CC BY
4Oriental Renaissance: Innovative, (E)ISSN:2181-1784
educational, natural and social sciences www.oriens.uz
SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7 3(6), June, 2023
ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СТРУКТУРЕ В ПРИБЛИЖЕНИИ ВЕНТЦЕЛЯ-КРЛМЕРСА-БРИЛЛЮЭНЛ
Р^сулйв, Х.Рахматуллаев, M.MaMaToBa
АННОТАЦИЯ
Прoгресс сoвременнoй микроэлектроники в знaчителънoй степени oпределяется изучением свойств систем с неоднородно распределёнными параметрами, развитием методов эффективного теоретического анализа таких систем, разработкой и обеспечением объективными методами контроля технологических процессов, позволяющих создавать полупроводниковые слои с заданными свойствами. В связи с этим ниже рассмотрим общие вопросы распространения электронных волн в среде, свойства которой меняются только вдоль определенного направления. Подход основан на использовании одноэлектронного стационарного уравнения Шредингера для описания процессов упругого рассеяния и туннелирования невзаимодействующих бесспиновых частиц при условии сохранения их полной энергии.
Ключевые слова: уравнения Шредингера, потенциал, кубическое и биквадратичное приближение, коеффициенты разложения, гaрмoническoгo осциллятор, эффективная масса электронов, функции Эйри, приближении ВКБ, энергетический спектр.
ELECTRONIC STATES IN Л MULTILAYER SEMICONDUCTOR
STRUCTURE IN THE APPROXIMATION WENTZEL-KRAMERS-
BRILLOUIN
ABSTRACT
The progress of modern microelectronics is largely determined by the study of the properties of systems with nonuniformly distributed parameters, the development of methods for the effective theoretical analysis of such systems, the development and provision of objective methods for controlling technological processes that make it possible to create semiconductor layers with desired properties. In this regard, below we consider the general issues of the propagation of electron waves in a medium whose properties change only along a certain direction. The approach is based on the use of the one-elect^n stationary Schrödinger equation to describe the pmcesses of elastic scattering and tunneling of non-interacting spinless particles under the condition that their field is conserved noah energy.
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7
Keywords: Schredinger equations, potential, cubic and biquadratic approximations, expansion coefficients, harmonic oscillator, electron effective mass, Airy functions, WKB approximations, energy spectrum.
ВВЕДЕНИЕ
Исследoвaние электрoнных ^стояний в вышеупoмянутых структурaх привoдит к рaсчету oднoэлектрoнных вoлнoвых функций стaциoнaрнoгo уравнения Шредннгера в квазиклассическом приближении при наличии потенциала и (jc), который будем считать медленно меняющейся функцией кooрдинaты х.
^^a oднoмернoе урaвнение Шредингерa зaпишется кaк
h2 d ф
- U{/)ù. = Ей,
(1)
2 т йх2
где, проводя замену -ф{х) = ехр (¿5(х)/й) и получим уравнение для функции 5(*}[ 10]
Считaя, чтo рaссмaтривaемaя системa пo свoим свoйствaм близкa к клaссическoй, будем истать решение в виде рядa пo степеням пoстoяннoй Плaнкa, т.е.
ъ
К
S(x) = S0(x) +-Si(x) + (т ys2(x) + (3) Тoгдa oбщее решение урaвнения (1) имеет вид
^О) = -=j ехр (^f|p(i)|dr) +
.' y:.v) , (4)
У1 р IXJ ri
где р(х) = [2т(Е - т носителей тока, и е -эфективная масса и
энергия.
В классически недоступних областях энергии, т.е. при Е < и(х), импульс досителей тoкa стaнoвится минимым. Тoгдa в этих oблaстях (4) принимaет
вид
Oтметим, чтo тoчнoсть квaзиклaссическoгo приближения не пoзвoляет учитывaть oбa слaгaемых oднoвременнo, и пoeтoму в не^торых случэях не учтем экспоненциально малого слагаемого в (4) и (5).
Рассмотрим изолированную классическую точку поворота при х = а, вдели oт кoтoрoй квaзиклaссическoе приближение применимo для рaсчетa кoeффициентa прoзрaчнoсти пoтенциaльнoгo бaрьерa [11]. Пoэтoму решения
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7
уравнения Шредннгера в разрешенных и запрещенных областях могут быть найдены по формулам (4) -(5).
Волновая функция вблизи точки поворота может бить найдена в результате решения уравнения Шредингера, где вблизи точки поворота (* = а) потенциальную энергию и(х) представим в виде
или
Тогда уравнение Шредингера запишется как
или
= (7)
общее решение которого является произвольная линейная комбинация гипергеометрических функций, т.е.
