Научная статья на тему 'Электромагнитные волны в пространстве с неоднородностью, сосредоточенной на плоскости'

Электромагнитные волны в пространстве с неоднородностью, сосредоточенной на плоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
147
27
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЭФФЕКТ КАЗИМИРА / КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ / ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ / ЛОКАЛЬНОСТЬ / ФОРМАЛИЗМ СИМАНЗИКА ДЛЯ ТЕОРИИ ПОЛЯ В НЕОДНОРОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ / CASIMIR EFFECT / GAUGE INVARIANCE / RENORMALIZABILITY / LOCALITY / SYMANZIK FORMALISM FOR FIELD THEORY IN INHOMOGENEOUS SPACE-TIME

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Письмак Дарья Юрьевна, Письмак Юрий Михайлович

Рассматривается модель описываемого потенциалом Черна-Саймонса взаимодействия электромагнитного поля с материальной плоскостью. В ней вектор-потенциал удовлетворяет модифицированным уравнениям Максвелла. При отсутствии в системе внешних токов и зарядов это линейные однородные дифференциальные уравнения, для которых получено общее решение в калибровке A0 = 0. Проведён анализ его частного случая, являющегося решением задачи о рассеянии электромагнитных волн на плоскости. Показано, что взаимодействие Черна-Саймонса порождает поворот векторов напряжённостей электрического и магнитного поля отражённой и проходящей волны. Библиогр. 7 назв.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Electromagnetic waves in the space with inhomogeneity placed on plane

A model of interaction of electromagnetic fields with the material plane described by the Chern-Simons potential is considered. A vector potential satisfies the modified Maxwell equations in it. In the absence of external currents and charges in the system they are homogeneous linear differential equations for which the general solution is obtained in the gauge A0 = 0. The analysis of his particular case being the solution of the scattering problem of electromagnetic waves on the plane is performed. It is shown that the interaction of the Chern-Simons term generates the rotation of electric and magnetic fields of reflected and transmitted waves.

Текст научной работы на тему «Электромагнитные волны в пространстве с неоднородностью, сосредоточенной на плоскости»

Сер. 4. 2011. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 53:51, 530.145.1, 517.9

Д. Ю. Письмак, Ю. М. Письмак

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ С НЕОДНОРОДНОСТЬЮ, СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Введение. В обычных квантовополевых моделях теории элементарных частиц пространство-время однородно и изотропно. Это естественно предполагать при исследовании различных процессов с простейшими возбуждениями квантового вакуума, в котором нет выделенных точек и направлений. Однако в рамках квантовой теории поля можно рассматривать взаимодействия макроскопических объектов с квантовыми и, в частности, изучать поправки от флуктуаций вакуума к характеристикам динамики материальных тел классической физики. Теоретически такая задача впервые была рассмотрена в 1948 г. Казимиром, который показал, что квантовые вакуумные флуктуации вызывают притяжение между двумя идеально проводящими параллельными пластинами незаряженного конденсатора [1]. Это явление, которое назвали эффектом Казимира (ЭК), наблюдается экспериментально, и его количественные характеристики, полученные эмпирически для хорошо проводящих материалов, с высокой степенью точности совпадают с теоретическими результатами [2-5]. На характерных для ЭК расстояниях 10-1000 нм существенно проявляются классические и квантовые свойства системы. В их сочетании формируется особая нанофизика, исследования которой представляют не только теоретический интерес. Они важны для разработки новых технических устройств в силу всё возрастающей тенденции к их миниатюризации.

Хотя теоретическим проблемам ЭК посвящено много работ [6], однако в них часто используются упрощённые модели свободной скалярной теории поля с фиксированными граничными условиями, которые применимы только для исследования каких-либо отдельных аспектов ЭК, и специфика квантовой электродинамики в них игнорируется. Такие модели непригодны для полного описания широкого круга нанофизических явлений, возникающих в системе в результате взаимодействия её квантовых степеней свободы с материальным телом заданной формы (классическим дефектом).

