Электромагнитное поле протяженного заземлителя, проложенного параллельно границе раздела воздух-грунт Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.316.925

Электромагнитное поле протяженного заземлителя, проложенного параллельно границе раздела воздух-грунт*

СЛЫШАЛОВ В.К., д.т.н.; КИСЕЛЕВА Ю.А., инженер

Настоящая статья является непосредственным продолжением статьи [1], в которой были рассмотрены вопросы теории электромагнитного поля протяженного заземлителя кругового или трубчатого сечения в неограниченной слабопроводящей или диэлектрической среде, и посвящена исследованию полей заземлителей указанного типа при учете влияния границы раздела сред с различными физическими свойствами. Наряду с определением волновых параметров заземлителей, в статье изложена методика расчета напряжений прикосновения и шага при протекании по заземлителю синусоидального тока.

заземлителя параллельного границе раздела двух сред. Целью исследования, как и в [1], являются волновые параметры и такие практические характеристики взаимодействия заземлителя с грунтом, как входное и переходное сопротивления, а также напряжения прикосновения и шага. Примененная методика базируется на интегральных представлениях векторов электромагнитного поля и в значительной мере опирается на результаты, полученные для полей воздушных линий [2, 4, 8].

Постановку задачи поясняет рис.1, на котором показан прямой, бесконечнодлинный заземлитель кругового сечения, проложенный параллельно плоской границе раздела сред с удельными сопротивлениями р2, р3~102-106 Ом-м, при удельном сопротивлении заземлителя р1~10-7 Ом - м.

Задача расчета электромагнитного поля круглого провода, расположенного в воздухе параллельно поверхности земли, в силу ее важности для исследования поля и параметров воздушных линий электропередачи многократно решалась при различных упрощающих допущениях относительно физических параметров грунта, частоты, распределения векторов поля и плотности тока в проводе и грунте. Наиболее полный список основных публикаций на эту тему и краткий анализ содержащихся в них методов решения дан в статье Г.А. Гринберга [2]. В дополнение к этому списку необходимо указать статью В.Ю. Ломоносова [3], в которой дано точное решение задачи о волновом поле двухпроводной линии. Последующие теоретические разработки, относящиеся к расчету поля и параметров многопроводных воздушных линий обобщены в монографии [4] и журнальных статьях ее авторов. Следует также специально отметить работу [5], содержащую результаты табулирования интегралов Карсона, являющихся базовыми при расчете параметров многопроводных воздушных линий.

Исследования электромагнитных процессов в системах протяженных неэквипотенциальных естественных и искусственных заземлителей выполняются, как правило, на основе теории цепей с распределенными параметрами, причем значения вводимых интегральных параметров определяются без использования полевых расчетов [6,7], вследствие чего модель становится неадекватной заземлителю. Подробно этот вопрос рассмотрен в нашей работе [1]. Поскольку электромагнитные поля протяженных заземлителей и линий электропердачи во многом аналогичны и при их исследовании определяются однотипные величины и характеристики: постоянная распространения, волновое и входное сопротивления, интегральные параметры и т.д., представляется целесообразным использовать при решении задач, связанных с электромагнитными процессами в протяженных заземлителях, методологическую и теоретическую базу решения полевых задач для линий электропередачи.

В данной статье, продолжающей работу [1], где рассмотрено электромагнитное поле и определены параметры скважинного заземлителя, в многослойной среде с слоями перепенди-кулярными заземлителю, решается задача о волновом поле

Рис. 1. Координатная система и характеристики заземлителя и сред.

Важнейшим для практических задач является случай когда одна из сред - идеальный диэлектрик (р^м). По заземлителю протекает синусоидальный ток, амплитуда и фаза которого изменяются по длине за счет оттока в среду по

закону 1(х) = 1(о)е~7Х, где Y - постоянная распространения [1].

Компоненты комплексов напряженностей

электрического и магнитного полей Е,Н во всех областях удовлетворяют волновому

уравнению;общие выражения для них, в случае заземлителя в однородной среде, приведены в [1] с подробными пояснениями относительно вывода

у

© ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»

*- Изложенные в статье результаты получены при финансовой поддержке в форме гранта Министерства образования Российской Федерации (шифр гранта Т02-01.5-1186).