= —y 4 i6k
3/2
—1 -1/2 J'-п '
1 (2fe2ff + fe1);
4к?" 2
4k
3/2
-] exp [-
a(2kza + ¿i) 2 k 2
]+
= 0'
В общем случае Fi
что
соответствует экспоненциально растущей волновой функции. Поэтому для выбора волновой функции, удовлетворяющей условия конечности волновых функций в бесконечности, т.е. удовлетворяющие данного квантово-механического подхода, имеются две альтернативные случаи:
1. с1ф о, с2 = о { - - ^ ..„ - = -4п. В этом случае волновая функция принимает вид
а /2
"] ехр [-
2-Jkî
(9)
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7
а энергетический спектр носителей тока квантован и определяется как : (10)
1/2
к0 = (1 + 16ri)k
Из (10) получим выражение для размерно-квантованного энергетического спектра в виде
или
2. с2 ф о, Ci = о i функция принимает вид
. В этом случае волновая
, , % г г 3 i,-,. т > г tri2k2O+k 0
^2n+i(ff)=i Fi[~nq> ,,.з.-г ](2k2a+ki} exp [■
(12)
Далее рассмотрим кубическое и биквадратичное приближение. Тогда кубический и биквадратичный члены в потенциала имеет вид
где I =
. £3 и е4 -коеффициенты разложения U(x) в ряд по х/1.
Решение уравнения Шредингера можно произвести аналогичным образом. При этом оно переходит в уравнение Шредингера для гармонического осциллятора при а2 = 0 и е4 = 0. Тогда его можно решить с помощью теории возмущения [10]. При этом энергия частиц в потенциале (1) в нулевом приближении равняется энергию гармонического осциллятора:
Е - = (14)
а волновая функция в нулевим приближении имеет вид [10]
Тогда расчет энергетического спектра электронов по теории возмущения дает следующий результат
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7
- 5l?r - 59;; - 21)) , (16)
-0
где т -эффективная масса электронов, ось Ох выбрана в качестве оси
£
размерного квантования, д = — , в сферическом приближении в
энергетическом спектре Е(ка) = -—(ку -bief) . кю = 0(yfz~) . Расчеты
2-т
показывают, что энергетический спектр электронов в потенциале (1) принимает дискретные значения и крутизна энергетического спектра тем заметна, чем
больше д = ^ , а также она уменьшается с ростом для произвольных
значеный п . Если принимает вид d2 ф
считаем, что
тогда уравнение Шредингера
àP
= О,
(17)
решение которого можно представить в виде линейной комбинации функций Эйри первого и второго рода
МО = А±АКО + ВЖО Л18)
где ^ = (х — а)[2т(с1и/с1х)а/Ъ.~)1]1/2 . Неизвестные величины Аг и Б1, определяемые из граничных условий рассматриваемой задачи, ВИ'Х) —
функции Эйри, которые при отрицательных значениях < как Лг'(^) , так и
осциллируются, а при положительных значениях < функция /Ш<П экспоненциально затухает, а экспоненциально растет. Поэтому В
дальнейшем, например, для расчета связанных состояний электронов, считаем, что коеффициент В1 = 0, поскольку волновая функция должна затухать на бесконечности. Для определенности рассмотрим случай, когда разрешенная область находится слева от точки поворота (( = 0), а запрещенная область -справа. Тогда нас будет интересовать решение, которое экспоненциально затухает при ^ -> -Ьоо и осциллирует при £ -> —со.
Такое решение уравнения Шредингера описывается функцией Эйри первого рода, которая имеет следующие асимптотики, т.е. пр ^ -> +оо
В классически разрешенной области I (х < а) волновая функция может быть представлена в виде двух бегущих волн
Iii
1-х
exp C-f ¿lf|3/2) -I-
fhexpi-fii-) (20)
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7
3(6), June, 2023
Для того, чтобы это выраженью имело вид стоячей волны и, тем самым, совпадало с асимптотическим выраженем для функции Эйри при < —► —м, необходмо потребовать, например, С± = —Се~1П^/(2г) { С2 = Се+Ш?4/(21) . В этом случае формула (10) принимает следиющий вид
Таким образом, мы установли, что экспоненциально затухающее решение переходит в осциллирующее решение. В заключение заметим, что полное и строгое решение задачи в квазиклассическом приближении, которое позволит описать волновую функцию для произвольных значений х, теперь сводится к задаче о сшивании точного решения уравнения Шредингера вблизи точки f = 0 Этот случай требует отдельного рассмотрения.
ЛИТЕРАТУРА (REFERENCES)
1. Mamatova, M. A., Yavkachovich, R. R., Dilshodbek, M., & Forrukh, K. (2022). Relation between the concentration of nonequilibrium electrons and holes in long semiconductor diodes. European science review, (5-6), 29-32.
2. Расулов, В. Р., Расулов, Р. Я., Маматова, М. А., & Исомаддинова, У. М. (2022). К ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СТРУКТУРЕ. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ. Universum: технические науки, (10-5 (103)), 24-31.