Представленные результаты получены в рамках подхода Симанзика для построения моделей квантовой теории поля при наличии пространственных неоднородностей с резкими границами, которые описываются функционалом действия дефекта, сосредоточенного в той области пространства, где находится макроскопический объект. В квантовой электродинамике взаимодействие фотонов с моделирующим дефект фоновым

© Д. Ю. Письмак, Ю. М. Письмак, 2011

полем полностью определяется требованиями локальности, калибровочной инвариантности, перенормируемости и описывается функционалом действия Черна—Саймонса с одной безразмерной константой, характеризующей свойства материала поверхности [7]. От неё зависит сила Казимира, которая тем самым оказывается неуниверсальной и может быть для плоского конденсатора не только притягивающей, но и отталкивающей. Показано также, что в данной модели статический электрический заряд, взаимодействуя с поверхностью дефекта, порождает магнитное поле, а постоянный ток — электрическое поле [7]. Расчёт потенциала Казимира—Полдера для нейтрального атома вблизи плоской поверхности позволил найти нарушающие чётность поправки к известным ранее результатам. В представляемой работе в рамках предложенной в [7] модели изучаются процессы рассеяния электромагнитных волн на плоском дефекте.

Постановка задачи. Модель [7] взаимодействия фотонного поля с двумерной материальной поверхностью, заданной уравнением Ф(х) = 0, определяется функционалом действия

Б(А) =+ Б^А), (1)

где

= дрАу - дрАу, 5'ф(А) = ^ J еч'урдхФ(х)А[1(х)ГуР(х)Ь(Ф(х))6х.

Для плоского дефекта Ф(х) = хз уравнения Эйлера—Лагранжа записываются в виде модифицированных уравнений Максвелла:

Р" + ае3то^0р&(.г-3) = 0. (2)

Решать их удобно в терминах преобразования Фурье вектор-потенциала Л[Х по координатам Х0,Х1,Х2:

А*(х) = , ~~з [ егрж^(х3,р)ф, А^хз.р) = 1 о [ е~грхА^{х)вШ. (3)

(2л) 2 з (2л) 2 3

Здесь и в дальнейшем мы используем обозначение р для вектора р = (ро,Р1,Р2), Р2 = = рд — р1 ~Р2, рх = рп.г’о —р\х\ —р2%2- Из второго равенства в (3) и вещественности А^{х) следует, что А*(хз,р) = А(хз, —р). Воспользовавшись этим соотношением, получаем интегральное представление

Д,(ж) = [ в(р0) [е^А,(х3,р) + е-^А;(х3,р))] ф = (4)

(2л)г 3

= 7Г-7Г /0(ро) [е*ржД,(ж3,р)] ф,

(2л;) 2 .]

в котором И,е обозначает вещественную часть и вещественность Л^(х) очевидна.

Действие (1) и уравнение Эйлера—Лагранжа (2) инвариантны относительно калибровочного преобразования Л^(х) ^ Л^(х) + д^ф(х). Все физические характеристики системы также калибровочно инвариантны. Следовательно, для их расчёта достаточно иметь решение (2) в какой-либо фиксированной калибровке. Мы воспользуемся темпоральной калибровкой Ао = 0, в которой напряжённости Е, Н электрического и магнитного полей выражаются через вектор-потенциал Л = (0, А) соотношениями Е = доА, Н = д х А, а уравнения (2) переписываются для А(хз,р) в виде

р2А3 - д3(гр1А1 + ¡/роАо) = 0, (5)

р0(іріАі + ІР2А2 + дзАз) — 2а(ріА2 — р2Аі)5(хз) = 0,

{-р2 - с>з)А1 + ір1(ір1А1 + ір2А2 + д-зА-з) + 2аіроА2Ь(хз) = 0, {-р2 - с>з)А2 + ір2(ір1А1 + ір2А2 + дзАз) - 2аір0А1Ь(хз) = 0.

(6)

(7)

(8)

Эти линейные однородные уравнения описывают электромагнитные волны, взаимодействующие с материальной плоскостью. Цель нашей работы — построить общее решение системы (5)-(8) и изучить наиболее характерные особенности процессов рассеяния в рассматриваемой модели.

Решение уравнений Эйлера—Лагранжа. Обозначим А\(0,р) = а \ (р). /1^(0. р) = = 02(р). Тогда из уравнения (6)

гр\А\ + 1Р2А2 + дзАз = 21- 6(ж3),

Ро

и в силу уравнений (7), (8) поля Л1, Л2 удовлетворяют уравнениям

(р2 + &1)Аг + СгЬ(хз) =0, ¿ = 1,2,

в которых

а = [(рі — р2)а2 -ргр2аі\ , с2 = — [{р22 - РІ)аг - ргр2а2\ ■ (9)

Ро Ро

Общее решение уравнения

д^у + к2у + еЬ(Ь) = 0

записывается в виде

гр-гЩ\ гкг \ д —гкі С

у(г) = ¿1вгкі + ¿2в—гкі +

2рі

где іі, ¿2 — произвольные постоянные. Следовательно,

^-14 ч . С р — гр\х3 \

Ах{хз,р) = 41)е*ржз + 4 )е-*ра!з + 1 2 , (Ю)

ґг,\ . {'п\ .