формул и смысла вводимых параметров. Решаемая задача отличается от рассмотренной в [1] тем, что на поле уединенного заземлителя накладывается вторичное поле [8,2], обусловленное наличием вблизи него границы раздела двух сред. Поэтому напряженность электрического поля в среде 2 представляем в форме

E2 = ¿(0)- ¿{вт),

"2

(1)

где Е2 ' - напряженность первичного поля (поля в

однородной среде);

? M

напряженность

вторичного поля.

Составляющие первичного поля запишем в декартовых координатах используя формулы (6) работы [1] и очевидные из рис. 1 соотношения

r = V y2 + ( - h )2 ,

- dr - dr

E. = Er sin S = Er —, Ey = Er cos S = Er —

z r r dz y r r dy

Имеем

ET (02)= CH ( )(m 2 г ), H (02)= 0,

¿ ÍV—VC ^ 0(1 ^ 2 г ) ;

H

y2 m 2 dy

(0) = j EÏaO.C ±-H 0(1 \m 2 г ),

д z

E (0)= C — H 0(1 )(m 2 г )

z 2 2 д z 0 V 2 '

H

(o)=- j ^C JLh

m 2 vy

y2

0(1 )(m 2 г )

(2)

В формулах (2), в соответствии с [1],

обозначены

2 ,2,2 ,2 2 ~ m2 = k2 +Y , k2 =т ea2Va2 ,

sa2 = sa2 - j

œp2

H 01)(m2r )

функция Ханкеля

первого рода нулевого порядка, С - постоянная интегрирования,еа2= £0£2; Иа2=Ио Иг - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости.

Нужные для последующего расчета компоненты поля в заземлителе находятся по формулам [1]

e(°) = AJo (kjr), h(0) = --i- AJO (kjr) , x1 M klPl

где k1 = - j

aMa1

J0 (k1r1 )- функция Бесселя первого

Р1

рода нулевого порядка; А - постоянная интегрирования.

Для составляющих напряженностей вторичного поля в среде 2 и поля в среде 3 воспользуемся интегральной формой общего решения волнового уравнения, введенной в расчет еще Карсоном [8] и в дальнейшем успешно примененной в [2,4] и других расчетах при исследовании полей воздушных линий. Для

компонент E

z 2

и Ez3 , например, имеем

да

¿("^JFz2 (v)e~n2z cosvydv, ц2 = y¡v2 - mf , z > 0

0

да

Ez3 = J Fz3 (v)e132 cos vydv, n3 = s] v2 - m2 , z < 0.

Функции Ё?2(и), Ё?з(и) определяются из граничных условий на плоскости г=0 , причем эти условия различаются для моделей [2,4,8], определяя области и границы их применимости, о чем подробней будет сказано ниже.

Вторым ключевым моментом в расчете полей и параметров воздушных линий разбираемыми методами является следующее

интегральное представление функции H0l)(m2r) [2]

Щн(1)

2

H0'\ m2V y 2 +(z - h)2 j =

= J e 0

if

—\z - h|, /v 2 -m^

I

22 v - m2

rcos vydy

(4)

позволяющее определить неизвестные функции F(v) в формулах (3) путем сравнения подинтегральных выражений в решениях для

одноименных компонент напряженностей (E2 )и

(Е3 ) на границе г=0.

Расчет составляющих напряженности электрического поля

Составляющая Ё?. Для определения первичного поля, используя формулы (2) и (4), находим

е£(2) = ЩС/е(_И)2 созууЛу, 0 < 2 < И (5)

тп2 о

В аналогичной форме представляем Ёг2(вт) и Ёг3

Е(вт) = _Щ_ |М2(у)-422е~п2И соэууйу , 2 > 0 , (6) п«2 о

z3

2 jY 2

7ПП2 0

jü

jМ3(v)eV3ze~V2-h cosvydv , z < 0 (7)

Условия на границе раздела сред, необходимые для вычисления М2М МзМ, при расчете параметров воздушных линий по методике [4], применяются в простейшем варианте, предполагающем отсутствие поперечных (составляющие по у и г) токов и их производных в грунте. Очевидно, что для заземлителей, где эти токи определяют функциональную сущность устройства, они неадекватны целям расчета, не позволяя, в частности, определять шаговые напряжения. Полноценный расчет обеспечивают условия непрерывности для плотности полного тока

-+ jmEa2 |Ez2z=0 =

Р2 1

+ jm£a3 ^ Z3 z=0 ^ ~a2E z 2 z =0 = ~a3Ez3 z =0

(8)

