CC BY
49УДК 697.2, 62-69
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ В ТОРОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Д.В. Неснов
Самарский государственный технический университет
443100 ул. Молодогвардейская, 244, soft73@mail.ru
Аннотация. Теория поля широко представлена в сферической и цилиндрической системах координат, так как хорошо изучен математический аппарат данных систем координат. Источники поля с более сложными структурами требуют новых подходов к их изучению. Целью данного исследования является адаптация теории поля, отнесенной к криволинейным координатам, с целью ее представления в нормальных тороидальных координатах. А также разработка основ геометрического моделирования с применением средств компьютерной графики для визуализации поверхностей уровня. В статье показаны зависимости нормальных тороидальных координат от прямоугольных декартовых, коэффицинты Ламе. Получены дифференциальные характеристики скалярных и векторных полей в нормальных тороидальных координатах: лапласиан скалярного и векторного полей, дивергенция, ротор векторного поля. На примере показана методика моделирования поля и его дальнейшая компьютерная визуализация. Приведена методика чтения внутреннего уравнения поверхности и показано влияние значений параметров на форму поверхности. Впервые получены выражения характеристик скалярного и векторного полей в нормальных тороидальных координатах, разработаны основы геометрического моделирования полей с привлечением средств компьютерной графики с целью обеспечения наглядности в их изучении. Представление теории поля в специальных координатах значительно упрощает вычисление характеристик поля, когда источник поля имеет сложную структуру. Дальнейшим развитием данной тематики является представление характеристик поля в конических координатах. Данные исследования будут представлены в последующих публикациях.
Предмет исследования: предметом исследования являются элементы теории поля в криволинейных координатах. Исследование направлено на решение проблем описания полей сложной структуры, с источником более сложной формы, чем точка и прямая.
Материалы и методы: работа базируется на положениях общей терии поля в криволинейных координатах Исследование проведено преимущественно аналитическими методами и с применением графических методов.
Результаты: впервые получены характеристики скалярных и векторных полей в нормальных тороидальных координатах, на приведенном примере показано применение математического аппарата для геометрического моделирования полей.
Выводы: выражения дифференциальных характеристик скалярных и векторных полей в нормальных тороидальных координатах можно использовать для исследования полей сложной структуры, с криволинейным источником. Методика «чтения» внутренних уравнений поверхностей уровня скалярных полей позволяет управлять формой поверхностей уровня поля.
Ключевые слова: теория поля, тороидальные координаты, моделирование, внутренние уравнения поверхностей.
ВВЕДЕНИЕ
Большинство физических процессов и явлений моделируются с применением математического аппарата теории поля. Теория поля в научной литературе широко представлена в векторном изложении в прямоугольных декартовых координатах.
Если источник поля сконцентрирован в точке, его характеристики удобнее описывать в сферических координатах. Изоповерхностями (поверхностями уровня) такого поля являются концентрические сферы с центром в источнике поля. Если источник поля распределен вдоль прямой, его характеристики получают в цилиндрических координатах. Поверхностями уровня такого поля являются соосные цилиндры.
Осложнения математического плана, возникающие при описании полей сложной структуры, например, полей с источником более сложной формы, чем точка и прямая, требуют новых
подходов к изучению процессов, происходящих в среде таких полей. Особенно это касается случаев, когда некоторый объект усложненной формы, является одновременно стоком действия одного поля и источником другого.
Кроме цилиндров и сфер, следующими по простоте элементарными поверхностями, являются конус и тор. Поверхности уровня теплового поля с источником в виде внешних конических и торовых поверхностей не совпадают с семьями еквидистатних конусов и торов. Эти семьи не являются координатными в одной из общеизвестных координатных систем. Это является причиной осложнений, которые возникают при описании полей и определении их характеристик.
Основная идея работы заключается во введении, для представления поля и определения его характеристик, новых или использования известных координатных систем. При этом должно сохраняться условие совпадения координатных семей поверхностей с поверхностями уровня поля или с предельными поверхностями процесса.
АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ
Работа базируется на:
- положениях классической общей теории поля в криволинейных координатах [1-7];
- теории параметризации геометрических фигур и условий [8-11];
- а также современных представлениях и исследованих теории поля [12-16].