А2(х3,р) = 4“)е’ра!з + 4“)е“’ра!з + " 2ф > (И)

где р = и *>•?' = — произвольные функции р. Поле Аз находится непо-

средственно из уравнения (5):

/о\ . ?п\ - ^е—гр\Х3\

Мхз,р) = 43)е‘ра!з + 4 )е“’ра!з + е(-г-з) 3 2 ■ (12)

Здесь ¿13) = 1/р(рііі1) + р2¿12)), 43) = -1/р(ріі21} + р2і22)), Сз = —1/р(ріСі + р2С2)

и е(.г’з) = ,г’з/|.г’з|. Мы предполагаем, что компоненты вектор-потенциала А(хз,р) ограничены при любых значениях жз, что возможно лишь при р2 ^ 0. Поэтому рассмотрим только случай р ^ 0.

Полагая хз = 0 в (10), (11), получаем соотношения

сЧ = <%> + <%> + ф і = 1,2. (13)

В силу (9) и (13) ai, удовлетворяют системе линейных уравнений ai(poр — apip2) + aa2(p1 - p0) = Dip0, aai(p2 - p2) - а2(рор + apip2) = -D2P0, (14)

где

Dj = (dj + d2j))p, j = 1, 2.

На основании (14), (9)

_ o-D2(pn - Pi) + -Di(apiP2 +pnp) _ a,Di(pl - pi) + -D2(apip2 - pop)

“1_ pop2 (a2 + 1) ’“2_ pop2 (a2 + 1)

и

_ 2ai[£)1(apop -pip2) - D^jPp ~ Pi)}

Cl p0p(o2 + l)

_ 2ai[£)2(apop +ffiff2)] + £>i(ffo -_pg)]

C2 p0p(o2 + l) '

Обозначив a = (ai, a2, аз), c = (ci, c2, c3)/(2ip), dj = (dj1^, d(2), dj2'1), j = 1, 2,

представим (10)—(12) в компактной форме:

Â(x3,р) = di(p)eipX3 + d2(p)e-ipX3 + R(x3)c(p)e-ip^, (15)

где R(xз) — диагональная матрица с элементами Кц(х3) = R22(хз) = 1, Rзз(xз) = = е(хз ).

Таким образом, воспользовавшись (4), (15), мы получаем представление для решения уравнений Эйлера—Лагранжа рассматриваемой модели

Â(x) = 6(-T3)23Re [ 0(рп)(4(р)е№р=з) + [^(р) + ?(р)]е<(рт-ра!з)1ф+ (16)

(2л)з J L j

+ 9(~a;3^Re [ в(р0) I [сШ + Тс(р)] еК^+Р-з) + d2(p) e^-^ldp.

(2л)з J L j

Здесь T — диагональная матрица с элементами Tii = T22 = -T33 = 1. Первые слагаемые в подынтегральных выражениях в (16) описывают волны, движущиеся в отрицательном направлении третьей оси, а вторые — в положительном.

Pаccеяние волн на плоскости Для процесса рассеяния волны, падающей на плоскость из полупространства с отрицательной координатой хз, мы должны иметь в полупространстве хз > 0 только проходящую волну, движущуюся от плоскости хз = 0 в положительном направлении третьей оси. Следовательно, в (16) надо положить di = 0. В результате получим

А*) = 9(r3)2Re I Q(po)Atr(p)e'^-p^dp +

(2л)2 J

+ 9(7T3Î3Re f 0(pn) f Âr é^+p^ + Ain е^-Р*з) ) dp,

(2л)з J L i

где векторные амплитуды Ain(p), Ar(p), Atr(p) падающей, отражённой и проходящей волн соответственно записываются в виде

Âin(p) = d2{p), Âr(p) =Тс{р), Âtr{p) = d2{p) + c{p). (17)

В силу (17) они удовлетворяют соотношению

Ar = Т (Atr — -Ain )• (18)

Таким образом, векторная амплитуда отражённой волны получается из разности амплитуд падающей и проходящей волн с изменением в ней знака у третьей компоненты.

Из (18) следует, что имеется только две независимые векторные амплитуды волн, которые определяют третью.