и примененное производных

в методе [2] условие для

oo

1

m

m

1

дЕ

Z 2

dz

(вт)

дЕ

z=0 =

z3

dz

z=0

(9)

Применяя (8) и (9) к напряженностям Ez2=Ez2■ -

-ц (0)

M2 (v)=£a3V2-~2П3 , m3 (v) = - , 2~2П2 , (10)

Sa3V2 + Sa2V3 Sa3V2 + Sа2П3

что позволяет записать в окончательной форме

Ù (вт) .. ± Ьу2 и ЬуЭ

ФТ = - jCJjSaînL-^e-V2(z+h)cœvydy, (11)

Wtî^ о Sa3V2 + Sa2V3

n2 0

E z2 = j С J J en2(z-h) cos vydv +

m*2 [ о

+ fSm-Jam e-n2(z+h)cosvydv\, 0 < z < h 0 Sa3V2 + Sa2V3 '

(12)

. . ад ~

Е - Же \ —^2-е-ПЬ^с^у, г < 0 (13)

лт\ 0 ЕаП2 + Еа2Щ

Составляющая Еу. Для напряженности первичного поля согласно (2), (4) имеем

ЕУ^-ЩеЪ'-^^уЦп^у, г< Ь (14)

у2 пт^ 0 П2

В аналогичной форме записываем

^--Щ.е(ууте-пкумпууйу , г>0 ; (15)

ШП2 0

2jY .2

UJ

С J N3 (у)~ЩЬеЩ2 v sin vydv, z < 0 (16)

Еy2 z=0- Ey3\ z=0

п«2 0

Граничными являются условия для функций

Еу2, Еуз

" " (17)

и установленное в [2]условие для их производных, которые в нашей задаче с учетом выражения (13) имеет вид

дЕу2 , дЕу3 ,

Ма3^- г=0 -<"а2^— г=0 -

дг Л . дг

]дЕг3-0 - (18)

I Va3 ST3-Ma2 , -

I Sa2 I dz

- C(a3Sa3 - Ma2Sa2 ))

- П2е 2

-v sin vdv

0 Еа3П2 + еа2П3

Подставляя в (17), (18) напряженности Ёу2 =Ёу2(0> - Ёу2(вт), Еуз, находим при Наз=Но2= Но (для немагнитных сред)

^2И = - - „ ,

П2 еа3П2 + еа2П3 еа3П2 + еа2П3

и в окончательной форме получаем

(19)

Е™> = ■>' С

Tïm'2 0 0 < z

ЕЕ 2 = -j С Ue(z-h)2±_ vsinvydv У2 2 ' П2

"y2 2

nm2 [ 0

(21)

■и -

2s

a2

П2 Sa3tf2 + Sa2tf3

en(+h)VSinvydv\, 0<z< h

-y3-

-j СJ

m 0

Sa2

Sa3V2 +Sa2V3

-e n2hen3zvsinvydv ,z < 0 (22)

Составляющая Ех. Для определения этой компоненты воспользуемся уравнением divE - 0, справедливым в обеих средах, и условием

д_

дх

-г

Для составляющей Ех

(вт)

по

соотношению ¿е1

дЕ

1в2т) дЕ(вТ)

х2

■и выражениям

ду дz

(11), (20) при использовании формулы (4) получаем

EW= СН%2г ')-

4 jSa2

z > t

С J

П2П3-

Sa3V2 +Sa2V3

-V2

(z+h)

cos vydv,

(23)

где r' = Jy2 +(z + h) - расстояние от изображения заземлителя до точки наблюдения (рис.1). Соответственно для Ех2 находим

Ех2 = Е2 -Ех^ = СН01)(Т2Г)-сН^Г')+ „ ~ » 2 (24)

+jjс f ПП3 -v e-n2(z+h)cosydv, z > 0 лт^ 0Sa3n2 +Sa2V3

Для составляющей Ёхз получаем выражение

Л ~ » 2

Ех3 = ISfc f П2П3 -V e-m2heV3z cosrydr, z < 0 (25)

Jimi, 0 Sa3n2 + Sa2ïï3

Таким образом найдены все составляющие напряженности электрического поля в средах 2 и 3 с точностью до постоянной С, определяемой ниже по граничному условию на поверхности заземлителя. Составляющие вектора

напряженности H могут быть получены при необходимости из уравнения

rotE = - jm/uaH дифференцированием компонент

напряженностей Е2 Е.

