:

-1 dU 3E-h3 -v2 6P2 -12 3PC -v

у =------=-------4---= ---------С—г = —c—. (38)

t 8l 8l4 E -12 - h3 2t -1

3v

Выражения (36) и (38) различаются лишь коэффициентом — из-

за пренебрежения в (36) изгибной жесткостью. Предлагается при

v 2 2 v

— < 3 пользоваться формулой (38), а при 3 < — < 1 - формулой (36).

Формула (38) получена в предположении о малых прогибах, а (36) -

о пренебрежимо малой жесткости. Точное решение задачи изгиба показало, что наибольшая погрешность элементарных формул (36) и (38)

при l = 3 не превышает 10%.

Податливость стандартного [8, 9, 10] двухконсольного образца С = v/P (рис. 5, а) в балочном приближении вдвое больше, чем у полоски на рис. 4.

С =

2/3 3Е • I

(39)

, Ь3

где I = і— . 12

1йи

Скорость высвобождения упругой энергии 01 =-------------выража-

t ё/

ется через производную от податливости по длине трещины / (38):

Р2 ёС Р2 • /2 в1 = —ёС = Р—, (40)

1 2t ё/ t • Е • I

которая равна работе расслоения при разрушении, при Р = Рс.

Для устойчивого роста трещины необходимо условие —< 0.

д/

При «мягком» нагружении с фиксированной нагрузкой из (40) 2Р2 • / Л

—- =-----------------> 0 и рост трещины неустойчив: длина трещины растет

ё/ t •Е • I

без увеличения нагрузки. При жестком нагружении с фиксированным

йвТ 4у 2 • /

(в момент роста трещины) смещением V

а/

С2 • і • Е • I

9у 2 • Е • I ' і • /5

< 0 рост трещины устойчив, поэтому в экспериментах

следует использовать медленное нагружение со скоростью 1-2 мм/мин

на жестких испытательных машинах.

////////

Рис. 4. Испытание на сопротивление расслоению путем отдирания тонкой полоски композита

в

Рис. 5. Схемы испытаний образцов с межслойными трещинами: а - на двухконсольный изгиб, б - на трехточечный изгиб, в - на растяжение

На рис. 6 представлена диаграмма многократного «нагружения-разгружения» образца, когда после каждого подрастания трещины расслоения примерно на 10 мм проводили разгрузку и повторное нагружение. Удельную работу расслоения можно определить для каждой критической нагрузки и прогиба по формуле (38) или методом податливости, строя экспериментальную зависимость С (/) и находя графически её производную. Но более надежный результат даёт обработка всего массива экспериментальных данных в логарифмических координатах. По наклону диаграммы на рис. 6 для каждой длины трещины определяется податливость образца С, и ее зависимость от / строится в логарифмических координатах (рис. 7, а). Через экспериментальные точки проводится прямая наилучшего соответствия с тангенсом угла наклона, равным 3, согласно зависимости (39). Экстраполяция этой прямой ^С = ^А1 + 3^/ на длину трещины / = 1 мм определяет со-

2

гласно (39) константу образца А1 =------. Затем в логарифмических

3Е • I

координатах из рис. 6 строится зависимость критической нагрузки РС

от длины трещины (рис. 7, б), и через экспериментальные точки проводится прямая наилучшего соответствия с тангенсом угла наклона -1, согласно (40) ^Р = ^ А2 - 3^/. Экстраполяция этой кривой на значе-

ние / = 1 мм определяет из (40) константу А2 = ^Е• I• ?•у . Через константы А1 и А2 можно определить удельную работу расслоения у более точно, чем по отдельным значениям РС, у и /:

Г =

3Ах • А2 2ґ

(41)

Рис. 6. Диаграммы Р-у «нагрузка-смещение» для многократного нагружения и разгрузки двухконсольного образца при подрастании трещины

С, мм/11 • 1(Г

Р^,Н

75

50

25

10

7.5

5.0

2.5

1.0

0,75

25 50 100

мм

1 III 500 1 1 1 1

/ ° \

/ з - 100 - -

- Г ; - - -1 \о

- /г - 50 \0

- 7 - 1 ^

о / ' 75 - 1 III 10 1 1 1 1

10 25 50 75 100 250

I, мм

Рис. 7. Зависимости податливости двухконсольного образца С (а) и критической силы Рс (б) от длины трещины I в логарифмических

координатах

На практике более просто экстраполировать прямые на рис. 7, а, б на длину трещины 100 мм, в результате чего определятся значения С(100) и РС (100), по которым надо вычислить А1 = 10 6 С(100) и

А2 = 102 Р С (100) и подставить эти константы в (41) для определения у.