В отличие от вышеперечисленных исследований в работе представлена теория поля в нормальных тороидальных координатах. Определителем семейства поверхностей является тор, и соответственно источником тепловых полей -торовая поверхность.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
Исследование проведено преимущественно аналитическим методом. Для обеспечения
наглядности в изучении теории поля применен графический метод.
Проблема поиска средств предотвращения осложнений, возникающих при аналитическом описании скалярных и векторных полей вследствие несовпадения поверхностей уровня с координатными поверхностями системы его отнесения актуальна.
Основная идея работы заключается в введении, для представления поля и определения его характеристик, новых или использования известных координатных систем, соответствующих условию совпадения одной или двух координатных семей поверхностей с одной или двумя поверхностями уровня поля или с предельными поверхностями процесса, обеспечивает предотвращение упомянутых осложнений.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ АНАЛИЗ
Функции, которые вводят тороидальные координаты:
х = (R + (r + v) • cos u )cos t, y = (R + (r + v) • cos u )sin t, z = (r + v) • sin u Область правильной координации нормальными тороидальными координатами
(1)
дх dy dz
Yt dt dt
дх dy dz
du du du
дх dy dz
dv dv dv
= (r + v)R + (r + v)cosы\ф 0
(2)
Из (2) следует, что правильность координации
R
пространства нарушается при v = _
■ _ r
то есть
cos u
в точках, расположенных на оси 0г, а также при, V = —Г, что соответствует точкам на линии центров образующей окружности тора-
определителя. Напомним, что Я - радиус центров образующей окружности, г - радиус образующей окружности поверхности тора (Я> г).
Функции зависимости нормальных
тороидальных координат t, и, V от прямоугольных декартовых координат:
х = 0, y > 0 ^ t = х = 0, y < 0 ^ t =
л _
2 ' 3л. 2 '
х > 0, y > 0 ^ t = arctg —' х
х < 0,
(3)
t = arctg — +л; х
х > 0, y < 0 ^ t = arctg — + 2л' х
u = arctg
4хг + y2 _ R
v =
^х2 + y2 _ r)+Z _ r.
х, y, z
u
z
Выражения для коэффициентов Ламе:
Система нормальных тороидальных координат является триортогональной системой, то есть, пары ее координатных поверхностей (t = const -полуплоскости, u = const - конусы вращения, v = const - торы) пересекаются по линиям кривизны.
Как глобальный (х, у, ¿), так и локальный (?, и, V) базисы (рис. 1) правые (отсчет происходит по часовой стрелке).
1 I
Рис. 1. Изображение тора-определителя Fig. 1. The image of the determinant torus
dS2 = H2dt2 + H2du + H 2dv =
(5)
|2 , / , j 2 , j 2 u I
Дифференциал дуги
■2 = Hfdt2 + H2udu2 + H]dvv = [Я + (r + v) cos u]2 dt2 + (r + v)2 du2 + dv
Дифференциал объема
dW = HtHuHvdtdudv = [Я + (r + v) cos u\r + v)dtdudv (6)
Дифференциальные характеристики скалярных Скалярное поле представляют функцией и векторных полей в нормальных тороидальных
координатах. F=F (t, u, v) (7)
Вектор-градиент функции (7) в точке (t, u, v) 1 dF 1 dF 1 dF
где G =——, Gu =——, Gv =■
G=gradF=Gtet+Gueu+ Gvev (8)
H, dt ' u Hu du v H dv
Подстановка выражений Ht, Hu и Hv в формулу (8) приводит к:
1 dF 1 dF dF
G = gradF =--e +--e +— e (9)
R + (r + v)cos u dt r + v du dv
Производная скалярного поля по направлению
-0
l = cosaet + cos f3eu + cos/ev
определяется по формуле
dF Gt Gu Gv
— = cos a + -rU cos B + rV cos v, (5)
dl |G| \G\ \G\
где Gt =-1-—, G. = ——, Gv = —, G = .JGT+G~r+G~2
R + (r + v)cos и dt r + v du dv
Векторное поле задают при помощи трех скалярных полей at = at (t, u, v), , которые входят коэффициентами в уравнение векторного поля.
