Электромагнитные волны в пространстве с неоднородностью, сосредоточенной на плоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 4. 2011. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 53:51, 530.145.1, 517.9

Д. Ю. Письмак, Ю. М. Письмак

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ С НЕОДНОРОДНОСТЬЮ, СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Введение. В обычных квантовополевых моделях теории элементарных частиц пространство-время однородно и изотропно. Это естественно предполагать при исследовании различных процессов с простейшими возбуждениями квантового вакуума, в котором нет выделенных точек и направлений. Однако в рамках квантовой теории поля можно рассматривать взаимодействия макроскопических объектов с квантовыми и, в частности, изучать поправки от флуктуаций вакуума к характеристикам динамики материальных тел классической физики. Теоретически такая задача впервые была рассмотрена в 1948 г. Казимиром, который показал, что квантовые вакуумные флуктуации вызывают притяжение между двумя идеально проводящими параллельными пластинами незаряженного конденсатора [1]. Это явление, которое назвали эффектом Казимира (ЭК), наблюдается экспериментально, и его количественные характеристики, полученные эмпирически для хорошо проводящих материалов, с высокой степенью точности совпадают с теоретическими результатами [2-5]. На характерных для ЭК расстояниях 10-1000 нм существенно проявляются классические и квантовые свойства системы. В их сочетании формируется особая нанофизика, исследования которой представляют не только теоретический интерес. Они важны для разработки новых технических устройств в силу всё возрастающей тенденции к их миниатюризации.

Хотя теоретическим проблемам ЭК посвящено много работ [6], однако в них часто используются упрощённые модели свободной скалярной теории поля с фиксированными граничными условиями, которые применимы только для исследования каких-либо отдельных аспектов ЭК, и специфика квантовой электродинамики в них игнорируется. Такие модели непригодны для полного описания широкого круга нанофизических явлений, возникающих в системе в результате взаимодействия её квантовых степеней свободы с материальным телом заданной формы (классическим дефектом).

Представленные результаты получены в рамках подхода Симанзика для построения моделей квантовой теории поля при наличии пространственных неоднородностей с резкими границами, которые описываются функционалом действия дефекта, сосредоточенного в той области пространства, где находится макроскопический объект. В квантовой электродинамике взаимодействие фотонов с моделирующим дефект фоновым

© Д. Ю. Письмак, Ю. М. Письмак, 2011

полем полностью определяется требованиями локальности, калибровочной инвариантности, перенормируемости и описывается функционалом действия Черна—Саймонса с одной безразмерной константой, характеризующей свойства материала поверхности [7]. От неё зависит сила Казимира, которая тем самым оказывается неуниверсальной и может быть для плоского конденсатора не только притягивающей, но и отталкивающей. Показано также, что в данной модели статический электрический заряд, взаимодействуя с поверхностью дефекта, порождает магнитное поле, а постоянный ток — электрическое поле [7]. Расчёт потенциала Казимира—Полдера для нейтрального атома вблизи плоской поверхности позволил найти нарушающие чётность поправки к известным ранее результатам. В представляемой работе в рамках предложенной в [7] модели изучаются процессы рассеяния электромагнитных волн на плоском дефекте.

Постановка задачи. Модель [7] взаимодействия фотонного поля с двумерной материальной поверхностью, заданной уравнением Ф(х) = 0, определяется функционалом действия

Б(А) =+ Б^А), (1)

где

= дрАу - дрАу, 5'ф(А) = ^ J еч'урдхФ(х)А[1(х)ГуР(х)Ь(Ф(х))6х.