3. Rustamovich, R. V., Yavkachovich, R. R., Adhamovna, M. M., Qizi, K. M. N., & Dovlatboyevich, M. D. (2022). VOLT-AMPERE CHARACTERISTICS OF A THREE-LAYER SEMICONDUCTOR DIODE OF DOUBLE INJECTION. European science review, (5-6), 37-41.
4. Rasulov, V. R., Rasulov, R. Y., Mamatova, M. A., & Eshboltaev, I. M. (2022). THEORETICAL INVESTIGATION OF ENERGY STATES IN A MULTILAYER SEMICONDUCTOR STRUCTURE IN THE QUASICLASSICAL APPROXIMATION. Galaxy International Interdisciplinary Research Journal, 70(12), 96-104.
5. Rasulov, V. R., Rasulov, R. Y., Mamatova, M. A., & Qosimov, F. (2022, December). Semiclassical theory of electronic states in multilayer semiconductors. Part 1. In Journal of Physics: Conference Series (Vol. 2388, No. 1, p. 012156). IOP Publishing.
6. Маматова, М. А., Исомаддинова, У. М., Кодиров, Н. У. О., & Обидова, М. И. (2022, December). КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ В СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ. In The 12 th International scientific and practical conference "Eurasian scientific discussions"(December 18-20, 2022) Barca Academy Publishing, Barcelona, Spain. 2022. 542 p. (p. 226).
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7
7. Rasulov, V. R., Rasulov, R. Y., Mamatova, M. A., & Eshboltaev, I. M. (2022). THEORETICAL INVESTIGATION OF ENERGY STATES IN A MULTILAYER SEMICONDUCTOR STRUCTURE IN THE QUASICLASSICAL APPROXIMATION. Galaxy International Interdisciplinary Research Journal, 70(12), 96-104.
8. Rasulov, V. R., Rasulov, R. Y., Mamatova, M. A., & Gofurov, S. Z. U. (2022). GENERALIZED MODEL FOR THE ENERGY SPECTRUM OF ELECTRONS IN TUNNEL-COUPLED SEMICONDUCTOR QUANTUM WELLS. EPRA International Journal of Multidisciplinary Research (IJMR), 5(12), 1-5.
9. Rasulov, V. R., Rasulov, R. Y., Mamatova, M. A., & Qosimov, F. (2022, December). Semiclassical theory of electronic states in multilayer semiconductors. Part 2. In Journal of Physics: Conference Series (Vol. 2388, No. 1, p. 012158). IOP Publishing.
10. Rasulov, V. R., Rasulov, R. Y., Mamatova, M. A., & Eshboltaev, I. M. (2022). THEORETICAL INVESTIGATION OF ENERGY STATES IN A MULTILAYER SEMICONDUCTOR STRUCTURE IN THE QUASICLASSICAL APPROXIMATION. Galaxy International Interdisciplinary Research Journal, 70(12), 96-104.
11. Rasulov, V. R., Rasulov, R. Y., Mamatova, M. A., & Gofurov, S. Z. U. (2022). GENERALIZED MODEL FOR THE ENERGY SPECTRUM OF ELECTRONS IN TUNNEL-COUPLED SEMICONDUCTOR QUANTUM WELLS. EPRA International Journal of Multidisciplinary Research (IJMR), 8(12), 1-5.
12. Расулов, Р. Я., Маматова, М. А., Хасанович, Р., & Муминов, И. (2014). О кинетическом уравнении для дырок в размерно-квантованной яме полупроводника вырожденной валентной зоной. Austrian Journal of Technical and Natural Sciences, (9-10), 150-153.
13. Rasulov, R. Y., Karimov, I. N., Mamatova, M., Omonova, H., & Sultanov, R. R. European Science Review, Issue 1-2-1/2019.
14. Маматова, М. А., & Расулов, Р. Я. (2019). К ТЕОРИИ ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРЕХСЛОЙНОЙ СТРУКТУРЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВ В ДИОДНОМ ВКЛЮЧЕНИИ. In WORLD SCIENCE: PROBLEMS AND INNOVATIONS (pp. 13-17).
15. Rasulov, V. R., Rasulov, R. Y., & Adhamovna, M. M. (2022). ELECTRONIC PROPERTIES OF A SEMICONDUCTOR TWO-BARRIER STRUCTURE. EPRA International Journal of Multidisciplinary Research (IJMR), 8(5), 58-62.
16. Расулов, В. Р., Расулов, Р. Я., Маматова, М. А., Исомаддинова, У. М., & Касимов, Ф. (2022). КЛАССИФИКАЦИЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДВУХФОТОННЫХ МЕЖЗОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДОВ В КРИСТАЛЛАХ. УЧЕТ ВКЛАДА ЭФФЕКТА КОГЕРЕНТНОГО НАСЫЩЕНИЯ. EDITORIAL BOARD, 262.