Расчет констант А и С и постоянной распространения. Полагаем, следуя [2], что при h>>a напряженность вторичного электрического поля на поверхности заземлителя допустимо вычислять по соотношению

Е Mi =Е (вт)

х2 \r=a х2

H

■й»

y=0

z=h

y=0 = 0

а для магнитного принять

и,

соответственно,

92 \г-а~*1 $2 |у-0" записать для поверхности провода граничные условия в виде равенств

,(ет) = - j¿{I-- ~ 2Sal-X-n(z+h)vsmydv, (20)

y2 пт2 C J \V2 Sa3V2 +Sa2V3 ) K '

-E (вт) r=a Ех2

r

1=0 = Ех1 lr=a

r=a = Ня1 |r=a

В развернутой форме имеем

СН 0 (m2a )- СН 0 (2 2h)+

+ 4jfa2_ С f ~ П2П3 -,У2 e-n22hdv = AJ 0 (k1a), 2 J + s„-,m

0

- j EZO. СН 0 (mja) = --P AJ 0 (kia) m2 klPl

(26)

(27)

+

e

Постоянная А вычисляется через ток в проводе [1], постоянная С через А по (28)

к1Р11 С _ т21 (29)

А _

'Тла/Цк^а)' ]а~а2 2паН 1 (т^)

Уравнение для постоянной распространения получаем взяв отношение равенств (27) и (28)

Н о (т2а)_ Н о (т22И) _ Н о (т2а)

т2

-з-

4е,

а2

• о {к1а<)

,2

П2П3 _у ~а3П2 + ~а2П3

е-^22Ис1у

(30)

7ВП2Н о (т2а

• о(к1а)

Выполняя предельный переход нетрудно убедиться, что при ~а2 _ £ о получаем уравнение (26) работы [1], записанное в неограниченном воздушном пространстве, а при ~аз _ £о уравнение (25) работы [1] для стержня в неограниченном объеме грунта.

Наиболее важными вариантами уравнения (30) и, соответственно, полученных выше решений для поля являются:

во-первых, вариант с ~а2 _£о,Р2 , который в данном исследовании является тестовым, т.к. позволяет проверить предложенную модель сравнением с моделью [2] для частного случая провода над землей;

во-вторых, вариант с ~а3 _ £о ,р3 ^ю , отвечающий случаю заземлителя в грунте вблизи границы с воздухом и интересный возможностью расчета шаговых напряжений и полей, действующих на оборудование, размещенное в воздухе на разных высотах от поверхности грунта.

Из вариантов с различными соотношениями ~а3 ф'ёа2следует выделить случай границы раздела грунт-вода, рассмотрев его для заземлителя, проложенного в грунте.

Рассмотрим методику решения уравнения (30) применительно к варианту задачи с ~а3 _ £о,р3 ^ю

(заземлитель в грунте) и сравним ее с существующими аналогичными методиками, примененными при исследовании поля провода, находящегося в воздухе у поверхности земли [2,4].

Ожидаемый порядок искомых величин

,2

у- и т2 _у2 + ¿2, как показали расчеты поля заземлителя в неограниченном объеме грунта,

соответствует

следовательно

порядку

к

2 2 ~ . в>Мо 2 Р2

2 2 ,22 т3 _ю £омо + 7=7 .

заземлителя а~10-2 м

допустимо принять

Учитывая, что радиус

а его заглубление h~1 м, допустимо воспользоваться приближенными формулами для функций Ханкеля [9]:

~Н ()(т22И) = _ 1п ^22™, у_ 1,781

^Н^аЬ- П Щ Ы^(т2а)=_ .

2 2 з 2 22а

Соответственно

Н о(1)(22 а)_ Н^^И) 2И

——т-г-

Н о(1)(т2 а

= _т2а/п—, т22И << 1

о У'"2")

А уравнение (30) преобразуется к виду

72-1 Ш~_ 21

П2П3 _ У1 о ¿2% +

¿V-

т -¿2 =_ 3

^2 _ т2 ' П3 _

А1 о (1а)

ак^о (к1а )

т.

ЩЧо.