Для плоского дефекта Ф(х) = хз уравнения Эйлера—Лагранжа записываются в виде модифицированных уравнений Максвелла:

Р" + ае3то^0р&(.г-3) = 0. (2)

Решать их удобно в терминах преобразования Фурье вектор-потенциала Л[Х по координатам Х0,Х1,Х2:

А*(х) = , ~~з [ егрж^(х3,р)ф, А^хз.р) = 1 о [ е~грхА^{х)вШ. (3)

(2л) 2 з (2л) 2 3

Здесь и в дальнейшем мы используем обозначение р для вектора р = (ро,Р1,Р2), Р2 = = рд — р1 ~Р2, рх = рп.г’о —р\х\ —р2%2- Из второго равенства в (3) и вещественности А^{х) следует, что А*(хз,р) = А(хз, —р). Воспользовавшись этим соотношением, получаем интегральное представление

Д,(ж) = [ в(р0) [е^А,(х3,р) + е-^А;(х3,р))] ф = (4)

(2л)г 3

= 7Г-7Г /0(ро) [е*ржД,(ж3,р)] ф,

(2л;) 2 .]

в котором И,е обозначает вещественную часть и вещественность Л^(х) очевидна.

Действие (1) и уравнение Эйлера—Лагранжа (2) инвариантны относительно калибровочного преобразования Л^(х) ^ Л^(х) + д^ф(х). Все физические характеристики системы также калибровочно инвариантны. Следовательно, для их расчёта достаточно иметь решение (2) в какой-либо фиксированной калибровке. Мы воспользуемся темпоральной калибровкой Ао = 0, в которой напряжённости Е, Н электрического и магнитного полей выражаются через вектор-потенциал Л = (0, А) соотношениями Е = доА, Н = д х А, а уравнения (2) переписываются для А(хз,р) в виде

р2А3 - д3(гр1А1 + ¡/роАо) = 0, (5)

р0(іріАі + ІР2А2 + дзАз) — 2а(ріА2 — р2Аі)5(хз) = 0,

{-р2 - с>з)А1 + ір1(ір1А1 + ір2А2 + д-зА-з) + 2аіроА2Ь(хз) = 0, {-р2 - с>з)А2 + ір2(ір1А1 + ір2А2 + дзАз) - 2аір0А1Ь(хз) = 0.

(6)

(7)

(8)

Эти линейные однородные уравнения описывают электромагнитные волны, взаимодействующие с материальной плоскостью. Цель нашей работы — построить общее решение системы (5)-(8) и изучить наиболее характерные особенности процессов рассеяния в рассматриваемой модели.

Решение уравнений Эйлера—Лагранжа. Обозначим А\(0,р) = а \ (р). /1^(0. р) = = 02(р). Тогда из уравнения (6)

гр\А\ + 1Р2А2 + дзАз = 21- 6(ж3),

Ро

и в силу уравнений (7), (8) поля Л1, Л2 удовлетворяют уравнениям

(р2 + &1)Аг + СгЬ(хз) =0, ¿ = 1,2,

в которых

а = [(рі — р2)а2 -ргр2аі\ , с2 = — [{р22 - РІ)аг - ргр2а2\ ■ (9)

Ро Ро

Общее решение уравнения

д^у + к2у + еЬ(Ь) = 0

записывается в виде

гр-гЩ\ гкг \ д —гкі С

у(г) = ¿1вгкі + ¿2в—гкі +

2рі

где іі, ¿2 — произвольные постоянные. Следовательно,

^-14 ч . С р — гр\х3 \

Ах{хз,р) = 41)е*ржз + 4 )е-*ра!з + 1 2 , (Ю)

ґг,\ . {'п\ .

А2(х3,р) = 4“)е’ра!з + 4“)е“’ра!з + " 2ф > (И)

где р = и *>•?' = — произвольные функции р. Поле Аз находится непо-

средственно из уравнения (5):

/о\ . ?п\ - ^е—гр\Х3\

Мхз,р) = 43)е‘ра!з + 4 )е“’ра!з + е(-г-з) 3 2 ■ (12)

Здесь ¿13) = 1/р(рііі1) + р2¿12)), 43) = -1/р(ріі21} + р2і22)), Сз = —1/р(ріСі + р2С2)

и е(.г’з) = ,г’з/|.г’з|. Мы предполагаем, что компоненты вектор-потенциала А(хз,р) ограничены при любых значениях жз, что возможно лишь при р2 ^ 0. Поэтому рассмотрим только случай р ^ 0.