Альтернативный метод оценки у по диаграммам на рис. 6 можно назвать прямым методом площадей, и такая оценка выражается отношением площади между двумя соседними диаграммами «нагрузка-смещение» к площади подрастания трещины расслоения (/м -/1),.

Например, при длине трещины /5 линейная диаграмма Р - у дошла до точки А , соответствующей нагрузке РА и прогибу у А, при этом произошел рост трещины до длины /6 с переходом диаграммы в точку В(Рв ,ув). В этом случае площадь треугольника ОАВ, соответствующая работе внешних сил после разгрузки в начало координат 0, вычисляется как разность площади прямоугольника РА, уА и трех треугольников 2[РА ■ уА + Рв ■ ув + (ув - уА)(РА - Рв)] и энергетический метод площадей для определения у сводится к простой формуле

у = РА • у В - Рв ■ у А (42)

2, (/6 -15) • 1 >

Надежные результаты дает многократное определение работы расслоения у 1 при подрастании трещины по моде I на одном образце

(см. рис. 7) с использованием формулы (42).

При изгибе образцов с межслойной трещиной вдоль нейтрального сечения (см. рис. 5, б) упругая податливость выражается в виде

2Ь3 + 3/3

С = + 3/3 , (43)

8Е •, • Н3

и удельную работу расслоения у я (по моде II при поперечном сдвиге) можно определить по формуле

9РС 2 • /2 9РС 2 • С • /2

У п = 16Е^,2 • Н3 “ 2,(2ЬЪ + 3/3)' )

Так как рост трещины расслоения при изгибе оказывается практически всегда неустойчивым, формулой (44) удается воспользоваться только для начальной длины трещины, т.е. один раз для каждого образца. При этом значение податливости С для расчета по формуле (44) рекомендуется получать с экспериментальной диаграммы, а не расчетом по формуле (43), т.е. не используя значение модуля, получаемое в других экспериментах.

При растяжении образцов с трещиной расслоения (см. рис. 5, в) податливость образца из элементарного решения выражается в виде

Ь / (Н - Н)

С =-------+ ^------^, (45)

, • Е • Н , • Е • Н • Н

откуда можно определить условную удельную работу расслоения у 1П при комбинации нормального отрыва (мода I) и поперечного сдвига (II):

у = ЦдС = Рс2 (Н - Н1) (46)

,я 2,2 а/ 2,2 • Е • Н • Н,

Рост трещины оказывается устойчивым, и критическая нагрузка не должна зависеть от длины трещины, поэтому рекомендуется проводить многократное нагружение и разгрузку при подрастании трещины с замером ее длины и при вычислении у усреднять результаты, полученные по формуле (45) через экспериментально определенные значения критических нагрузок. Метод растяжения - наиболее простой, но наименее корректный, так как при несимметричном растяжении происходит выгибание образца из плоскости и отдирание полоски наряду со сдвигом, что трудно количественно оценить расчетным путем.

Заключение

Основной эффект. Энергетический критерий расслоения предсказывает наблюдаемую на практике зависимость критических напряжений от абсолютных размеров образца.

Испытания малых образцов при специфических механизмах разрушения типа расслоения не могут непосредственно, без учета масштабного эффекта, давать надежную оценку прочности реальных конструкций. В этом смысле энергетический подход, в котором масштабный эффект неявно заложен в удельную энергию разрушения у, дает

более консервативные оценки при переходе от образцов к конструкциям, чем силовой подход, оценивающий критические силы и моменты через наибольшие напряжения в отдельных точках. При реальных расчетах следует использовать оба подхода, и для обеспечения безопасности выбирать результат, соответствующий наименьшей нагрузке.

Библиографический список

1. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. - М.: Наука, 1971. - 240 с.

2. Полилов А.Н., Бузников Ю.Н. Рост расслоений в углепластиках при кручении // Машиноведение. - 1984. - № 3. - С. 66-70.

3. Полилов А.Н., Погарский М.В. Особенности разрушения однонаправленных композитных элементов при кручении // Проблемы машиностроения и надёжности машин. - 1991. - № 2. - С. 48-55.

4. Полилов А.Н., Погарский М.В. Равнопрочная геометрия многозвенных трубчатых конструкций из однонаправленного композита// Механика композитных материалов. - 1990. - № 5. -С. 884-890.

5. Полилов А.Н., Работнов Ю.Н. Развитие расслоений при сжатии композитов // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. - 1983. - № 4. -С. 166-171.

6. Полилов А.Н., Татусь Н.А. Критерии прочности полимерных волокнистых композитов, описывающие некоторые экспериментально наблюдаемые эффекты // Проблемы машиностроения и автоматизации. -2008. - № 3. - С. 103-110.

7. Работнов Ю.Н., Полилов А.Н. О разрушении композитных труб по форме китайского фонарика // Механика композитных материалов. - 1983. - № 3. - С. 548-550.