Р2

Р1

-- 0?£о^о

Интеграл

ю 2

F П2П3 ^ е

22 о к 2П3 + к3П2

может быть представлен, как установлено в [2], в форме суммы трех интегралов F=K+R+G (сохранены обозначения [2])

-1

П3

7 2 I 2

к0 _ ¿3

¿V д _|

е^ ¿V'

о

22 о ¿2 _ ¿3

О _ |

-2ИП2

о ¿^3 +

¿V.

2 2 т2 _

При определении постоянной распространения в задаче о поле над землей (вариант с ~а2 _£о ,Р ^ю для заземлителя) показатель

экспоненты в (31) 2Ип2 _ 2И^V2 _

_ V2 _ + м>2£оМо) при вычислении интеграла

«К» в методе [2] принимается и в итоге

сумма интегралов К+R с учетом формулы (4) определяется аналитически в виде рядов по функциям Неймана и Струве. Интеграл G является

\2

малой (порядка

Р3

)добавкой к этим

рядам. В методике [4], вследствие использования приближенных граничных условий, интеграл F в (31) заменяется на сумму интегралов К+R и вычисляется при допущении п2 =v через собственный интеграл Карсона [4,5]

К + д __|

П2 _П3

k2 _

о ¿2

е-^¿к __|

1

-п22ИЛ =

о П2 + П3

= 1"

оу+у + щР

= е

Таким образом, в этой методике интеграл G не вычисляется, но в силу неравенства G<<K+R, получаемые по [2] и [4] значения постоянной распространения оказываются близкими при неоспоримых вычислительных преимуществах методики [4] в сочетании с таблицами [5].

К сожалению, использованное в [2] и [4] основное расчетное допущение

оказывается не применимым при расчете заземлителей, а интеграл G и сумма K+R являются величинами одного порядка. Следовательно, метод [4] оказывается принципиально не применимым для расчета поля заземлителя, а в методе [2], принципиально пригодном, требуется разработка иной вычислительной методики.

Преобразуем уравнение (31) следующим образом: учитывая, что kз2<<k22, а значения функций П2 и П3 имеют одинаковый порядок во

2

¿

¿

30

30

К

Г

е

со

всем диапазоне изменения переменной V, можем представить интеграл Э в форме

о --г21

е-2ЬП2

dv >

0 к2П3 + к3П2

2 ад ,

к2 0П3

, к3П2

1 -_2 + к2П3

( , 2 А к3П2

к2П3

dv -

— 1

2 2

— 1

22 0\V2 -Г2

(о + Уво)

—2ЬЛ /$2 —т2 е » 2 с1у-

примерно на порядок меньше, нежели у2. При этих условиях находим

* И

>/у2-Г2 -2ь[у

0 к2 - к0

__1__Ы ^Ь. ;

(2Ьк2 )2 к2 У

с1У-

2 ад

о Г

1

к 2 к2 0

-2Ы V 2 -р »

dv -

22 V -у

--4-Н (Х2Ьу)-^г 1п к22 П к2 У

В итоге имеем

(34)

(35)

Объединяя интегралы К и И, получаем для их суммы выражение

, ад

К + К /(П2-П0У2Ьпdv-

к2 0 -

± ¡(^-т^ ^-^ V- ± (р+уд)

к

Подставляя Э и И+ К в (31), после несложных преобразований получаем расчетное уравнение для определения параметра т2 в виде

\2

т2 I к2 )

1п — + 2ро + Уво) а

- 2

Т (Р + Ув )+(о + Уво)

Р1/0 (к1а ) ак/^^)

(32)

При решении его методом последовательных приближений за начальное значение т2(0>, при котором вычисляются интегоралы Рв(0>+ /Ов(0> и Р0> +]0( >, целесообразно принять решение аналогичной задачи для заземлителя в неограниченном объеме грунта[1].

Приближенный расчет т2 может быть выполнен следующим способом: интеграл И вычисляется аналитически через вторую

производную функции Н01)(т22Ь) по параметру ^=2Ь

d 2 Н

01)м)

2У

dЦ

<Х) г

2 2 -Ц"2-т2 ,

' - т~ е ' ^у -

- т2Н() (т2Ц)

и, применяя формулу [9],

Hр)W) = —m_тн0l)'(m2Ц)—Н (^Ц)

1 2У | т2% п I

1

т2Ц

п 2у

справедливую при |т2Ц<<1, получаем

К -

2

1 т2 7'm_Ь

-Т + п ——

((Ьк 2 )2 к 2

У

(33)

Для приближенного вычисления интегралов К и Э принимаем в дополнение к вполне строгому

приближенное

допущению

2 2 т3 = у

т2 и у для

япоказателя экспоненты, основанное на решении задачи при где было установлено, что к22

^ - К + К + о =■

п Ь

' У'

к2

При подстановке этого результата в уравнение (31) оно преобразуется к виду

( I--^ 2

2каут2

2]

1п

]2кау'т2

2}

2

-кЛ

Е1.