Полагая хз = 0 в (10), (11), получаем соотношения

сЧ = <%> + <%> + ф і = 1,2. (13)

В силу (9) и (13) ai, удовлетворяют системе линейных уравнений ai(poр — apip2) + aa2(p1 - p0) = Dip0, aai(p2 - p2) - а2(рор + apip2) = -D2P0, (14)

где

Dj = (dj + d2j))p, j = 1, 2.

На основании (14), (9)

_ o-D2(pn - Pi) + -Di(apiP2 +pnp) _ a,Di(pl - pi) + -D2(apip2 - pop)

“1_ pop2 (a2 + 1) ’“2_ pop2 (a2 + 1)

и

_ 2ai[£)1(apop -pip2) - D^jPp ~ Pi)}

Cl p0p(o2 + l)

_ 2ai[£)2(apop +ffiff2)] + £>i(ffo -_pg)]

C2 p0p(o2 + l) '

Обозначив a = (ai, a2, аз), c = (ci, c2, c3)/(2ip), dj = (dj1^, d(2), dj2'1), j = 1, 2,

представим (10)—(12) в компактной форме:

Â(x3,р) = di(p)eipX3 + d2(p)e-ipX3 + R(x3)c(p)e-ip^, (15)

где R(xз) — диагональная матрица с элементами Кц(х3) = R22(хз) = 1, Rзз(xз) = = е(хз ).

Таким образом, воспользовавшись (4), (15), мы получаем представление для решения уравнений Эйлера—Лагранжа рассматриваемой модели

Â(x) = 6(-T3)23Re [ 0(рп)(4(р)е№р=з) + [^(р) + ?(р)]е<(рт-ра!з)1ф+ (16)

(2л)з J L j

+ 9(~a;3^Re [ в(р0) I [сШ + Тс(р)] еК^+Р-з) + d2(p) e^-^ldp.

(2л)з J L j

Здесь T — диагональная матрица с элементами Tii = T22 = -T33 = 1. Первые слагаемые в подынтегральных выражениях в (16) описывают волны, движущиеся в отрицательном направлении третьей оси, а вторые — в положительном.

Pаccеяние волн на плоскости Для процесса рассеяния волны, падающей на плоскость из полупространства с отрицательной координатой хз, мы должны иметь в полупространстве хз > 0 только проходящую волну, движущуюся от плоскости хз = 0 в положительном направлении третьей оси. Следовательно, в (16) надо положить di = 0. В результате получим

А*) = 9(r3)2Re I Q(po)Atr(p)e'^-p^dp +

(2л)2 J

+ 9(7T3Î3Re f 0(pn) f Âr é^+p^ + Ain е^-Р*з) ) dp,

(2л)з J L i

где векторные амплитуды Ain(p), Ar(p), Atr(p) падающей, отражённой и проходящей волн соответственно записываются в виде

Âin(p) = d2{p), Âr(p) =Тс{р), Âtr{p) = d2{p) + c{p). (17)

В силу (17) они удовлетворяют соотношению

Ar = Т (Atr — -Ain )• (18)

Таким образом, векторная амплитуда отражённой волны получается из разности амплитуд падающей и проходящей волн с изменением в ней знака у третьей компоненты.

Из (18) следует, что имеется только две независимые векторные амплитуды волн, которые определяют третью.

Собственные моды. Собственными модами мы назовём волны, для которых амплитуды падающей и проходящей волн пропорциональны друг другу:

Atr(p) = XAin(p). (19)

Для них из (18), (19) следует, что

Аг(р) = (X- 1 )TAin(p), oi = о2 = Ц2*.

Два последних соотношения являются системой линейных однородных уравнений от-

j(!) j(2)

носительно «2 , «2 , имеющей ненулевые решения, если

(a2 + 1)12 - 21 +1 = 0.

Таким образом, имеются две собственные моды, для которых

X = = Хь = giVi; Х=-^—=Х2, Д2) = g2V2, (20)

i a i \ a

где

Vi = (Ро -Pi, —ipop -PiP2, ipop2 + pip), V = (Po -Pi, ipop -P1P2, ipop2 + pip) (21)

и gi, до — произвольные функции от po, pi, po• Используя обозначения (20), (21), можем записать векторые амплитуды Лт (р), Лг(р), Atr(p) собственных мод падающей, отражённой и проходящей волн соответственно в виде

4п = 9э{р)Щр\ 4¿) = дМК^ТЩр\ = дМК^ЩтА з = 1,2.