a(t, Щ v)= a (t, u, v)et + au (t, u, v)eu + av ^ u, v)ev
(10)
Дивергенция векторного поля в криволинейных координатах имеет выражение
div a =
1
H,HuHv
d(aH H ) d(a HH ) d(a HH )"
V t u v/ i \ u t v/ i V v t u/
dt
du
dv
(11)
Подстановка в формулу (11) коэффициентов произведения двух функций приводит к выражению
Ламе для нормальных тороидальных координат и дивергенции векторного поля в виде
применения правила дифференцирования
- 1 да, 1 да да
div а =--'- +--- + —- -
R + (r + v)cosи dt r + v ди dv (i2)
a sin и a R + 2(r + v)cos u]
R + (r + v)cos u [R + (r + v)cosu\(r + v)
Лапласиан скалярной функции д^ = divgradF. В выполнение двух дифференциальных операций: любой криволинейной системе выражение сначала надо найти граджшы (9), а затем лапласиан получим, применив последовательное дивергенцию (1).
AF =-
H,HUHV
dt l dt Ht
df dF H„H„ 1 d fdF HtHy | + _d( dF H,HU
du l du H,,
dv l dv H„
(13)
Подстановка в (13) выражения коэффициентов Ламе (4) и применения правил дифференцирования произведения двух функций
1
позволяет конкретизировать выражение лапласиана (13) в нормальных тороидальных координатах
AF =
d2 F
1
d2 F d2 F + —^ +
[R + (r + v) cosu\2 dt2 (r + v)2 du2 ' dv2
ir™ ч лдF . dF
r J[R + 2(r + v)cos u\—_ sin u —
(r + v)[R + (r + v)cosu\ [ dv du
1
Лапласиан векторного поля
Аа =
d2 a
1 d2a d2a
[R + (r + v)cosu]2 dt1 (r + v) du2 dv2 [R + (r + v)cosu]r + v)
(R + 2(r + v)cos u)da- - sin u —L
da
dv
du
e +
d2 a
1 d2a d2a
+ --г-- +-- +
(r + v)2 du2 dv2 [R + (r + v)cosu]r + v)
[R + (r + v)cosu]2 dt2
(R + 2(r + v)cos u )
da
dV
da i—^ du
e +
d2a 1 d2a d2a
,--" + -.-77-^ + -^ +
2 2 2 2 2
[R + (r + v) cos u \r + v)
[R + (r + v)cosu]2 dt2 (r + v)2 du2 dv2
da da
(R + 2(r + v)cos u)—- - sin u —-
dv du
(15)
В какой-либо криволинейной системе вихрь (ротор) векторного поля
rota = Wtet + Wueu + Wvev
(16)
1
1
1
+
X
1
1
1
Где
W =-wu =-w =-
d(avHv) d(auHu) ■
hh _ du dv
1 \d(atHt) d(aH )]
HtHv _ dv dt _
1 \ d(auHu) d(atHt)
HtHu
dt
du
Для нормальных тороидальных координат с учетом
w =da
da,.
r + v du dv r + v
w =
w =
da, 1 —- +--
dv R + (r + v)cos u
1 (da.
a, cos u - -
dav dt
(17)
- + a sin u \-
1 da,
Я + (г + у)соб и ^ д/ ' ) г + V ди Подстановка (17) в (16) дает выражение вихря (ротора) в нормальных тороидальных координатах
rot a =
1 dav r + v du
dau
dv 1
r + v
da,
— +~ / \ dv R + (r + v)cos u
1
_ R + (r + v)cos u ^ dt
da„
dav dt
1 dat r + v du
(18)
Представленные выражения дифференциальных характеристик скалярных и векторных полей значительно упрощают их представление и изучение в нормальных тороидальных координатах.
Примеры численного и графического изучения полей, представленных в нормальных тороидальных координатах
Покажем применение приведенного
математического аппарата для геометрического моделирования полей, представленных в нормальных тороидальных координатах.
Пример. Вычислить производную скалярного поля
F = h sin u cos nt - v, (19)
представленного в нормальных тороидальных координатах (1), при h = 0,75, n = 6, R = 5, r = 2 по направлению
l ° = 0,6e+0,8e (20)
в точке t = 0,6, u = 2,1, v = 0,5. Представить изображение поверхностей уровня
v = h sin u cos nt + i AC (21)
при i = -1, о, 1, AC = 0,5. Привести методику
чтения внутреннего уравнения (21) поверхности уровня и показать влияние значений параметров на форму ее поверхности.