Р2

- / 0 (к1а ) /1 (к1а)

(36)

Аналогичное уравнение решалось в [1] для заземлителя в однородной среде, следовательно, и в разбираемом случае расчет постоянной распространения может быть выполнен на основе той же методической базы.

В качестве иллюстрации приведем результаты расчетов, выполненных для цилиндрического протяженного заземлителя с

параметрами: радиус а=510

заземлителя -3 м, р?=10-7 Ом м

' 2

(железо), н?=1000, проложенного в грунте с р2=10 Ом м, 1Л=1, £2=10 на глубине Ь (варианты Ь: 0,1 м, 1м, 10м) при частоте тока в нем f=50 1/с.

Предварительный расчет, выполненный по методике работы [1] для этого заземлителя при

дал следующие результаты Y2=m22 - к22 =31,53 ■10-6+/ 26,84 10-6= =41,41 10-6 е ]40°40 1/м2

к22=-/ 3,948 10 1/м2

т22=31,53 10-6+ / 22,89-10"6=38,97-10"6 е Y=a +/ ^=6,435-10"" 1/м.

Погонное сопротивление заземлителя

г0 - к1Р1/0Рkla))= 0.655 -10-2еУ42°81 Ом/м — 2па/1(к1а)

Волновое и переходное сопротивления

1 36° 1/м2, 20°20 1/м; т2=6,242 10"3 е

-150 - 1.082еУ27° '03Ом,

-- 168.16еУ6°'83Ом Ь

Расчет параметра т2 по (32) дал значения т22(0,2)=19,79-10"6+/12,1910"61/м2, т22(1)=22,22 10" 6+/ 13,5510"6 1/м2,

т22(10)=26,95-10"6+/ 15,910"6 1/м2, где 0,2;1;10 -значения Ь в метрах. Соответствующие значения постоянной распространения, волнового и переходного сопротивлений равны:

-3 / 19

у(0,2)=5,054-10 е/ 1/м, у(10)= 5,785-10-3е/ 18°19 1/м;

1/м ,у(1)= 5,318-10-3е/

-3,/ 19°, 11

1

2

2

2

У

X)

1

т

п

2В (о,2)_ 1,425 ■ е3'3о° '770м, гв (1)_ 1,339 ■ ез3о° '550м, г в (1о)_ 1,Ш ■ еЩ3о° ,450м;

2 П (о,2) _ 281,88 ■ е311° ,170м ■ м, г П (1) _ 251,79 ■ е з11° ,440м ■ м, г П (1о) _ 2о9,42 ■ е з12° ,260м ■ м.

При достоаточно большом заглублении результаты таких расчетов должны быть близки к приведенным выше значениям т2, у, 2в,2п, полученным по

уравнению (36) при h Для

h =83 м, например, были получены значения т2 (82)=6,245-10"3е' 16°40 1/м,

у(82)= 6,424-10"3е/ 18,71 zB = 1,079 • е]28°-11йм;

1/м,

±П

= 168,02 • ej10 ■00йм • м,

т2,

zB'zП ,

1/м2,

Приближенные вычисления

выполненные по уравнению (36) при Л=1м дают следующие результаты: т22(1)=22,06-10 +/' 14,5210"( Y(1)= 5,364-10-V 190,97 1/м,

zB (1) = 1,331 • ej 29°'42Ом; zn (1) = 248,13 • ej9° ,450м • м,

погрешность которых не превышает 2%. Следовательно, для инженерных расчетов вполне оправдвнным является использование уравнения (36) взамен (32).

Расчет интегральных характеристик и параметров заземлителя.