Здесь мы использовали обозначения

(i) = ia + о2 (2) = -га + о2 (i) = 1 - га (2) = I + га

r 1 + а2 ’ r 1 + а2 ’ tr 1 + а2 ’ ír 1 + а2 '

Полученные характеристики собственных мод удовлетворяют соотношениям Xо = X*,

V = Vi*, ViVo* = 0, Vil2 = | Vo |2 = 2po(po - pi), K(0] = K^*, Kr2 } = K(i)*•

Рассеяние плоских волн. Выбирая должным образом функции gi(p>), д2(p) в (20), мы можем представить амплитуду любой плоской падающей волны в виде линейной комбинации собственных мод

•Ain = = gi Vi + g2Vi = fiUi + if2U2-

Мы воспользовались обозначениями fi = gi + g2, f 2 = gi - g2:

Ui = Re Vi = (po - pi, -pip2, pip), U2 = Im Vi = (0, -pop, -PoP2).

Нетрудно убедиться, что \Ui| = \U2| = V |/2, U\U2 = 0. Если обозначить Yi = aUi — U2,

Y2 = aU2 + Ui, то для амплитуд отражённой и падающей волн получаем выражения

Ar = T^(fiTY1 + if2TY2),

1 + a2

Atr = T^(fiY2-tf2Y1).

1 + a2

Плоская волна характеризуется направлением распространения п и частотой ю, которые выражаются через компоненты её импульса p = (po,U): Po = w,U = юП. В силу (4) векторные потенциалы Ain (pin; x), Ar (pr; x), Atr (ptr; x) падающей, отражённой и проходящей волн соответственно имеют вид

2Re

AiniPin\x) = Ап(рУр'пХ = o-inlh - knU2,

(2п)3/2

2Re

Мрг;,х) = МрУРгХ = о.гty, - prTY,

(2п)3/2

2 Re

Atr (Ptr,x) = ~ .о/г, Atr (p)g ^tr = СХ(Г1 2 Pir^ Ъ (2n)3/2

где pin = ptr = (po,pi,p2, p), pr = (po,pi,p2, —p),

2|/i| , , ^ , 0 2|/2| . , , ^

■ COS (pinx + фі), pin = Sin (pinX + ф2),

(2я)3/2 (2n)3/2

cos(prx + фі), pr = a , sin(prx + ф2),

1 + a2 (2n)3/2 ^ 1 r 1 + a2 (2n)3/2

.. I .. ,, 1 0 X ... fi

Q-tr ^ 9 C4n ? Ptr ^ 9 Pm і Фг ^ і ? і

1 + a 1+a \Ji\

В рассматриваемой калибровке напряжённость электрического поля E совпадает с производной по хо от вектор-потенциала A:

¿1 Pin l/ll fj , а-гп|/2І ff

Е"' = -рЛ—и, +—и'-

а /Ч5г|/і| w , ar|/2| ^

в'=“рЧт^т1,+т?тгь

т? ^ Ptr І/і І а(г|/2|Л>^

Е'' = -’ІЧЖ1,-Ж1,І'

Магнитное поле вычисляется по формуле H = [V х A], из которой непосредственно получается следующий результат:

fj _ [pin X Ein\ -jr>. _ \pr X Er\ ^ _ [ptr X Etr]

tlin —----------J -tif —--------, ±±tr —

Po Po Po

Для интенсивностей Iin, Ir, Itr падающей, отражённой и проходящей волн мы получаем соответственно выражения