1
a
u
a
u
et +
+
eu +
+
e
v
Решение. Вычислим локальные координаты вектора градиента функции (19) по формулам (5) в заданной точке
1 dF 1 . , . . .
G =--=-(-nh sm и sm nt) =
H dt R + (r + v)cosи
t
1
— (-6 • 0,75 sin 2,1 • sin( 6 • 0,6)) = -0,3661, 5 + (2 + 0,5) cos 2,1
dF 1 , . G =--=-h sin и cos nt =
u H du r + v
1 0,75 cos 2,1- cos(6 • 0,6) = -0,1417,
2 + 0,5
Gv =-1 dF = 1(-1) = -1.
v H dv 1 '
Модуль вектора градиента
|G| = ^ G2 + G2 + G2 = V (-0,3661)2 + (-0,1417)2 + (-1)2 = 1,0743.
Производная скалярного поля (10) по направлению (11)
dF Gt Gu _ Gv
— = cos a + -u cos В+ -cos / =
dl |G| G |G|
= -0,36610 - 0Д4170 =-0,9492
1,0743 1,0743 1,0743
Для получения изображений поверхностей На рисунке 2 представлена аксонометрическая
уровня, необходимо правую часть уравнения (21) проекция поверхностей уровня (21) при подставить в (1). Затем воспользоваться i =_1 0 1 ДС = 0 5. На рисунке 3 поверхности
параметрическими уравнениями семьи уровня показаны отдельно друг от друга. Параметры
поверхностей уровня для визуализации, совместно поверхностей R=5, r=2, h=0,75, n=6, и=-1,8...3Д, или отдельно, представителей этой семьи с
использованием средств компьютерной графики.
Рис. 2. П°верхн°сти уровня v = h • sin и • cos (n • t) + i • ДС скалярного поля f = h • sin и • cos(n • t) - v Fig. 2. Surfaces of the level v = h • sin и • cos (n • t) + i • ДС a scalar field f = h • sin и • cos (n • t) - v
Методика чтения внутреннего уравнения (21) заключается в мысленном синтезе формы поверхности уровня при анализе формы ее координатных линий. Координатная линия t = const = p, согласно уравнения (12), является синусоидой v = h sinu cosnp, ось абсцисс которой деформирована в окружность с центром в точке x = R + r cos p, y = R + r sin p, z = 0 и с радиусом (r + i AC). Амплитуда этой деформированной синусоиды - h-rnsnp. Ордината v откладывается на лучах в полуплоскости t = p от деформированной оси абсцисс.
Координатная линия u = const = q, расположена на поверхности конуса вращения, нормального к тору-определителю, основанием которого является окружность u = q. Координатная линия u = const это косинусоида v = h sinq cosnt, ось абсцисс которой деформирована в окружность радиуса [R + (r + i AC) cos q] с центром в точке
[0, 0, (r + i AC) sin q].
Амплитуда косинусоиды - hsinq, ордината v откладывается на образующих нормального конуса
от деформированной абсциссы. Поскольку n = 6, косинусоида на промежутке 0 < u < 2л имеет шесть периодов. Надо подчеркнуть, что амплитуды обоих координатных линий переменные: амплитуда синусоиды t = const зависит от t, амплитуда косинусоиды u = const - от u.
Влияние значений параметров функций (21) и (1) на форму поверхности уровня можно проследить по изображениям этих поверхностей с одним и тем же внутренним уравнением (21), давая разные значения параметрам как функции (21), так и функциям (1).
Для каждого набора параметров представлено изображение трех поверхностей уровня. Таким образом, оказывается влияние на форму поверхности уровня значение параметра семьи ¡AC
Параметр n, геометрически определяет количество волн на поверхности в интервале
0 < t < 2л.
Параметр h можно трактовать как коэффициент амплитуд. На рисунках 2-5 h = 0,75.
Рис. 3. Поверхности уровня а) i=-1; б) i=0; в) i=1.
Fig. 3. Surfaces of the level a) i=-1; б) i=0; в) i=1
Непосредственными параметрами формы поверхностей уровня являются параметры Я и г тора-определителя системы нормальных тороидальных координат.