8. Characterizing Délamination Growth in Graphite-Epoxy / D.J. Wilkins, J.R. Eisenmann, R.A. Camin, W.S. Margolis, R.A. Benson // Damage in Composite Materials. ASTM STP 775. - 1980. - P. 168.

9. Carlsson L.A., Pipes R.B. Experimental Characterization of Advanced Composite Materials (Part 13). - USA: University of Delaware. -1987. - P. 159-192.

10. Whitney J.V., Browning C.E., Hoogsteden W. A Double Cantilever Beam Test for Characterizing Mode I Delamination of Composite Materials // J. Reinforced Plast. Comp. - 1982. - Vol. 1. - P. 297.

References

1. Lekhnitskii S.G. Kruchenie anizotropnyh i neodnorodnyh sterzhnej [Torsion of anisotropic and inhomogeneous rods]. Moscow: Nauka, 1971, 240 p.

2. Polilov A.N., Buznikov Yu.N. Rost rassloenij v ugleplastikah pri kruchenii [Delamination growth in carbon fiber reinforced plastics under torsion]. Mashinovedenie, 1984, no. 3, pp. 66-70.

3. Polilov A.N., Pogarsky M.V. Osobennosti razrushenija od-nonapravlennyh kompozitnyh elementov pri kruchenii [Fracture features of unidirectional composite elements under torsion]. Problemy mashinostroe-nia i nadezhnocti, 1991, no. 2, pp. 48-55.

4. Polilov A.N., Pogarsky M.V. Ravnoprochnaja geometrija mnogoz-vennyh trubchatyh konstrukcij iz odnonapravlennogo kompozita [Equis-trength geometry of multilink tubular unidirectional composite structures]. Mehanika kompozitsionnyh materialov, 1990, no. 5, pp. 884-890.

5. Polilov A.N., Rabotnov Yu.N. Razvitie rassloenij pri szhatii kom-pozitov [Delamination growth in composites under pressure loading]. Izves-tiya akademii nauk SSSR. Mehanika twerdogo tela, 1983, no. 4, pp. 166171.

6. Polilov A.N., Tatus N.A. Kriterii prochnosti polimernyh vo-loknistyh kompozitov, opisyvajushie nekotorye jeksperimental’no nabl-judaemye jeffekty [Strength criteria for fiber reinforced plastics described some of the experimentally observed effects]. Problemy mashinostroenia i avtomatizatsii, 2008, no. 3, pp. 103-110.

7. Rabotnov Yu.N., Polilov A.N. On the chinese lantern form of composite tubes failure [O razrushenii kompozitnyh trub po forme kitajskogo fonarika]. Mehanika kompozitsionnyh maerialov, 1983, no. 3, pp. 548-550.

8. Wilkins D.J., Eisenmann J.R., Camin R.A., Margolis W.S., Benson R.A. Characterizing Delamination Growth in Graphite-Epoxy. Damage in Composite Materials. ASTMSTP 775, 1980, p. 168.

9. Carlsson L.A., Pipes R.B. Experimental Characterization of Advanced Composite Materials (Part 13). USA, University of Delaware. 1987. pp. 159-192.

10. Whitney J.V., Browning C.E., Hoogsteden W. A Double Cantilever Beam Test for Characterizing Mode I Delamination of Composite Materials. J. Reinforced Plast. Comp., 1982, vol. 1, pp. 297.

Об авторах

Полилов Александр Николаевич (Москва, Россия) - доктор технических наук, профессор, заведующий лабораторией безопасности и прочности композитных конструкций Института машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук (101990, Москва, М. Харитоньевский пер. 4., e-mail: polilov@imash.ru).

Татусь Николай Алексеевич (Москва, Россия) - кандидат технических наук, научный сотрудник лаборатории безопасности и прочности композитных конструкций Института машиноведения им. А. А. Благонравова Российской академии наук (101990, Москва, М.Харитоньевский пер. 4., e-mail: nikalet@mail.ru).

About the authors

Polilov Alexander Nikolaevich (Moscow, Russian Federation) -Doctor of Technical Sciences, Professor. The Head of Laboratory of Safety and Strength of Composite Structures, Institute of Machines Science of Russian Academy of Sciences (4, Malyi Kharitonyevsky per., Moscow, 101990, Russian Federation, e-mail: polilov@imash.ru).

Tatus Nikolay Alexeevich (Moscow, Russian Federation) - Ph. D. in Technical Sciences, Researcher of Laboratory of Safety and Strength of Composite Structures, Institute of Machines Science of Russian Academy of Sciences, Moscow (4, Malyi Kharitonyevsky per., Moscow, 101990, Russian Federation, e-mail: nikalet@mail.ru).

Получено 15.08.2012