Собственные моды. Собственными модами мы назовём волны, для которых амплитуды падающей и проходящей волн пропорциональны друг другу:

Atr(p) = XAin(p). (19)

Для них из (18), (19) следует, что

Аг(р) = (X- 1 )TAin(p), oi = о2 = Ц2*.

Два последних соотношения являются системой линейных однородных уравнений от-

j(!) j(2)

носительно «2 , «2 , имеющей ненулевые решения, если

(a2 + 1)12 - 21 +1 = 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, имеются две собственные моды, для которых

X = = Хь = giVi; Х=-^—=Х2, Д2) = g2V2, (20)

i a i \ a

где

Vi = (Ро -Pi, —ipop -PiP2, ipop2 + pip), V = (Po -Pi, ipop -P1P2, ipop2 + pip) (21)

и gi, до — произвольные функции от po, pi, po• Используя обозначения (20), (21), можем записать векторые амплитуды Лт (р), Лг(р), Atr(p) собственных мод падающей, отражённой и проходящей волн соответственно в виде

4п = 9э{р)Щр\ 4¿) = дМК^ТЩр\ = дМК^ЩтА з = 1,2.

Здесь мы использовали обозначения

(i) = ia + о2 (2) = -га + о2 (i) = 1 - га (2) = I + га

r 1 + а2 ’ r 1 + а2 ’ tr 1 + а2 ’ ír 1 + а2 '

Полученные характеристики собственных мод удовлетворяют соотношениям Xо = X*,

V = Vi*, ViVo* = 0, Vil2 = | Vo |2 = 2po(po - pi), K(0] = K^*, Kr2 } = K(i)*•

Рассеяние плоских волн. Выбирая должным образом функции gi(p>), д2(p) в (20), мы можем представить амплитуду любой плоской падающей волны в виде линейной комбинации собственных мод

•Ain = = gi Vi + g2Vi = fiUi + if2U2-

Мы воспользовались обозначениями fi = gi + g2, f 2 = gi - g2:

Ui = Re Vi = (po - pi, -pip2, pip), U2 = Im Vi = (0, -pop, -PoP2).

Нетрудно убедиться, что \Ui| = \U2| = V |/2, U\U2 = 0. Если обозначить Yi = aUi — U2,

Y2 = aU2 + Ui, то для амплитуд отражённой и падающей волн получаем выражения

Ar = T^(fiTY1 + if2TY2),

1 + a2

Atr = T^(fiY2-tf2Y1).

1 + a2

Плоская волна характеризуется направлением распространения п и частотой ю, которые выражаются через компоненты её импульса p = (po,U): Po = w,U = юП. В силу (4) векторные потенциалы Ain (pin; x), Ar (pr; x), Atr (ptr; x) падающей, отражённой и проходящей волн соответственно имеют вид

2Re

AiniPin\x) = Ап(рУр'пХ = o-inlh - knU2,

(2п)3/2

2Re

Мрг;,х) = МрУРгХ = о.гty, - prTY,

(2п)3/2

2 Re

Atr (Ptr,x) = ~ .о/г, Atr (p)g ^tr = СХ(Г1 2 Pir^ Ъ (2n)3/2

где pin = ptr = (po,pi,p2, p), pr = (po,pi,p2, —p),

2|/i| , , ^ , 0 2|/2| . , , ^

■ COS (pinx + фі), pin = Sin (pinX + ф2),

(2я)3/2 (2n)3/2

cos(prx + фі), pr = a , sin(prx + ф2),

1 + a2 (2n)3/2 ^ 1 r 1 + a2 (2n)3/2

.. I .. ,, 1 0 X ... fi

Q-tr ^ 9 C4n ? Ptr ^ 9 Pm і Фг ^ і ? і

1 + a 1+a \Ji\

В рассматриваемой калибровке напряжённость электрического поля E совпадает с производной по хо от вектор-потенциала A:

¿1 Pin l/ll fj , а-гп|/2І ff

Е"' = -рЛ—и, +—и'-

а /Ч5г|/і| w , ar|/2| ^

в'=“рЧт^т1,+т?тгь

т? ^ Ptr І/і І а(г|/2|Л>^

Е'' = -’ІЧЖ1,-Ж1,І'

Магнитное поле вычисляется по формуле H = [V х A], из которой непосредственно получается следующий результат:

fj _ [pin X Ein\ -jr>. _ \pr X Er\ ^ _ [ptr X Etr]

tlin —----------J -tif —--------, ±±tr —

Po Po Po

Для интенсивностей Iin, Ir, Itr падающей, отражённой и проходящей волн мы получаем соответственно выражения