Формой поверхности уровня, точнее ее отсека, можно варьировать изменением интервалов значений нормальных тороидальных координат, входящих в правую часть внутреннего уравнения (21). Рисунки 2-3, получены при различных интервалах значений координаты и. Они не являются параметрами формы поверхности в целом. Скорее их можно определить как параметры формы отсека.
ВЫВОДЫ
1. Для максимальной наглядности в изучении полей, которые представлены в нормальных тороидальных координатах, существует возможность компьютерной визуализации поверхностей уровня полей сложной структуры.
2. В представленном примере приведен математический аппарат описания поверхностей уровня скалярных полей. Так же показаны возможности влияния значений параметров и интервалов изменения переменных на форму поверхностей уровня.
3. В соответствии с приведенными выражениями существует возможность решения различных задач:
- вычисления параметров скалярного поля в заданной точке при известных параметрах тора-опеделителя и координат точки, с последующей визуализацией структуры поля;
- определение значения С, при котором поверхность уровня поля, представленного в нормальных тороидальных координатах, проходит через точку с заданными координатами;
- компьютерная визуализация полей представленных в нормальных тороидальных координатах при различных значениях Я и г.
- вычисление параметров векторного поля (дивергенция, лапласиан, ротор) в нормальных тороидальных координатах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Альпин Л.М. Теория поля. - М.: Недра, 1966. -348 с.
2. Булах Е.Г., Шуман В.Н. Основы векторного анализа и теории поля. - Киев: Наукова думка, 1998. - 300 с.
3. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. - Москва: Физматиздат, 1962. - 132 с.
4. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. - М.: Наука, 1968. - 128 с.
5. Дубнов Я.С. Основы векторного исчисления. -М.: Л.: ГИТТЛ, 1950. - Ч. 1. - 368 с., 1952. - Ч. 2. -416 с.
6. Мшаев О.А., 1люкович Б.М., 1змайлова М.К. Мехашка сущльних середовищ. - К.: Вища школа, 1995. - 272 с.
7. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Издательство АН СССР, 1961. - 430 с.
8. Джапаридзе И.С. О погружении геометрических соответствий в модели многомерных пространств // Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев: «Будiвельник». -1968. - Вып.6.- С.13-17.
9. Котов И.И., Николаевский Г.К., Рыжов Н.Н., Халдеев И.М. Прикладная геометрия поверхностей // Сб. работ конференции «Вопросы начертательной геометрии и ее приложения». - Харьков: - ХАДИ. -1963 - Вып.3. - С. 15-19.
10. Pidgorny O.L. From the Theory of the Maps to Geometrical Modeling of Objects, Phenomena and Processes // The Applied Geometry and Engineering Graphics - Kiev: - 2002. - Issue №70. - P. 32-38.
11. Рыжов Н.Н. Общие вопросы задания и параметризации поверхностей // Тезисы докладов Второй всесоюзной геометрической конференции. -Харьков: - 1964. - С. 22-24.
12. L. D. Landau, E. M. Lifshitz, The classical theory of fields (Elsevier, New York, 2013)
13. P. Francesco, P. Mathieu, D. Senechal, Conformal field theory (Springer-Verlag, New York, 2012)
14. J. Quartieri, L. Sirignano, C. Guarnaccia, WSEAS Int. conf. (EMESEG'08), Heraklion, Greece (2008)
15. A. A. Tsinaeva, M. N. Nikitin, Procedia Eng. 150, 2340-2344 (2016), DOI: 10.1016/j.proeng.2016.07.321
16. M. N. Nikitin, J. of Physics: Conf. series 891, 12039 (2017), DOI: 10.1088/1742- 6596/891/1/012039
REFERENCES
1. Alpin L.M. Field theory. - M .: Nedra, 1966 .-- 348 p. (In Russian)
2. Bulakh E.G., Schuman V.N. Fundamentals of vector analysis and field theory. - Kiev: Naukova Dumka, 1998 .-- 300 p. (In Russian)
3. Goldfayn I.A. Vector analysis and field theory. -Moscow: Fizmatizdat, 1962 .-- 132 p. (In Russian)
4. Goldfayn I.A. Vector analysis and field theory. - M .: Nauka, 1968 .-- 128 p. (In Russian)
5. Dubnov Ya.S. Fundamentals of vector calculus. -M .: L .: GITTL, 1950. - Part 1. - 368 p., 1952. - Part 2. - 416 p. (In Russian)
6. Mineva O.A., Ilyukovich B.M., Ismaylova M.K. The mechanism of social means. - K .: Vishka school, 1995 .-- 272 p. (In Russian)
7. Kochin N.E. Vector calculus and the beginnings of tensor calculus. - M.: Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1961 .-- 430 p. (In Russian)
8. Japaridze I.S. On the immersion of geometric correspondences in the model of multidimensional spaces // Applied Geometry and Engineering Graphics.