Искомыми, согласно [1], являются: напряжение U(x) между заземлителем и виртуальной бесконечноудаленной поверхностью, на которой собирается стекающий с заземлителя ток; переходное сопротивление zn ; сопротив-ление

заземления (входное сопротивление); распределение шагового напряжения иш(х,у) на поверхности земли; напряжение прикосновения Unp(x) и параметры адекватной заземлителю модели в форме длинной линии (цепи с распределенными параметрами). Задачи расчета поясняет рис.2.

Напряжение U(x) вычисляем как сумму напряжений на пути, указанном пунктиром на рис.2

©

Sn, Un, Р^Ю

/////

Sa, Ua Р2

Г//

№Г777777777"77

©

Рис.2 К расчету напряжений прикосновения и шага

И-а ю

и (х)_- |Е22(у,г|у_о¿2 + |Еуз(у,2)2=о¿у (37)

о о

Подставив в это выражение формулы (12), (13) и выполнив интегрирование при допущении ¡ше0 р2 <<1 (малость тока смещения сравнительно с током проводимости) и замене

Li/v2-«

V

a vyd v = J

e-Ц v2-у

0 л/v~ - Y получаем

YP2 i(x)

0 V - Y2

-cosvydv ,

U (x) =

2n

ln

(2h - a )

+ ln\

1123 j f

Yh )

(38)

Первое слагаемое в (38), равное напряжению между заземлителем и точкой «0» поверхности земли, является напряжением прикосновения для данного сечения системы заземлитель - грунт

Unp (x) =

YP2l(x) l

-ln—, (h : 2n 2a

(39)

Из выражения (38) определяется и сопротивление заземления (входное

сопротивление), равное для данного случая волновому сопротивлению

zBX = zB =

U (x)_

Р in H2Ü

(40)

/(x) n yJ 2ha Переходное сопротивление вычисляется через ток, стекающий с единицы длины заземлителя [1], причем имеем

■ / Ч д/ (x) . . . U(х) Zb

I0 (x) = ~^ = JI (x), Zn = = =B (41)

dx I0 (х) Y

Распределение шагового напряжения в этой задаче является экстремальным вдоль оси у и вычисляется по формуле (обозначения на рис.2)

y+1ш

U ш (x,y)= J Ey3 (,z}z=0 d% =

YP2

I(x)lj (y+1ш )2

(42)

iy2 + h2

(43)

Параметры адекватной заземлителю длинной линии, т.е. значения интегральных погонных параметров в телеграфных уравнениях линии

_ ~Г = ( + Щхо))

¿х

_ — _(о + 3ьо Р

¿х

находим как и в задачах, рассмотренных в статье [1], по условиям 2ВМ _Yм _У .

Заменяя в (43) производные произведениями и(*), ^(х) и учитывая соотношение (38), получаем для параметров

модели [1] расчетные формулы в виде

g 0 + jb0 =-

Р2ln

+ ■ Y2P2 l r0 + jx0 =-ln

1,123 j yV 2ha 1123 j

(44)

(45)

n Y 2ha

В заключение, учитывая необходимость пределения волновых параметров для участков заземлителя, находящихся в воздухе вблизи границы с грунтом [1], приведем основные

2

h

Ж

У

У

h

соотношения для их расчета. Величины, относящиеся к воздуху, обозначаем индексом «0», к грунту - индексом «2».

Уравнение для определения параметра гг/02=к02+\2=ш2 £0 Н0 +у получается из (31)и, если учесть неравенство Э<<К+И , легко преобразуется к форме

2 л* ад

m- in ™=-2 г.

k2 а

1

e-2hno

dv -

О ПО + П2

o

2n ' jmM0

(46)

По

^VV^^mf, n2 = v2 + j^

P2

где г0 - погонное сопротивление заземлителя (см. выше). Это уравнение решается численно методом последовательных приближений при начальном значении т0 =0 под интегралом. Иной путь расчета, основанный на использовании интегралов Карсона, рассмотрен в [4,5].

Полагая, что значение постоянной распространения найдено, определяем

перечисленные выше характеристики и параметры волнового процесса в заземлителе.

Напряжение и(х> между заземлителем и удаленной точкой грунта находим в согласии с рис. 2 по выражению

h-a

U(х)=- J Ezo(y,z)y=odz + JEy2{y,z)z=0dy =

- 0 - ,0 -yl , 2h yrpl , y'm0h yl , 2h -in--L in-—— s---in—

(47)

2 Уо>£§п а п 2 У 2 Уа>Е§п а

Как и выше (формулы (38),(39)), первое слагаемое в (47) - это напряжение прикосновения

U np

yl

-in-.