г _ |Лп(р)е'^-Р-з)|2 _ \Лп(р)\2 г _ \Л(р))\2 Г _ \Лг(р))\2

*" “ 2jt3 2jt3 ’ r 2jt3 ’ tr 2jt3 ■

a

a

r

Тогда

I - °2 I I - 1 I

1r , о ±ъп-> Atr л , о J-гп•

1 + a2 1 + a2

Следовательно, коэффициенты отражения Kr = Ir /lin и прохождения Ktr = Itr /Iin плоской волны при её рассеянии на плоскости не зависят от частоты, угла падения и выражаются через константу a взаимодействия электромагнитного поля с поверхностью, характеризующую свойства её материала:

Кг = Ktr 1

1 + а2’ гт 1 + а2'

Рассмотрим движения волн вдоль оси хз. В этом случае р1 = р2 =0, р = ро и

3

Егп Ро( Ргп) СЦп? 0), Е^г ~ - Н- Н~~ ^),

1 + а2

3

ар3о

Ег — ~ о-(—|3riï — сХг? 0.^0: — |3Г, 0 ). 1 + а2

Таким образом,

^/г 9 ^/п I . ^ —Ро{®'гп1 \^/п - О):

1 + а2 1 + а2

а при замене в Ег знака у хз на противоположный

2

Е — - Ё-________________- О

г ~ 1 + а2 “ 1 + а2 ^

Мы видим, что при рассеянии волны, движущейся перпендикулярно плокости кроме обычных для процесса рассеяния волн возникают волны с повернутым на угол п/2 вектором напряжённости электрического поля (Е^п<Е = 0).

Заключение. Мы изучили процессы рассеяния в модели взаимодействия Черна—Саймонса электромагнитного поля с материальной плоскостью, заданного безразмерной константой а. В калибровке Ао =0 построено общее решение уравнений Эйлера—Лагранжа, имеющих вид модифицированных однородных уравнений Максвелла, с параметром а, характеризующим материал рассеивающей волны плоскости. Результат для пространственной части вектор-потенциала представляется в виде линейной комбинации двух взаимно ортогональных собственных мод задачи рассеяния, для которых вектор-потенциалы в комплексной форме отражённой и проходящей волн получаются из вектор-потенциала падающей волны умножением на комплексные числа. Для случая рассеяния плоской монохроматической волны произвольной поляризации в явном виде получены вектор-потенциалы, электрическое и магнитное поля отражённой и проходящей волн, а также коэффициенты прохождения и отражения, которые зависят только от константы взаимодействия а и не зависят от частоты падающей волны и угла падения. Для волн, распространяющихся в ортогональном плоскости направлении, напряжённость электрического поля отражённой волны при малых а поворачивается на угол, близкий п/2, по отношению к его направлению для случая идеально проводящей плоскости (а ^ ж). Вектор электрического поля проходящей волны, исчезающей в пределе бесконечной константы а, поворачивается при больших а по отношению к его направлению в падающей волне на угол, близкий п/2. Эти эффекты

можно использовать для экспериментального определения параметра а и, измерив силу Казимира для пластин из данного материала, проверить правильность полученных для неё в рамках рассматриваемого подхода теоретических результатов [7].

Литература

1. CasimirH. B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1948. B. 51. P. 793-795.

2. Mohideen U., Roy A. Precision Measurement of the Casimir Force from 0.1 to 0.9 |im // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 4549-4552.

3. Roy A., Lin C.-Y, Mohideen U. Improved precision measurement of the Casimir force // Phys. Rev. (D). 1999. Vol. 60. P. 111101-1-111101-5.

4. Harris B. W., ChenF., Mohideen U. Precision measurement of the Casimir force using gold surfaces // Phys. Rev. (A). 2000. Vol. 62. P. 052109-1-052109-5.

5. Bressi G., Carugno G., Onofrio R., Ruoso G. Measurement of the Casimir force between Parallel Metallic Surfaces // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. P. 041804-1-041804-4.

6. MiltonK.A. The Casimir effect: recent controversies and progress // J. Phys. (A). 2004. Vol. 37. N 38. P. R209-R277.

7. Markov V. N, PismakYu. M. Casimir effect for thin films in QED // J. Phys. (A). 2006. Vol. 39. P. 6525-6532.

Статья поступила в редакцию 4 ноября 2010 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.