- Kiev: Budivelnik. - 1968. - Issue 6. - pp.13-17. (In Russian)
9. Kotov I.I., Nikolaevsky G.K., Ryzhov N.N., Khaldeev I.M. Applied geometry of surfaces // Sat. Conference "Descriptive geometry and its applications."
- Kharkov: - HADI. - 1963 - Issue 3. - pp. 15-19. (In Russian)
10. Pidgorny O.L. From the Theory of the Maps to Geometrical Modeling of Objects, Phenomena and Processes // The Applied Geometry and Engineering Graphics - Kiev: - 2002. - Issue №70. - pp. 32-38. (In Ukraine)
11. Ryzhov N.N. General questions of assignment and parameterization of surfaces // Abstracts of the
Second All-Union Geometric Conference. - Kharkov: -1964. - pp. 22-24. (In Russian)
12. L. D. Landau, E. M. Lifshitz, The classical theory of fields (Elsevier, New York, 2013)
13. P. Francesco, P. Mathieu, D. Senechal, Conformal field theory (Springer-Verlag, New York, 2012)
14. J. Quartieri, L. Sirignano, C. Guarnaccia, WSEAS Int. conf. (EMESEG'08), Heraklion, Greece (2008)
15. A. A. Tsinaeva, M. N. Nikitin, Procedia Eng. 150, 2340-2344 (2016), DOI: 10.1016/j.proeng.2016.07.321
16. M. N. Nikitin, J. of Physics: Conf. series 891, 12039 (2017), DOI: 10.1088/1742- 6596/891/1/012039
ELEMENTS OF FIELD THEORY IN TOROIDAL COORDINATES
D.V. Nesnov
Summary Field theory is widely represented in spherical and cylindrical coordinate systems, since the mathematical apparatus of these coordinate systems has been thoroughly studied. Sources of field with more complex structures require new approaches to their study. The purpose of this research is to adapt the field theory referred to curvilinear coordinates and represent it in normal toroidal coordinates. Another purpose is to develop the foundations of geometric modeling with the use of computer graphics for visualizing the level surfaces. The dependence of normal toroidal coordinates on rectangular Cartesian coordinates and Lame coefficients is shown in this scientific paper. Differential characteristics of scalar and vector fields in normal toroidal coordinates are obtained: scalar and vector field laplacians, divergence, and rotation of vector field. The example shows the technique of modeling the field and its further computer visualization. The technique of reading the internal equation of the surface is presented and the influence of the values of the parameters on the shape of the surface is shown. For the first time, expressions of scalar and vector field characteristics in normal toroidal coordinates are obtained, the fundamentals of geometric modeling of fields with the use of computer graphics tools are developed for the purpose of providing visibility for their study.
Subject: The subject of research is the elements of field theory in curvilinear coordinates. The study aims to solve the problems of describing fields of complex structure, with a source of a more complex shape than a point and a straight line.
Materials and methods: The work is based on the positions of the general field of the field in curvilinear coordinates. The study was carried out mainly by analytical methods and using graphical methods.
Results: For the first time, the characteristics of scalar and vector fields in normal toroidal coordinates were obtained. The above example shows the use of the mathematical apparatus for geometric modeling of fields.
Conclusions: Expressions of the differential characteristics of scalar and vector fields in normal toroidal coordinates can be used to study fields of complex structure, with a curvilinear source. The technique of "reading" the internal equations of scalar field level surfaces allows you to control the shape of the field level surfaces.
Key words: Field theory, toroidal coordinates, modeling, internal equations of surfaces.