г _ |Лп(р)е'^-Р-з)|2 _ \Лп(р)\2 г _ \Л(р))\2 Г _ \Лг(р))\2

*" “ 2jt3 2jt3 ’ r 2jt3 ’ tr 2jt3 ■

a

a

r

Тогда

I - °2 I I - 1 I

1r , о ±ъп-> Atr л , о J-гп•

1 + a2 1 + a2

Следовательно, коэффициенты отражения Kr = Ir /lin и прохождения Ktr = Itr /Iin плоской волны при её рассеянии на плоскости не зависят от частоты, угла падения и выражаются через константу a взаимодействия электромагнитного поля с поверхностью, характеризующую свойства её материала:

Кг = Ktr 1

1 + а2’ гт 1 + а2'

Рассмотрим движения волн вдоль оси хз. В этом случае р1 = р2 =0, р = ро и

3

Егп Ро( Ргп) СЦп? 0), Е^г ~ - Н- Н~~ ^),

1 + а2

3

ар3о

Ег — ~ о-(—|3riï — сХг? 0.^0: — |3Г, 0 ). 1 + а2

Таким образом,

^/г 9 ^/п I . ^ —Ро{®'гп1 \^/п - О):

1 + а2 1 + а2

а при замене в Ег знака у хз на противоположный

2

Е — - Ё-________________- О

г ~ 1 + а2 “ 1 + а2 ^

Мы видим, что при рассеянии волны, движущейся перпендикулярно плокости кроме обычных для процесса рассеяния волн возникают волны с повернутым на угол п/2 вектором напряжённости электрического поля (Е^п<Е = 0).

Заключение. Мы изучили процессы рассеяния в модели взаимодействия Черна—Саймонса электромагнитного поля с материальной плоскостью, заданного безразмерной константой а. В калибровке Ао =0 построено общее решение уравнений Эйлера—Лагранжа, имеющих вид модифицированных однородных уравнений Максвелла, с параметром а, характеризующим материал рассеивающей волны плоскости. Результат для пространственной части вектор-потенциала представляется в виде линейной комбинации двух взаимно ортогональных собственных мод задачи рассеяния, для которых вектор-потенциалы в комплексной форме отражённой и проходящей волн получаются из вектор-потенциала падающей волны умножением на комплексные числа. Для случая рассеяния плоской монохроматической волны произвольной поляризации в явном виде получены вектор-потенциалы, электрическое и магнитное поля отражённой и проходящей волн, а также коэффициенты прохождения и отражения, которые зависят только от константы взаимодействия а и не зависят от частоты падающей волны и угла падения. Для волн, распространяющихся в ортогональном плоскости направлении, напряжённость электрического поля отражённой волны при малых а поворачивается на угол, близкий п/2, по отношению к его направлению для случая идеально проводящей плоскости (а ^ ж). Вектор электрического поля проходящей волны, исчезающей в пределе бесконечной константы а, поворачивается при больших а по отношению к его направлению в падающей волне на угол, близкий п/2. Эти эффекты

можно использовать для экспериментального определения параметра а и, измерив силу Казимира для пластин из данного материала, проверить правильность полученных для неё в рамках рассматриваемого подхода теоретических результатов [7].

Литература

1. CasimirH. B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1948. B. 51. P. 793-795.

2. Mohideen U., Roy A. Precision Measurement of the Casimir Force from 0.1 to 0.9 |im // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 4549-4552.

3. Roy A., Lin C.-Y, Mohideen U. Improved precision measurement of the Casimir force // Phys. Rev. (D). 1999. Vol. 60. P. 111101-1-111101-5.

4. Harris B. W., ChenF., Mohideen U. Precision measurement of the Casimir force using gold surfaces // Phys. Rev. (A). 2000. Vol. 62. P. 052109-1-052109-5.

5. Bressi G., Carugno G., Onofrio R., Ruoso G. Measurement of the Casimir force between Parallel Metallic Surfaces // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. P. 041804-1-041804-4.

6. MiltonK.A. The Casimir effect: recent controversies and progress // J. Phys. (A). 2004. Vol. 37. N 38. P. R209-R277.

7. Markov V. N, PismakYu. M. Casimir effect for thin films in QED // J. Phys. (A). 2006. Vol. 39. P. 6525-6532.

Статья поступила в редакцию 4 ноября 2010 г.