2 Уюе0п а

В данной задаче величина этого напряжения значительно превосходит напряжение между точкой «0» грунта и бесконечно удаленной точкой. Так для рассмотренного выше заземлителя при Ь=0,2 м расчет по (46) дал значения*' Y=2,419■10 +/ 1,619 10-6 1/м, т0=3,13210-7+ / 1,25110-71/м; при Ь=1м Y=2,563■10"7 +/ 1,528 10-6 1/м, т0=3,447 10-7+ /'1,13610-61/м;

при Ь=10м Y=2,809■10"7 +/ 1,389 10-6 1/м, т0=4,0710-7+ ¡9,5841 10'71/м;

Соответствующие значения составляющих напряжения для Ь=0,2м, например, равны

и- 411,03е-■/8°50/(х) + 0,973 - 10-3e]8_O4_.í(x), т.е.

отличаются примерно на шесть порядков.

Волновое сопротивление вычисляется по формуле

у , 2Ь у , 2Ь

5в ----1п— - - У—-—1п— (49)

2 УюЕ0п а 2пв0Ю а

Для параметров цепной модели по условиям адекватности 5вм - г-В'УМ -7 получаем выражения

z-OM = Yz-B

Y

2h

2 jmson a

-in

OM

Y = 2 jaeon -B " in2h

-jrn

2neo

, 2h in—

=jaCo,

(50)

где Со - электрическая емкость в системе электродов провод-плоскость.

Заключение

1. При исследовании волновых процессов в протяженных заземлителях ключевым моментом расчета является определение постоянной распространения по уравнению (31), после чего могут быть найдены волновое и переходное сопротивления, напряжение прикосновения и другие характеристики и параметры процесса.

2. Для построения модели заземлителя в форме длинной линии необходимы расчет постоянной распространения по уравнению (31) и расчет параметров модели по формулам (44)(45). Использование в модели взамен расчетного

параметра -ом погонного сопротивления заземлителя -о приводит к неадекватному воспроизведению

моделью волнового процесса в заземлителе.

3. Базовой для исследования режимов работы протяженных заземлителей является полевая модель, применимая даже для тех задач, в которых изучение работы заземлителя сопрягается с рассмотрением специальных полевых процессов: искрообразования и пробоя в сыпучих грунтах, разогрева и спекания грунта, коронирования заземлителя и т.д.

4. Несмотря на отчетсливую методологическую общность задач расчета электромагнитных полей заземлителей в грунте и воздушных линий электропередачи ни один из существующих методов расчета последних неприменим для исследования процессов в заземлителях.

Список литературы

1. Слышалов В.К., Голов П.В., Киселева Ю.А., Тимофеева И.В. Полевая и цепная модели волновых процессов в протяженном заземлителе // Вестник ИГЭУ.

- 2004. - Вып. 4.

2. Гринберг Г.А., Бонштедт Б.Э. Основы точной теории волнового поля линии передачи // ЖТФ. - 1954. -TXXIV, вып.1. - C. 67-95.

3. Ломоносов В.Ю. Электромагнитное поле двухпроводной линии // Сб. науч. тр. ИЭИ. Вып. IV. - МЛ.: ГЭИ, 1951. - C. 223-247.

4. Костенко М.В., Перельман Л.С., Шкарин Ю.П. Волновые процессы и электрические помехи в многопроводных линиях высокого напряжения. - М.: Энергия, 1973. - 272 с.

5. Перельман Л.С. Таблицы интегралов Карсона для использования в расчетах волновых процессов в линиях с учетом земли // Известия НИИ постоянного тока.

- 1965. - № 11. - C. 342-360.

6. Карякин Р.Н. Электромагнитные процессы в протяженных заземлителях в неоднородных структурах // Электричество. - 1996. - № 7. - C. 43-51.

7. Анненков В.З. Расчет импульсного сопротивления противовесов // Электричество. - 1970. -№ 2. - C. 19-23.

8. Carson J.R. Wave Propagation in overhead wires with Ground Return // Bell System Tech. Journal. - 1926. -Oct, vol. V, №4. - Р. 539-554.

9. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. - М.: Наука, 1977.

- 342 с.

а

а

*)-Эти расчеты выполнены студентами- дипломниками ИГЭУ Бедняковым С.В. и Тихомировым М.С.